Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

Крылов

наткнулся

на

группу

инженеров,

обсуждавших'

очередную

аварию.

Он

попросил снова запустить пресс.

Его

интересовало,

на

каком участке бьются

каретки.

Главный инженер выслушал

его со-

вершенно

серьезно

приказал приготовить пресс

запуску,

не

забыв

упомянуть,

что

каждая каретка

стоит

2000

руб.»

(Это были

еще тс

советские

рубли,

доллар стоил только

коп.!)

«Тогда Крылов

от-

казался

от

испытания.

Так

даже

интереснее,

сказал

он и

ушел

по

своим

делам. Смена

его

кончилась

и он

зашел

кабинет главного

инженера.

того

шло

совещание,

но

Главный попросил

его

зайти

спросил,

какие

него

есть соображения. Крылов спросил,

что

пред-

ставляет

собой

дуга,

по

которой

движется

каретка, Круг?

Он

обрадо-

вался:

тогда

все

логично, каретка должна ломаться, поскольку име-

ется

разрыв

производной...

Его

спросили,

что же

делать?

Он

заду-

мался,

затем сообщил,

что

следует заменить окружность параболой».

Главный

взял

его в

свое

бюро.

задача похожа

на

задачу Крылова.

Функция

у - | х \ в

точке

0 не

имеет производной. Надо заме-

нить

ее

параболой

на

некотором интервале, содержащем нуль,

чтобы

получившаяся

функция всюду имела

производную,

как

доказано

на

рис.

Крылова

качестве функции

\ х \

•было

сопряжение круга

прямой.

Решение,

Будем искать параболу

виде

+ а.

Тогда

точке

(х, у) со-

пряжения

параболы

правой половины

графика выполнены уравнения

(точка

(х,

у)

принадлежит обоим графикам

и в

этой точке равны

производные):

{х

+ а

=*,

[2х=1.

Решая систему, получаем:

х -

*/2>

откуда

искомая функ-

ция

есть

х |

при

| х |

1/2,

[

]/4

При

1/2.

Замечание.В

последние

годы

большую

популярность

теории

при-

ближений

некоторых

прикладных

исследованиях

приобрели

сплайны.

Так

называются

функции,

представленные

на

разных

участках

многочленами

имеющие

непрерывные

производные

до

какого-то

порядка

включительно.

Крылов

и мы, при

решении

задачи

Крылова,

как раз

построили

сплайн

составленную

из

параболы

двух

прямых

лучей

функцию,

имеющую

не-

прерыоную

1-ю

производную

(у

Крылова

сплайн

имел

непрерывную

2-ю

производную).

Используя правила

дифференцирования,

найдите производ-

ные

следующих функций:

а) у =

(2х

ЗУ,

б) у - sin

(2х

л?),

в)

е*,

г) у = tg

(5*

1),

д)

-/х

+2х

+ 3 , е)

.у

(In

(sin

х))

Убедитесь,

что

функция

2\х\

не

имеет производной

точ-

ке

Замените

эту

функцию

на

небольшом интервале, содержащем

О,

параболой

так,

чтобы получился простейший сплайн.

Функция полезности должна удовлетворять двум

условиям:

ее

первая

производная должна быть

положительной,

вторая

— от-

рицательной.

Содержательный смысл: товар желателен, большее

его

количество

обладает

большей ценностью, полезностью; однако

ростом

количества потребляемого товара рост

его

полезности умень-

шается.

Убедитесь

том,

что

нижеприведенные функции удовлетво-

ряют

этим условиям:

а) у =

х,

б) у

УХ".

Для

функции спроса

D -

IQ/p

зависимости

от

цены

най-

дите

эластичность спроса

по

цене

точках;

1, 2, 5, 10.

Для

функции предложения

5р в

зависимости

от

цены

найдите

эластичность предложения

по

цене

точках:

10.

Составьте

уравнения касательных

графику функции

у =

- 1 в

точках

абсциссами:

0, 2, 4.

8. С

какой относительной скоростью растет площадь

круга,

если

его

радиус увеличивается

на 1% в

час?

9. Из

одного

того

же

порта одновременно

вышли

пароход

Л с

направлением

на

север

со

скоростю

км/ч

пароход

В с

направле-

нием

на

восток

со

скоростью

км/ч.

какой скоростью

они

удаля-

ются

друг

от

друга?

5*2.

СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Теоремы

дифференцируемых

функциях.

Теорема

Ферм

а.

Если функция

**j(x)

дифференцируема

точке

а,

т.е.

существует/'(я),

всюду

некоторой окрестности этой

точкиJ(x)

<f(a)

(Я*)

>/[«)),

т.е.До)

является наибольшим (наимень-

шим)

значением функции

этой

окрестности,

то

f'(a)

- 0.

Доказательство,

/'(в)

Ит

(A/W/A*)

Нт

(АДв)/Лх)

Д*->0

Дх-»+0

Ит'(д/Га)/Дх)=0

так

как

одновременно

Нт

(АДя)/Дх)

Лх->-0

Дх-»-0

Ал<ДЯ°>/

<о

< ton

(АДвУД*)

Ит

(A/W/A*)

>*>).

охч+0

Дх-*-0

дх-*ч-и

Теорема

Ферма лежит

основе нахождения экстремумов функ-

ций

помощью производной. Приведем

связи

этой теоремой

°пределение

экстремума функции.

Значение функции

Да)

называется максимумом

(минимумом)

функции

Дх),

если

оно

является наибольшим (наименьшим)

неко-

торой

окрестности точки

я,

т.е.

этой окрестности выполняется

неравенство

Дх)

<Да)

(Дх)

Да)).

Соответствующее

значение аргу-

мента

называется тонкой максимума

(минимума).

Максимумы

и ми-

нимумы

функции называются экстремумами

функции,

точки мак-

симума

минимума

—

точками экстремумов.

Среди

математиков

нет

единогласия

определении экстрему-

мов. Данное определение наиболее подходит

для

нашего курса.

Теорема

Ролля.

Если

функцияy~f(x)

непрерывна

на

отрез-

ке

[a,

дифференцируема

на

интервале

(а,

Ь)

Дд)

Д/>)>

то в

некоторой

точке интервала

(а,

Ь)

ее

производная равна нулю.

Доказательство.

По

теореме

Вейерштрасса

(см.

п, 2,

раздел 4.4)

функция

принимает

на

отрезке

[а,

Ь]

свои наибольшее

наимень-

шее

значения.

По

крайней мере одно

из

этих

значений

она

прини-

мает

во

внутренней

точке

отрезка; иначе,

посколькуДа)

=Д6),

функ-

ция

была

бы

постоянна

на

всем отрезке,

но

тогда

ее

производная

была

бы

равна нулю всюду

на

интервале

(а,

Ь},

Итак,

какая-то точка

экстремума

является внутренней.

Но

тогда

по

теореме Ферма произ-

водная

этой точке равна нулю.

Теорема

Лагранжа.

Если функция

Дх)

непрерывна

на

отрезке

[а,

Ь]

дифференцируема

на

интервале

(д,

£),

то

найдется

точка

с € (а,

Ь),

для

которойД6)

-Дд)

=/'(с)(А

- а),

Доказательство. Рассмотрим функцию

Дх)

Дх) - х

(№)

-Дд))/(й

— а). Эта

функция удовлетворяет всем условиям теоремы

Ролля,

значит,

существует такая точка

(а, 6), что

F'(c)

0, или

/'(с)

(f(b)

Дя))/(£

а),

что и

требовалось

доказать.

Теорема

Лагранжа называется

еще

теоремой

среднем:

значение

/'(с)

есть средняя скорость изменения

функции/!»

на

отрезке

[и,

Ь].

Дифференциал функции.

Для

дифференцируемой функции

У-fix)

ее

приращение можно записать

виде

4/1*)

/'(;е)Лж

аДх,

(О

где

а -

б.м.ф.

при

Д#

-»

Дифференциалом

или

d/(x)

функции

-f(x)

точке

называ-

ется главная, линейная относительно

Дх

часть приращения

функции

этой точке:

dj^/'WAx.

(2)

Приращение

аргумента

Дх

обозначают

также

dx,

тогда

форму-

лу

(2)

можно

записать

виде

=/'(x)dx.

Из

этого

равенства

видно,

что

производную

.можно

рассматривать

как

отношение дифферен-

циала

функции

дифференциалу аргумента:

f'(x)

dy/dv.

Для

дифференциала справедливы аналоги формул дифферен-

цирования,

которые легко получаются

из

соответствующих формул

дифференцирования (см.

п. 1,

раздел

5.1).

Если

формуле

(1)

отбросить второстепенное слагаемое

осДх,

то

получим

приближенное равенство

Ay~f(x)&x

или

Ду

~f'(x)dx,

ис-

пользуемое

приближенных вычислениях

и для

линеаризации слож-

ных

зависимостей.

Прим

ер 1.

Площадь

круга

радиуса

равна

S -

яг

Если

радиус

уве-

личить

на

Дг,

то

соответствующее

приращение

Д£величины

Сбудет

площа-

дью

кругового

кольца

между

концентрическими

окружностями

радиусов

г+

Дг.

Из

выражения

Д5

я(г

Дг)

тег

2тсгДг

л(Дг)

сразу

усматри-

ваем,

что

главной

частью

Д5

при

-»0

будет

2кг

Дг

- это и

есть

дифферен-

циал

d£

Особенно удобно

естественно использовать понятие диффе-

ренциала

для

оценки погрешностей. Пусть,

например,

величину

мы

измеряем

или

вычисляем непосредственно,

зависящую

от нее

величину

определяем

по

формуле

у=Лх)-

При

измерении величи-

ны

обыкновенно вкрадывается погрешность

Дх,

которая влечет

за

собою погрешность

Ду

величины

у.

Ввиду малых значений этих

по-

грешностей

полагают

Ду

dy,

т.е. заменяют приращение дифферен-

циалом.

Пример

2. С

какой

относительной

погрешностью

надо

измерить

ра-

диус

шара,

чтобы

объем

его

можно

было

определить

точностью

до

\/о!

Решение.

Напомним,

что

(

/з)пЛ

Значит,

dK/K

= 3

dr/r.

Нужно,

чтобы

W/V

0,01,

значит,

dr/r

(

/з)

•

0,01.

Ответ\

точностью

/з91>>

Пусть

у**

fix) -

произвольная функция. Предположим,

что

она

имеет

точке

производную.

Тогда,

как уже

указывалось,

имеет

место приближенное равенство

Дх)

»М

+/'(в)<*

- в), и это

равен-

ство

тем

точнее,

чем

ближе

х к а.

Таким

образом,

малом всегда

можно

произвольную функцию, какую угодно

сложную,

приближен-

но

заменить линейной

'функцией.

Такой

подход

называется

линеари-

зацией

функции

Л*).

Графически

такой подход выглядит

как

замена

графика

функции

касательной,

проведенной

графику

точке

а.

Пусть,

например,

~Л*)

есть

зависимость прибыли

от

числа

занятых

работников

х.

Если

данный момент число занятых

а до-

вольно

велико,

то

приближенное равенство

Да)

+ /

W(*

«)

показывает,

что

приближенно,

при

малых отличиях

х от

а,

измене-

ние

прибыли линейно зависит

от

изменения числа

работников.

Дифференциал

функции

4Я*)

является

Функцией

того

же

аргумента. Дифференциал этой функции называется

двфференцра-

лом

2-го

порядка

исходной функции

d(dy)

d(df(x))

—

&J(x)'

дифференциал

последней функции называется

дифференциалом

3-го

порядка

т.д.

Нетрудно убедиться

том,

что

/'dx

где

есть

просто

(d*)

Пример

Напишем

дифференциал

2-го

порядка

от

функции

(х +

Для

этого

надо

найти

2-ю

производную

этой

функции.

Имеем

у"=

12(х

Следовательно,

&у

12(х

1)W.

Формула

многочлен

Тейлора. Пусть

f(x)

—

функция,

имеющая

некоторой точке

производные всех порядков

до

вклю-

чительно.

Это

значит,

что

функция определена

имеет производные

всех

порядков

до

(«

- 1)

включительно

некотором интервале

(а,

Ь),

содержащем точку

с, и,

кроме

того,

имеет производную

л-го

порядка

{

"'(с).

Составим

для

функции многочлен Тейлора

Р(с)

—

/(с)

+/'(с)(ж

с)/(1!)

+f"(c)(x

с)

/(2!)

+ ...

+/<»>(с)(*

с)"/(«!).

Вычисляя

последовательно

Р(с),

Р'(с),

Р"(с),...,

(с),

убежда-

емся,

что

этот многочлен

и его

производные

до

и-й

включительно

точке

имеют

те же

значения,

что и

функция

f(x)

и ее

производные.

Поэтому

имеются основания считать

этот

многочлен приближением

функции

Дх),

Остаток

r(x)

f(x)

Р(х)

как раз

измеряет

степень

этого приближения.

Можно

доказать,

что при

указанных условиях

этот

остаток

г(х)

при

-»

представляет собой бесконечно малую функцию

по

срав-

нению

(х

с)",

т.е.

фе)

о((х

с)").

Поэтому

можно

записать

=Лс)

+/'(е)(*

с)/(1!)

+...+

/М(с)(х

с)«/(л!)

о((х

с».(3)

Формула

(3)

называется формулой

Тейлора

дополнительным

членом

форме Пеано.

Эта

формула является естественным обоб-

щением

формулы

Л*)

=Лс)

+f'(c)(x

- с) +

о(х

- с),

которая

есть

просто

выражение дифференцируемости функции

Дх)

точке

с.

Всего проще выглядит формула Тейлора, если

0 (в

этом

случае

ее

называют

еще

формулой

Маклорена);

Дл)

=ДО)

+/'(0)

х/(1!)

+...

+/W(0)xV(if!)

o(*0.

)

Пример

ПустьДх)

тогда

ln)

(x)

при

любом

п.

Так

как

этом

случае

(я

>(0)

= 1 при

любом

я, то по

формуле

(4)

получаем:

е*

- 1

-Ь

х +

/(2!)

+».

л"/(л!)

-Ь

о(У)

при

любом

я.

частности,

при

имеем:

1 + 1

1/(2!)

1/(3!)

+...

качестве

справочной

информации

приведем

формулы

Тейло-

ра

для

функций

sin

cos х

(при некотором терпении

настойчиво-

сти

вы

сами можете получить

эти

формулы):

sin х - х -

*Y(3!)

*У(5!)

- ... +

о(*

');

cos

1 -

я?/(2!)

*У(4!)

- ... +

о(Л.

ЗАДАЧИ

Составьте

линеаризацию

функции

у -

1г

точке

функ-

ции

^1Ш/Н

точке

К=

2000

(Ми

—

параметры).

Составьте формулу

Маклорена

точностью

до

4-го члена

для

функций:

y^Jx+T,

у =

(х +

1),

slllJC

= cos

Составьте формулу Тейлора

точностью

до

3-го члена

для

функций:

a) tg х в

точке

0, б) ctg x в

точке я/2.

Тема

ИССЛЕДОВАНИЕ

ФУНКЦИЙ,

ПОСТРОЕНИЕ

ГРАФИКОВ

6.1.

ЭКСТРЕМУМЫ

ФУНКЦИЙ

И ИХ

НАХОЖДЕНИЕ

Экстремум

функции

и его

нахождение.

Определение экстрему-

мов

функции

было

дано

разделе 5.2.

силу важности

этого

поня-

тия

напомним

его еще

раз.

Значение функции

Ля)

называется максимумом (минимумом)

Функции

Дх),

если

оно

является наибольшим (наименьшим)

неко-

торой

окрестности точки

а,

т.е.

этой

окрестности выполняется

неравенство

fix)

Дй)

(Ах)

>Дй)).

Соответствующее значение аргу-

мента

называется точкой максимума

(минимума).

Максимумы

и ми-

нимумы

функции называются экстремумами

функции,

точки мак-

симума

минимума

—

точками экстремумов.

Напомним,

что

точка является внутренней точкой области

оп-

ределения

функции,

если некоторая окрестность точки целиком

со-

держится

области определения.

Точка

называется

критической точкой функции Дх), если

/'(a)

или

f(a)

не

существует. Точка

называется стационарной

точкой

функции

Л*),

если

она

есть

внутренняя точка

f(a)

- 0.

&fi«a_l

(необходимый

признак

эстремума).

Если

функция

имеет

во

внутренней

точке

экстремум,

то а

является

кри-

тической топкой

этой

функции.

Доказательство.

Так

как

а -

внутренняя

точка экстремума,

то

всюду

некоторой

ее

окрестности

Дх)

<Дя)

илиДл;)

>Дб).

Если/

(а)

не

существует,

то а —

критическая точка

по

определению.

если

/'(о)

существует,

то

выполнены

условия

теоремы

Ферма

(см.

п. 1,

раздел 5.2)

тогда

по

этой теореме

f'(d)

— 0.

Теорема

(первый

достаточный

признак

экстремума).

Пусть

функция

f(x)

непрерывна

некоторой

окрестности

точны

а и

Ьифферепцируема

в пей

всюду,

кроме,

быть

может,

точки

я.

Тогда:

если/'(х)>0прих<а

uf'(x)

0прих>а,тоа

есть

тонка

максимума

функции;

ecAuf'(x)

0прих<аи/'(х)>

0приx>a

moaесть

точка

минимума

функции.

Теорема

(второй

достаточный

признак

экстремума).

Пусть f(x)

и ее

производные

f'(x)

f"(x)

непрерывны

некоторой

окрестности

точки

а и

пусть

f'(a)

- 0,

Тогда:

если/"(х)

то а

есть точка максимума

функции;

если/"(х)

> 0, то а

есть

точка

минимума

функции,

Доказательства

этих двух достаточных признаков экстремума мож-

но

посмотреть

учебнике.

качестве приложения описанных методов

нахождения

экстремумов будет

рассмотрена

формула Уилсона.

Формула Уилсона.

Рассмотрим

работу

идеального склада.

Та-

кой

склад отпускает своим клиентам запасенный товар (сырье,

полу-

фабрикаты

т.п.) равномерно,

постоянной скоростью

М"ед.

товара

за

единицу времени. Издержки хранения единицы запасов

течение

единицы времени обозначим

Л.

Склад

работает

циклами

длительно-

стью

(см. рис.

1), В

начале цикла

на

склад привозят запасы объе-

мом

При

этом склад несет

так

называемые накладные расходы

К,

не

зависящие

от

объема

По

мере

уменьшения

запасов,

нужный

мо-

мент,

начинается

организация

новой

поставки

запасов

на

склад.

Очередная

партия запасов прибывает

момент

полного исчерпания запасов.

Но

счи-

тается,

что

разгрузка

этой

партии

происходит практически мгновенно.

Задача

состоит

минимизации

средних

расходов

склада

за

еди-

ницу

времени.

При

объеме

партии поставки

длительность

цикла

равна

Q/M,

значит,

средние

за

единицу времени накладные

расходы

равны

KM/Q.

Учтем,

что

средняя величина запаса

на

складе

равна

Q/2,

следовательно,

средние

издержки

хранения

за

единицу

времени

Рис.

равны

HQ/2.

Таким

образом,

суммарные средние издержки

за

едини-

цу

времени равны

KM/Q

hQ/2.

Для

нахождения минимума

найдем

производную

по,

приравняем

ее

нулю:

—KM/Q

Л/2

откуда

—

-j2KKf/h

. При

этом значении

2-я

производная

2KM/Q*

> О, так что это

действительно

минимум. Формула

Q-^IKMIh

называется формулой

Уилсона.

Минимальные издерж-

ки

равны

min

JlKMh

Выведем

еще

критерий оптимальности объема

пар-

тии.

Размер партии оптимален

(с

точки зрения минимизации сред-

них

издержек

за

единицу времени) тогда

только

тогда,

когда

за

цикл

накладные расходы равны издержкам хранения.

Действительно,

при

оптимальном размере партии

Q-flKMjh

накладные

расходы

за

цикл равны

К, а

издержки хранения

за

цикл

равны

h(Q/M)Q/2

/(2.M)

Ю.КМ/(1йМ)

К. И

наоборот,

равен-

ство

обоих видов

издержек

дает

К=

А(

Q/M)

0/2,

откуда

JlKM/h,

что

требовалось

доказать.

Пример

1. На

склад цемент привозят

барже

по

1500

т.

Накладные

расходы

равны

2000

дол.

Издержки хранения оцениваются

в 10

центов

тонны

за

сутки. Каждые сутки склад отпускает

50 т

цемента.

Найти издерж-

ки

хранения

за

цикл. Каков оптимальный объем партии

поставки.'

Решение. Средний объем хранящегося

на

складе цемента равен

/50 т.

Следовательно,

средние издержки хранения

за

сутки равны

дол,

цикл

имеет

длительность

дней.

Значит,

издержки хранения

за

цикл равны

2250

дол.

Оптимальный объем партии поставки рассчитаем

по

формуле

Уил-

°нк

Q^ijIKM/h

«V2-

2000-

50/0,Г*

1420т.

е. Во

многих

практически важных случаях методы диффе-

ренциального

исчисления

не

позволяют находить

исследовать экстрему-

мы.

Например,

так

обстоит дело

задачах

линейного

программирования

п. 2,

раздел

3.1).

Теория

одноресурсной

фирмы.

Предположим,

фирма выпуска-

ет

один

товар

и его

количество обозначим

у.

Используется

только

один

ресурс.

Фирма полностью

характеризуется

своей

произведу

венной

функцией

F(x)

зависимостью объема выпускаемого

товара

от

объема затраченного

ресурса

х.

лшн^пма

дальнейшем будем

считать,

что

производственная функция

имеет

необходимые производные.

„„^ПГТ^ПЛППРТ

Предполагается,

что

производственная функция

удовлетворяет

УМ

аксиомам.

Аксиома

Хотя

бы на

части

области[определения

производ-

ной

функции,

называемой

экономической

областью

Е,

эта

функция

^Убывающая,

т.е.

увеличение

объема

перерабатываемого

РОЧФеане

приводит

уменьшению выпуска. Таким образом, если

я,

две

точки

этой области,

то а

влечет

за

собой неравенство

F(a)

Щ.

Следовательно,

этой области производная

F'(x)

неотрицательна.

Она

называется предельным продуктом.

Аксиома

Утверждается,

что

существует выпуклое

подмно-

жество

экономической области,

для

которой подмножества

{а

F(a)

с}

также выпукло

для

всех

с. В

этом подмножестве

вторая

производная

неположительна.

Остановимся

на

экономическом содержании этих

двух

аксиом.

Первая

аксиома утверждает,

что

производственная функция

не

какая-то

совершенно абстрактная

функция,

придуманная

теоре-

тиком-математиком. Она, пусть

и не на

всей своей области

опреде-

ления,

только лишь

на ее

части отражает экономически

важное,

бесспорное

и в то же

время тривиальное утверждение:

мало-маль-

ски

разумной экономике увеличение затрат

не

может

привести

уменьшению

выпуска.

Из

второй аксиомы поясним только экономический смысл

тре-

бования

неположительности второй производной.

Это

свойство

на-

зывается

экономике законом

убывающей

отдачи (убывающей

доход-

ности):

по

мере увеличения объема затраченного ресурса

некото-

рого

момента (при входе

область

SI)

начинает уменьшаться пре-

дельный

продукт. Классическим примером этого закона

является

добавление

все

большего

большего количества труда

производст-

во

зерна

на

фиксированном участке

земли.

дальнейшем подразумевается,

что

производственная

функция

на

всей своей области определения удовлетворяет обеим аксиомам.

Вернемся

рассмотрению действий фирмы.

Пусть

р —

цена единицы ресурса

и v —

цена единицы

выпуска-

емого товара.

Следовательно,

прибыль

являющаяся

итоге

функ-

цией

х (и

цен,

но они

считаются постоянными), есть

Р(х)

уДя)

- рх.

Следовательно, приходим

задаче

фирмы:

Дх)

-»

max,

(1)

>0.

Приравнивая

производную

функции

Р(х)

нулю,

получим:

F"(x)~p/v.

(2)

Очевидно,

что

объем перерабатываемого ресурса

положителен

и,

следовательно, точка, даваемая соотношением

(2),

оказывается

внутренней,

т.е. точкой экстремума,

поскольку

еще

предполагается

неположительность второй производной,

то это

точка максимума.

Итак,

при

естественных

предположениях

на

производственную

функцию

(эти

предположения

выполняются

для

производителя

со

здравым

смыслом

и в

разумной

экономике)

соотношение

(2)

дает

100

решение

задачи фирмы,

т.е.

определяет объем

перерабатываемого

ресурса,

результате чего получается

выпуск,

дающий максималь-

ную

прибыль. Точку

а\

даваемую соотношением

(2),

назовем

опти-

мальным

решением

фирмы.

Остановимся

на

экономическом смысле

соотношения

(Л),

на-

помним,

что

F'(х)

называется предельным

продуктом,

(х)

- это

стоимость

предельного продукта, дополнительно полученного

из

единицы

ресурса. Однако стоимость единицы ресурса равна

р,

т.е.

получилось

равновесие: можно вовлечь

производство дополнитель-

но

единицу

ресурса,

потратив

на ее

закупку

р,

но в

результате выиг-

рыша

не

будет,

так как

получим после переработки

реализации

произведенного

товара

столько

же

денег,

сколько затратили

на по-

купку

единицы

ресурса.

Итак, оптимальная точка,

даваемая

соотно-

шением

(2),

является точкой

равновесия

уже

невозможно выжать

из

товаров-ресурсов больше,

чем

затрачено

на их

покупку.

Очевидно,

наращивание

выпуска

фирмы происходило постепен-

на

сначала

стоимость предельного продукта была больше

покупной

Цены

потребных

для его

производства

ресурсов.

Наращивание объе-

ма

производства

идет

до тех

пор, пока

не

начнет

выполняться

соот-

ношение

(2):

равенство

стоимости

предельного

продукта,

покупной

Цены

потребного

для

его

производства ресурса.

опЛП/

при

„

гп

При

определенных

условиях,

наложенных

на-^^^^

ФУНКЦИЮ

(см.

аксиомы

1, 2

настоящего пункта),

<»"^™^™

ние

задачи

фирмы,

даваемое

соотношением

(2),

единственно

для

всех

"'Итак,

задаче

(1)

решение

в'

единственно

дня

v/ТПиим

об-

разом,

получается

функция

а'

*'(/>,

называемая

спросом

на ре

суре.

Что

содержательно означает

эта

функция.

Если

сложились

цена

р на

ресурс

цена

v на

вь^^™^.

вар,

то

данная

фирма

(характеризующаясяданной^*™^

ной

функцией)

определяет

объем

перерастаемого^Р

ес

УР

са

по

Функции

а (р,

будет

закупать

ресурс

этом

объеме

на

рынке,^

это

есть

функция

спроса

со

стороны фирмы

на

Р«^$^'

зная

объем

перерабатываемого

ресурса,

подставляя

этот

об1ъем

влтро

изводственную

функцию, получим объем

»«^^™S^

ФУНКЦИЮ

цен.

Последняя функция называется функцией

преоложе

ния

продукции,

Пример

Объем

добычи

щебня

(т/-)

зависит

от

количества

вло-

женного

труда

(челуч)

та.

£•

U-'^

«„%£££!Х-

бочего

руб./ч,

Кроме

зарплаты,

другие

издержки

не

™

оптимальное

количество

вложенного

труда

(рабочих).

Решение.

При

числе

рабочих

прибыль

равна

ВД

-40

•

6V*

•

Найдем

ее

максимум.

Производная

ГМ

240/(2

30,

откуда

16.