Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

это

«веточки» гиперболы

1-м

и 3-м

квадрантах.

При

увеличении

линии

уровня

отодвигаются

от

начала

коорди-

нат

(рис.

2).

Компьютерный

способза-

дания

функции

проиллюстрируем

таким примером,

Пример

Рассмотрим

линей-

ную

задачу оптимального

планирова-

ния:

найти такой план производства

Л",

который

бы был

допустимым

обеспе-

чивал наибольшую прибыль

из

всех

допустимых планов:

ОГ-япах,

AX<B,

X2Q.

«мчи.™

ппГ2

М)

™

здесь

матрица норм расхода,

вектор-строка

удельных

прибылей,

В-

вектор-столбец запасов

ресурсов,

Х-

вектор-стол-

бец

объемов выпускаемой

продукции

(об

этой

задаче

см. п.

раздела

3.1).

ппийми*

в?1

™-

адачи

являетсй

оптимальный план

максимальная

тш£мп£

w-Г

Заме

™

ene

Pb,

что в

конечном итоге

максимальная

функция

но

значение этой функции можно

найти

напьиJJгn™,

°?J

bIX

задач)

лишь

пом

ощью

подходящего

алгоритма,

например

помощыо

симплекс-метода.

Некоторые

многомерные

функции, используемые

экономике,

^номерные

аналога этих функций

уже

рассматривались

в п. 2

раз-

дела

4.z.

Многомерная функция полезности

м(А)

«(д:„

...,

д;)

субъек-

тивная

числовая оценка данным индивидом полезности

набора

ЛГ=

ve,,

-.,

товаров.

Она

неубывающая,

т.е.

и(Х

{

)

«(Д^,

если

ЛГ,

<Л-

Типичная

функция полезности двух

переменных

и(х,,

fa fa

стои^Т/

ЗДерЖеК

/(3

^i'

^->

зависимость

издержек

стоимостной форме

от

объемов

у-

(у,,.,,

выпускаемой

продук-

ции.

Она

также неубывающая.

Многофакторная

производственная

функция

ДА)

Д*,,

-.,

от

завис

™°.

сть

объема

или

стоимости

выпускаемой

продукции

убьшакГ

пе

абатыв

аемых

ресурсов.

Она

также

не-

ihouJ?.!

вестной

производственной функцией

является

JS?

Кобба

угласа

-^*"^

тае

Л,

а, р -

неотрицательные

™2«

иа

Р<ЬаЛ:-

объем фондов либо

стоимостном,

Tnv,°

НаТУРаЛЬНОМ

^Ражрюш

(скажем,

число станков);

объем

SS««

ес

.УР

ов

число рабочих, число человеко-дней

т.п.

и,

ражении'

1ПУ

продукции

стоимостном

или

натуральном

№

112

Приведем

еще два

примера функций многих переменных

эко-

номическим

содержанием.

Пример

Предприятие имеет участок

производства

склад.

Склад

обеспечивает

ритмичность работы

—

если продукцию

не

удается сбыть

сра-

зу,

то ее

можно хранить

на

складе. Наличие склада приводит

издежкам

хранения.

простейшем случае

эти

издержки

за

единицу времени пропор-

циональны

числу

изделий

хранящихся

на

складе,

т.е.

они

равны

А/,

где

—

издержки хранения одного изделия

течение одной единицы времени.

Издержки

производства

за

единицу времени

простейшем случае также

раз-

ны

си, где и —

число произведенных

за

единицу времени изделий,

ас—

себестоимость

производства одного изделия.

этим издержкам добавляют-

ся

еще

накладные

расходы

К—

это

расходы

единицу времени

на

поддер-

жание

рабочего состояния предприятия,

они

практически

не

зависят

от ин-

тенсивности

работы

включают расходы

на

охрану,

дежурных рабочих

т.д.

Все

издержки

за

единицу времени получаются равными

си +

hi.

Пример

Пусть

М—

это

общее количество

денег,

V—

скорость

их

обращения

(сколько

раз

каждый рубль,

доллар

участвуют

расчетах

сред-

нем

за

год),

У—

национальный продукт

или

доход

(национальный

продукт

—

это

все

готовые товары

услуги,

произведенные

экономической системе

стоимостном выражении; национальный доход

— это все

выплаты, полу-

ченные

домашними хозяйствами: заработная плата,

рента,

прибыль; наци-

ональный

продукт

национальный

доход

численно равны). Пусть

Р — это

Уровень

цен

(среднее

взвешенное значение

цен

готовых товаров

услуг,

вы-

раженное

относительно базового

показателя,

принятого

за

единицу).

Свя-

зывая

все эти

величины, получим уравнение денежного обращения

— ос-

новное

уравнение классической количественной теории денег,

так

называ-

емое

уравнение обмена Фишера:

МУ-

?Х(оно

было введено

разделе

4.2).

Любая

из

переменных

М,

может рассматриваться

как

функция трех

остальных.

Например,

Р =

MV/Yn

видим,

что

если правительство (Госбанк)

уве-

личит

число

денег

М в

обращении

в 2

раза

(т.е.

просто деньги напечатают),

цены возрастут

в 2

раза (при условии,

что

остальные величины,

т.е.

останутся

неизменными). Такие

действия

чаще всего

есть

причина

инф-

ляции.

ЗАДАЧИ

Является

ли

объем тела функцией площади

его

поверхности:

)

шара;

б) у

прямого кругового цилиндра?

Ответ:

а) да; б) нет

(потому

что

существуют цилиндры разного

объема,

но с

одной площадью поверхности).

Вы

прочли

газете,

что в

1997

г.

официальный курс

дол.

8Ю

руб.

и 1

нем. марка

3210 руб. Согласно этому

вы

рассчита-

йте

получить

за 1

дол.

5810/3210

1,8099 нем. марки. Сколько

на

самом

деле

вы

получите марок

за

доллар

обменном пункте?

Решение. Рассчитанный выше

есть

официальный,

лучше

ска-

За

ть,

теоретический кросс-курс доллара

по

отношению

немецкой

113

марке,

реальности

любом обменном пункте висит таблица

кур-

сов

покупки

продажи различных валют. Последовательность

(мыс-

ленных)

действий работника обменного пункта

такова:

он

покупает

у вас

доллары

за

рубли

потом

на эту

рублевую

сумму продает

вам

немецкие

марки. Пусть

d—

курсы продажи (вам)

покупки

(у

вас)

доллара, т.е., сдав

руб.,

вы

получите

дол.,

сдав

дол.,

вы

полу-

чите

руб. (конечно,

D > d).

Аналогично

относительно

не-

'мецкой

марки.

Когда

вы

сдадите

дол.,

работник пункта отнесёт

на

ваш

счет сумму

в d

руб.,

за

которые начислит

вам

d/N

марок.

Это и

есть

кросс-курс доллара

по

отношению

марке.

Так,

если

D, d

5830,

5800,

3230,

3200,

то за 1

дол.

вы

получите

5800/3230

1,7956

марки.

При

обмене 1000 дол.

потеря

составит

1809,9

1,7956

14,3

нем.

марки.

Итак,

кросс-курс

есть

функция курса покупки

у вас

сдаваемой

валюты

курса

продажи

вам

нужной валюты.

Найдите, сколько долларов получите

этом

обменном

пункте

за

1000 нем. марок?

Предположим,

что

производство имеет линейную

структуру

(см.

п. 2

раздела

1.2):

Л —

матрица норм расхода,

Р —

вектор-строка

цен

на

ресурсы,

К—

вектор-строка

цен на

выпускаемую

продукцию,

X—

вектор-столбец объемов выпускаемой продукции.

Тогда

ДЛ)

PAX-

функция

издержек,

W(X)

РАХ-

функция

прибыли

от

выпускаемой продукции объемов

Какой

смысл

имеет вектор

РА?

Линии уровня функции полезности

и(Х)

называются

кривыми

безразличия.

Ведь если

иЦ)

и(Х

то

индивиду безразлично,

каким

набором

товаров

(А',

или

Х^

обладать

— они для

него имеют

одина-

ковую

полезность.

Найдите

несколько кривых безразличия

для

следующих

фУ

ций

полезности;

а)

и(х,,

)

*,х

;

б)

«(*,,

)

=•

min

{*,,

в)

«(*,,

)

2х,

Зх

Линии уровня производственной функции называются

№°'

квантами.

Найдите несколько изоквант производственной функции

типа

функции

Кобба-Дугласа.

6. Для

предприятия,

издержки которого имеют

структуру,

как

примере

данные таковы;

К- 20, с

4, h - \.

Задайте издержки таблицей

двумя входами:

7.2.

МНОГОМЕРНЫЕ

ПРОСТРАНСТВА

Иерархия пространств. Немецкий математик

Г.

Кантор

опре-

делил

множество

как

«объединение

одно целое объектов,

xopoi"

114

различимых

нашей интуицией

или

мыслью». Понятие множества

не

предполагает

никакой

более

богатой структуры.

Но

уже

множество целых чисел

не

просто множество

— в нем

можно

складывать

его

элементы

вычитать

их

друг

из

друга.

Множество всех чисел несет

еще

более богатую структуру

— в

нем

определена операция предельного перехода, т.е.

указано,

какие

последовательности

чисел сходятся

тому

или

иному числу.

п. 3

раздела

1.1

рассматривалось числовое (или арифметиче-

ское)

линейное пространство

Л"

размерности

п.

Элементами

его яв-

ляются

и-мерные

векторы-строки,

т.е. упорядоченные наборы

из

чисел. Заметим,

что это не

просто множество

— Л"

несет опреде-

ленную

структуру. Так,

его

элементы можно складывать

умножать

на

числа,

и эти

операции очень похожи

на

соответствующие опера-

ции

числами (см,

п. 2

раздела

1.1).

Ниже

приводятся примеры множеств

богатой структурой: нор-

мированных

пространств, евклидовых

т.п.

Евклидово пространство. Пусть

Х-

(я,,...,

х),

(у

{)

...,

)

—

Два

вектора

из

Л",

тогда число

+ ...

+лу„

называется скалярным

произведением

векторов

обозначается

Х-

или XY.

Напомним

основные свойства скалярного произведения:

а)

XY^YX;

б)

X(Y+

Z) = XY + XL для

любых векторов

У,

в)

КХ-

ХЛТдля

любых векторов

Х>

любого числа

Линейное

пространство

со

скалярным умножением называется

евклидовым

пространством. Евклидово пространство несет

еще

более

богатую

структуру,

чем

просто линейное пространство. Так,

в нем

можно

определить длину вектора

угол между векторами.

Длиной вектора

.^называется

число

*JX

обозначается через \Х\,

Нетрудно

доказать следующие

свойства

длины вектора:

)

Х\

0 и \Х\

тогда

только

тогда,

если

^=0;

б)

КХ\

\Ц\Х\

для

любых

вектора

X и

числа

в)

X + Y\

\Х\ + | У| для

любых векторов

Угол

(р

междУ

векторами

определяется

так:

cos

= XY/

• I

Л)>

так что

ср

arccos

(XY/(\X\

У|)).

Нетрудно

видеть,

что X

•

= \Х\ • \ У| cos

tp.

пространстве

Л"

длину вектора

Х-

(*,,

...,

*„)

можно задать

аналитически

— как

функцию

его

компонент:

по

определению дли-

ны

вектора

имеем,

что

\Х\

7F=

/*,*,+...+*,**•

У_

Пример

Найти длины

векторов

угол

между

ними:

Х~

(3, 4),

(8,

6).

115

Имеем:

\Х\

^Л

5, |

У|

/?"«

10,

^ГУ=

-f

48,

следователь-

но,

cos

XY/(\X\

• \

У|)

48/50,

отсюда

ф *

17°.

Векторы

называются перпендикулярными, если

их

скалярное

про-

изведение

равно нулю, т.е. косинус угла между ними равен

нулю

(вспомните,

что

косинус угла

90°

равен нулю).

Пример

2. В

пространстве

найти

множество

векторов,

чьи

ска-

лярные произведения

сданным

вектором

(л,,

HJ)

равны

Обозначим

искомое

множество

через

тогда

{X:

d}.

Если

Х=

(х,

то L

{(ж»

н,х,

iyr

rf}. С

геометрической

точки

зрения

—

это

прямая

линия,

проходящая

через

точку

dN/№

перпендикулярно

вектору

(убедитесь

том,

что

точка

dN/№

самом

деле

принадлежит

£).

Пусть,

например,

N = (3, 4) и

тогда

есть

прямая,

проходящая

через

точку

(3/5,

4/5) перпендикулярно

вектору

(рис.

I).

Промежуточным

между

просто

линейным пространством

евкли-

довым

является понятие

нормированного

пространства.

Это

линей-

ное

пространство,

котором каждому вектору

приписано

число

\\X\\,

называемое

его

нормой,

удовлетворяющее условиям:

а)

#||

> 0 и | Х\

тогда

только тогда,

если

А^

б)

КХ\\

™

|Х|

\Х \ для

любых

вектора

Хп

числа

в)

| К +

Y\\

< | Х\

+||

ГЦ

для

любых векторов

Как

видно,

по

этим

условиям

норма

очень

похожа

на

длину

вектора

евклидовом

пространстве.

Замечание.

Основным

для нас

будет

все-таки

евклидово

простран-

ство;

более

того,

числовое

(или

арифметическое)

линейное

пространств

произвольной

конечной

размерности

имеющимся

в нем

скалярным

умно-

жением.

Однако

многие

понятия,

которые

будут

рассмотрены,

могут

быть

от-

несены

произвольному

евклидову

пространству

или

даже

просто

норми-

рованному,

а то и к

общему

линейному

пространству.

Рассмотрим

несколько

типичных

множеств,

которые

можно

оп-

ределить

7?"

(евклидовом,

нормированном

пространствах

— см. за-

мечание

выше).

Птершюскость

— это

множество

G(X

d))

(Y\

YX~

d},

фиксированный

произвольный

элемент

евклидова

пространства»

т.е.

это

множество

векторов,

чье

скалярное

произведение

данным

век-

тором

Нравно

константе

Вектор

^называется

нормальным

векМО'

Пб

ром

этой

гиперплоскости.

При

различных

гиперплоскости G(X,

не

пересекаются,

поэтому

их

называют параллельными. Впрочем,

при

3 это

настоящие параллельные плоскости

пространстве трех

переменных.

Полупространство

— это

множество

ДА)

- {Y:

0},

где

—

произвольный

элемент

евклидова пространства. Полупространство

называется

замкнутым

или

открытым

— в

зависимости

от

того,

не-

строгое

или

строгое

неравенство

в его

определении (следовательно,

выше

дано определение замкнутого

полупространства),

оно

соответ-

ственно

включает

себя

или нет

граничную

гиперплоскость

ад 0).

Полупространство

— это

многомерный аналог:

а)

луча

с на-

чальной

точкой

или без нее

для п

б)

полуплоскости

гранич-

ной

прямой

или без нее

-для

2; в)

«настоящего» полупростран-

ства

граничной полуплоскостью

или без нее — для л - 3 и

т.д.

Шар

К(Х,

г)

радиусом

г с

центром

точке

X - это

множество

{Х\

\Y-X\

г}.

Это

многомерный аналог:

а)

интервала

У?

длины

1г,

середина

которого

есть

точка

х-

б)

круга

радиусом

г с

центром

точке

(х.,

х,);

в)

«настоящего» шара

радиусом

центром

точке

(*,>

х„

х.) и

т.п.

Шар

называется открытым, если неравенство

в его

определении

строгое,

замкнутым,

если нестрогое.

одномерном

случае

- это

соответственно

открытый интервал

замкнутый

ин-

тервал,

который

чаще

называют сегментом.

двумерном случае

это

открытый

круг,

т.е.

без

ограничивающей

его

окружности,

круг

вместе

ограничивающей окружностью

т.д.

„„„

н„

„

Прямая

линия,

^^^^

^^^

(

^^V^m

пространстве,

- это

множество

Х(У

--Л).

А,

ль

и^<

это

множество

можно задать

так:

{Z;

JV/O',

*i>

•••

vV"

-Jtf/fy

-*„)}

(сравните

заданием

прямой

на

плоскости

и в

прост

ранстве

в пп.

раздела 2.1).

ТЪпология

евклидова

пространства.

Топология

nP^Jf"^"

это

ответ

на

вопрос

том,

как оно

устроено

точки

зрения

предель-

ного

перехода.

Так

вот,

этой точки зрения топология евклидова

(нормированного)

пространства

очень похожа

на

топологию

про-

странства

чисел

только модуль числа

заменяется

длиной

(тор

мой)

вектора

силу

чего

е-окрестность

точки

АеЕ•--

это^миоже

ство

(А)

{Х-

\Х-

А\ < е},

т.е. открытый

шар

радиусом

е с

Центром

точке

Множество

называется

открытым,

если

^^^

принадлежащей

ему

точкой

оно

содержит

некоторую'

овдестооеть

этой

точки.

Дополнение

открытому

множеству

«^«"«^^

«ыл

множеством. Множество

Л/называется

ограниченным,

если

най

Дется

такое

число

т, что \Х\

т для

всех

X е

М.

(Х}

Вот

определение

предела

последовательности^

"^^

произвольного

евклидового

пространства

(сравните

определени

ем

предела

последовательности чисел

в п. 3

раздела

ij.

117

п р

еде

л е н и е

Элемент

А е Е

называется пределом

последо-

вательности

(Х^

если

для

всякого

е > 0

найдется такое

Ке

что

\Х

Л\

< е для

любого

п > К.

Обозначение:

'А

- lim

(X).

/,_>«.

вот

определения предела

непрерывности

точке

числовой

функции

ЛА),

определенной

евклидовом (нормированном) прост-

ранстве

(сравните

аналогичными определениями

в п. 3

раздела

4.2

в п. 1

раздела 4.4).

Определение

Число

«называется

пределом

функции

-J[X)

при

стремящемся

к А (X

А),

если

для

любого

е > О

найдется

такое

6 >

что

Ц[Х)

а\

< е при 0 <

\Х

- А

< 6. Это

записывают

так;

lim

JW-

Х-*А

Таким

образом, запись

f(B

+ ДА)

понимают так:

для

длг->о

любого

е > 0

найдется

такое

5 > 0, что

\f(B

+ ДА) -

а\

< е при

|Д*|

< 6.

Определение

Функция

=Л-*)

называется непрерывной

точке

А,

если

она

определена

некоторой окрестности этой точки

ДА)

=ЛЛ).

Х->А

Специально

напомним,

как

определяется бесконечно

малая

ве-

личина

евклидовом (нормированном) пространстве. Пусть

сс(А)

—

функция,

определенная

евклидовом пространстве, тогда

величина

называется

бесконечно

малой,

если

lim

сс(А)

- 0.

Далее можно

оп-

-V-tO

ределить

отношение между бесконечно малыми, т.е. когда

они

экви-

валентны,

когда одна более высокого порядка,

чем

другая,

т.п.

(см.

п. 2,

раздел 4.3).

Пример

Убедимся,

что

функция

М(Х)

- max

|x,|,

заданная

П\

является

бесконечно

малой

того

же

порядка,

что и X.

Действительно,

М(Х)

\Х\

М(Х)>

что и

требовалось доказать.

Отсюда

следует,

что

предел последовательности векторов

про-

странстве

равен

нулю

тогда

только тогда, когда каждая

компо-

нента

векторов этой последовательности стремится

нулю.

Основные свойства пределов

непрерывности,

бесконечно

малых

величин

т.д.

для

функций одной

переменной

остаются спра-

ведливыми

(с

соответствующими поправками)

и для

функций мно-

гих

переменных.

118

Все

это

позволит определить необходимые

нам

понятия диффе-

ренциального

исчисления

для

числовых функций многих перемен-

ных

совершенно

аналогично

тому,

как это

было сделано

для

функ-

ций

одной переменной.

Свойства функций, заданных

евклидовом

пространстве.

Учи-

тывая

богатую структуру евклидова пространства, многие понятия,

определенные

для

функций одной переменной (см.

п. 4,

раздел

ы),

почти

без

изменений переносят

на

функции

многих переменных,

заданных

евклидовом пространстве. Разумеется, существует опре-

деленное

сходство

различие

между функциями одной

многих

пе-

ременных.

Сходство

заключается

том,

что в

функциях

многих

пе-

ременных

нет

ничего

такого,

чего

уже не

было

бы в

функциях

одной

переменной.

Однако

почти всегда соответствующее

понятие

для

Функции

многих переменных оказывается более сложным,

чем для

Функции

одной переменной.

иР

„

тнпй

Так,

функция

одной

переменной

может быть

четно*^.нечетной

врастающей,

убывающей,

ограниченной

т.д.

Как

выглядят^эти

понятия

для

функций многих

переменных?

Например

когда

функ-

цшо

многих переменных можно

назвать

возрастающей

или

неубыва

спомним

соответствующие

определения

для

Ф^"^

переменной

(см,

п,

раздела

4.2):

функция

X*)

на

"°

°Тм*

Щей

(убывающей)

на

множестве

М,

если

из

того,

что

*VJ

вытекает^

что

у,

(у,

>У$

Функция

X*)

"™™

'fГ^и

юЩей\певозрастающей)

на

множестве

Л/,

если

из

того,

что

Л||

х,

вытекает,

что у.

(У

{

У^-

„

..„

Hrpn

pnve-

Следовательно,

прежде

niero

на

наборах-векторах

из

и«

«от

множества

^должно

быть определено

<^«f«™

"^±S

«,

если,

например,

аргументы

функции имеют

Т^Тоеделени!

или

есть

элементы

линейного

пространства

тогда

опредаление

возрастающей

или

неубывающей функции

мною:

пвр«ивнн«*

м«

но

было

бы

дать

точности

так же, как и для

№™*£?$™^

"«той,

именно:

функция

называется

яра*'—Гтекае^,

'«)

на

множестве

М,

если

из

того,

что

*„

««^^^^

™>У,

<У,

(У,

>У>);

ФУНКЦИЯХ^)

называется

ед*******V*"Д

аиающеЮт

множестве

Ы,

если

из

того,

что

л,

вытекает,

что

у,

(у,

>yJ.

понимается

как

строгое

Но

неравенство

X. <

для

вектории

пгпя

ничитвль-

неравенство

для

всех

компонент,

что

является

весьма

™™

«ь,м.

По

этой

другим

причинам

из

двух

°"'^f

KS>

«а

™««о

одно:

функция

у(ЛО

»»«

»^7И^Т^««.

-«

множестве

М,

если

из

того,

что

л,,

л,

лв

л,

^<^(У|>Уа).

120

При

необходимости

уточняют

характер

возрастания

или

убыва-

ния

функции

многих

переменных.

Пример

Вспомним некоторые функции

из

примеров

1, 2

разде-

ла

7.1:

а)

объем прямоугольного параллелепипеда

V -

abc,

где a,

с —

его

длина,

ширина

высота,

т.е.

объем прямоугольного

параллелепи-

педа

есть функция

трех

его

измерении;

б)

по

формуле Герона площадь треугольника

S~\p(p~

в)(р

Ь}(р

с),

где

а,

Ь,

с —

длины трех

его

сторон,

а р

(а + Ь +

с)/2

—

полупе-

риметр, т.е. площадь треугольника

есть

функция трех аргументов

длин

трех

его

сторон;

в)

сила гравитационного притяжения между двумя телами

у/пЛ//Л

где т,

—

массы

тел,

R —

расстояние между

ними

у—

гравитационная постоянная;

г)

предприятие производит

видов продукции, которые

реализует

по

ценам

/>,,

...,

;

при

объемах реализации

х,,...,

выручка

W-

Л*1

РЛ:

д)

определитель

Д(Л)

квадратной матрицы размера

есть

функция

всех

l2)

четырех

элементов этой матрицы; пусть

А -

тогда

Д(Л)-

Я||

Д12

г|

;

е)

квартирная плата зависит

от

метража жилой

или

всей площади,

от

числа жильцов,

от

тарифов

на

электричество,

газ,

воду холодную

горячую,

от

льгот, которые имеют

жильцы,

но

если

для

двух

квар-

тир в

доме

все эти

показатели одинаковы,

то и

плата одна

и та же;

значит,

размер квартирной платы есть функция

от

этих

показате-

лей;

ж)

налог, который должна заплатить фирма, рассчитывается

по

специ-

альной

методике,

но

если

двух фирм показатели одинаковы,

то и

налог

должен быть одинаковым; значит, размер налога есть

функ-

ция

от

этих

показателей.

Какие

из

этих функций возрастающие?

Ответ:

только функции

«а», «б»,

«г».

Функция

область

определения

которой

симметрична

отно-

сительно

нуля,

называется

четной

(нечетной),

если

f(-X)

=Л$

(Д-Л)

-ДЛ))

для

любого

Хь

D(f).

Например,

функция

«длина

век-

-тора»

является

четной.

Функция/называется

ограниченной

сверху

(снизу)

на

множестве

М,

если

существует

такое,

что

J[X)

(f(X)

т) для

любого

Л'е

М.

Функция,

ограниченная

снизу,

сверху,

называется

ограни-

ченной

на

этом

множестве.

Функция/называется

вътумой

(вогнутой}

на

выпуклом

множе-

стве

М,

если

для

любых

Мн

любого

А,

< I

верно,

что

Л^-ь

(1 -

K)Y)

адд)

+ (1 -

хми

+ 0 -

WCW-

Из

функции многих переменных можно получить «много» функ-

ций

одной

переменной.

Пусть

у =

у(х„

...,

х)

функция

переменных. Фиксируем

значения

переменных

*%.->

л*,

ж,

пусть изменяется. Тогда

получим

функцию

одной переменной:

у,

у(х

{

я?

,«"

л°

)

-у,(х,).

Теперь

по-

нятно,

как

понимать выражение

«функция

у(х,,...,

*„)

возрастает

по

х.

при

x°...,

х°»

- это

говорится

про

функцию

у,(х).

Ана-

логичным

образом'нужно

понимать

подобные

утверждения

чет-

ности

или

нечетности функции

по

при

х*

-»

х„

•

Пример

5. а)

функция

z = х - У

возрастает

по

при

любом

у и

убывает

по

/при

любом

б)

функция

==*'*

ямяегоя

ЛГ+

любом

у и

нечетной

по у при

любом

х; в)

функция

z - (2

У)

sin

периодическая

по х при

любом

у.

ЗАДАЧИ

Пусть

А -

произвольный элемент евклидова пространства.

Докажите,

что

lim

A/n

О,

ОграничГно

ли

множество

{(х,

у): * -

0} в

пространст-

ве

Фиксируем

какой-нибудь

вектор

™™™°™

*°^™™?ы

Множество

L-

{Ы;

Л)

есть

прямая

этом

W°°J»™™*(™:

п.

2),

Убедитесь,

что это

множество замкнуто, потому

что его

допол

некие

E/L

открыто. Ограничено

ли это

множество

Докажите,

что

любая

гиперплоскость

(см.

п.

2](естьзамену-

тое

множество,

потому

что

его

дополнение

открыто.

Является

ли ги

перплоскость

ограниченным множеством?

Что

собой

представлю

линии

УРо^ФУ.гкции

«длина

век-

тора»

(см.

п. 2) в

пространствах

Как

может

иьи

множество

{X:

\Х\

</}

Является

ли

функция «длина

вектора»

™W™°™*,

четной,

периодической?

Докажите,

что эта

функция непрерывна.

Для

вектора

Х-

(*„

....

*„)

положим

max

Докажите,

что

эта

функция

удовлетворяет

опр^нию

н^^пН);

^-_

Дитесь

том,

что

эта

норма эквивалентна

ине

ве

окрест

„

Дая

окрестность

нуля

по

одной норме

содержит

некоторую

окрест

ность

нуля

по

другой норме

(см.

также пример

S).

121