Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

Скажем

сразу

же,

что

следование этому принципу

не

принесет

максимально

большого

дохода,

но

зато обеспечит устойчивую

рабо-

ту,

некоторый средний доход

убережет

от

больших убытков.

Математическим выражением

этого

принципа является

следу-

ющее

предложение.

Предложение.

Пусть

ЛГ

..,,

—

независимые,

одинаково'

распределенные с.в.

математическим ожиданием

средним

ква-

дратическим

отклонением

а.

Пусть

— их

среднее

арифметическое.

Тогда

Jlflrj

o[rj=

o/Vfl.

Доказательство

—

простое упражнение

на

свойства

математи-

ческого

ожидания

дисперсии.

Если

с.в.

^трактовать

как

случайные доходы

от

некоторых

опе-

раций

(независимых

примерно одинаковых

по

масштабности),

среднее

квадратическое

отклонение

(СКО)

как

величину

риска,

то

получаем

вывод.

Вывод

диверсификации.

При

усреднении

результатов

независимых

примерно одинаковых

по

масштабности

операций

средний

доход

также усредняется,

риск однозначно

уменьшается,

т.е. диверсификация ведет

усреднению дохода

и к

уменьшению

риска.

Для

иллюстрации рассмотрим диверсификацию двух

различных

операций,

Пример

Рассмотрим

две

независимые

операции

со

случайным

доходом:

-И

И, о

=Н°Н

|0,1|0,1|0,5|0,3|'

|0,1|0,2|0,3|0,4

Вычислим

средние

доходы

риски

(СКО):

= 10,

D[Q}

- 80,

о,

8,9;

Ю,

D[QJ

100,

10.

Вместо

того

чтобы

провести

только

одну

какую-нибудь

операцию

(на обе не

хватит

средств),

вложим

половину

денег

каждую

операцию,

т.е.

проведем

операцию

= 0,5 • б, +

0,5

•

Легко

видеть,

что Q =

1.0,

D[Q]

D[Q

]/4

£[Q

J/4

180/4

45,

следовательно,

/45

6,4.

Итак,

ожидаемый

средний

доход

остался

прежним,

риск

стал

меньше

минимального

из

рисков

операций!

Понятие

страховании.

страховании немало терминов,

нуж-

дающихся

пояснении.

Страхователь

(или застрахованный)

—

тот,

кто

страхуется.

Страховщик

—

тот,

кто

страхует.

Страховая

сумма

—

сумма денежных средств,

на

которую

за-

страховано'имущество,

жизнь, здоровье страхователя.

Эта

сумма

вы-

плачивается

страховщиком страхователю

при

наступлении

страхово-

го

случая. Размер страховой суммы зависит

от

очень многих

обсто-

272

ятельств

варьируется

весьма широких пределах. Выплата страхо-

вой

суммы называется страховым

возмещением.

Страховой

тариф

—

плата

единицы страховой суммы. Тариф

состоит

из

нетто-ставки,

предназначенной

для

выплат страховых

сумм,

нагрузки

нетто-ставке,

необходимой

для

обеспечения рен-

табельности

работы страховщика. Плата

со

всей страховой суммой

называется

страховым платежом

—

платится страхователем страхов-

щику.

Теория

страхования

фактически опирается

на

одну аксиому.

Аксиома.

Среднее суммарное (т.е.

по

всем страховым догово-

рам)

страховое возмещение должно быть равно суммарным страхо-

вым

платежам

по

нетто-ставкам.

Предположим

для

простоты,

что

разрабатывается

кампания

по

страхованию

дачных

домиков

от

пожара

сроком

на

один

год на

одну

ту же

сумму

S в

дачном товариществе.

Предполагается,

что

будет

заключено

довольно много договоров страхования

(по

крайней мере,

несколько

десятков). Какую назначить

нетто-ставкуи

нагрузку

ней?

Примем

для

простоты,

что все

членов товарищества заключат

Договоры

страхования.

Для

простоты будем также считать,

что

веро-

ятность

сгореть

за год

одна

и та же для

всех домиков, пусть

она

рав-

на

/ь

Определим

с.в.

1 или 0 в

зависимости

от

того,

сгорит

за

этот

год

/-и

домик

или

нет. Тогда

все

независимы

одинаково распре-

делены

рядом распределения

—

математическим ожиданием

^Щ

р и

дисперсией

Щ]

рд.

Число

домов,

сгораемых

данном товариществе

за

год, есть с.в.

KS:

Легко видеть,

что

ЩК\

пр,

£[Щ

под,

ст..=

Vw-

Кроме

того,

по

центральной

предельной'теореме

распределено

по

нор-

мальному

закону,

Суммарное

страховое возмещение

KS,

где S —

страховая

Умма,

математическое ожидание

й^ссть

ЩЩ

• S-

npS.

Столько

же

страховщик

должен получить

со

всех страхователей, следовательно,

нетто-ставка

равна

(np$)/(nS)

р.

Итак,

по

крайней мере

теоретическом плане

нетто-ставка

есть

просто

вероятность страхового случая.

как с

нагрузкой

нетто-ставке? Поскольку суммарное стра-

ховое

возмещение

есть случайная величина,

то при

тарифе

Равном

нетто-ставке

р,

страховщик получит

со

всех страхователей

сумму

E^pnS,

а как

легко видеть

из

свойств нормального распреде-

ения

?(W>

Е)

1/2.

Иными

словами,

половине случаев страхов-

273

щик

будет

убытке!

Это ему не

нравится

и он сам

должен

«подстра-

ховаться»,

т.е.

он

должен назначить тариф

больше,

чем

нетто-став-

ка.

Предположим,

что

страховщик задался вероятностью

того,

что-

бы

суммарное страховое возмещение оказалось меньше

суммарных

страховых

платежей. Тогда надо найти

из

условия

Р( W <

Y-

Но

P(W<

Е)

P(KS

tnS)

P(K

nt)

Ф((н/

np)/Jwq)

1/2,

т.е.

Ф((/

p)<fn/vpq)

1/2. Обозначим через

значение

функции

ЛапласаФ,

при

котором

Ф(у)

у -

1/2. Тогда

(/ -

p)*fn/*fp~q

значит,

t = р +

v</pq/^.

Это и

есть основа

для

формирования

тари-

фа. При

этом

среднем суммарные страховые платежи

превысят

суммарное-страховое

возмещение

на

nSv-/pg/^fn

Sv<Jnpg.

уче-

том

этой величины

тариф

может

еще

увеличиться

или

уменьшиться

для

обеспечения необходимой рентабельности работы

страховщика,

реальности страховщик

не

располагает величиной

р, а

знает

только

статистику числа дачных домиков

этом товариществе,

сго-

ревших

разные

годы,

т.е.

он

имеет

ряд

{)

...,

К,

числа

сгоревших

домов.

Поэтому приходится неизвестные величины, т.е.

прежде

все-

го/?,

заменять

их

статистическими оценками.

частности,

вместо

используется

ее

оценка

—

частота./?

(К^

+ ... +

K)/i.

реальности страховщики действуют

«от

достигнутого».

Это

значит,

что в

зависимости

от

конкретных обстоятельств

они

увели-

чивают

или

уменьшают тариф. Например, если предстоящее

лето

прогнозируется

очень жарким

сухим,

то

тариф может быть

увели-

чен.

Коснемся немного вопросов страхования жизни

здоровья

людей. Этими вопросами занимается

так

называемая

актуарная

ма-

тематика.

основе этой

теории

лежит представление

продолжительно-

сти

человеческой жизни

как

случайной величины

Пусть

F—

ФУ

НК

ция

распределения

т.е.

F(t}

Р(Х

есть вероятность

прожить

менее

лет,

в то же

время

1 -

ДО,

обозначаемая

s(f),

как

легко

ви-

деть, есть вероятность прожить

по

крайней мере

лет.'

Функция

s(t)

называется

функцией выживания. Конечно, фактически

функции

всегда относятся

некоторым большим группам людей.

Например!

целом

по США в

последние годы функция

$(t)

была

такова

(взят

из

[9]);

(

| 0 | 10 | 20 |

I 40 I 50 I 6Q 1 70 I 80 1 90

IJgLLl!^

s(f)

1,0010,98310,97710,96510,94910,91510,83710,68210,43210,1421^1

°'°

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

J^iU^

s(f)

1,00

0,983

0,977 0,965 0,949

0,915

0,837 0,682 0,432 0,142

U.ud

На

основе этих

двух

функций

и s

определяются

много

ДРУ^

величин,

используемых

расчетах

по

страхованию жизни

Д°Р°

людей.

развитых странах

этим

вопросам уделяется большое

вни

274

ние.

силу

этого

актуарная математика представляет собой серьез-

ную

строгую теорию.

России

это

направление

страховании

делает

только первые шаги.

Обеспечение

репрезентативности

выборки. Выборка

из

гене-

ральной

совокупности называется

представительной,

или

репрезен-

тативной,

если

она

позволяет судить

свойствах всей генеральной

совокупности.

Как

обеспечить представительность выборки?

Самым

простым способом, обеспечивающим репрезентатив-

ность

выборки,

является случайный

отбор

возвращением

гене-

ральную

совокупность отобранного

(и

исследованного)

элемента.

Это

можно

сделать,

организовав отбор

так,

чтобы элементы

ге-

неральной

совокупности имели равные возможности попасть

в вы-

борку.

Обеспечить

это

можно,

например,

помощью таблицы слу-

чайных

чисел.

Но в

наши

дни

чаще используются компьютерные

датчики

псевдослучайных чисел.

При

обращении

такому датчику

(обычно

помощью какого-нибудь оператора Random

аргументом

или

нет)

он

выдает

число,

«равномерно

распределенное

на

отрезке

[О,1]».

Это

означает,

что

выдаваемые датчиком последовательные

числа

равномерно

плотно»п

скрывают

отрезок

[О, 1],

т.е.

при

выдаче

датчиком

таких чисел

на

участке длины

будет

примерно

этих

чисел.

Кроме

того,

нет

видимой закономерности

последователь-

ных

числах, выдаваемых датчиком. Обычно числа, выдаваемые дат-

чиком,

имеют много знаков

после

запятой.

Предположим

теперь,

что

генеральная совокупность имеет

членов.

Их

нумеруют последовательными натуральными числами.

Пусть

расположено между

Запускают компьютерный

датчик,

получают

от

него

число

х,

берут

знаков после запятой,

получают

натуральное число

Если

то

элемент

номером

отбирают

выборку. Потом

снова

обращаются

датчику

и так до тех

пор,

пока

не

отберут нужное число

элементов

выборки.

Конечно,

чем

больше

объем

выборки,

тем

больше

у нее

шансов

быть

представительной.

Но по

многим причинам желательно иметь

выборку

как

можно меньшего объема.

Как

совместить

эти

противо-

речивые

требования?

Предположим,

что

цель исследования заключается

оценке

среднего

по

генеральной совокупности

или

математического ожида-

ния

с.в,

X. По

центральной предельной теореме можно оценить

ве-

роятность

отклонения среднего арифметического

_выборки

объе-

мом

от

математического ожидания

/и

именно Р(\Х

—

< е) -

2Ф(еУл/а^).

Если

мы

хотим

вероятностью

гарантировать,

что это

отклонение

не

превзойдет

£, то,

значит, должно быть

2Ф(еуй/о*

)

Y-

275

Обозначим

через

значение аргумента функции

Лапласа,

при

кото-

ром

она

равна

тогда получаем

&fn/a

у/2

откуда

и^о^/е

частном случае

—

когда речь

идет

числе опытов

л,

гаранти-

рующем

вероятностью

у,

что

отклонение частоты

от

вероятности

события

р не

превысит

е,

можно поступить следующим

образом.

формуле

п =

J^oJ/e

неизвестно

Однако

Р)

*А

Значит,

«J

/(4e

)

и за

необходимое число опытов

можно

взять

«J/2/(4e

Эта

формула завышает нужное число

л,

если

значительно

отклоняется

от

1/2. Если удается оценить

сверху,

то

это

может

уменьшить

число

п.

Пример

Относительно игрального кубика

появилось

подозрение,

что

грань

шестеркой тяжелее других,

силу чего вероятность

выпадения

шестерки

не

намного,

но

больше

1/6.

Какое число бросков

кубика

гаранти-

рует

вероятностью

0,9,

что

отклонение частоты

от

вероятности

выпадения

шестерки

не

превысит

0,04?

(И

тогда,

если частота отклонится

от 1/6

боль-

ше

чем на

0,04,

то это

значит,

что

кубик, наверное, неправильный.)

Решение. Используем только

что

выведенную формулу

при

0,90,

0,04.

По

таблице значений функции Лапласа находим

и^

1,64.

Далее,

очевидно,

что

вероятность выпадения шестерки

не

может слишком

сильно

отклониться

от

1/6,

пусть

1/5,

тогда

р(1

/?)

4/25

потому

(4/25)/0,001б

268.

Пример

Накануне важного референдума было решено

провести

выборочный

опрос. Примерное распределение голосов было

известно

около

20%

воздержавшихся, остальные поровну «за»

«против»,

Сколько

надо

опросить

людей,

чтобы

вероятностью

0,9

гарантировать

отклонение

числа

опрошенных

«за»

от

истинного

не

более

чем на 1% от

всего

электо-

рата?

Решение,

Введем

с.в.

Х-

+1,

- 1, О в

зависимости

от

голосования

«за»,

«против»,

«воздержался». Тогда

Р(Х~

\)=*ркр

неизвестно, хотя

и не

далеко

от

0,4,

другой стороны

0,8,

значит,

0,9.

Далее,

0,9,

0,02.

Получаем;

п *

(1,64)

•

(0,9)70,0004

6700.

Замечание,

Опрос общественного мнения

—

дело

весьма ква-

лифицированное.

Достигаемая

при

этом

точность редко

выходит

за

пределы

±4%,

так как для

увеличения точности

в два

раза

надо

оп-

росить

четыре раза больше

людей,

т.п.

ЗАДАЧИ

Приведите

примеры

применения

принципа

диверсификации

торговле,

сельском

хозяйстве

т.п.

2. В

актуарной

математике

часто

работают

не с

функцией

вы-

живания

s(x),

а с

величиной

W«),

где

довольно

большая

величина,

часто

ее

берут

равной

100000.

Объясните

смысл

величи-

ны

276

Тема

18.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

ОБРАБОТКА

ИНФОРМАЦИИ

18.1.

МНОГОМЕРНЫЕ

СЛУЧАЙНЫЕ

ВЕЛИЧИНЫ.

ФУНКЦИИ

СЛУЧАЙНЫХ

ВЕЛИЧИН

Многомерные случайные величины.

Многомерней

случайной

ве-

личиной

называется

величина,

которая

при

проведении опыта при-

нимает

качестве своего значения

не

число,

целый набор чисел,

заранее

неизвестно каких.

Эти

наборы, которые

с. в.

может

принять,

образуют

множество

ее

возможных значений. Таким образом, хотя

конкретный

набор

не

предугадаешь,

он

будет

из

множества возмож-

ных

наборов (часто

это

множество хорошо известно).

Пример

1, При

врачебном

осмотре

каждому

призывнику

записыва-

ют

в его

карточку

показатели

физического

развития

(рост, вес,

объем

легких

Е™///

ил

аНИЧИМСЯ

первыми

ДВУМЯ

показателями.

Получится

двумерная

с.в.

(Я,

W),

где Я—

рост,

W—

вес.

Впрочем,

весьма

часто

такую

двумер-

ную

с.в.

называют

также

системой

(Я,

двух

с,в.

Я,

W-

компонент

с.в.

принимающих

свои

значения

некоторым

согласованным

образом.

Как в

данном

примере

—

ведь,

как

правило,

большему

росту

соответствует

боль-

ший

вес,

наоборот.

Известна

даже

формула,

приближенно

описывающая

эту

свзь;

(кг)

Я(см)

100.

Остановимся подробнее

на

двумерных

с.в.

Как и

обычные с.в.

vr.e.

одномерные),

они

также бывают дискретные

непрерывные.

дискретных множество возможных значений

счетно,

непрерывные

устроены

более сложно.

Двумерная дискретная величина

(X,

задается таблицей

распределения,

которой перечисляются возможные значения ком-

понент

А",

/соответственно

по

горизонта-

ли

вертикали,

число

есть

вероят-

ность

Р(Х~

г«

у).

Ясно,

что

сумма всех

этих

вероятностей равна

единице.

Такая

таблица

есть

полный аналог ряда рас-

пределения

для

д.с.в.

Она

позволяет нахо-

дить

все

возможные вероятности

дву-

мерной

д.с.в.

или о

системе

двух с.в.

у\

У!

У„,

Л|

...

...•

...

А/

РП

P*j

А„

"та

Пример

Отвлечемся

от

числовой

природы

с.в.

рассмотрим

рас-

пределение

девушекп

цвету

глаз

цвету

волос.

По

цвету

волос

Блондинки

Брюнетки

По

цвету

глаз

Карие

0,06

0,36

Голубые

0,34

0,04

Зеленые

0,17

0,03

277

Смысл

чисел

таблице

понятен:

блондинки

карими

глазами

состао-

ляют

6%, с

голубыми

—

34%

т.д.

эта

таблица

дает

распределение девушек

по

цвету волос.

Для-этого

пришлось

сложить числа

каждой строке.

По

ueemv

волос

Блондинки

0,57

Брюнетки

0,43

Карие Голубые Зеленые

0,42

0,38 0,20

Карие Голубые Зеленые

6/57

34/57 17/57

Блондинки

Брюнетки

6/42 36/42

эта

таблица

дает

распределение девушек

по

цвету глаз.

Для

этого

пришлось

сложить числа

каждом столбце.

По

цвету глаз

Составим

еще

условные законы распределения.

Блондинок

по

цвету

глаз

Кареглазых

по

цвету

волос

Также

надо

действовать

общем случае. Событие

(Х- а)

есть,

очевидно, сумма событий

(Х= a,

Y-

Ь),

где Ь

пробегает

все

возмож-

ные

значения

компоненты

Y и

события

эти

попарно

несовместны.

Значит,

Р(Х=

а)

1>(ЛГ=

а,

Г=

£),

т.е.

для

нахождения этой

веро-

ятиости

надо сложить

все

вероятности

соответствующем

столбце.

Пример

Пусть

(X,

имеет следующую таблицу

распределения.

Найти законы распределения

компонент

условный закон распределения

компоненты

/при

условии,

что

У~

Найти вероятность

того,

что л

примет

значение,

меньшее

чем К

Решение, Законы распределения

компонент

(сложим

соответствующие значения

вероятностей

по

столбцам

(для

А) и

строкам

(для

Y)):

Условный

закон распределения компоненты

X при

условии,

что

У-

0 — это

набор возможных значений компоненты

вместе

условными

вероятностями

Р(Х

a/Y~

(ранее условная вероятность

обозначалась

(Y-t»(

я))-

При

вычислении этих вероятностей надо использовать фор-

мулу

для

условной вероятности:

Р(Х=

a/Y=

Р(Х=

о,

0)/ДГ

»)•

Получаем

ряд

распределения компоненты

Хпри

условии,

что У- 0:

Для

нахождения

Р(Х <

отметим

таблице пары значений

(№

которые

удовлетворяют условию

(X <

Y),

соответствующие

вероятности

сложим.

Получим;

Р(Х<,

У) = О

0,2

0,1

0,3.

278

Корреляция

независимость

с.в.

предыдущем пункте упо-

миналась

двумерная

с.в.

Е,

(Я,

(рост,

вес). Компоненты

этой

с.в.

не

ведут себя независимо

друг

от

друга,

хотя

по

значению

одной

из

этих компонент

общем нельзя предсказать значение

другой,

од-

нако,

как

правило,

большему росту соответствует больший вес,

и на-

оборот.

Такие

с.в.,

т.е.

когда

по

изменению одной можно

какой-то

мере

предугадать изменение другой, называются коррелированными

(точное

определение будет дано

далее).

Напомним,

что

с.в.

Указываются

независимыми, если

Р(Х~

а,

Г=

А)

Р(Х=*

а) •

P(Y-

b) для

любых

Таблица распределения

системы

(X,

независимых

с.в.

устроена очень просто

—

числа

таблицах

есть произведения чисел

}

P(X=

Xj)

д,

—

P(Y-

у).

Пример

4. Из

повседневной

жизни

мы

знаем,

что

среди

блондинок

кареглазых

меньше,

чем

среди

брюнеток.

Следовательно,

эти

признаки

«цвет

глаз»

«цвет

волос»

не

являются

независимыми.

Приведенная

выше

(см.

третью

по

порядку

таблицу

примере

2, п. 1)

таблица

совместного

распре-

деления

этих

признаков

составлена

учетом

этого.

самом

деле,

среди

всех

Девушек

кареглазых

0,42,

среди

блондинок

—

6/57,

что

менее

0,42.

Двумерная

непрерывная

с.в.

(X,

Y),

понимаемая также

как

система

двух

с.в.

задается

помощью двумерной плотности рас-

пределения

вероятностей

Дх,^),

вероятности находятся

при

помощи

интегрирования

плотнести

Дх,^)

по

соответствующим областям пло-

скости.

Если компоненты

независимы,

то

двумерная плотность

Равна

произведению плотностей компонент

X, К;

J(x,y)

fyx) *

//у).

С.в.

/называются

некоррелированными,

если

их

корреляцион-

ной

момент

J^=

M[(X-m

)(Y-

/н,,)]

равен

нулю,

коррелирован-

ными

противном случае.

По

свойствам математического ожидания имеем:

М[(Х-

)(Yr

-'«>•)]

M[(XY-

Y-

//уи

)]

МЩ\

^{У\

МуВД

}

М[ХУ\

т^п

Это

выражение

для

корреляционного

мо-

мента

иногда удобнее.

Некоррелированность слабее независимости,

как

утверждает

следующее

предложение.

Предложение

Независимые

с.в.

некоррелированны.

Действительно, пусть

с.в.

/независимы,

тогда

по

свойствам

математического

ожидания

(см,

п.2,

раздел

16.1)

M[XY\

т^Пу,

зна-

чит,

Л^=

ЩХУ\

-шуи^О.

Если

корреляционный момент положителен,

то

с.в.

называются

°ложительн'о

коррелированными,

если отрицателен

—

отрицательно

коррелированными.

Вместо корреляционного момента часто удобно использовать

коэффициент

корреляции

А^=

/^/(a/jj),

где

а^

средние

квад-

Ратические

отклонения

с.в.

X, Y.

279

Пример

Найдем коэффициент корреляции

А^-для

с.в.

Уиз

при-

мера

Ряды распределения компонент

уже

составлены (см.

пример

3).

По

ним

находим:

0,4,

0,64,

0,4,

0,24. Теперь

найдем

М[ХУ\.

Для

этого переберем

все

клетки таблицы,

перемножим

значения

компонент

А",

вероятности,

записанной

этой клетке,

все

эти

произ-

ведения

сложим.

Итак,

М[ХУ\

0 + 0 + 0 +

(-1)

•

0,2

+ 0 + 1 • 0,1

-0,1.

Теперь

получаем:

M[XY\

/иуд,

-0,1

-0,16

-0,26.

Окончательно

получаем:

^/(о^

)

-0,2б/Уо,б4

•

0,24

-0,66.

Оказывается,

что

коэффициент корреляции показывает

степень

линейной

функциональной зависимости между с.в.

Предложение

Пусть

Y= еХ + rf, где е,

—

константы,

тогда-коэффициент

корреляции

с.в.

/равен

единице

со

знаком

коэффициента

е.

Доказательство. Имеем;

К^

М[ХУ\

/иуи

ЩеХ

dX\

т£ет

еМ[Х

]

ет

е(ЩХ

]

/л

о^еад).

другой

стороны,

тем

самым

|eJCT

Следо-

вательно,

fc,

JKxy/tejpJ

eay|e|aj=

±1,

причем знак перед еди-

ницей

определяется знаком

е.

Верно

обратное

предложение.

Предложение

Всегда

[А;^]

< 1.

Доказательство, Рассмотрим с.в.

Z -

а^Х

Вычислим

ее

дисперсию:

D[Z\

a\D[X\

20/У,^,

<Й/)(И

ajoj-

2^/^

o-Ja

2ajo-

Sa^j^.

Но

дисперсия всегда неотрицательна, зна-

чит,

20*0*,

2а/ГуЛГ

Л)

> 0 или

a/y

К^

откуда

|А^|

ff^H,

следовательно,

(А^)

Функции случайных величин. Пусть

X —

с.в.,

ф(^)

обычная

функция, область определения которой содержит

множест-

во

возможных значений с.в.

тогда

Y-

у(Х)

есть

с.в.,

являющаяся

функцией

от

с.в.

Значения свои

она

принимает так:

проводим

опыт,

ходе

опыта с.в.

^принимает

какое-то значение

х;

зная

функ-

цию

ф,

находим

у -

(p(x)

— это у и

есть значение, принятое с.в.

Говорят

также,

что X

есть аргумент функционально

зависимой

с.в.

Y. '

Пример

Обменный пункт меняет доллары

на

рубли

по

фиксиро-

ванному

курсу

5730.

Кассирша

для

отчетности записывает выданные

клиен-

там

рублевые суммы. Поскольку

предъявляемые

обмену

долларовые

сул-

мы

^случайны,

то

случайны

записываемые

кассиршей

рублевые

суммы

'•

Однако

ясно,

что

У-

5730

Общая

проблема

здесь

как,

зная

распределение-случайного

аргумента

определить

закон

распределения

функции

У-

фи;

280

281

него.

Когда

X—

д.с.в.,

это

обычно

не

трудно

— см.

задачу

7 из

3-го

4-го

вариантов

контрольной

работы

№ 5

приложения

Когда

же

X—

н.с.в.,

это

сложнее.

Ограничимся

следующей

теоремой,

доказы-

вать

которую

не

будем.

Те о р е м а.

Пусть

X —

н.с.в.

плотностью

распределения

Дх),

Ф(х)

—

монотонная

дифференцируемая

функция,

тогда

плотность

распределения

с.в.

Г=(р(А)-есть

в(у)=ЛуШуШ

Здесь

цг(у)

—

функция,

обратная

<р.

Пример

Пусть

ЛГ

показательно распределена

параметром

Г-

сХ,

где с —

константа. Покажем,

что

Ктакже

показательно распределена.

прих<0,

данном случае плотность

есть

/(х)

—

-**

прих>0,

функция

<р(х)

есть

сх,

значит, обратная функция

у(у)

у/с и

у'ОО

1/с.

[О

прил<0,

Подставляя

формулу (1), получаем:

g(y)

ф/ф-вйх

приу>0,

это и

есть плотность показательного распределения.

Более

частная

задача

—

определение

математического

ожида-

ния

с.в.,

являющейся

функцией

от

другой

с.в.,

решается

сравнитель-

но

просто.

Предложение

Пусть

ф(А),

тогда

ЩУ\

ЕФ(^М'

если

+00

с.в.

^дискретна

ЩУ\

y(x)J(x)dx,

если

с.в.

А"

непрерывна

и ее

~оо

плотность

естьЛ*)-

Пример

8. За

каждый процент

перевыполнения

плана полагается

премия

руб.,

а за

каждый процент

недовыполнения

заработок уменьша-

ется

на

30руб.,

но не

более

чем на

100руб.

Найти ожидаемый размер пре-

мии,

если прогноз выполнения плана таков:

96 97 98 99 100 101

102

103 104 ПО

0,01

0,02 0,03

0,2

0,1

0,08

0,04

97 98 99 100 101 102 103 104

0,01

0,02

0,03

0,2 0,2 0,2 0,1 0,1

0,08

0,04

-100

-90

-60

-30 0 50 100 150 200 500

Каков

ожидаемый размер

премии,

если известно,

что

план

выпо

Решение. Найдем ожидаемый размер

премии.

Размер

премии

/есть

ФУНКЦИЯ

от

процента выполнения плана.

прогнозу выполнения плана

пристраиваем

снизу

еще

строку значений

(а

руб.):