Максимов А.И., Мошников В.А., Таиров Ю.М., Шилова О.А Основы золь-гель-технологии нанокомпозитов
Подождите немного. Документ загружается.
71
Рассмотрим изменение длины всей ломаной линии L от размера звена
ломаной линии а. При этом кратчайшее расстояние между концами лома-
ной линии обозначим через R. При R = 1 для n = 0: а
0
= 1 и L
0
= 1. Для лю-
бого последующего n-го предфрактала
n
n
a 31
и
n
n
L 34
.
Как следует из этого, измеряемая длина ломаной линии L зависит от
размера "линейки" (возрастает с уменьшением размера а). В то же время
длину ломаной линии можно представить в виде:
D
aRaL
.
Нетрудно убедиться, что для рассмотренного примера значение D посто-
янно для любого предфрактала и равно
2618.1
3ln
4ln
D
.
Параметр D принято называть фрактальной размерностью. Отметим,
что фрактальная размерность D может иметь дробные значения в отличие
от значений размерности физического пространства d. Значение D можно
изменять, варьируя конфигурацию образующего элемента. На рис. 3.2
приведены несколько видов образующего элемента для кривой Кох и ре-
зультаты расчета D значений, равных отношению логарифмов длин между
конечными точками образующего элемента по ломаной и по прямой.
Даже простейшие фракталы могут быть использованы для изучения
реальных физических объектов. Например, для оценки изрезанности бере-
говой линии рек, озер, моря [14]. В этом случае нет строгих образующих
элементов, изрезанность линии побережья меняется случайным образом
(стохастический фрактал), а фрактальная размерность определяется из экс-
периментальной зависимости значений длин ломаных линий L с разными
длинами отрезков а при аппроксимации побережной границы.
72
а)
б)
в)
г)
262.1
3ln
4ln
D
5.1
4ln
8ln
D
6131.1
6ln
18ln
D
465.1
3ln
5ln
D
Рис. 3.2. Разные варианты образующих элементов при построении кривых Кох
и соответствующие значения фрактальной размерности
Совершенно другую природу имеет фрактал, который является траек-
торией броуновского движения частицы. Легко показать, что при прибли-
жении смещения частицы за каждый шаг на одинаковое расстояние а в
случайном направлении, квадрат смещения частицы за большое число n
шагов может быть вычислен из выражения:
22
naR
n
.
Пусть частица за выбранный интервал времени совершила n актов
столкновений и сместилась из исходной точки на расстояние, которое мож-
но задать вектором
n
R
. Если обозначить смещение после каждого элемен-
тарного акта столкновения через
i
r
, то
n
i
in
rR
1
. При этом справедливо ре-
куррентное соотношение
nnn
rRR
1
. Усредненные значения |
n
R
| будем
искать через
2
n
R
:
2
22
nnnnn
RRRRR
.
Тогда для
2
n
R
из рекуррентного соотношения следует:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
cos22
nnnNnnnnnn
rrRRrrRRR
. Угол
n
с равной вероят-
ностью принимает любое значение от 0 до 180, поэтому при усреднении
второе слагаемое обращается в 0, и
22
1
2
aRR
nn
.
73
Используя метод математической индукции получаем искомое выра-
жение для усредненного значения квадрата смещения R
n
:
22
naR
n
.
Вводя полную длину траектории частицы L = na, из предыдущей
формулы получаем
2
aRaL
, т. е. фрактальная размерность траектории
броуновского движения равна 2.
В настоящее время геометрические фракталы уже широко использу-
ются в машинной графике при получении изображений деревьев, кустов,
береговой линии, облаков. Двумерные геометрические фракталы исполь-
зуются для создания объемных текстур.
В середине 80-х гг. был предложен метод "систем итерируемых функ-
ций" (IFS) как средство получения фрактальных структур. Сущность мето-
да IFS заключается в использовании фиксированного класса функций, ото-
бражающих одно многомерное множество на другое.
Например, IFS может состоять из аффинных преобразований плоско-
сти:
x' = A∙x + B∙y + C,
y' = D∙x + E∙y + F.
В 1988 г. Барнсли и Слоан сформулировали идею сжатия и хранения
графической информации на основе применения метода IFS. Они назвали
свой метод методом фрактального сжатия информации. Например, если за-
кодировать изображение двумя аффинными преобразованиями, то мы од-
нозначно сможем воспроизвести его с помощью 12 коэффициентов. Если
теперь задать какую-либо начальную точку (x
0
, y
0
) и запустить итерацион-
ный процесс, то после первой итерации имеем две точки, после второй –
четыре, после третьей – восемь, и т. д. Через несколько десятков итераций
совокупность полученных точек воспроизведет закодированное изображе-
ние.
В качестве IFS применяют не только аффинные, но и другие классы
простых геометрических преобразований (проективные, квадратичные
преобразования на плоскости и др.) [
88
].
Построим IFS для кривой Кох, приведенной на рис. 3.1. Для нахожде-
ния IFS изобразим первое поколение фрактала на сетке координат, соот-
ветствующих, например, сетке координат дисплея 640 350. Эта кривая
имеет 4 фрагмента, подобных целой кривой AB, BC, CD и DE с координа-
тами точек, представленных на рис. 3.3.
74
A
B
C
D
E
x
y
A
20
300
B
220
300
C
320
127
D
420
300
E
620
300
Рис. 3.3. Заготовка для построения IFS кривой Кох
Для ее построения требуется набор аффинных преобразований, со-
стоящий из четырех преобразований:
A: x' = 0.333∙x + 13.333; y' = 0.333∙y + 200;
B: x' = 0.167∙x + 0.289∙y + 130; y' = – 0.289∙x + 0.167∙y + 256;
C: x' = 0.167∙x – 0.289∙y + 403; y' = 0.289∙x + 0.167∙y + 71;
D: x' = 0.333∙x + 413.333; y' = 0.333∙y + 200;
Координаты точек A, B, C и D получаются при подстановке координат
точки А в IFS. В следующей итерации получается 16 точек и т. д.
Результат применения этого аффинного коллажа после десятой итера-
ции можно увидеть на рис. 3.4.
Рис. 3.4. Кривая Кох, построенная с помощью
IFS в прямоугольнике 640 × 350
Рис. 3.5. Заготовка для построения IFS
"дракона" Хартера–Хейтуэя
В качестве другого примера использования IFS для построения фрак-
тальных структур, рассмотрим "дракона" Хартера–Хейтуэя. Образующим
элементом этого фрактала являются два равных отрезка AB и BC, перпен-
дикулярных друг другу. В нулевом приближении начальный единичный
отрезок AC заменяется на образующий элемент так, чтобы угол был сверху
75
(рис. 3.5). При построении последующих поколений выполняется алго-
ритм: самое первое звено заменяется на образующий элемент так, чтобы
середина звена смещалась вправо от направления движения, а при замене
следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны че-
редоваться.
Построим IFS для "дракона" Хартера–Хейтуэя. Для этого расположим
первое поколение этого фрактала также на сетке координат дисплея
640 350 (рис. 3.5). Обозначим точки получившейся ломаной A, B, C. По
правилам построения у этого фрактала две части, подобные целому, – на
рис. 3.5 это ломаные ADB и BEC. Зная координаты концов этих отрезков,
можно вычислить коэффициенты двух аффинных преобразований, перево-
дящих ломаную ABC в ADB и BEC:
x' = – 0.5·x – 0.5·y + 490,
y' = 0.5·x – 0.5·y + 120;
x' = 0.5·x – 0.5·y + 340,
y' = 0.5·x + 0.5·y – 110.
Задавшись начальной стартовой точ-
кой (например, x = 0, y = 0) и итерационно
действуя на нее этой IFS, после десятой
итерации на экране получим фрактальную
структуру, изображенную на рис. 3.6, ко-
торая представляет собой "дракон" Хартера–Хейтуэя.
Другим простым способом построения геометрических фракталов яв-
ляется метод L-систем, разработанный Аристидом Линденмайером [
89
]. В
[
90
] приведена реализация метода L-систем для построения геометриче-
ских фракталов. Биолог по образованию, Линденмайер предложил метод
описания сложных природных объектов и процессов с помощью простых
составляющих и некоторых правил их преобразования. При этом он ис-
пользовал определенную формальную грамматику, опирающуюся на пра-
вила генерации и преобразования символьных строк.
Пусть имеется некоторая состоящая из произвольных символов стро-
ка, называемая аксиомой, и набор строк, называемых правилами. Каждое
правило имеет вид символ → строка. Например:
аксиома: abc;
правила: a → ab; b → a.
Рис. 3.6. "Дракон" Хартера–
Хейтуэя, построенный с помощью
IFS в прямоугольнике 640 350
76
Сначала (на 0 шаге) положим результирующую строку равной аксио-
ме. Далее начнем просматривать строку слева направо. Если очередной
символ не задает никакого правила, то он просто переносится в новую ре-
зультирующую строку. Если же очередной символ является первым сим-
волом одного из правил, то он заменяется на строку из соответствующего
правила.
Для рассмотренного примера:
0-й шаг: a с b, результирующая строка: aсb;
1-й шаг: ab с а, результирующая строка: abca;
2-й шаг: ab а с ab, результирующая строка: abacab;
3-й шаг: ab а ab с ab a, результирующая строка: abaabcaba;
и так далее.
Линденмайер рассматривал L-системы как формальный способ описа-
ния развития биологических объектов, но позже L-системы нашли приме-
нение в компьютерной графике. Оказалось, что с их помощью очень удоб-
но рисовать фракталы и различные природные объекты с самоподобной
структурой. Метод построения графических объектов с помощью L-систем
еще называют "черепашьей графикой" (turtle geometry).
Пусть имеется некоторый исполнитель ("черепашка"), который может
выполнить набор команд. Черепашка перемещается по плоскости. Текущее
состояние черепашки задается координатами х, у и углом а, определяющим
направление, в котором ползет черепашка. Предположим, что у черепашки
есть память, организованная в виде стека (т. е. черепашка может запомнить
несколько значений, но вспоминать их она будет в обратном порядке: то,
что запомнила последним, вспомнит первым, то, что запомнила предпо-
следним, вспомнит вторым и т. д.). Пусть начальное положение черепашки
задается координатами x
0
, y
0
и направлением движения а
0
. Кроме того,
пусть задано значение шага h, на который перемещается черепашка по ко-
манде "вперед", и угол b, на который поворачивается черепашка по коман-
де "повернуть направо" или по команде "повернуть налево".
Пусть черепашка умеет выполнять следующие команды (каждая ко-
манда кодируется одним символом):
"F" – ползти вперед;
"f" – ползти вперед, но не рисовать;
"+" – повернуть направо;
"–" – повернуть налево;
77
"[" – запомнить текущую позицию;
"]" – возврат в запомненную позицию.
Скобки "[" и "]" могут быть вложенными.
Программой для черепашки является строка, в которой кроме указан-
ных символов могут встречаться и любые другие. Черепашка просматри-
вает строку-программу символ за символом. Команды она выполняет, а
символы, не являющиеся командами пропускает.
Например, для построения равностороннего треугольника, угол пово-
рота равен 60°, шаг – длине стороны треугольника, а команды будут сле-
дующими: "F+F+F".
Но это еще не все. Для описания фрактала на языке L-системы нужно
задать аксиому, которая определяет фрактал нулевого уровня (начальное
положение системы) и правила замен (их может быть несколько).
Например, для кривой Кох:
аксиома – "F";
правило – "F=1/3 F", "F=F–F++F–F".
В начале (на нулевом шаге) система строит фрактал нулевого порядка
(в данном случае "F", просто отрезок). Затем на каждом следующем шаге
команды заменяются согласно заданным правилам. Для кривой Кох на ну-
левом шаге получаем "F", на первом – "F–F++F–F", на втором –
"F–F++F–F–F–F++F–F++F–F++F–F–F–F++F–F", и т. д. Для построения со-
вершаем несколько шагов, а затем заставляем черепашку двигаться со-
гласно полученным командам.
Фракталы могут иметь значения D как больше 1, так и меньше 1.
Примером такого фрактального множества является так называемая "кан-
торова пыль" [65]. Построение такого фрактала отличается от фрактала
Кох тем, что при n-м шаге осуществляется не добавление, а удаление n ин-
тервалов длиной
n
a 31
. На рис. 3.7. приведено несколько положений
предфракталов Кантора.
Фрактальная размерность D часто в литературе называют размерно-
стью Хаусдорфа–Безиковича по именам ученых впервые описавших ее.
Значение размерности Хаусдорфа–Безиковича для канторовского множе-
ства D = ln 2 / ln 3 ≈ 0.631.
Самая крупная группа фракталов – алгебраическая. Получают алгеб-
раические фракталы с помощью нелинейных процессов в n-мерных про-
странствах.
78
Наиболее изучены двумерные процессы. При интерпретации нели-
нейных итерационных процессов как дискретной динамической системы,
широко используется терминология этих систем: фазовый портрет, аттрак-
тор и т. д.
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
Рис. 3.7. Построение триадного фрактала Кантора геометрическим способом
Если динамика колебательного контура определяется двумя перемен-
ными, например током в контуре и напряжением на емкости, то, отложив
эти величины вдоль осей X и Y, получим для каждого состояния системы
определенную точку на этой координатной плоскости. Такую плоскость
называют фазовой. Соответственно, если динамическая система определя-
ется n переменными, то вместо двумерной фазовой плоскости ей можно
поставить в соответствие n-мерное фазовое пространство.
Реакции линейной и нелинейной систем различны. В первом случае
постепенно установятся регулярные периодические колебания с той же
частотой, что и частота вынуждающего сигнала. На фазовой плоскости та-
кому движению соответствует замкнутая кривая, называемая аттракто-
ром (от английского to attract – притягивать). В случае нелинейной систе-
мы возникнут сложные, непериодические колебания, траектория на фазо-
вой плоскости не замкнется за сколь угодно долгое время. При этом пове-
дение детерминированной системы будет внешне напоминать совершенно
случайный процесс – это и есть явление динамического, или детерминиро-
ванного хаоса. Образ хаоса в фазовом пространстве – хаотический аттрак-
тор – имеет очень сложную фрактальную структуру. В силу необычности
свойств его называют также странным аттрактором.
Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итераци-
онном процессе случайным образом менять какие-либо параметры. Дву-
мерные стохастические фракталы используются при моделировании при-
родных объектов – несимметричных деревьев, рельефа поверхности и т. д.
79
Подробное рассмотрение алгебраических и стохастических фракталов
выходит за рамки этой монографии. В качестве учебнометодической лите-
ратуры можно порекомендовать работу [
91
].
3.3. Фрактальные агрегаты
Концепция фракталов находит все большее распространение при изу-
чении реальных объектов с нерегулярной структурой. При этом физиче-
ский фрактальный объект в отличие от математического всегда имеет ог-
раничения по размерам. Принципиально невозможно иметь образующий
элемент с размерами меньше атома или молекулы. Максимальные размеры
ограничены природой протекающих процессов.
Рис. 3.8. Образование фрактальных агрегатов в стекле [3]
При недостаточной локальности интегральных свойств физического
объекта, состоящего из фрактальных элементов, образец будет представ-
ляться как квазиоднородный. В качестве примера на рис. 3.8 приведена
микрофотография агрегатных фракталов в стекле, полученная с помощью
электронной микроскопии в режиме вторичных электронов. В нижнем
правом углу находится масштабная линейка. Из рис. 3.8 видно, что разме-
ры отдельных фрактальных кластеров порядка 5 мкм. Также видно, что в
отличие от математических фракталов реальные объекты не строго регу-
80
лярны. О соблюдении подобия между отдельными фрактальными элемен-
тами и частями фрактала в отдельном элементе и в разном масштабе мож-
но судить только при статическом усреднении.
3.4. Количественные характеристики фракталов
Обратимся теперь к основам количественного описание фрактальных
агрегатов. В качестве исходного объекта сначала рассмотрим детермини-
рованные фрактальные агрегаты. Следуя Р. Жульену (R. Jullien), сконст-
руируем простейший фрактальный агрегат путем последовательного со-
единения идентичных сферических частиц радиуса α. При этом начальную
частицу расположим в начале прямоугольной системы координат, а шесть
других частиц заставим, двигаясь вдоль положительных и отрицательных
направлений трех базисных векторов решетки, присоединяться к ней. На
первом этапе (первая итерация) получаем начальный ансамбль из семи
частиц. При второй итерации присоединим к шести концам полученного
агрегата шесть таких же ансамблей. При третьей итерации к шести концам
вновь сформированного агрегата присоединим шесть точно таких же агре-
гатов. Эта процедура может повторяться бесконечно.
Запишем теперь математические соотношения для числа первичных
частиц в агрегате и для радиуса такого агрегата в зависимости от числа
проведенных итераций. При этом получаем, что после p итераций в агрега-
те будет содержаться
p
n 7
первичных частиц, а радиус самого агрегата
будет равен
p
r 3
. На рис. 3.9 изображена двумерная эквивалентная
схема такого трехмерного агрегата, полученного после p = 4 итераций.
Этот агрегат, в соответствии с полученными соотношениями, содержит
4
7N
= 2401 частицу.
Зависимость между числом частиц в сфере радиуса r от величины это-
го радиуса имеет вид n(r) = A r
D
, где для величин, не зависящих от числа
итераций, принято A = α
–D
и D = ln 7/ln 3 = 1.771. Для сконструированного
трехмерного агрегата число частиц (а следовательно, и масса) зависят не
от куба радиуса, что является обычным для сплошных трехмерных объек-
тов, а от радиуса в степени 1.771.