Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

Приложение

КОНТРОЛЬНАЯ

РАБОТА

№ 5

(к

темам

15, 16)

работе приведены вариант

№

указаниями

решениями

еще

подобные варианты

№

2—5

для

самостоятельного решения.

Внимание!

Вычисления вести либо

обыкновенных

дробях,

либо

точностью

до

1-го знака после запятой.

ТЕКСТ

ЗАДАНИЯ ВАРИАНТА

№ 1

Вариант

№ 1

Задание

Вычислите

С*,

Р^,

Задание

II.

Дано:

Р(А

В) =

0,6;

Р(А

Б) =

0,3;

PgA

0,6.

Найти

Р(А),

Р(В),

выяснить,

зависимы

ли

события

Л,

В.

Задание

III.

цехе работают восемь мужчин

и три

женщины.

По

табельным номерам наугад отобраны семь человек. Найти веро-

ятность

тога,

что

среди отобранных:

а)

только

две

женщины;

б)

есть

хотя

бы

одна женщина.

Задание

IV.

Груз

может быть отправлен заказчику самолетом,

поездом

или

автомобилем.

Все эти

варианты

равновозможны.

Веро-

ятность доставки груза

намеченному сроку равна соответственно

0,99; 0,98

0,90.

Какова вероятность доставки груза

намеченному

сроку?

Задание

Покупатель, зашедший

секцию сувениров, делает

покупку

вероятностью 1/4. Найти вероятность того,

что из

четырех

покупателей:

а)

сделает

покупку хотя

бы

один;

б)

сделают

покупки

ровно

два.

Задание

VI.

Владельцы кредитных карточек ценят

их и

теряют

весьма

редко. Пусть вероятность потерять

течение недели кредит-

ную

карточку

для

произвольного владельца равна

0,001.

Всего

банк

выдал

карточки 2000 клиентам. Найти вероятность

того,

что в

пред-

стоящую неделю будет потеряна:

а)

хотя

бы

одна;

б)

ровно одна кре-

дитная

карточка. Найти

наивероятнейшее

число карточек,

теряемых

за

неделю.

сколько

среднем теряется карточек

за

месяц.

-1 0 1

|б|.

Задание

VII.

Для

д.с.в.

Хс

рядом

распределения

—

•

а)

найти

вероятности

Р(Х < 3),

ДО

< X < 5),

332

Р(Х>

0),

Р(Х<

5),

x>0

(X=

6); б)

вычислить математическое ожида-

ние

дисперсию;

в)

построить график функции распределения.

Задание

VIII.

На

200-км

газопроводе между компрессорными

станциями

А и В

происходит утечка газа. Утечка равновозможна

любой точке газопровода. Найти вероятность

того,

что она

располо-

жена:

а) не

20 км от

какой-нибудь

из

компрессорных станций

А,

В\

б)

ближе

Л,

чем к В.

Задание

IX.

Рассмотрим несколько различных операций

(Q,,

)

со

случайным

доходом.

Вычислить

для

всех

операций ожидаемый

доход

СКО

Нанести

эти

характеристики

на

единый рисунок, получив

графическое изображение операций.

помощью

взвешивающей формулы

£(Q,

г)

—

/-найти

лучшую

худшую операции.

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТУ

№ 1

Задание

I. См.

формулы

из п. 4

раздела

15.1

(56,

360,

28,

35, 24,

720).

Задание

П.

См.

задачу

1 из

раздела 15.2 (0,4;

0,5;

3/4; зависимы).

Задание

III. Применить классическую формулу нахождения

ве-

роятностей,

см.

задачу

3 из

раздела

15'Л

(28/55;

161/165).

Задание

IV.

Применить формулу полной вероятности (или фор-

мулу

Байеса),

см.

пример

1 из

раздела 15.3

(0,956).

Задание

У.'Применить

формулу Бернулли,

см.

пример

3 из

раз-

Дела

15.3

(175/256,

27/128).

Задание

VI.

Применить метод приближения биномиального

за-

кона

пуассоновским (или какой-нибудь канонический дискретный

закон

распределения),

см.

пример

8 из

раздела 16.1 (6/7, 2/7,

2, 8).

Задание VII.

См. п. 3

раздела 16,1 (0,3; 0,1; 0,8;

0,3;

7/8;

ЩХ\

4,2;

D[X\

7,7).

График

функции распределения представлен

на

рис.

Задание

VIII.

Применить

равномерный (или

показательный).за-

кон,

см. пп. 5, б

раздела 16.3 (1/5; 1/2).

Задание

IX. См. п. 3

раздела

16.2

(для

- 8;

8,7;

для

- 6;

12,8;

для

- 7;

12,7;

лучшая операция

Q,,

худшая

333

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ

ВАРИАНТЫ

Вариант

№ 2

Задание

Вычислите

Af,

Задание

П.

Дано:

Р(А)

0,8;

Р(Л

Б)

0,5;

Р^А

0,8.

Найти

Р(А),

Р(А

В),

выяснить, зависимы

ли

события

А, В.

Задание III.

урне

три

белых,

три

красных

и три

черных

шара.

Берем

сразу

три

шара. Найдите вероятность того, что:

а) они все

одинакового цвета;

б)

среди них. только один

шар

белый.

Задание

IV.

Успешно написали контрольную

30%

студентов.

Ве-

роятность

правильно решить задачу

на

экзамене

для

студента,

ус-

пешно

написавшего контрольную, равна

0,8,

для

остальных

—

0,4.

Студент

не

решил задачу

на

экзамене.

Какова вероятность

того,

что

он

плохо написал контрольную?

Задание

Вероятность

того,

что

лампа останется исправной

после 2000

работы равна 0,2. Найдите вероятность того,

что из

пяти

ламп

после 2000

работы останутся исправными:

а)

ровно

две

лам-

пы;

б) не

менее одной.

Задание

VI.

Станок-автомат

штампует детали. Вероятность

того,

что

деталь будет отштампована

браком, равна 0,01. Найдите веро-

ятность

того,

что

среди

200 of

штампованных

деталей будет;

а)

ровно

одна

бракованная;

б)

хотя

бы

одна бракованная. Каково наивероят-

нейшее

число бракованных

деталей

среди этих 200?

Задание

VII,

Для

д.с.в.

Л"

данным

ря-

дом

распределения:

а)

найти

вероятности

334

335

Р(Х>

0),

'Р(Х<

20),

/>(-!

< Х<

10),

Р(Х=

3),

Х>

,(Х~

2); б)

вычислите

математическое

ожидание

и"

дисперсию;

в)

постройте

график функ-

ции

распределения.

Задание

VIH.

На

лесопилке

при

распиловке хлыстов

качестве

отходов получаются остатки размером

до 1 м и в

этих пределах длина

остатка

равновозможна.

Найдите

вероятность

того,

что при

распи-

ловке

очередного хлыста получится остаток:

а) не

менее

50 см;

б)

более

70 см.

Задание

IX.

Рассмотрим несколько различных операций

)

со

случайным доходом. Вычислите

для

всех

операций

ожидаемый

доход

СКО

г.

Нанесите

эти

характеристики

на

единый

рисунок,

получив

графическое изображение операций.

помощью

взвешивающей

формулы

Е(

г)

-г

най-

дите

лучшую

худшую операции.

Вариант

№ 3

Задание

Вычислите

Д,

Задание

П.

Дано

Р(А

В) -

0,6;

Р(А

В)

0,3;

P^i

0,6.

Найдите

Р(А),

Р(В),

выясните,

зависимы

ли

события

Л, В.

Задание

III.

На

вечеринке

за

круглым столом рассаживаются

случайным

образом

человек. Найдите вероятность того,

что два

конкретных

человека

окажутся сидящими:

а)

рядом;

б)

через

одного

человека.

Задание

IV.

Характеристика материала, взятого

для

изготовле-

ния

продукции,

вероятностями

0,1; 0,2;

0,2;

0,3

может

нахо-

диться

пяти различных интервалах.

зависимости

от

этой характе-

ристики

вероятность получения первосортной продукции равна

0,6;

0,8; 0,8; 0,7; 0,9. Найдите вероятность получения первосортной про-

дукции,

Задание

Вероятность

того,

что

магнитофон потребует ремон-

та

во

время

гарантийного

срока,

равна

0,2. Найдите

вероятность

того,

что

из

четырех магнитофонов

во

время гарантийного срока потребу-

ют

ремонта:

а)

только

один;

б) не

менее

двух.

Задание

VI.

Завод

отправил

на

базу

500

изделий.

Вероятность

повреждения

изделия

пути равна

0,002.

Найдите вероятность

того,

336

что

пути будет повреждено:

а)

хотя

бы

одно изделие;

б)

менее

двух

изделий.

Каково

наивероятнейшее

число

поврежденных

изделий?

Задание

VII.

Для

д.с.в.

X с

данным

ря-

дом

распределения:

а)

составьте ряды рас-

пределения с.в.

Y-

2Хи

2"=

;

б)

вычислите

математическое

ожи-

дание

дисперсию с.в.

X; в)

постройте график

функции-распределе-

ния

с.в.

Задание

VIII.

дачном поселке иногда отключают электричест-

во

на

случайное время, распределенное

по

показательному

закону,

среднем

на 3 ч. На

этот

раз

электричества

уже нет 2 ч.

Какова

веро-

ятность

того,

что:

а) его

дадут

ближайшие полчаса;

б) его еще час

не

дадут.

Задание

IX.

Рассмотрим несколько различных операций

(0,,

)

со

случайным доходом. Вычислите

для

всех

операций

ожидаемый

доход

СКО

Нанесите

эти

характеристики

на

единый рисунок,

получив

графическое изображение операций.

помощью

взвешивающей формулы

E(Q>

г)

най-

дите

лучшую

худшую

операции.

Вариант

№ 4

Задание

Вычислите

А^

С/,

С*,

Задание

II.

Дано:

Р(А

В)

0,4;

Р^

2/3;

3/4.

Найдите

Р(А),

Р(Щ,

Р(Л и В) и

выясните, зависимы

ли

события

А, В,

Задание

III.

Пять машин случайным образом выстраиваются

колонну.

Найдите вероятность

того,

что две

конкретные

машины

ока-

жутся:

а)

рядом;

б) в

начале колонны.

Задание

IV. В

тире имеется

пять ружей,

вероятности

попадания

из

которых

равны соответственно

0,5; 0,6; 0,7;

0,8

0,9.

Найдите

вероятность попадания

при

одном выстреле, если стреляющий

oepci

одно

из

ружей наугад.

Задание

семье четыре ребенка.

Считая,

что

вероятность

рож-

дения

мальчика равна

0,5,

найдите вероятность того,

что

среди[

эти

детей:

а)

есть хотя

бы

один мальчик;

б) не

менее двух мальчиков.

Задание

VI.

Вероятность

того,

что

абонент

позвонит

да АТС в

течение

часа,

одинакова

для

всех абонентов

равна

0,01.

АЮ

ои

—4

0,1

-I

0,2

0,1

0,4

0,1

живает

200

абонентов. Найдите вероятность

того,

что в

течение часа

на

АТС

последует;

а) не

менее

двух звонков;

б)

хотя

бы

один звонок.

Каково

наивероятнейшее

число звонков

на АТС в

течение

часа?

Задание VII.

Для

д.с.в.

X с

данным

ря-

дом

распределения:

а)

составьте ряды рас-

пределения

с.в.

У=

Х~

1 и

max

{X,

0};

б)

вычислите математи-

ческое ожидание

дисперсию с.в.

в)

постройте график функции

распределения.

Задание

VIII.

Длительность междугородних телефонных разго-

воров

распределена примерно

по

показательному

закону,

среднем

разговор продолжается

мин. Какова вероятность

того,

что

очеред-

ной

разговор

будет

длиннее

мин? Какая часть всех разговоров про-

должается менее минуты?

Задание

IX.

Рассмотрим несколько различных операций

(0,,

)

со

случайным

доходом.

Вычислите

для

всех

операций

ожидаемый

доход

СКО

Нанесите

эти

характеристики

на

единый рисунок, получив

графическое изображение операций,

помощью

взвешивающей

формулы

E(Q,

—г

най-

дите

лучшую

худшую

операции.

о-'

У|

0,1

о-

0,3

о-'

Уз

0,3

0,2

0,1

0,5

0,1

0,2

0,4

Вариант

№ 5

Задание

Вычислите

А/, А/,

С/,

|г

Задание

И.

Дано;

Р(Л

В)

0,8;

Р(А

В)

0,4;

/V*

0,6.

Найдите

Р(А)>

Р(В),

выясните, зависимы

ли

события

А,

В,

Задание

III. Среди

одинаковых

по

внешнему виду тетрадей

клетку. Взято

тетради. Найдите вероятность того,

что из

них;

а)

ровно

тетради

клетку;

б)

хотя

бы

одна тетрадь

клетку.

Задание

IV. В

сборочный

цех

завода поступают детали

трех

автоматов. Первый автомат

дает

брака, второй

—

\%>

третий

—

2%.

Определите

вероятность

попадания

на

сборку бракованной

дета-

ли,

если

в цех

поступило

от

автоматов соответственно. 500,

200 и 300

Деталей.

Задание

V. Из

поступивших

магазин телефонов третья часть

белого

цвета,

однако

это

становится видно только после распаковки.

Найдите

вероятность

того,

что из

шести

нераспакованных

телефо-

нов;

а)

ровно

два

белых;

б)

есть хотя

бы

один белый.

337

-1

0,2

0,1

Задание

VI.

Среди интегральных

схем,

поступающих

ОТК,

10%

бракованных.

Автомат,

осуществляющий контроль, проверяет

схему

за

схемой, пока

не

признает очередную стандартной. Составьте

ряд

распределения с.в.

—

числа схем, проверенных автоматом вместе

последней, которую

он

признает стандартной. Каково математичес-

кое

ожидание этой

с.в.?

Задание VII.

Для

д.с.в.

X с

данным рядом рас-

пределения:

а)

найдите

так, чтобы

ЩХ\

0,5;

б)

после

этого

вычислите математическое ожидание

дисперсию

с.в.

Л"

постройте график

ее

функции распределения.

Задание VIII, Кассирша

сдает

сдачу менее

100

руб.

монетами

любое значение

этом

промежутке

равновозможно

(пренебрежем

дискретностью размера сдачи

будем предполагать

этот

размер

не-

прерывным

промежутке

[0,

100). Какова вероятность того,

что две

последовательные сдачи

сумме;

а)

будут больше

100

руб.;

б)

будут

менее

120

руб.?

Задание

IX.

Рассмотрите несколько различных

операций

(б,,

)

со

случайным

доходом.

Вычислите

для

всех

операций ожидаемый

доход

"5",

СКО

/'.

Нанесите

эти

характеристики

на

единый рисунок,

получив

графическое изображение операций.

помощью

взвешивающей формулы

E(Q,

/•)

-г

най-

дите

лучшую

худшую

операции,

Приложение

КОНТРОЛЬНАЯ

РАБОТА

№ 6

(к

разделу 16.4,

темам

17—19)

работе

приведены вариант

№ 1 с

указаниями

решениями

еще

подобные варианты

Ns 2-5 для

самостоятельного

решсни

Внимание! Вычисления вести либо

обыкновенных

дробях,

лиоо

точностью

до

первого знака после запятой.

338

-10 0 20 50

УГ

0,1

0,2 0,5

0,2

-10 0 20 50

0,3 0,2

0,1

0,4

1-10

0 20 50

УГ

0,3

0,1 0,2 0,4

ТЕКСТ

ЗАДАНИЯ ВАРИАНТА

№ 1

Вариант

№ 1

Задание

С.в.

/распределена

по

нормальному закону

мате-

матическим ожиданием,

равным

единице,

средним

квадратичес-

(

ким

отклонением,

равным

двум. Пусть

Х- 3

Найдите вероятности

Р(Х>

1), Р(2 < Х< 5),

Р(Х<

2),

Р(Х=

3).

Напишите функции плот-

ности

распределения

для

X и

постройте

их

примерные графики.

Как

выглядит

для

с.в,

правило «трех сигм»?

Задание

П.

Вероятность того,

что

деталь

не

проверялась

ОТК,

равна

р =

0,2,

Найдите вероятность

того,

что

среди

400

случайно

отобранных

деталей

окажется

от 70 до

100

деталей,

не

проверенных

ОТК.

Задание

Ш.

По

результатам

наблюдений:

И,

17, 17, 12, 13,

12,

15,

14, 16, 13, 14,

13,

15,

16,

15,

14, 14 -

построить

дис-

кретный вариационный

ряд,

многоугольник частостей, график

вы-

борочной

функции

распределения.

Подсчитать:

а)

выборочную

сред-

нюю

выборочную дисперсию двумя способами;

б)

несмещенную

оценку

дисперсии

s .

Придумать

правдоподобную

генеральную

со-

вокупность

или

соответствующую

случайную

величину.

Задание

IV.

Система

с.в,

имеет

следующую

таблицу

рас-

пределения.

Найти:

а)

законы распределения

ком-

понент

условный закон распределения компо-

ненты

Л"при

условии,

что

Y-

0; б)

вероятность того,

что

^примет

значение,

меньшее

чем

в)

корреля-

ционный

момент

хг

коэффициент

корреляции

трех

видов

некоррелированных

бумаг,

эффективнос-

ти

{

риски

о,

которых даны

таблице.

Рассмотреть

все

варианты составления

портфе-

ля из

этих

бумаг

равны'ми

долями.

Дать

графическое

изображение всех этих портфелей точками

(по

осям координат

—

эффективность, риск). Есть

ли

точки, оптимальные

по

Парето?

Задание

VI.

Сформировать оптимальный портфель заданной

эф-

фективности

из

трех

видов ценных бумаг: безрисковых эффективно-

сти, равной четырем,

некоррелированных рисковых ожидаемых

эффективностей

8 и 20 с

рисками

4 и

соответственно.

Как

устро-

ена

рисковая

часть

оптимального

портфеля?

При

какой ожидаемой

339

V 0 1 2

0,2

0,1 0,1

0 0,2

0,4

| 1 2 3

2 4 б

о, 1 3 5

£:

эффективности портфеля возникает необходимость

операции

«short

sale»

и с

какими ценными бумагами?

Задание VII.

таблице указаны курс

акций

Е и

эффективность

рынка

F на

протяжении

ряда кварталов. Найти рег-

рессию курса

акций

на эф-

фективность

рынка,

так-

же

оценки характеристик акций: «собственной» вариации

v и а,

р,

(эффективность безрисковых вложений равна

б).

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

ОТВЕТЫ

ВАРИАНТУ

№ 1

Задание

Решение. Применить нормальный закон (см.

п.

раз-

дел

17.1).

Известно,

что

линейная функция

от

нормально распреде-

ленной

с.в.также

нормально распределена. Используя свойства

ма-

тематического ожидания

дисперсии, получаем,

что X

нормально

распределена

параметрами: математическое ожидание

3 •

1=3

среднее

квадратическое

отклонение

а - 3 • 2

6. Для

вычисления

указанных

вероятностей применяем формулу:

Р(а

< X < р) -

Ф(ф

)/о)

Ф((а

д)/а),

т.е.

Р(а

Х<

р)

Ф((Р

3)/б)

Ф((сс

З/б)

получаем:

Р(\

< X)

Р(}

< X <

со)

1/2 -

Ф((1

3)/б)

- 1/2 +

Ф(1/3)

0,63;

< Х< 5) =

Ф((5

З/б)

Ф((2

3)/б)

Ф(1/3)

Ф(1/б)

«0,13

0,06

0,19;

Р(Х

< 2)

Р(-оо

< 2) =

Ф((2

3)/б)

+ 1/2

1/2

Ф(1/6)

0,44.

Примерные

графики плотности

распределения

f(x)

функции

распределения

Дх)

приведены

на

рис.

1 и 2

соответственно.

№

а/(бУ5Г))е-<'~

>''

с1/

Дх)

(1/(б75Г))е"

(

3))/72

340

Правило

трех

«сигм»:

Р(а

- За < Х< а +

За)

Р(-15

< Х< 21)

0,997.

Задание

Ц.

Воспользуемся интегральной теоремой

Муавра-Ла-

плаЬа

(см.

п. 3»

раздел

17.1):

P(k

{

k <

)

Ф((£

л/OA/w)

Ф((^

«Р)/1/да).

Здесь

400,

0,2,

0,8.

После

подстанов-

ки

имеем:

Д70

100)»

Ф((100

80)/8)

Ф((70

80)/8)

Ф(2,5)

Ф(-1,25)

0,88.

Задание

III.

См.

примеры

3, 4 из

раздела

16.4

(14,3;

2,63;

2,76).

Задание

IV. См.

примеры

3, 5 из

раздела

18.1

(Р(Х<

0,2;

*„=

0,44;*^

«0,57).

Задание

V. См.

пример

1 из

раздела

19.2.

Всего различных порт-

фелей будет

7 — три

портфеля

по

одной бумаге

(их

характеристики

даны

таблице),

три

портфеля

по две

бумаги

один

портфель

из

всех

трех бумаг. Приведем ответ только

для

случая

всех трех бумаг:

ж,

1,97.

Для

нахождения точек, оптимальных

по

Парето,

—

см.

п, 4,

раздел

16.2,

Задание

VI. См.

пример

2 из

раздела

19.2:

СЯГ-«»,-4)/89>($)).

Задание VII,

См.

пример

1 из

раздела

19.3

(Е = 15 +

0,4,

Р^О.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВАРИАНТЫ

Вариант

№ 2

Задание

С,в.

распределена

по

нормальному закону

мате-

матическим ожиданием, равным

единице,

средним

квадратичес-

ким

отклонением, равным

двум.

Пусть

ЛГ«

2Г+

Найдите вероят-

ности

f(X>

I),

P(2 < Х< 5),

Р(Х<

2),

Р(Х~

3).

Напишите функции

плотности

распределения

для

Хн

постройте

их

примерные

графи-

ки.

Как

выглядит

для

с.в.

правило «трех сигм»?

Задание

II. В

пути повреждается каждое восьмое изделие. Най-

дите вероятность

того,

что в

партии

из 700

изделий поврежденных

окажется

от 80 до

120.

Задание

III.

По

результатам наблюдений:

21,

27,

27, 22, 23, 22,

25,

24,

26,

23, 24, 23, 25,

26,

25,

24,

24 -

построите

дис-

341