Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

При

этом значении

2-я

производная

Р"(16)

так что это

действительно

максимум.

Можно

прямо воспользоваться соотношением

(2).

Получаем

40/(2

/Г)

30,

откуда

16.

Прибыль фирмы

объем поступления

налогов

государству

при

данной

налоговой

ставке,

Пусть'цена

на

продукцию

vCv)

—

a — by,

т.е.

линейно падает

увеличением объема предъявления готовой про-

дукции

на

рынке,

затраты

/зависят

от

объема продукции

следу-

ющим

образом:

1(у)

су

+ е, где

а,

Ь,

с,

e —

некоторые

положительные

константы. Пусть налог является акцизом

со

став-

кой

т.е.

каждой проданной единицы товара платится налог

вся

налоговая сумма равна

(7 —

/у.

Итак, фирма получает прибыль

Р(у)

Ьу)

—

су

- е —

(у.

Желая

ее

максимизировать, фирма ищет оптимальный объ-

ем

производства.

Значит,

Р'(у)

О,

откудаy'~(a-d-

/)/(2(i

с)),

при

этом

Р"(у")

~2Ь

- 2с < 0,

т.е.

действительно точка максиму-

ма.

Поскольку

> 0,

видно,

что

такая

налоговая

система

приводит

снижению

оптимального выпуска продукции.

Для

прогнозирования действий

правительства

по

установлению

нало-

говой ставки

вычислим

налоговый

доход

правительства (государства):

~ty

t(a-d-

t)/(1(b

с)),

т.е.

рас-

сматриваемом случае кривая доходов

правительства

представляет

параболу,

ветви

которой направлены

вниз

(рис.

2).

Максимум

достигается

при

-(а

- flO/2 и

равен

(Г

(а -

/(8(6

с)),

оптимальный

выпуск

продукции

при

этом значении

/'равен

{

(а -

(f)

/(4(b

-н

с))

прибыль фирмы равна

Р(у^

- (а -

<flv

f(\6(b

с))

- е.

Вообще

же^

прибыль фирмы

при

налоговой ставке

равна

P(y\t))

(а

/(4(b

с))

- е,

откуда

следует,

что

ростом

прибыль уменьшается (если

0 < t

(а

d))

видно,

что

существует

область значений налоговой

ставки

(а

именно,

при

> t

-&~

у4е(£

с),

при

которой прибыль фирмы отрицательна, хотя

дохо-

ды

правительства

положительны.

Это

случилось потому,

что в

качестве критерия выбора

объема

выпуска

был

принят максимум прибыли,

но не

было

оговорено,

что

этот максимум положителен. Если принять,

что при / > t

выпуск

продукции

на

самом

деле

станет

равным нулю,

то

доход

правитель-

102

ства

при t > t

также

станет

равным нулю. Понятно

поэтому,

что уже

вблизи

происходит резкое сокращение деловой активности.

Экстремумы

выпуклых

вогнутых функций.

Предложение.

Пусть функция

Л*)

выпуклая

(вогнутая)

на

выпуклом

множестве (интервале, сегменте

т.д.)-

Если

функция

имеет

минимум (максимум)

на

этом множестве,

то он

является наи-

меньшим

значением.

Доказательство. Ограничимся случаем выпуклой функции,

за-

данной

на

отрезке

[о,

Ь].

Предположим,

что с —

точка минимума

функции

.Ах),

Предположим,

Дс)

- не

наименьшее

значение

на

{а,

6),

т.е.,

что

Л4)

Дс)

для

некоторой точки

[а,

Ь]. Для

любого

X < 1)

точка

Х</

+ (1

Х)с

[в, А], и в

силу выпуклости

функции

Л*)

имеем:

Л*

)

М«0

<ЛО'

При

точка

стремится

к с.

Следовательно,

любой окрестности точки

име-

ются

точки

меньшим

значением,

так что с — не

точка минимума,

Полученное

противоречие

оканчивает

доказательство.

Из

всего

этого

вытекает

простой алгоритм нахождения миниму-

ма

выпуклой функции: проходим интервал

[а,

Ь]

шагом

Л.

Сначала

значения

функции убывают.

Как

только

они

перестают

убывать,

точ-

ка

минимума

найдена

она

расположена между данным

значением

предыдущим.

ПриыврЗ.Фуншму-*'-!^

Дим

интервал

(0,

100)

шагом

Имеем

2301

У&>

""^

-99,

у(50)

-100

у(51)

-99.

Стоп!

Значения

функции

перестали

убы-

вать.

Значит,

минимум

где-то

между

50 и 51.

Если

надо

найти

минимум

точнее,

следует

пройти

отрезок

[50,

5Ц

меньшим шагом,

т.д.

ЗАДАЛИ

реке

шириной

а м

построен

под

прямым

углом канал

ши-

РИНОЙ

Ъ м.

Какой максимальной длины суда могут входить

этот

канал?

Суточные

расходы

при

плавании судна состоят

доух

час-

тей:

постоянной,

равной

руб.,

переменной,

возрастающей

про-

порционально

кубу скорости.

При

какой

скорости

плавание судна

будет

наиболее экономичным?

rtrunimn

небольшой теплице ежедневно снимаемый урожай огурцов

кг

зависит

от

числа работников

- 4

£"+

Найдите опти-

мальное

число'работников,

если дневная зарплата

работника

равна

Цене

2 кг

огурцов.

103

Найдите функцию спроса

на

ресурс

функцию предложения

продукции

для

фирмы

производственной функцией

vln

(x +

1),

где

v -

цена единицы

продукции,

р -

цена единицы

ресурса

vp<v.

Скоропортящийся продукт

мандарины

привозят

мага-

зин

«Овощи-фрукты»

на

машине. Накладные расходы

расчете

на

одну

поездку равны

дол.

Ежесуточно магазин продает

2 т

манда-

ринов.

Издержки хранения составляют

центов

килограмма

ман-

даринов

за

сутки.

По

формуле Уилсона рассчитайте

оптимальный

размер

партии

мандаринов,

найдите периодичность завоза

их в

мага-

зин,

среднесуточные издержки. Подсчитайте Среднесуточные

из-

держки

при

размерах партии

2 т и 500 кг.

6.2.

ИССЛЕДОВАНИЕ

ФУНКЦИЙ,

ПОСТРОЕНИЕ

ГРАФИКОВ

Возрастание

убывание функций,

2]ешша,

Пусть

функция

=f(

)

дифференцируема

па

интервале

(а,

о).

Тогда:

если

f'(x)

> 0

всюду

на

этом

интервале,

то

функция

возрастает

на

нем;

ecAiif'(x)

< 0

всюду

па

этом

интервале,

то

функция

убывает;

еслиГ(х)

всюду

па

этом

интервале,

то

функции

постоянна

па

'этом

интервале,

ДоК

тельств0

Возьм

ем

на

данном интервале

произвольные

^«™»

пршеним

Формулу

Лагранжа

(см.

п.

раздел

5,2)

для

?ГяЛ

На

Трезке

[с

*Д4>

ЛО

-/'<•)<</

с);

где

неко-

торая

точка

на

отрезке

[с,

<fl.

Так как с <

то

знак разности

Л4>

№

полностью определяется знаком

производной

/'(в).

ТР

Ль

(Х)

ВСЮДУ

положитель

на,

то

Л«)

> 0.

Отсюда./М)

>№

тп

%!^

л°

ет

На

инте

вале

(«>

».

Если

Л*)

всюду

отрицательна,

то

и/00

< 0.

ОтсюдаЛЯ

<Дс),

т.е.

Дх)

убывает

на

интервале

(в,

Ь).

ппрппоГ

Ц|

Р°

ИЗВ

°Д

На

всюду

равна

нулю,

то

и/'(е)

0 и,

ин?

пГ„

Г^

ДС)

ПРИ

******

<*>

*)-

постоянна

на

ишервале

\о,

ГЬ,А!'

ьшуклость

вогнутость

графика функции.

Точки

перегиба-

К»,

КЦИИ

Дх)

называетс

^'«уобш

//«

шм^ше

(a,

выт^

"T^

(й

с))

если

все

ТОЧКИ

Ч«Фикв

расположены

выше

(ниже) любой

его

касательной

на

этом интервале

(рис.

1).

Зещща.!

Если

функция

f(x)

дважды

дифференцируема

па

интерва-

ле и во

всех

его

точкахf'(x)

> 0

(f"(x)

0),

то ее

график

выпукл

(вогнут)

па

этом

интервале.

104

Точкой

перегиба графика функции

называется

точка

этого

графика, кото-

рая

отделяет выпуклую

его

часть

от

вогнутой

(на

рис.

точкой перегиба

является

точка

Ь),

Теорема

Пусть

функция f(x) опре-

делена

некоторой

окре-

стности

точки

Ь и

дваж-

ды

дифференцируема

в пей

всюду,

кроме,

быть

мо-

жет,

самой точки

Ь.

Тог-

да,

если

при

переходе

через

точку

2-я

производная

ме-

няет

знак,

то

точка

есть

точка

перегиба графика

функции,

Доказательство.

Если

при

переходе через точку

знак

2-й

про-

изводной

меняется

плюса

на

минус,

то при

этом

происходит смена

выпуклого

участка графика функции

на

вогнутый; если

же при

пере-

ходе

через точку

знак

2-й

производной меняется

минуса

на

плюс,

то

при

этом происходит смена вогнутого участка графика функции

на

выпуклый,

любом случае точка графика

(Ь,

Щ)

отделяет

вы-

пуклый

вогнутый участки графика

функции,

т.е. является точкой

перегиба.

План исследования функции

построения

се

графика. Содер-

жание

плана;

найти

область

определения

функции;

определить, является

ли

функция

периодической,

четной

или

нечетной;

найти

точки

разрыва функции

(и

провести

их

классифика-

цию,

если

требуется);

найти асимптоты графика функции

или

убедиться

в их от-

сутствии;

найти точки пересечения графика функции

осью

абсцисс,

которые

вместе

точками разрыва разбивают область опре-

деления функции

на

интервалы знакопостоянства;

найти производную

функции,

найти интервалы возрастания

убывания

функции,

найти экстремумы;

найти производную второго порядка, интервалы выпуклости

вогнутости графика функции, точки перегиба;

найти значения функции

или ее

пределы

Траничных

точках

области определения функции;

используя результаты исследования, построить график функ-

ции,

105

Пример

График

функции

у —

а/(\

ce~

(bt

)

называется

логистичес-

кой

кривой.

экономике

его

используют

для

определения

тенденции

роста

производства

предметов

потребления.

Пусть

а =

= 2 и

= \,

тогда

у -

6/(1

2е-*).

Проведем

исследование

этой

функции

построим

ее

график;

область

определения

функции:

вся

числовая

прямая;

функция

общего

вида;

3) нет

точек

разрыва;

вертикальных

асимптот

нет,

но

есть

горизонтальные:

£,

Нт

(у/х)

Х~)+*>

Нт

(б/((1

2е-*)*))

О,

b = Нт

(б/(1

2е"))

11т

(у/х)

Х-*4°о

д*_»+ео

Х-»-«»

Нт

(б/((1

2e-*)*))

- 0, b = Нт

(6/(1

2е-*))

т.е.

имеются

две

горн-

*-»-»

л:-»-со

зонтальные

асимптоты:

у — 6 —

правосто-

ронняя

и у = 0 —

левосторонняя;

5) нет

точек

пересечения

графика

осью

Ох,

функция

положительна

всюду;

производная

у'~

12е-*/(1

2е-*)

0 —

всюду

положительная,

значит,

функ-

ция

всюду

возрастает

и не

имеет

экстрему-

мов;

2-я

производная/'=

12е-*(2е-*-

I)/

2е")

равна

нулю

при х

-2.

Точка

(In

2, 3)

есть

точка

перегиба,

так как 2-я

производная

меняет

знак

при

переходе

че-

рез

lim

X*)

0 и Нт

у(х)

= б;

*-»-«>

*-»+со

строим

график

функции

(рис.

2).

Нахождение

нулей

функции,

приближенное

решение

уравнений-

Число

называется

корнем уравнения

Дх)

если равенство

)

является

верным.

другой стороны, значение аргумента,

при

кото-

ром

функция

Дя)

равна нулю, называется нулем функции. Таким

об-

разом,

нули

фулкцииДл:)

— это

корни

уравненияЛ^)

О-

ЛИ

ФУ

НК

ции

— это

точки пересечения

ее

графика

осью

абсцисс,

так что их

нахождение

нужно

при

построении

графиков. Рассмотрим

два

спо-

соба

нахолодения

изолированных корней уравнения (корень

назы-

вается

изолированным

на

этом

отрезке,

если других корней

на

этом

отрезке

нет и

функция имеет

на

концах отрезка значения

разных

знаков).

Метод

хорд.

ПустьДя)

непрерывна

на

отрезке

[д,

Ь].

Соста-

вим

уравнение

хорды

АВ,

соединяющей точки

А(а,

До))

В(Ь,

№•

(У

~Лл))/№)

-Дя))

(х -

а)/(Ь

- а). В

качестве-

приближенного

решения

уравнения

Дх)

принимается точка

которой

хорд

ЛВ

пересекает

ось Ох

(рис.

3).

Подставив

уравнение

хорды

*\>

106

- О и

решив

его

относительно

зс

по-

лучим;

с * х

а -

f(a)(b

о)/(Дй)

-Л«».

Метод

касательных

(Ньюто-

на).

Пусть/"(х)

не

меняет знака

на от-

резке

[о,

6].

Составим уравнение каса-

тельной

графику функции

точке

Я&Л^))»

которой выполняется

усло-

вне/"(*M*)

> 0

(рис.

4):

Л*)

(х

b)f'(b).

качестве приближенно-

го

решения уравнения

.Д*)

прини-

мается

точка

я,,

которой касательная

пересекает

ось Ох.

Подставив

уравне-

ние

касательной

у — 0 и

решив

его

относительно

получим:

х. =

*-УИ//т

Для

нахождения более точного

ре-

шения

уравнения

любом

из

обоих

ме-

тодов

надо повторить выкладки, взяв

качестве

отрезка

[я,

*,]

вместо

[я,

Ь].

Пример

Найдем

методом

каса-

тельных

приближенное решение уравнения

х +

е*

Пусть

Дл)

- х +

тогда

убеждаемся,

чтоД-1)

-I

е-

О,

ДО)

- 1 > 0. По-

скольку/'(*)

в 1 + е* > 0

всюду,

в том

числе

на

отрезке

[

-1,0],

то

нп

этом отрезке есть

изолированный

корень. Посколь-

ку/"(х)

с*

то

применим метод касательных.

Так

как/"(0)ДО)

> 0, то

из

описанного выше получаем:

х,

-1/2.

Сделаем

еще

одну итерацию.

Убеждаемся

том,

что за

точку

можно взять

1/2.

Получаем

2-е

прибли-

жение:

х.

0,56

(с

точностью

до

5-го

знака после запятой корень равен

-0,56715).

ЗАДАЧИ

Постройте примерный график функции

у -

Дх),

удовлетво-

ряющей

следующим

условиям:/(1)

О,/'(О

1/^3./(2)

/'(2)

V3.

Решение.

Ставим

на

координатной плоскости точку

Л/(1,

0) —

°на

на

будущем графике. Проводим через точку

прямую линию

под

УГЛОМ

30° и

через точку

N(2,

1) —

прямую линию

под

углом

60° — это

касательные

будущему графику. Далее проводим плавную

кривую,

Удовлетворяющую

указанным условиям. Конечно, существует бесчис-

ленное

множество функций, удовлетворяющих указанным условиям.

107

Вернитесь

еще раз к

формуле Уилсона (см.

п.

раздел

6.1),

Зависимости

от

объема партии

средних

за

единицу времени

на-

кладных

расходов,

издержек хранения

суммарных издержек

выра-

жаются

соответственно формулами:

KM/Q,

hQ/1

KMJQ

Л(2/2.

Постройте

одной системе координат графики всех этих

функций,

убедитесь

выполнении критерия оптимальности.

Придерживаясь плана исследования функции (см.

п. 3,

раз-

дел

5.2), постройте графики следующих функций:

а)

(х

1)/(х

;

б) у - х +

е-*.

ЧАСТЬ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

ЭКОНОМИЧЕСКИМИ

ПРИЛОЖЕНИЯМИ

Тема

ФУНКЦИИ

МНОГИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

МНОГОМЕРНЫЕ

ПРОСТРАНСТВА

7.1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение

функции

многих

переменных.

Некоторые

конкрет-

ные

функции

многих

переменных

хорошо

знакомы.

Приведем

несколько

простых

примеров.

Пример

а)

объем прямоугольного параллелепипеда

V -

abc,

где

—

его

длина,

ширина

высота,

т.е.

объем прямоугольного параллелепи-

педа есть функция трех

его

измерений;

б)

по

формуле

Геронп

площадь

треугольника

S=*yP

(Р

я)(Р

*)(Р

где

а,

Ь,

с —

длины трех

его

сторон,

а р - (а + b +

с)/2

—

полупе-

риметр,

т.е.

площадь треугольника есть функция трех аргументов

—

длин

трех

его

сторон;

в)

сила гравитационйого

притяжения

между двумя

телами

F**

утм/ff,

где

ш,

—

массы

тел,

—

расстояние между

ними

гравита-

ционная

постоянная.

Все

это —

примеры функций трех независимых аргументов

или

переменных.

Независимыми

аргументы называются потому,

что

зна-

чение,

принятое одним

из

них,

не

определяет

значений,

которые

могут

принять другие аргументы.

Общее понятие

функции

было

рассмотрено

п,

раздела

4.2

части

Кратко

повторим

основное.

Пусть

даны

два

множества

X и К

Пусть каким-то способом

каждому

элементу

множества

.У

поставлен

соответствие один

эле-

мент

=Дх)

у.

Тогда соответствие/называется функцией

облас-

тью

определения

=Хн

областью значений

Я(/)с

При

этом

называется

независимым

переменным,

или

аргументом

функции,

~Ах)

—

значением

функции,

или

зависилмм

переменным.

Множество

пар

{(х,

у): х

£(/)}

называется графиком функции/

Определим

теперь,

что

такое

функция многих переменных.

Весьма

часто

элементы области определения функции сами могут

109

иметь

сложную структуру. Пусть имеется несколько

множеств

JT,,...,

Пусть каким-то способом

набору

(*,,.„,

где

{

поставлен

соответствие один

элементу

=f(x)

Тогда соответст-

вие/называется

функцией

переменных,

область

определения

этой

функции состоит

из

всех наборов-векторов

(*,,...,

на

кото-

рых

она

определена. Компоненты наборов называются независимыми

переменными

или

аргументами функции.

Пример

(функций

многих

переменных):

а)

предприятие производит

видов

продукции,

которые

реализует

по

ценам

/;,,...,

;

при

объемах

реализации

*„..„

выручка

/>,*,+...

/ус;

б)

определитель

Д(Л)

квадратной матрицы размера

есть функция

всех

п\

четырех

элементов

этой

матрицы:

пусть

А =

тогда

"21

°22

АМ)

л„в

-в

;

в)

квартирная плата

зависит

от

метража

жилой

или

всей

площади,

от

числа

жильцов,

от

тарифов

на

электричество,

газ,

воду

холодную

горячую,

от

льгот,

которые имеют

жильцы,

но

если

для

двух

квар-

тир в

доме

все эти

показатели

одинаковы,

то и

плата

одна

и та же;

значит, размер квартирной платы

есть

функция

от

этих

показате-

лей;

г)

налог, который должна заплатить фирма, рассчитывается

по

специ-

альной

методике,

но

если

двух

фирм показатели одинаковы,

то и

налог

должен

быть одинаковым; значит, величина налога есть

функ-

ция

от

этих

показателей.

Способы

задания

функции

многих

переменных.

Как и

функции

одной

переменной,

функции многих переменных можно задавать

аналитически,

при

помощи

таблиц,

при

помощи графика,

при

помо-

щи

некоторого алгоритма

(например,

компьютерной

программы

см.

далее пример

б).

При

аналитическом

способе

задания

функции

ее

значение

определяется формулой

от

аргументов функции.

Функции

из

примера

1 и из

подп. «а»,

«б»

примера

были заданы именно

так>

функции

из

подп. «в»,

«г»

примера

2 при

желании тоже могли

бы

быть

заданы формулой

от

соответствующих показателей.

Та

блинный

способ

для

задания функций многих перемен-

ных

применяется весьма часто. Например,

он

иногда необходим

сложных

расчетах

на

ЭВМ.

Однако

многие,

наверное,

и не

подозре-

вают,

что

прейскурант обувной

или

автомастерской частенько

есть

табличный

способ задания стоимости ремонта

зависимости

от вы-

полненных

работ.

Перечень этих работ

— это

область

определения,

стоимость

—

значение функции.

ПО

Пример

3. В

мастерской «Шиномонтаж» висит таблица стоимости

работ:

Снятие

покрышки

Проверка

камеры

Вулканизация

камеры

Надевание

покрышки

Балансировка

колеса

6000

руб.

1000

руб.

5000

руб.

8000

руб.

000

руб.

Пусть

п,

означает число работ

/-го

вида,

= 1,

....

тогда стоимость

всей

работы

для

клиента подсчитывается

по

формуле:

W-

6000«,

1000л

5000/1,

8000«

12000л

Например,

клиент привез

новых покрышек

хочет сменить

все

старые

покрышки,

камеры

при

этом хочет оставить

старые.

Тогда

п. - 5, п

5, и

суммарная

стоимость

работ

равна

(6000

8000

+ 12

000)

х 5

130 000

руб.

Конечно,

никакой «науки»

этом примере нет,

работник мастерской

прекрасно

справляется

получением денег

от

клиентов

и без

знания,

что

его

прейскурант

есть

табличный способ задания стоимости ремонта

зави-

симости

от

выполненных

работ.

Графический

способ

задания функции более

чем

двух

пе-

ременных

почти

не

применяется из-за трудностей изображения гра-

фика

такой функции,

случае

же

функции

/двух

переменных

их

можно

обозначить через

у,

значение функции через

т.е.

-Л*,

у)>

Графиком

такой функции будет поверхность

пространстве трех

из-

мерений,

состоящая

из

точек

(х,

у>

f(x,

у)),

где (х, у)

D(ft

области

определения

функции

Пример

4..

Например,

для

функции

V16-(x

+/)

такой поверхностью

яв-

ляется

полусфера

над

началом

координат

радиусом

(рис,

1).

Для

образного

представле-

ния

функции многих переменных

ис-

пользуются

линии заданного уровня.

Пусть

/(*,,...,

)

функция

п пе-

ременных

и с —

какое-нибудь

число,

тогда

множество

{Х*=

(*,,»"

ДЛ)

с}

называется

линией

уровня

с.

Ко-

нечно,

если

п > 2, то это

не

линия,

нечто

большее,

которое может быть названо поверхностью уровня

(при

3 это

настоящая

поверхность

пространстве трех перемен-

ных).

Из

определения функции следует,

что

различные линии уров-

ня

не

пересекаются.

Пример

Пусть

V*i*T-

Ее

линия

уровня

ТЬ

{(

***

*Л

с,

*„

> о

или

с,

х„

0).

Легко

видеть,

что

линии

уровня

111

Рис.