Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

денные

выше математические ожидания

дисперсии,

вычислив

их

помощью

производящих функций.

16.2.

ПРИНЯТИЕ

РЕШЕНИЙ

УСЛОВИЯХ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Матрицы последствий

рисков.

Руководитель, менеджер,

обя-

зан

разрешать проблемы, встающие перед ним, перед

коллективом,

которым

он

руководит.

Он

обязан принимать решения.

теории

принятия

решений

есть

специальный термин:

ЛПР —

лицо,

прини-

мающее решения.

этом

разделе

будем использовать этот

термин.

Принять

решение

— это

решить некоторую

экстремальную

за-

дачу,

т.е.

найти экстремум некоторой функции, которую

называют

целевой,

при

некоторых ограничениях. Например, линейное

програм-

мирование,

которое было рассмотрено

разделе

3.1,

представляет

целый

класс таких экстремальных задач. Методы теории

вероятнос-

тей и

математической статистики помогают принимать

решения

условиях

неопределенности.

Не

все

случайное можно «измерить» вероятностью.

Неопреде-

ленность

более широкое понятие. Неопределенность того,

какой

цифрой

вверх ляжет игральный кубик, отличается

от

неопределенно-

сти

того, каково будет состояние российской экономики через

лет.

Кратко

говоря, уникальные единичные случайные явления

связаны

неопределенностью, массовые случайные

явления

обязательно

до-

пускают

некоторые закономерности вероятностного

характера.

Предположим,

что ЛПР

рассматривает несколько

возможных

решений

...,

т.

Ситуация неопределённа, понятно

лишь,

чт

наличествует

какой-то

из

вариантов/-

1,...,

п.

Если

дет

"Р£

t-й

решение,

ситуация

есть/-я,

то

фирма, возглавляемая

ЛПР,

лучит

доход

Матрица

(q,)

называется матрицей

n^&wnw

(возможныхрешений).

Какое

же

решение нужно принять ЛПР.

ситуации

полной неопределенности могут быть высказаны

ли

некоторые

рекомендации предварительного характера.

Они

не

зательно

будут

приняты ЛПР. Многое будет зависеть,

например,

его

склонности

риску.

Но как

оценить риск

данной схеме.

Допустим,

мы

хотим оценить риск, который несет

*-е

реши.•

Нам

неизвестна реальная ситуация.

Но

если

бы ее

знали,

то

ВЫ

°Р

бы

наилучшее

решение,

т.е.

приносящее наибольший доход.

говоря,

если ситуация

естьу'-я,

то

было

бы

принято решение,

да

доход

max

Значит,

принимая

*-е

решение,

мы

рискуем

по

лучить

не

только

д..,

значит,

принятие

/-го

ешен

JjS

риск

недобрать

- 4 - V

Мат

ица

называется

рисков.

242

243

Пример

Пусть

матрица

последствий

есть

Соста-

вим

матрицу

рисков.

Имеем

<?,

тахд

12.

Следо-

вательно,

матрица

рисков

есть

Заметим

для

дальнейшего,

что

здесь

мы в

первый

раз

встрети-

лись

количественной оценкой риска. Несомненно,

что

риск

—

одна

из

важнейших

категорий предпринимательской деятельности,

неотъ-

емлемая

черта этой

деятельности.

Как

известно, предприниматели

живут

среднем лучше,

чем

остальная часть человечества.

Это на-

града

им за

риск

один несчастный день оказаться разоренными.

Риск

—

понятие многогранное,

и мы еще не раз

встретимся

с ним

далее.

Принятие

решений

условиях

полной

неопределенности.

Неко-

торым

ориентиром могут служить следующие правила-рекоменда-

ции.

Правило

Вальда

(правило крайнего пессимизма). Рассмат-

ривая

1-е

решение, будем полагать,

что на

самом

деле

ситуация скла-

дывается

самая плохая, т.е. приносящая самый малый

доход

min

Но

теперь

уж

выберем решение

наибольшим

lt)

Итак,

правило

Вальда рекомендует принять решение

такое

что

/о

max

(min

Так,

вышеуказанном

примере имеем;

ктп

иг

з~

°4

Теперь

из

чисел

находим

максимальное.

Это - 3.

Значит, правило Вальда рекомендует при-

нять

3-е

решение.

ра

вило

Сэви

джа

(правило минимального риска).

При

Рименении

этого правила анализируется матрица рисков

(г

/у

осматривая

1-е

решение, будем

полагать,

что на

самом

деле

скла-

дывается

ситуация максимального риска

max

г.,

Но

теперь

уж

выберем

решение

наименьшим

Итак, правило

Совиджа

реко-

мендует

принять решение

такое,

что

min

(max

r,),

'"/'//'

Так,

вышеуказанном примере имеем:

— 8,

- б,

- 5,

Теперь

из

чисел

б,

находим минимальное.

Это 5.

Значит,

пра-

вило

Вальда

рекомендует принять

3-е

решение.

Правило

Гурийца

(взвешивающее пессимистический

и оп-

тимистический

подходы

ситуации). Принимается решение

на

кото-

ром

достигается максимум

min

д.

—

X) max

д..},

где 0 <

< 1.

Значение

выбирается

из

субъективных соображений.

Если

при-

ближается

единице,

то

правило

Гурвица

приближается

правилу

Вальда,

при

приближении

X к

нулю правило

ЗДвица

приближается

правилу

«розового

оптимизма» (догадайтесь сами,

что это

значит).

вышеуказанном примере

при X

™

1/2

.правило

Гурвица

рекомендует

2-е

решение.

Принятие решений

условиях частичной

неопределенности,

Предположим,

что в

рассматриваемой схеме известны

вероятности^

того,

что

реальная ситуация развивается

по

варианту/

Именно

такое

положение

называется частичной

неопределенностью.

Как

здесь

при-

нимать

решение? Можно выбрать одно

из

следующих правил.

Правило

максимизации

среднего

ожидаемого

до-

хода.

Доход,

получаемый фирмой

при

реализации

/-го

решения,

является

случайной величиной

{

рядом

распределения

j-'"

Ш'

Математическое

ожидание

A/[Q,]

есть

средний-ожидаемый

доход,

обозначаемый

также

Итак,'

правило рекомендует

принять

реше-

ние,

приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

Предположим,

что в

схеме

из_

предыдущего

пункта

jsepoflTHOCfl

такие:

(1/2,

1/6,

1/6). Тогда

29/6,

25/6,

17/6.

Максимальный средний ожидаемый

доход

равен

соответ-

ствует 3-му решению.

Правило

минимизации

среднего

ожидаемого

ри<:-

ка.

Риск фирмы

при

реализации

/-го

решения является

случаян

величиной

с.рядом

распределения

-£-

Математическое

ожи-

г\

дание

ЩЯ}

есть средний ожидаемый риск,

обозначаемый

также

Правило

рекомендует принять решение, влекущее

минимальн

средний

ожидаемый

риск.

В6

„

Вычислим

средние ожидаемые риски

при

ка

аннь1Х

ь1

г;

|И

роятностях, Получаем

Л,

20/6,

7/6,

32/6.

мин»

244

малыши

средний ожидаемый риск равен 7/6, соответствует 3-му

ре-

шению.

Иногда

условиях полной неопределенности применяют следу-

ющее

правило.

Правило

Лапласа,

равновозможности,

когда

все

веро-

ятности

считают равными. После этого можно выбрать какое-ни-

будь

из

двух приведенных выше правил-рекомендаций принятия

ре-

шений.

Риск

как

среднее

квадратическое

отклонение.

Еще

одно

пони-

мание

риска. Рассмотрим какую-нибудь операцию,

доход

которой

есть

с.в.

Как уже

указывалось,

средний ожидаемый доход

— это

математическое

ожидание

с.в.'

А вот

среднее квадратическое

от-

клонение

— это

мера разбросанности возможных значе-

ний

дохода вокруг среднего

ожидаемого

дохода,

что

вполне можно

считать

мерой риска.

Напомним,

что

D[Q]

M[(Q

т/\.

Найдем риски

(в их

новом определении)

г,

доходов

приме-

ре

I с

вероятностями

из п. 3.

Ряды

распределения,

средние ожидаемые доходы

новые

риски:

29/6

4,81,

./-,

«1,77.

25/6

4,16,

«3,57.

-7,

«2,30.

-17/6

«2,81,

г,

«2,54.

Нанесем

средние ожидаемые

доходы

РИСКИ

на

плоскость

доход

отклады-

ваем

по

горизонтали,

риски

- по

ВерТИКа-

ЛИ

(СМ.

РИСУНОК);

Получили

четы

точки.

Чем

'правее

чем

д>

тем

более

Д°

°дная

операция,

см

точка выше

- тем

более

она

рисковая,

начит,

нужно выбирать точку правее

если

КЭ

Ч'

Д°

мини

РУет

точку

(q,

r),

q и

г'

< л В

нашем случае

1-я

операция доминирует 2-го,

нёсп

МИНИРует

Д°

мини

РУет

4-ю.

Но

1-я

и 3-я

операции

Равнимы

—

доходность

3-й

больше,

но и

риск

се

тоже больше.

245

Точка,

не

доминируемая никакой другой) называется

оптималь-

ной

по

Парето,

множество всех таких точек называется

лшожест-

вом

оптимальности

по

Парето,

Легко

видеть,

что

если

из

рассмот-

ренных

операций надо выбрать лучшую,

то ее

обязательно

надо

вы-

брать

из

операций,

оптимальных

по

Парето.

Для

нахождения

лучшей операции иногда применяют

подходя-

щую

взвешивающую

формулу, которая

для пар

(д,

г)

дает одно

число,

по

которому

определяют лучшую операцию (см. далее

задачу

3).

Байесовский подход

принятию

решений. Рассмотрим

пример.

Пример

Экспериментатор показал

два

совершенно

одинаковых

на

вид

мешочка

сказал,

что в

одном

80%

белых фасолин

1Л%

коричне-

вых

(назовем

этот

мешочек белым),

а в

другом

— 80%

коричневых

фасолин

20%

белых

(этот

назовем коричневым). Затем

он

унес

оба

мешочка,

потом

вернулся

одним

предложил угадать, какой

это

мешочек. Если

угадаете,

получите

дол.,

не

угадаете

—

ничего

не

получите. Разумеется,

надо

участ-

вовать

этой игре. Легко

видеть,

что ваш

выигрыш

случаен

и ряд

распре-

деления

таков:

гг

ТГ

• При

этом средний выигрыш

расчете

на

одну

игру

равен

Ы\У\

(10

-1/2

дол.

Через некоторое время

эксперимен-

татор усложнил игру.

Он

предложил

вам

вытащить одну

фасолину,

увидет

ее

цвет

после этого сказать, какой мешочек.

Но за это он

попросил

упла-

тить

предварительно

дол.

Будете

ли вы

платить?

Попробуем

просчитать,

надо

ли

платить. Теперь

мы уже

не

будем

угад

говорить, какой мешочек перед нами,

скажем,

что

перед

нами

меш

чек

цвета вытащенной фасолины

(это

называется

«решающее

авиЛ01>

„

кова

вероятность угадывания? Ясно,

что эта

вероятность равна

ве

Р°

™°

вытащить

из

мешочка фасолину того

же

цвета.

Но

последняя

верой

та:

равна,

очевидно,

0,8.

Она

стала больше! Теперь средний ожидаемый

вы»

рыш

стал

дол.

Вывод

—

платить

дол.

стбит.

этом примере

—

суть байесовского подхода

принятию

реше-

ний

на

Предположим, предприниматель раздумывает

над

выб

Р°

°?

лИ

рынок

нового перспективного

товара.

Но он не

знает,

<<пойд

„

товар.

Для

уточнения ситуации

он

производит пробную

парти

смотрит,

как она

раскупается. После

этого

ситуация

становит

лее

определенной,

более

прогнозируемой.

Для

уточнения

этой

ации

можно выпустить

еще

одну

.пробную

партию

проанали

вать

какие-нибудь другие моменты.

npJJ

обыденной жизни

мы

очень

часто

прибегаем

таки

„

емам.

Например, собираясь

в лес на

прогулку,

слушаем

прогн

годы

или

просто выглядываем

окно.

«боазом*

общем, байесовский подход выглядит

следующим

дан

Предположим,

мы

имеем вероятностный прогноз

ситудд

246

P(S

=_/>,.

Имея

такой

прогноз,

можно

^найти

средний ожидае-

мый

доход

или

средний ожидаемый риск

Я и

т.д. Рассмотрим воз-

можность

проведения пробной

операции,

которая уточнит распреде-

ление

вероятностей

(р).

Новое распределение вероятностей есть

(р\},

Новому

распределению

вероятностей^

соответствуют новые

характе-

ристики:

средний ожидаемый доход

Q',

средний ожидаемый риск

т.д. Если

ЛПР

решит,

что при

таком

уточнении пробная

операция

оправдывается

(Например,

если увеличение среднего ожидаемого

до-

хода

превышает затраты

на

проведение пробной

операции),,то

он ее

проводит.

Новое распределение вероятностей

{р'}

обычно находят

по

формулам

Байеса.

ЗАДАЧИ

Страхование результатов финансовых операций. Банк выдал

кредит

млн на год под

залог жилого

дома

под 8%

годовых (сам

дом

был

оценен именно

в 10

млн).

Для

уменьшения риска банк приобрел

страховой

полис

на А

руб.

на

этот

дом, заплатив

Ъ%

от

страховой

суммы.

страховой компании вероятность сгореть дому такого типа

за

год

оценивают

0,01

(в

этом случае заемщик

не

вернет банку

ни-

чего).

Составить ряды распределения

дохода

банка

/ для А - 5; 10;

млн и

найти средние доходы банка.

Решение.

Ясно,

что

-0,ОЗЛ

где

с.в.

имеет следующий

РЯД

распределения:

Не

сгорит

Дом

сгорим

Следовательно, средний ожидаемый

доход

Щ1\

-0,ОЗЛ

Лад=-0,02Л

б92000.

91»

-;.

рассмотрите

матрицу последствий

463.

Составьте матри-

«У

рисков. Какие решения рекомендуют правила

Вальда,

Сэвиджа,

Урвица

при К

1/4? Пусть распределение вероятностей состояний

°ть

(1/4,

1/4,

1/2). Найдите решение, максимизирующее средний

жидаемый

доход,

минимизирующее средний ожидаемый риск.

/я

1Т

операция

смест

ила

распределение вероятностей. Теперь

оно

U/o,

1/8, 3/4).

При

какой

стоимости

пробной операции

ее

проведе-

до

1есооб

азно

(

качестве критерия взять средний ожидаемый

247

Рассмотрите

три

различных операции

со

случайным

доходом.

Вычислите

для

всех операций

ожидаемый

доход

среднее

квадратическое

отклонением

Нанесите

эти

характеристики

на

единый

рису-

нок, получив графическое изображение опе-

раций.

помощью взвешивающей

формулы

£(Q,

IQQ

найдите

лучшую

худшую

операции.

16.3.

НЕПРЕРЫВНЫЕ

СЛУЧАЙНЫЕ

ВЕЛИЧИНЫ

И ИХ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Определение

непрерывной

случайной величины.

Для

дискрет-

ной

с.в.

множество возможных значений

счетно,

благодаря

чему

можно

описать такую с.в. рядом

распределения,

т.е. набором

вероят-

ностей

{Р(У=

х)},

где х

пробегает множество возможных

значений.

Рднако

существуют (хотя

бы в

теоретическом плане)

с.в.,

ко-

торых

множество значений

не

является счетным, более того,

запол-

няет

некоторый сплошной промежуток. Такие с.в. невозможно

опи-

сать

рядом распределения

приходится

для их

описания

использо-

вать

другие способы.

Вместо

вероятностей

P(V~x)

—

вероятностей

принятия

отдельных значений

—

приходится использовать

вероят-

ности

P(V<

х),

где х

есть

произвольное число.

Так

возникает

функ-

ция

F(x)

х),

определенная

на

множестве

всех

чисел,

зна-

чение

.этой

функции

точке

есть

вероятность

P(V<

х).

Функция

F(x)

называется функцией

распределения

с.в.

V, Она

полностью

опре-

деляет

К, в

частности,

с ее

помощью можно находить любые

интере-

сующие

нас

вероятности.

Например,

прямо

по

определению

этой

функции

имеем:

P(V<

F(b),

Так как

события

(а

(V<

взаимно

дополнительны,

то

Р(а

1 -

P(V<

а)

Дл)).

ТаК

как

(V<

(У<

а}

'и

(а

У<

Ь)

и два

последних события

несовме-

стны,

то

Р(а

F(b)

До))

т.д.

Пример

Рассмотрим

с.в.

имеющую

функцию

распределения

прих<0,

[

1-е~^

прия>0.

С,в.

УК

этом

случае

называется

пока-

зательно

распределенной

параметром

(рис.

1).

Найдем

некоторые

вероятности-

соответствии

общими

формулам^

(см.

п. 1)

имеем:

Р(Ь

1 -

№<$

е-Ч

)

Р(а

У<

/>)

= ОД

ад

гз

Q-^"

—

e~^*.

248

Свойства

функции

распределения. Пусть

F(x)

—

функция рас-

пределения

с.в,

Функция распределения

есть

неубывающая функция своего

аргумента,

т.е.

Дд)

Дй),

если

Ь.

Действительно,

Дд)

P(V<

a) <

P(V<

F(b),

ибо

событие

(V<

а)

есть часть события

(V<

Ь).

Функция

Дх)

непрерывна слева

любой точке.

Докажем,

например,

что

F(b)

= lim

Дх).

Пусть

{а}

— ка-

x-4i-0

кая-то

последовательность,

стремящаяся

слева, тогда

(К<

Ь)

и{(К<

Л'}.

По

счетной аддитивности вероятности (см.

п. 2,

раздел

15.2) получим

ДА)

ДК<

А)

= lim

P(V<

lim

Дй„).

Так

Я-»

со

Д->

°°

как

это

справедливо

для

любой последовательности чисел

{ej,

стре-

мящейся

слева,

то

функция

F(x)

непрерывна слева

точке

Ь.

Примерно

так же

доказываются

два

следующих свойства,

Д-оо)

Ит

)

П->

°о

Доо)=

)

Н->

оо

Докажем

важное предложение.

Предложение

Если функция распределения непрерывна

точке

с, то

P(V-

с) = 0.

Следовательно,

если функция распределе-

ния

непрерывна,

то

с.в. каждое

свое

отдельное значение

принимает

нулевой

вероятностью.

Доказательство.

По

непрерывности функции

F(x)

имеем;

Д'ж^

Так

как

Р(

с)

Р(а

Л)

а)

любых

с и

> с, то

P(V=

с)

Ит

Дх)

До)

= 0.

x-*n-t-0

Пример

Рассмотрим

с.в.

имеющую

функцию

распределения

при*<я,

)

•

(х

л)/(А

- а)

при

a-<

/»,

прид:>6.

С.в.

называется

равномерно

распре-

«мадии

на

отрезке

[я,

и]

(рис.

2).

Почему

"а

так

называется?

Для

ответа

покажем,

^числить

вероятности

для

этой

с.в.

ност^ш

Как

ФУ

НКЦИЯ

распределения

F(x)

непрерывна,

то

любая

вероят-

Ptfisfi

Vra

)

равна

ЛЮ

Значит,

любые

вероятности

Р(с

У <

а)>

wSV^d),

<V<d)

P(c<Y<(f)

одинаковы.

249

Найдем

Р(с

<V<d),c<d.

Если

< а или b <

с,

то

Дд)

ОД.

значит,

Р(с

<V<d)

Пусть теперь

c<a<d<b,

тогда

Дс

<V<d)

F(d)-

До)

- (d —

a)/(b

и).

итоге

можно

сделать

следующий вывод.

Вывод.

Вероятность

того,

что

с.в. /примет

значение

из

отрезка

[с,

равна

доле,

которую занимает отрезок

[с,

отрезке

[а,

Ь], Это

правило

можно также выразить по-другому

—

указанная вероятность

пропорцио-

нальна

длине отрезка пересечения

[с, d]

[а,

Ь},

Проиллюстрируем

на

числовом примере. Пусть

с.в.

Кравномерно

рас-

пределена

на

отрезке

[0,

100].

Найдем

вероятности

ДО < V<

60),

Д20

У<

80),

Д-10

У<

70),

ДО < V<

120),

Д120

< V<

160),

ДК=

5).

Используем

только

что

сформулированный вывод

получим:

ДО

У<

60) в

60/100

6/10,

Д20

К<

80) =

60/100

6/10,

Д-10

К<

70)

7/10,

ДО <

К<

120)

= 1,

Д120

< V<

160)

Последняя

вероят-

ность,

т.е.

ДК=

5),

равна нулю.

Функция распределения существует

для

любой

с,в.

Для

д.с.в.

функция

распределения

устроена особенно просто.

Ограничимся

рассказом

построении графика такой функции распределения.

Пусть

—

д.с.в.

F(x)

— ее

функция распределения.

Пусть

P(W~

р.

Легко

видеть,

что

F(x)

/>/.

Отсюда

видно,

что

при

<Х

переходе через

функция

F(x)

подскакивает вверх

на

р,.

Между

двумя

соседними возможными значениями

она

постоянна.

Пример

Построимгр

иК

функции

распределения

для

случай-

ного

числа очков

выпавших

на

верхней грани игрального

кубика

при

его

бросании.

С.в.

имеет следующий

ряд

распределения:

|1Щ^

Соответствующий график функции распределения

приведен

на

рис.

Непрерывные

случайные

величины

и их

свойства. С.в.

Кназы-

вается

непрерывной,

если

существует

такая неотрицательная

функция

Лх),

что

Р(а

V<b)=

)f(x)dx

для

любых

а <

Ь.

Функция

Дх)

называется плотностью вероятности с.в.

Заметим

сразу

же,

что

поскольку

Р(—<»

У<

°°)

Jf(x)dx

I. Это

свойство плотности

и ее

неотрицательность

явля-

—оо

250

ются

характерными,

т.е.

неотрицательная

функция,

интеграл

от ко-

торой

по

всей числовой прямой равен единице, может быть объявле-

на

плотностью вероятности некоторой с,в.

Заметим,

что

интеграл имеет бесконечные пределы, т.е.

он не-

собственный

(о

таких интегралах

см. п.

раздел

ИЛ).

Плотность

вероятности

представляет удобный инструмент

для

нахождения

различных

вероятностей.

Она же

позволяет найти функ-

цию

распределения.

самом

деле,

имеем:

Д/>)

P(V

Ь).

Но по-

следняя

вероятность,

по

определению, равна

f(x)dx.

Итак,

верно

—со

следующее

предложение.

Предложение

Функция распределения находится интег-

рированием

плотности:

Щ)

= }

/(x)dx

—оо

Из

определения плотности

вытекает,

что она

интегрируема

на

всей

числовой прямой

потому функция распределения непрерыв-

на

также

на

всей числовой прямой (см.

п. 5,

раздел 10.2). Итак, вер-

но

следующее предложение.

Предложение

Функция распределения

н.с.в.

непрерывна

всюду.

Отсюда

на

основании предложения

получаем следующее пред-

ложение.

Предложение

Н.с.в.

каждое свое отдельное значение при-

нимает

нулевой вероятностью.

Итак,

и.с.в.

каждое свое отдельное значение принимает

нуле-

вой

вероятностью.

этом

их

коренное отличие

от

д.с.в.

Отсюда

вытекает,

частности,

что для

н.с.в.

Кимеем:

Р(а

^У}~

*Р(а<

v),

Р(а

< V <

Ь)

'Р(а

К<

Ь)

т.д. Этим будем пользоваться

Дальнейшем.

Откуда

взялось название «плотность вероятности»?

Рассмотрим небольшой промежуток

[х, х

Ах]. Вероятность

того,

что

примет

значение

из

этого промежутка, равна

Р(х <

У<

х +

Ах)

F(x

Дх)

F(x).

Рассмотрим отношение

этой

вероятности

Длине

промежутка,

т.е. среднюю

вероятность,

приходящуюся

на

еди-

НИ

ДУ

длины,

устремим

Дх

нулю.

пределе получим производную

°т

функции

распределения;

Нт

№

-Ь

Дх)

Дх))/Дх

^'(^)-

Дх-*0

251