Лукоянычев В.Г. Электротехника
Подождите немного. Документ загружается.
71
Следует отметить, что если оригинал
)t(f
увеличивается с ростом t, то для
сходимости интеграла (5.1) необходимо более быстрое убывание модуля
pt
e
−
. Функции, с
которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию
удовлетворяют.
В табл. 5.1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто
встречающихся при анализе нестационарных режимов.
Таблица 5.1. Изображения типовых функций
Оригинал
)t(f
А
Изображение
)p(F
Некоторые свойства изображений
Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:
.
При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается
изображение:
.
Изображения производной и интеграла
В курсе математики доказывается, что если
)p(F)t(f
=
•
•
, то
)0(f)p(pF
dt
df
−
=
•
•
, где
)0(f
- начальное значение функции
)t(f
.
Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать
или при нулевых начальных условиях
.
Тогда
операторное сопротивление катушки индуктивности
Lp)p(Z =
.
Аналогично для интеграла: если
)p(F)t(f
=
•
•
,
то
.
p
)p(F
dt)t(f
t
0
=
∫
•
•
.
С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно
записать:
.
Тогда
или при нулевых начальных условиях
,
тогда
операторное сопротивление конденсатора
Cp
1
)p(Z =
.
72
5.6.1 Закон Ома в операторной форме.
Пусть имеем некоторую ветвь
m-n
(Рис. 5.12), выделенную из некоторой сложной
цепи.
Рис. 5.12
Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом
начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае
ненулевые.
Для мгновенных значений переменных можно записать:
.
Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:
.
Отсюда
, (5.2)
где
Cp
1
LpR)p(Z ++=
- операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.
Следует обратить внимание, что операторное сопротивление
)p(Z
соответствует
комплексному сопротивлению
)jw(Z
ветви в цепи синусоидального тока при замене
оператора
p
на
jw
.
Уравнение (5.2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с
источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 5.12 можно
нарисовать
операторную схему замещения,
представленную на рис. 5.13.
Рис.5.13
5.6.2 Законы Кирхгофа в операторной форме.
Первый закон Кирхгофа:
алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в
узле, равна нулю
.
Второй закон Кирхгофа:
алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в
контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах
этого контура
73
.
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о
необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом
последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде
.
Пример. Составить выражение для
изображений токов в цепи на рис.5.14 для
двух случаев:
0)0(U
C
=
и
0)0(U
C
≠
Рис. 5.14
В первом случае в соответствии с законом Ома
.
Тогда
и
.
Во втором случае, т.е. при
0)0(U
C
≠
, для цепи на рис. 5.14 следует
составить операторную схему замещения,
которая приведена на рис. 5.15.
Изображения токов в ней могут быть
определены любым методом расчета
линейных цепей, например, методом
контурных токов:
Рис.5.15
откуда ;
и
.
5.6.3 Переход от изображений к оригиналам
Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен
следующими способами:
74
1.
Посредством обратного преобразования Лапласа
dpe)p(F
j2
1
)t(f
j
j
pt
∫
∞
+
∞−
=
σ
σ
π
, которое представляет собой решение интегрального
уравнения (5.1) и сокращенно записывается, как:
{}
)p(FL)t(f
1
−
=
.
На практике этот способ применяется редко.
2.
По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями
В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия,
охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу
необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем
табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.
3.
С использованием формулы разложения
Пусть изображение
)p(F
искомой переменной определяется отношением двух
полиномов
, где
m<n
.
Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей
,
где
к
p
- к-й корень уравнения
0)p(F
2
=
.
Для определения коэффициентов
к
A
умножим левую и правую части соотношения на
)pp(
к
−
:
. При
к
pp →
.
Рассматривая полученную неопределенность типа
0/0
по правилу Лапиталя, запишем
.
Таким образом,
.
Поскольку отношение
)p(F
)p(F
к
2
кl
'
есть постоянный коэффициент, то учитывая, что
, окончательно получаем
.
Последнее соотношение представляет собой формулу разложения. Если один из
корней уравнения
0)p(F
2
=
равен нулю, т.е.
)p(pF)p(F
32
=
, то это соотношение
сводится к виду
.
75
Для нахождения начального
)0(f
и конечного
)(f
∞
значений оригинала можно
использовать
предельные соотношения
которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.
5.6.4 Последовательность расчета переходных процессов операторным методом
1. Определение независимых начальных условий путем расчета докоммутационного
режима работы цепи.
2. Составление операторной схемы замещения цепи (для простых цепей с нулевыми
начальными условиями этот этап может быть опущен).
3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам расчета линейных
цепей в операторной форме с учетом начальных условий.
4. Решение полученных уравнений относительно
изображений искомых величин.
5. Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц
соответствия оригиналов и изображений) по найденным изображениям.
Пример. Используя операторный метод
определить ток через катушку индуктивности в цепи
на рис. 5.16.
С учетом нулевого начального условия
операторное изображение этого тока
Рис.5.16
.
Для нахождения оригинала
)t(i
воспользуемся формулой разложения при нулевом
корне
,
где
, .
Корень уравнения
0)p(F
3
=
L)RR(
RR
p
21
21
1
+
−=
.
Тогда
2121
21
21
1
'
31
RRL)RR(
L)RR(
RR
)p(Fp −=+⋅
+
−=
и
1
0
21
20
3
1
R
U
RR
RU
)0(F
)0(F
==
.
Подставляя найденные значения слагаемых формулы разложения в
i(t)
, получим
.
Воспользовавшись предельными соотношениями, определим
)0(i
и
)(i ∞
:
76
5.7 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
5.7.1 Первичные параметры однородной линии
До сих пор рассматривались электрические цепи с сосредоточенными параметрами,
то есть предполагалось, что электрическая цепь представляет собой совокупность некоторых
самостоятельно существующих элементов
r, L, C,
сосредоточенных в различных точках ее.
Напряжение и ток в этих элементах связываются соотношениями:
,;;
dt
du
Ci
dt
di
Luriu
C
Lr
===
основанными на предположении, что ток, входящий в
каждый из этих элементов цепи, равен току, выходящему из него. Решение этих уравнений
дает закон изменения исследуемой электрической величины от времени, но не от
координаты длины, которая в эти уравнения не входит.
Однако представление электротехнических устройств в виде цепей с
сосредоточенными параметрами не
всегда возможно. Например, рассматривая
электромагнитные процессы, происходящие в электрических линиях, при помощи которых
электрическая энергия или сигналы передаются на расстояние, необходимо иметь в виду, что
магнитное и электрическое поля распределены по всей длине линии и превращение
электромагнитной энергии в тепло также происходит по всей длине линии. Таким образом,
линия является цепью
с распределенными параметрами.
Если мысленно выделить какой-либо участок этой линии, то токи на концах этого
участка окажутся неодинаковыми вследствие наличия токов смещения, обусловленных
емкостью между токоведущими проводниками, и токов утечки через изоляцию. Только при
бесконечном уменьшении участков линии токи на концах их можно считать равными друг
другу.
Следовательно, приведенные
выше уравнения непосредственно не применимы ко
всей линии в целом или конечным участкам ее; строго говоря, они могут быть применены
только к участкам бесконечно малой длины.
Величина магнитного потока, который сцепляется с контуром тока, образуемым
токоведущими проводниками, определяет индуктивность цепи. Емкость между проводами, а
также емкости этих проводов по отношению к
земле (или соответственно к корпусу прибора,
машины и т.д.) и другим соседним проводам определяют емкость цепи. Тепловые потери в
проводах с учетом поверхностного эффекта и эффекта близости обуславливают продольное
активное сопротивление цепи. Наконец, несовершенство изоляции (проводимость изоляции
и диэлектрические потери, возникающие в ней) определяет поперечную активную
проводимость цепи.
В
качестве цепи с распределенными параметрами рассмотрим однородную
двухпроводную линию, то есть это такая линия, индуктивность, емкость, активное
сопротивление и проводимость которой равномерно распределены вдоль всей длины линии.
Эти электрические параметры, отнесенные к единице длины линии, называются первичными
параметрами линии; они обозначаются через
L, C, r
и
g
. Однородная двухпроводная линия
является распространенным типом линии; она используется в электропроводной связи и
радиотехнике и выполняется в виде параллельных проводников или коаксиального кабеля.
Первичные параметры линии зависят от ее конструкции и частоты. Активная проводимость
g
между параллельными проводами, зависит от метеорологических условий, состояния
изоляторов и других факторов, определяемых экспериментально. Практически во многих
случаях можно считать, что
0≈g
. На высоких частотах ввиду значительного преобладания
индуктивного сопротивления токоведущего проводника над его активным сопротивлением
последним можно во многих случаях пренебречь.
77
Следует заметить, что на низких частотах при малой длине линии, когда емкостная и
активная проводимости незначительны, токи в начале и конце линии практически
одинаковы; в этом случае линия с достаточной точностью может рассматриваться как цепь с
сосредоточенными параметрами. Разграничение понятий «короткая» и «длинная» линии
связано с частотой, на которой работает рассматриваемая
линия.
5.7.2 Дифференциальные уравнения однородной линии
Напряжение и ток в линии являются функциями двух независимых переменных:
пространственной координаты
x
, определяющей место наблюдения, и времени
t
,
определяющего момент наблюдения. Предполагаем, что направление координатной оси
x
совпадает с направлением оси линии.
Выберем положительное направление тока в линии слева направо (рис.5.17) и
условимся называть «началом» линии левый конец, а «концом» линии – правый конец.
Расстояние до произвольной точки линии от начала обозначим через
x
.
Выделим элементарный участок линии
длиной
x∆
, находящийся на расстоянии x от
начала. Пользуясь первичными параметрами
r, g,
L, C,
отнесенными к единице длины линии,
приближенно представим рассматриваемый
элементарный участок линии в виде
последовательно включенных сопротивления
xr
∆
и индуктивности
xL∆
и параллельно включенных
активной проводимости
xg∆
и емкости
xC
∆
.
Рис.5.17
Обозначим:
u
— напряжение между верхним и нижним проводами в точке
x
;
u
∆
—
приращение напряжения на участке
x
∆
;
i
— ток в точке
x
;
i
∆
— приращение тока на участке
x∆
.Уравнения для приращений напряжения и тока на элементе длины
x∆
запишутся
следующим образом:
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∆
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∆+∂
+∆+=∆−
∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=∆−
.
;
x
t
uu
Cuugi
x
t
i
Lriu
Ввиду наличия двух независимых переменных
(x и t)
уравнения записываются в
частных производных.
По мере стремления
x∆
к нулю степень точности этих уравнений повышается,
причем величина второго порядка малости
(
)
x
t
u
Cug
∆
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∆∂
+∆
в правой части нижнего
уравнения может быть опущена.
Итак, линия рассматривается как цепная схема с бесконечно большим числом звеньев,
электрические параметры которых бесконечно малы.
Разделив обе части уравнений на
x
∆
и перейдя к пределу
x∆
=0
, получаем
дифференциальные уравнения линии:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
+=
∂
∂
−
∂
∂
+=
∂
∂
−
.
;
t
u
Cgu
x
i
t
i
Lri
x
u
Эти уравнения известны под названием телеграфных уравнений.
Уравнения могут быть решены однозначно при использовании начальных и
граничных условий. Начальными условиями будут значения напряжения и тока в начале
линии в момент времени, принятый за нуль. Граничные условия определяются связями
между напряжением и током в начале линии, зависящими от заданного режима работы
линии.
xr
∆
i
ii ∆+
xg
∆
xC∆
uu ∆+
u
xL
∆
x
∆
x
78
5.7.3 Переходные процессы в однородных цепях
Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами возникают при
коммутациях, передаче непериодических сигналов или под влиянием внешнего
электромагнитного поля. Для исследования переходных процессов в однородных цепях с
распределенными параметрами пользуются дифференциальными уравнениями в частных
производных, выведенными ранее (раздел 5.6.2). В общем виде решение этих
дифференциальных уравнений достаточно сложно. Решение упрощается, если пренебречь
потерями, то есть считать, что
r
и
g
равны нулю. В этом случае
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
.
;
t
u
C
x
i
t
i
L
x
u
Дифференцируя первое уравнение по
x:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
x
i
t
L
t
i
x
L
x
u
2
2
и используя второе уравнение, получим: .
2
2
2
2
t
u
LC
x
u
∂
∂
=
∂
∂
Последнее дифференциальное уравнение известно в математической физике под названием
уравнения колебаний струны. Его решение дано Даламбером и имеет вид:
()
(
)
.
1
где ,
21
LC
vvtxfvtxfu =++−=
Первая слагающая представляет собой одиночную прямую волну напряжения,
которая без изменения перемещается в сторону возрастающих
x
, то есть от начала к концу
цепи. Для всех значений
x
, при которых
x-vt=const
, эта слагающая имеет одно и то же
значение, то есть волна движется со скоростью
.
dt
dx
v =
Вторая слагающая представляет собой одиночную обратную волну напряжения,
которая без изменения перемещается в противоположном направлении.
Для нахождения тока произведем замену переменных, обозначив
,vtx −=
ξ
и
.
vt
x
+
=
η
На основании «телеграфных уравнений» при нулевых
r
и
g
имеем:
()
.
2121
21
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−=+
∂
∂
−=
∂
∂
ηξ
η
η
ξ
ξ
ff
Cv
t
f
t
f
Cff
t
C
x
i
Но
и
111
ξ
ξ
ξ
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
f
x
f
x
f
.
222
η
η
η
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
f
x
f
x
f
Следовательно,
.
21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
x
f
x
f
Cv
t
i
Интегрирование этого уравнения дает:
()()
[]
.
21
vtxfvtxf
L
C
i +−−=
Выражения для u и i записываются сокращенно в виде:
()
опопоп
в
оп
iiiiuu
z
iuuu
, где,
1
;
−=−=+=
— прямая и обратная волны тока;
C
L
z
в
=
— волновое сопротивление.
Следовательно, напряжение и ток прямой и соответственно обратной волн связаны
законом Ома:
.
в
о
о
п
п
z
i
u
i
u
==
Итак, при отсутствии потерь в однородной цепи с распределенными параметрами
напряжение и ток могут быть представлены как сумма и разность двух волн, движущихся с
одинаковой скоростью в противоположных направлениях, без изменения формы. При этом в
любой точке однородной цепи отношение напряжения и тока для прямой и обратной волн
равно волновому
сопротивлению.
Если на пути распространения волны встречается неоднородность или волна достигает
конца линии (разомкнутого или замкнутого через сопротивление), происходит отражение
79
волны. В зависимости от характера неоднородности отражение может быть частичным или
полным. В первом случае наряду с отраженной волной возникает преломленная волна,
распространяющаяся за место нарушения однородности; во втором случае преломленная
волна отсутствует.
Обозначим
1
u
и
1
i
- напряжение и ток в месте отражения;
п
u
1
и
п
i
1
- напряжение и ток
падающей (прямой) отраженной волны;
о
u
1
и
о
i
1
- напряжение и ток отраженной (обратной)
волны;
2
u
и
2
i
- напряжение и ток преломленной (прямой) волны;
1
z
и
2
z
- волновое
сопротивления для прямой и обратной волн (
1
z
) и преломленной волны (
2
z
).
В месте неоднородности выполняется условие равенства напряжений и токов:
1
u
=
2
u
,
1
i
=
2
i
.
Следовательно,
п
u
1
+
о
u
1
=
2
u
;
п
i
1
-
о
i
1
=
2
i
.
Подстановка в последнее уравнение значений
п
i
1
=
п
u
1
/
1
z
,
о
i
1
=
о
u
1
/
1
z
и
1
z
=
2
u
/
2
z
дает:
.
2
2
1
11
z
u
z
uu
оп
=
−
В результате совместного решения уравнений для напряжений находятся отраженная (
о
u
1
) и
преломленная (
2
u
) волны:
12
12
12
11
где;
)1(
zz
zz
n
unu
nuu
n
пo
+
−
=
⎩
⎨
⎧
+=
=
— коэффициент отражения.
Соответственно ток отраженной волны
,
1
1
1
1
1
z
u
n
z
u
i
no
o
==
а ток преломленной волны
.
2)1(
21
1
2
1
2
2
2
zz
u
z
un
z
u
i
nn
+
=
+
==
Включение однородной линии без потерь представляет собой следующий процесс. После
присоединения линии к источнику э.д.с. по линии начнет распространяться зарядная волна,
создающая напряжение и ток. Если в конце линии присоединена нагрузка, равная волновому
сопротивлению линии, то падающая волна, достигнув ее, не отразится и в линии сразу
наступит установившийся
режим. Если же нагрузка с линией не согласована, то падающая
зарядная волна, достигнув конца линии, претерпит отражение. Распространяясь в обратную
сторону, отраженная волна сложится с падающей, причем напряжения волн суммируются, а
токи вычитаются (алгебраически). Достигнув начала линии, обратная волна снова отразится
от источника э.д.с., как от короткозамкнутого конца; появится
новая прямая волна
напряжения и тока, которая также отразится от конца, и так далее. Процесс будет
продолжаться до наступления установившегося режима, Теоретически в идеальной линии
без потерь при чисто реактивной нагрузке процесс колебаний будет продолжаться
бесконечно долго. В реальной линии при наличии потерь волны напряжения и тока будут
постепенно затухать
в направлении распространения.
Напряжение и ток в линии в произвольный момент времени определяются как
алгебраические суммы и соответственно разности напряжений и токов прямых и обратных
волн.
Следует отметить, что индуктивность, включенная последовательно в линию, или
емкость, включенная параллельно проводам линии, сглаживает фронт преломленных волн;
активное сопротивление, включенное в линию параллельно, уменьшает
преломленную
волну.
5.8 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ПО МОДУЛЮ 5
1.
Возможно ли включение на переменное синусоидальное напряжение контуров
rL,
rC, rLC
, не сопровождаемое переходным процессом (пояснить физическую
сторону явления)?
80
2.
Может ли частота колебательного разряда в конуре
rLC
быть равной или больше
резонансной частоты этого контура?
3.
Пояснить физический смысл постоянной времени цепей
rL
и
rC
. Почему с
увеличением
r
постоянная времени для первого контура уменьшается, а для
второго контура увеличивается?
4.
Цепь
rL
подключается при
t=0
к источнику синусоидальной э.д.с. Выбрать начало
отсчета времени так, чтобы свободный ток отсутствовал.
5.
Зависит ли характеристическое уравнение (и соответственно порядок цепи) от
возбуждающей функции?
6.
Изменив в схеме на рис.5.5 полярность заряженной емкости, начертить кривые
тока и напряжения при включении в цепь
rC
постоянной э.д.с.
7.
Чем отличаются цепи с распределенными параметрами от цепей с
сосредоточенными параметрами?
8.
Каковы первичные и вторичные параметры линии без потерь?
Выполнить лабораторную работу по теме «Переходные процессы в
электрических цепях», используя соответствующую моделирующую
программу.