Малафеев С.И., Малафеева А.А. Моделирование и расчет автоматических систем

Подождите немного. Документ загружается.

141

Большая библиотека блоков позволяет быстро создавать точ-

ные, динамические модели, например, система управления разраба-

тываемого технического объекта.

В SIMULINK включены современные алгоритмы интегрирова-

ния и широкий набор функций анализа моделей:

- интерактивное моделирование процессов с «живым» ото-

бражением;

- моделирование методом Монте-Карло;

- балансировка – определение точек устойчивого равновесия;

- линеаризация.

В действительности, система MATLAB – это огромный мир

средств и возможностей решения разнообразных задач в различных

отраслях человеческой деятельности. Построенная по единым

принципам для разных предметных областей, MATLAB одновре-

менно является и операционной средой, и языком программирова-

ния. Для упрощения технических решений в системе разработаны и

продолжают развиваться:

- предметно ориентированный инструментарий –

TOOLBOXES – пакеты прикладных программ;

- SIMULINK – система для имитационного моделирования

проектов, представленных в виде композиции фундаментальных

блоков, источников сигналов, приемников и измерительных

средств;

- MATLAB EXTANTIONS – набор программных средств, по-

зволяющих упростить и ускорить реализацию разработок, выпол-

ненных с использованием MATLAB (это компилятор, библиотека

функций на языке C и C++ и др.);

- GUI – графический интерфейс пользователя – средство, по-

зволяющее в предметной области для наиболее часто встречающих-

ся задач одного плана (расчет фильтров, спектральный анализ,

вейвлет-анализ и др.) создать инструмент анализа, расчета, проек-

тирования, максимально приближенный к практическим потребно-

стям инженера и требующий для освоения минимальных интеллек-

туальных и временных затрат.

На рис. 3.10 – рис. 3.13 показаны примеры схем для моделиро-

вания рассмотренных ранее динамических систем: двигателя посто-

янного тока (пример 3.1), автоматической системы регулирования

уровня жидкости (пример 3.2), колебательной системы, описывае-

142

мой уравнением Ван-дер-Поля (пример 3.4), системы уравнений

Лоренца (пример 3.5).

Рис. 3.10. Схема для моделирования двигателя постоянного

тока (пример 3.1)

Рис. 3.11. Схема для моделирования автоматической системы регу-

лирования уровня жидкости (пример 3.1)

143

Рис. 3.12. Схема для моделирования колебательной системы,

описываемой уравнением Ван-дер-Поля (пример 3.4)

Для решения задач математической физики, главным образом,

краевых задач для дифференциальных уравнений в частных произ-

водных (Partial Differential Equations, сокращённо – PDE) в настоя-

щее время активно развивается программная система FEMLAB.

Это комплекс инструментальных и технологических средств для

моделирования физических процессов в научных и инженерных

разработках. Аббревиатура FEMLAB дословно переводится как

«конечноэлементная лаборатория» (FEM – Finite Elements Method –

метод конечных элементов, а более строго – комплекс конечноэле-

ментных методов).

FEMLAB поддерживает современные численные методы для

всех типов f-моделирования (f-моделирование – функциональное

моделирование статических и динамических объектов с простран-

ственно–распределёнными параметрами). Главная особенность

системы FEMLAB – простая, гибкая и удобная настройка и интер-

претация вычислительных моделей, основанных на дифференци-

альных уравнениях в частных производных. FEMLAB является

также инструментом для нестандартных вычислений в физико-

математическом моделировании.

144

Рис. 3.13. Схема для моделирования системы уравнений

Лоренца (пример 3.1)

Начиная со второго поколения версий, в FEMLAB реализована

возможность трёхмерного моделирования. Это означает, что в

FEMLAB 2.x возможно решение трёхмерных задач математической

физики. Возможно решение PDE-задач для самых различных физи-

ческих приложений. Возможно также мультифизическое моделиро-

вание (т.е. моделирование большой совокупности взаимосвязанных

физических полей разной природы). Начиная с версии 2.3 возможно

создание мультигеометрических мультифизических моделей. Это

означает, что можно объединять модели, определённые в разных

145

пространствах, имеющих общие точки, сечения, линии и подобла-

сти. Можно также объединять модели, определённые в пространст-

вах с разным числом измерений. Возможно, решение структурно–

нелинейных PDE и их систем совместно с существенно–

нелинейными уравнениями материальной связи (уравнениями ма-

териальной связи называют алгебраические или дифференциальные

уравнения, которые описывают свойства вещества в рассматривае-

мом физическом поле или в системе полей). В FEMLAB 2.3 преду-

смотрена мощная структура Библиотеки материальных свойств.

Имеется возможность сохранять FEMLAB-модели в виде m-файла

(т.е. генерировать код MATLAB).

Итерационные решатели FEMLAB показывают количество

времени и памяти, необходимой для нормального решения трёх-

мерных задач промышленного масштаба. Графический интерфейс

предусматривает построение и просмотр моделей, а также решения

задачи. Реализованы возможности различных способов задания

граничных условий: в граничных условиях Неймана можно исполь-

зовать производные по времени, можно также задавать открытые

граничные условия для неотражающих поверхностей и т.д.

Специализированные модули предусматривают удобные рабо-

чие среды для задания параметров уравнений отдельных физиче-

ских полей. Они используют стандартизированную терминологию,

библиотеки свойств материалов, специализированные решатели и

их отдельные элементы, приспосабливают инструментальные сред-

ства визуализации. Специализированные модули снабжены собст-

венными справочниками и библиотеками моделей, необходимыми

для решения ряда общих проблем, характерных для соответствую-

щих физических полей.

FEMLAB разработан как единственная платформа для всех

операций конечно-элементного физико–математического моделиро-

вания. В FEMLAB версии 2.3 представлена библиотека нескольких

новых видов конечных элементов высокого порядка для решения

мультифизических задач. FEMLAB может стать техническим стан-

дартом для мультифизического моделирования динамических сис-

тем с пространственно–распределёнными параметрами.

146

Контрольные вопросы и упражнения

1. Объясните особенности численного решения дифференци-

альных уравнений. Какие методы используют для моделирования

динамических систем и в чем их сущность?

2. Какие численные методы используют при моделировании

динамических систем, описываемых уравнениями с частными про-

изводными?

3. Как влияет шаг интегрирования на результат численного ре-

шения дифференциального уравнения?

4. Какие способы используются для моделирования систем с

переменными параметрами?

5. Модель динамической системы представлена в виде диффе-

ренциального уравнения

   

10;00;0

 xx



Определите аналитическое решение уравнения и выполните моде-

лирование системы с помощью различных методов интегрирования

дифференциальных уравнений при разных значениях шага интег-

рирования. Определите, совпадают ли численные решения с реше-

нием исходного дифференциального уравнения? Как зависят ре-

зультаты моделирования от шага интегрирования?

6. Модель динамической системы представлена в виде диффе-

ренциального уравнения

 

0,1, xxx

 



Выполните моделирование системы с помощью различных методов

интегрирования дифференциальных уравнений. Определите, совпа-

дают ли численные решения с решением исходного дифференци-

ального уравнения? Совпадают ли их качественные особенности?

7. Как происходят колебания в системе, где возвращающая си-

ла убывает со временем 0







; возрастает со временем

147





xtx





; изменяется по гармоническому закону

0sin





txx





Исследуйте процессы при различных значениях



8. Химическая реакция описывается упрощенной математиче-

ской моделью, которая представлена дифференциальным уравнени-

ем первого порядка

     

exdxcxbxax

 ;





edcbaxx





0,0

где





tx - концентрация вещества.

Выполните моделирование этой системы и исследуйте изменение

концентрации





tx на больших характерных временах при различ-

ных значениях

x ?

9. Выполните моделирование колебаний физического маятника

(пример 2.5) при следующих значениях параметров:



м;



м. Исследуйте колебания при различных начальных усло-

виях





0 и





0



10. Выполните моделирование центробежного регулятора

(пример 2.6) при следующих значениях параметров:

= 0,1 кг;



0,2 кг;



0,25 м;



= 20 рад/с.

11. Выполните моделирование системы, описываемой диффе-

ренциальными уравнениями:

 

















;

xz

Исследуйте процессы в системе при различных значениях



: 2,6;

3,5; 4,1; 4,23; 4,3; 4,6; 5,7.

12. Выполните моделирование с помощью SIMULINK автома-

тической системы регулирования температуры (пример 3.3).

148

4. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В настоящей главе приведены примеры моделей автоматиче-

ских систем с заданиями для самостоятельной работы. Задание

включает общую для всех вариантов часть, изложенную в 4.1, и ин-

дивидуальную для каждой системы, сформулированную в соответ-

ствующей варианте. Кроме этого в каждом варианте приведены

контрольные вопросы.

4.1. Исходные данные и задание для расчета

Исходными данными для исследования и моделирования слу-

жат функциональная и структурная схемы. Заданы передаточные

функции линейных элементов, статические характеристики нели-

нейных элементов, параметры всех устройств и значения входных

или выходных переменных в рабочей точке.

Задание для исследования и моделирования системы

1. Принцип действия, элементы, функциональная и струк-

турная схемы системы.

1.1. По заданной функциональной схеме дайте подробное опи-

сание принципа действия системы. Укажите основные элементы и

устройства системы, объясните их назначение.

1.2. Выполните подробное описание приведенной структурной

схемы автоматической системы. Укажите входные и выходные пе-

ременные, нагрузки, возмущающие воздействия, статические и ди-

намические характеристики элементов.

1.3. Дайте описание объекта управления. Определите его ста-

тические и динамические характеристики.

1.4. Объясните принцип действия и укажите статические и ди-

намические характеристики измерительного устройства. Оцените

погрешность измерительного устройства.

1.5. Определите характеристики регулирующего устройства.

1.6. Объясните принцип действия и определите характеристики

исполнительного устройства.

149

2. Исследование и моделирование линейной автоматиче-

ской системы.

2.1. Укажите все нелинейности автоматической системы, изо-

бразите графически их статические характеристики. Объясните фи-

зическую сущность всех нелинейностей и их влияние на работу сис-

темы.

2.2. Выполните линеаризацию системы в рабочей точке.

2.3. Для линеаризованной системы определите передаточные

функции:

- разомкнутой системы по выходной переменной относи-

тельно сигнала задания;

- замкнутой системы по выходной переменной относи-

тельно задающего и возмущающего воздействий:

- замкнутой системы по ошибке относительно задающего

и возмущающего воздействий.

2.4. Запишите характеристическое уравнение замкнутой систе-

мы.

2.5. Проведите анализ устойчивости линейной модели системы

с помощью критериев: Рауса; Гурвица; Найквиста; Михайлова.

2.6. Определите критический коэффициент передачи системы,

запасы устойчивости по амплитуде и фазе, показатель колебатель-

ности. Постройте область устойчивости системы в плоскости пара-

метров регулирующего устройства (

k ,

T ).

2.7. Постройте корневой годограф системы.

2.8. Определите импульсные и переходные характеристики ра-

зомкнутой системы относительно задающего и возмущающего воз-

действий.

2.9. Выполните аналитический расчет переходных процессов в

замкнутой системе при ступенчатых изменениях задающего и воз-

мущающего воздействий. Амплитудные значения сигналов принять

равными 10% от соответствующих значений параметров в рабочей

точке. Для выполнения этой части задания рекомендуется восполь-

зоваться системами MAPLE или MATLAB.

2.10. Выполните моделирование линеаризованной системы с

помощью MATLAB. При этом определите импульсные и переход-

ные характеристики при ступенчатых изменениях задающего и воз-

мущающего воздействий. Определите КЧХ разомкнутой системы.

150

2.11. Выполните оптимизацию линеаризованной системы с по-

мощью моделирования. Определите параметры регулирующего уст-

ройства, обеспечивающие минимум интегральной среднеквадрати-

ческой ошибки.

2.12. Для оптимизированной системы определите ЛЧХ, КЧХ,

импульсную и переходную характеристики, переходные процессы в

замкнутой системе при ступенчатых изменениях сигнала задания и

возмущения. Определите запасы устойчивости по амплитуде и фазе.

Постройте корневой годограф системы. Сравните характеристики

оптимизированной системы с характеристиками исходной.

Во всех дальнейших расчетах принять параметры регулирую-

щего устройства равными оптимальным значениям.

2.13. Исследуйте процессы в системе (для выходного сигнала и

ошибки) при действии на входе:

- линейного изменяющегося сигнала,





tutu

05,0

зз



, где

0з

u - сигнал задания, соответствующий рабочей точке;

- гармонических сигналов









tutu

cзз

ωsin2,0



;











cз

0,1ωsin2,0



;









tutu

cзз

10ωsin2,0



, где

ω - частота среза

системы;

- случайного сигнала типа «белый шум» с дисперсией

.1,0

0з

uD 



2.14. Дайте оценку точности системы. Укажите основные со-

ставляющие ошибки. Определите первые три коэффициента ошибок

системы по задающему и возмущающему воздействиям. Оцените

погрешность датчика системы. Определите количественное значе-

ние ошибки системы для рабочей точки.

3. Исследование и моделирование нелинейной автоматиче-

ской системы.

3.1. Составьте схему для моделирования с учетом всех нели-

нейностей с помощью MATLAB.

3.2. Определите переходные процессы в системе для выходной

переменной и ошибки при изменении задающего и возмущающего

воздействия относительно рабочей точки на величины, равные

10%, 20%, 30%, от сигналов задания и возмущения, соответст-

вующих рабочей точке.