Лукоянычев В.Г. Электротехника
Подождите немного. Документ загружается.
61
5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Установившиеся процессы в линейных электрических цепях характеризуются тем,
что напряжение и ток либо неизменны во времени (цепи постоянного тока), либо
представляют собой периодические функции времени (цепи переменного тока).
Наступлению установившегося процесса, отличного от первоначального режима работы
цепи, предшествует, как правило, переходной процесс, при котором напряжение и
токи изменяются непериодически.
Переход от
одного режима работы цепи к другому может быть вызван изменением
параметров или схемы цепи, называемым в общем случае в электротехнике коммутацией.
Теоретически можно считать, что коммутация цепи производится мгновенно, то есть на
включение, выключение или переключение цепи время не расходуется. Тем не менее,
переход от исходного режима работы цепи к
последующему происходит не мгновенно, а в
течение некоторого времени. Объясняется это тем, что каждому состоянию цепи
соответствует определенный запас энергии электрических и магнитных полей. Переход к
новому режиму связан с нарастанием или убыванием энергии этих полей. Энергия,
запасаемая в магнитном поле индуктивности, и энергия, запасаемая в электрическом поле
емкости, не могут
изменяться мгновенно: энергия может изменяться непрерывно, без
скачков, так как в противном случае мощность, равная производной энергии по времени,
достигла бы бесконечных значений, что физически невозможно.
Для завершения переходного и наступления установившегося процессов теоретически
требуется бесконечно большое время. Практически, однако, время переходного процесса
определяется малым интервалом, по истечении которого токи
и напряжения настолько
приближаются к установившимся значениям, что разница оказывается практически не
ощутимой.
В одних случаях переходные процессы в электрических цепях нежелательны и
опасны, в других случаях – представляют собой естественный, нормальный режим работы
цепи, как это, например, имеет место в радиопередающих и радиоприемных устройствах.
5.1 ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
Положения о том, что запас энергии магнитного или электрического поля может
изменяться только плавно, без скачков, выражают принцип непрерывности во времени
потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости и называются законами
коммутации.
Невозможность скачкообразного изменения потокосцепления следует из того, что в
противном случае на индуктивности появилось бы бесконечно большое напряжение
L
u=d
ψ
/dt=
∞
, что лишено физического смысла. Ввиду равенства
ψ
=Li
принцип
непрерывности потокосцепления означает, что при неизменном
L
ток
i
не может изменяться
скачком. Итак,
в начальный момент после коммутации ток в индуктивности остается
таким же, каким он был непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.
Аналогично невозможность скачкообразного изменения электрического заряда
q
следует из того, что в противном случае через емкость проходил бы бесконечно большой ток
C
i =dq/dt=
∞
, что также лишено физического смысла. Ввиду равенства q=C
C
u
принцип
непрерывности электрического заряда означает, что при неизменном C напряжение
C
u
не
может изменяться скачком. Итак,
в начальный момент после коммутации напряжение на
емкости остается таким же, каким оно было непосредственно перед коммутацией, а
затем плавно изменяется.
В цепях с идеализированными сосредоточенными параметрами скачкообразно могут
изменяться: 1) токи в сопротивлениях и емкостях и 2) напряжения на сопротивлениях и
индуктивностях.
Значения тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации
называются
независимыми начальными условиями.
62
Обычно принимают, что коммутация происходит в момент времени
t=0
; тогда ток в
индуктивности и напряжение на емкости в момент времени непосредственно перед
коммутацией обозначается через
)0(
−
L
i
и )0(
−
C
u
, а в начальный момент переходного
процесса после коммутации – через
)0(
L
i
и )0(
C
u
. На основании законов коммутации:
).0()0(
),0()0(
CC
LL
uu
ii
=
=
−
−
Эти равенства выражают начальные условия цепи, в которой происходит коммутация.
При расчете переходных процессов в разветвленных электрических цепях наряду с
независимыми начальными условиями используются так называемые
зависимые начальные
условия,
а именно: значения токов, напряжений и их производных в начальный момент
времени
(t=0)
.
5.2 ПРИНУЖДЕННЫЙ И СВОБОДНЫЙ РЕЖИМ
В общем случае анализ переходных процессов в линейной цепи с сосредоточенными
параметрами
r, L, C
сводится к решению обыкновенных линейных неоднородных
дифференциальных уравнений, выражающих законы Кирхгофа. Эти уравнения
представляют собой линейную комбинацию напряжений, токов, их первых производных и
интегралов по времени.
Например, если какая-нибудь э.д.с.
e(t)
включается в цепь, состоящую из
последовательно соединенных
r ,L, C
, то уравнение имеет вид:
).(
1
teidt
Cdt
di
Lri =++
∫
Это уравнение после дифференцирования приводится к неоднородному
дифференциальному уравнению второго порядка
.
2
2
dt
de
C
i
dt
di
r
dt
id
L
=++
Как известно, общий интеграл такого уравнения равен сумме частного решения
неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
Частное решение выражает принужденный режим, задаваемый источником.
Если воздействующая функция, стоящая в правой части уравнения, постоянна или является
периодической функцией времени, то принужденный ток будет одновременно и
установившимся. Расчеты установившихся токов для
этих случаев рассматривались в
предыдущих разделах.
Общее решение физически определяет поведение цепи при отсутствии внешних
источников электрической энергии и заданных начальных условиях. Функции, определяемые
общим решением, называются свободными составляющими (токов, напряжений и
прочее).
В случае, рассмотренном выше, однородное уравнение имеет вид:
0
2
2
=++
C
i
dt
di
r
dt
id
L
и соответствующее ему характеристическое уравнение
.0
1
2
=++
C
rpLp
Если корни характеристического уравнения обозначить через
1
p
и
2
p
, то общее
решение запишется в виде:
,)(
21
21
tptp
св
eAeAti +=
где
1
A
и
2
A
— постоянные интегрирования,
которые определяются из начальных условий.
Полный переходный ток в цепи равен сумме принужденного и свободного токов:
63
).()()(
tititi
свпр
+
=
Аналогично напряжение, заряд и другие функции на любом участке цепи в
переходном режиме состоят из принужденной и свободной составляющих.
В зависимости от порядка дифференциальных уравнений, описывающих исследуемые
переходные процессы, различают цепи первого, второго и более высокого порядков. В цепях
первого порядка накопление энергии происходит только в одном элементе
L
или
C
.
Одноконтурная цепь, содержащая элементы, в которых накапливается энергия обоих видов -
магнитная и электрическая, представляет собой цепь второго порядка (цепь
r, L, C
).
Разветвленные цепи могут быть более высокого порядка.
5.3 ПЕРЕХОДНОЙ ПРОЦЕСС В ЦЕПИ r, L
Положим, что в момент
t=0
цепь,
состоящая из сопротивления r и индуктивности
L
,
включенных последовательно, присоединяется к
источнику э.д.с.
e(t)
(рис.5.1). Дифференциальное
уравнение для времени
t≥0
записывается в виде:
.
dt
di
Lrie +=
Рис.5.1
Характеристическое уравнение имеет вид
r+pL=0
и соответственно корень уравнения
L
r
p −=
1
. Отсюда свободный ток
t
L
r
tp
св
AeAei
−
==
1
.
Переходной ток в цепи определится суммой принужденного и свободного токов:
t
L
r
пр
Aeii
−
+= (*).
Принужденный ток может быть найден, если задана э.д.с.
e(t)
.
Рассмотрим три случая:
1.
Включение в цепь
r,L
постоянной э.д.с.
E
.
2.
Короткое замыкание цепи
r,L
.
3.
Включение в цепь
r,L
синусоидальной э.д.с. ).sin(
ψ
ω
+
tE
m
5.3.1 Включение в цепь r, L постоянной э.д.с.
При включении в цепь
r, L
постоянной э.д.с.
E
принужденный ток равен
E/r
. Поэтому
согласно уравнению (*)
.
t
L
r
Ae
r
E
i
−
+= (**)
Постоянная интегрирования
A
находится по начальному условию .0)0()0(
=
=
−
ii
Согласно уравнению (**) при
t=0
,0 A
r
E
+=
откуда
.
r
E
A −=
Следовательно,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
−
−
τ
t
t
L
r
eIe
r
E
i 11
. Здесь
r
E
I =
— предельное
значение, к которому стремиться ток
i(t)
по мере неограниченного возрастания
t
, называемое
установившимся током.
В начальный момент времени
t=0
э.д.с. самоиндукции
()
E
dt
di
Le
L
−=−= 0
и
полностью компенсируется э.д.с. источника, так как ток
i(0)
равен нулю.
С течением времени э.д.с. самоиндукции убывает, а ток в цепи возрастает,
асимптотически приближаясь к установившемуся значению.
На рис.5.2 показаны кривые
(
)
te
0=t
r
(
)
ti
L
i
I
E
пр
i
)
1
(
τ
t
e
I
i
−
−
=
64
принужденного, свободного и переходного
токов; на том же рисунке изображена кривая
напряжения на индуктивности
.
τ
t
L
Ee
dt
di
Lu
−
==
Из курса математического анализа известно,
что если
y=f(t)
, то подкасательная равна
.
y
y
′
В данном случае при любом значении t
τ
=
′
=
′
св
св
L
L
i
i
u
u
.
Рис.5.2
Величина
r
L
=
τ
носит название постоянной времени. Она измеряется в
секундах. Таким образом, графически постоянная времени определяется длиной
подкасательной к кривой
св
i
или
L
u
при любом значении
t
.
Нарастание тока происходит тем быстрее, чем меньше постоянная времени и
соответственно чем быстрее убывает э.д.с. самоиндукции. Для различных моментов времени
ток в цепи, выраженный в процентах конечного (установившегося) значения составляет:
t τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ
∞
%100
I
i
63,2 86,5 95,0 98,2 99,3 100
Следовательно, постоянная времени цепи
r, L
равна промежутку времени, в течение
которого свободная составляющая тока убывает в
e=2,718
раза и соответственно ток в этой
цепи, включенной на постоянное напряжение, достигает 63,2% своего установившегося
значения. Практически можно считать, что переходной процесс заканчивается спустя
t=(4-
5)τ.
5.3.2 Короткое замыкание цепи r, L
Положим, что цепь
r, L
, присоединенная к источнику постоянного или переменного
напряжения, замыкается при
t=0
накоротко (рис.5.3а). В образовавшемся при этом контуре
r
,L
благодаря наличию магнитного поля ток исчезнет не мгновенно: э.д.с. самоиндукции,
обусловленная убыванием магнитного потока, стремится поддержать ток в конуре за счет
энергии исчезающего магнитного поля. По мере того как энергия магнитного поля
постепенно рассеивается, превращаясь в сопротивлении r в тепло, ток в контуре
приближается к нулю. Процесс, происходящий в
короткозамкнутом контуре
r, L
, является
свободным; принужденный ток равен нулю. Тогда в уравнении (**) 0=
пр
i
, и
ток равен
.
t
L
r
Aei
−
=
Постоянная интегрирования находится из
начальных условий
),0()0(
−
= ii
откуда
τ
t
t
L
r
eieiti
−
−
== )0()0()( ; здесь
)0(
−
i
— значение тока в индуктивности в момент,
непосредственно предшествующий короткому
замыканию; оно может быть положительным или
отрицательным.
На рис.5.3б изображены кривые спада тока в
короткозамкнутом контуре и кривая напряжения на
Рис.5.3а
Рис.5.3б
индуктивности
τ
t
L
eri
dt
di
Lu
−
−== )0(
в предположении, что
i(0)>0
.
(
)
te
0=t
()
ti
L
0
r
r
τ
t
св
eiii
−
== )0(
τ
t
L
eriU
−
−= )0(
L
Ui,
)0(i
)0(ri
−
0
τ
65
5.3.3 Включение в цепи r, L синусоидальной э.д.с.
При включении в цепь
r, L
синусоидальной э.д.с. )sin(
ψ
ω
+
=
tEe
m
принужденный
ток будет: ),sin(
ϕ
ψ
ω
−+=
tIi
mпр
где
()
.,
2
2
r
L
arctg
Lr
E
I
m
m
ω
ϕ
ω
=
+
=
На основании уравнения (**)
,Ae)tsin(Ii
t
m
τ
ϕψω
−
+−−=
где
r
L
=
τ
.
Постоянная интегрирования определяется по начальному условию
.0)0()0(
=
=
−
ii
Следовательно ,)sin(0
AI
m
+
−
=
ϕ
ψ
откуда ).sin(
ϕ
ψ
−
−
=
m
IA
Поэтому искомый ток будет:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−+=
−
τ
ϕψϕψω
t
m
etIi )sin()sin(
.
На рис 5.4а изображены кривые
.,,
iii
свпр
Начальные ординаты )0(),0(
свпр
ii
одинаковы по
абсолютной величине и противоположны по
знаку, поэтому ток в начальный момент равен
нулю. Свободный ток убывает по показатель-
ному закону. Постоянная времени
τ
прямо про-
порциональна добротности контура
Q
и обратно
пропорциональна частоте
ω
.
Если в момент коммутации
(t=0)
ток
св
i
проходит через нуль, то свободный ток не возни-
кает и в цепи сразу наступает принужденный, ус-
тановившийся режим без переходного процесса.
Если же коммутация происходит при
,
2
π
ϕψ
±= то начальный свободный ток мак-
симален (рис.5.4б), а именно
mсв
Ii
m
=
)0(, и ток
переходного режима достигает экстремального
значения (положительного или отрицательного) в
конце первого полупериода. Однако даже в пре-
дельном случае, когда
r=0
, ток не может превы-
шать амплитуды установившегося режима более
чем вдвое.
Рис.5.4а
Рис.5.4б
5.4 ПЕРЕХОДНОЙ ПРОЦЕСС В ЦЕПИ r, C
Положим, что в момент
t=0
цепь, состоящая из сопротивления
r
и емкости
C,
включенных последовательно, присоединяется к источнику э.д.с.
e(t)
(рис.5.5).
На основании второго закона Кирхгофа
уравнение для времени
t
≥
0
имеет вид:
,
C
urie
+= где
C
u
— напряжение на емкости.
С учетом того, что
,
dt
du
Ci
C
=
получим
;
C
C
u
dt
du
uCe
+=
Рис.5.5
Здесь искомой величиной является напряжение на емкости.
)0(
св
i
)0(
пр
i
с
в
i
п
р
i
i
t
i
0
mсв
Ii
=
)0(
mпр
Ii
=
)0(
св
i
пр
i
i
t
i
0
C
(
)
te
0=t
r
()
ti
U
−
+
66
Характеристическое уравнение
1+rCp=0
и соответственно корень уравнения
rC
p
1
1
−= . Следовательно, свободная составляющая напряжения на емкости
,
τ
t
rC
t
C
AeAeu
св
−−
== где
rC
=
τ
— постоянная времени контура
r, C.
Переходное напряжение на емкости равно сумме принужденного и свободного
напряжения:
.
τ
t
CC
Aeuu
пр
−
+= (*)
Ток в контуре равен:
τ
t
C
C
e
r
A
dt
du
C
dt
du
Ci
пр
−
−==
. (**)
Рассмотрим три случая:
1.
Включение в цепь
r, C
постоянной э.д.с.
E
;
2.
Короткое замыкание цепи
r, C
;
3.
Включение в цепь
r, C
синусоидальной э.д.с. )sin(
ψ
ω
+
tE
m
.
5.4.1 Включение в цепь r, C постоянной э.д.с.
Включим постоянную э.д.с.
E
в цепь с сопротивлением
r
и предварительно
заряженной емкостью
C
(полярности заряженной емкости показаны на рис.5.5) начальное
напряжение на емкости )0(
C
u
обозначим для упрощения через
U
.
Принужденное напряжение на емкости равно э.д.с. источника. Поэтому согласно
уравнению (*)
.
τ
t
C
AeEu
−
+=
Постоянная интегрирования
A
, входящая в
уравнение, находится по начальному условию:
при
t=0
имеем
U=E+A
, откуда
A=U-E
.
Следовательно,
.)(
τ
t
C
eUEEu
−
−+=
Согласно уравнению (**) ток в контуре
равен:
.
τ
t
e
r
UE
i
−
−
=
Если
E>U
, то с течением времени
напряжение на емкости возрастает, стремясь к
установившемуся значению
E
, а ток убывает,
стремясь в пределе к нулю (рис.5.6а). Чем больше
постоянная времени, тем медленнее происходит
нарастание
C
u
и спад
i
.
Если
E<U
, то кривые
C
u
и
i
имеют вид,
показанный на рис.5.6б. Постоянная времени
τ=rC
может быть найдена, так же как раньше,
графически как подкасательная к кривой
i
в любой
точке. Закон изменения напряжения на емкости и
тока в данной цепи аналогичен закону изменения
тока и напряжения в контуре
r, L
, рассмотренному
ранее. Поэтому все сказанное о постоянной
времени в предыдущем случае сохраняет силу и
для данного примера.
Рис.5.6а
Рис.5.6б
τ
0
U
r
U
E
−
E
iU
C
,
i
C
U
t
r
EU
−
−
C
U
i
iU
C
,
U
E
0
t
67
5.4.2 Короткое замыкание цепи r, C
Замыкание накоротко цепи, состоящей из последовательно соединенных
r
и
C
,
равносильно принятию в предыдущем случае э.д.с., равной нулю. Предполагается, что
емкость
C
заряжена, то есть в момент включения на ее зажимах имеется напряжение
U
.
Положив в уравнениях раздела 5.4.1 э.д.с.
E
равное нулю, получим:
;
τ
t
C
Ueu
−
=
r
u
IIei
t
=−=
−
где ,
τ
.
При коротком замыкании цепи
r, C
электрический
ток идет от зажима + к зажиму -. Следовательно, при
выборе на рис.5.5 полярности емкости ток проходит
через сопротивление
r
в направлении, противоположном
тому, которое принято на рис.5.5 за положительное.
Поэтому в выражении для тока стоит знак минус. На
рис.5.7 изображены кривые спада
C
u
и
i
. В отличие от
напряжения на емкости, которое изменяется непрерывно,
ток в контуре
r, C
, пропорциональный скорости
изменения
C
u
, совершает при
t=0
скачок.
Рис.5.7
Так же как и в случае цепи
r, L
. Переходной процесс может считаться законченным
спустя
t=(4-5)τ
, так как к этому времени емкость разрядится на 98,2-99,3% и напряжение на
емкости снизится до 1,8-0,7% первоначального.
5.4.3 Включение в цепи r, C синусоидальной э.д.с.
При включении в цепи
r, C
синусоидальной э.д.с. )sin(
ψ
ω
+
tE
m
принужденное
напряжение на емкости
),
2
sin(
π
ϕψω
ω
−−+=
t
C
I
u
m
C
пр
где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
Cr
arctg
C
r
E
I
m
m
ω
ϕ
ω
1
;
1
2
2
;
на основании уравнения (*)
()
.cos
τ
ϕϕω
ω
t
m
C
Aet
C
I
u
−
+−+−=
Если предполагать, что конденсатор не был заряжен, то постоянная интегрирования
определится по начальному условию
(
)
:00
=
C
u
),cos(0
ϕψ
ω
−−=
C
I
m
откуда ).cos(
ϕψ
ω
−=
C
I
A
m
Тогда искомое напряжение на емкости будет:
,)cos()cos(
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−+−=
−
τ
ϕψϕψω
ω
t
m
C
et
C
I
u
а ток в цепи
.)cos(
1
)sin(
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−+==
−
τ
ϕψ
ω
ϕψω
t
m
C
e
rC
tI
dt
du
Ci
Из написанных выражений видно, что если включение цепи r, C происходит в
момент, когда принужденный ток должен достигать максимума – положительного или
отрицательного (то есть
),
2
π
ϕψ
±=−
а принужденное напряжение на емкости должно быть
τ
t
C
Ueu
−
=
τ
t
Iei
−
−=
C
Ui,
U
I
−
0
τ
t
68
равно нулю, то свободной слагающей напряжения на емкости не возникает и в цепи сразу
без переходного процесса наступает принужденный установившийся режим.
5.5 ПЕРЕХОДНОЙ ПРОЦЕСС В ЦЕПИ r, L,C
При включении в цепь r, L, C э.д.с. e(t) (рис.5.8) переходной процесс исследуется с
помощью дифференциального уравнения вида:
.
2
2
dt
de
C
i
dt
di
r
dt
id
L =++
Соответствующее ему характеристическое
уравнение
0
1
2
=++
C
rpLp
имеет корни
Рис.5.8
частота. ярезонансна
1
;
2
где ,
1
22
0
2
0
2
2
2,1
−==−±−=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±−=
LC
L
r
LCL
r
L
r
p
ωδωδδ
Свободный ток равен:
.
21
21
tptp
св
eAeAi +=
Ток в цепи определяется суммой принужденного и свободного токов:
.
21
21
tptp
пр
eAeAii ++= (*)
Принужденный ток находится в соответствии с заданной э.д.с. t(t). Характер
свободного тока зависит от знака подкоренного выражения.
5.5.1 Включение в цепь r, L, C постоянной э.д.с.
Рассмотрим случай, когда э.д.с. источника постоянна, например, e=E, и емкость имеет
начальное напряжение .)0( Uu
C
=
Ввиду наличия индуктивности начальное значение тока i(0)=0.
Исходное уравнение
C
u
dt
di
LriE ++=
для начального момента записывается в виде:
),0()0(
C
u
dt
di
LriE ++=
откуда находится начальное значение производной
)0(
dt
di
, которое является зависимым начальным условием, необходимым для вычисления
21
, AA :
.)0(
L
UE
dt
di −
=
(**)
При установившемся режиме ток будет равен нулю. Продифференцируем уравнение
(*) с учетом того, что 0=
пр
i получим:
.
21
2211
tptp
epAepA
dt
di
+=
Подставляя в (*) и последнее уравнение t=0 и используя (**), получим:
.;0
221121
pApA
L
UE
AA +=
−
+=
Из этих уравнений следует:
()
.
2
2
0
2
21
21
ωδ
−
−
=
−
−
=−=
L
UE
ppL
UE
AA
Поэтому
(
)
.
2
21
2
0
2
tptp
ee
L
UE
i −
−
−
=
ωδ
Рассмотрим возможные три случая.
Случай 1.
0
ω
δ
>
,
то есть 2
C
L
r >
( апериодический процесс).
−+
C
(
)
te
0
=
t
r
(
)
ti
U
L
69
Корни
21
, pp
характеристического уравнения
(раздел 5.5) – отрицательные действительные числа.
Если индекс 1 соответствует верхнему знаку перед
корнем, то
21
pp < , и поэтому кривая
tp
e
1
спадает
медленнее, чем
tp
e
2
(рис.5.9).
При больших значениях C влияние емкости мало и
кривая тока приближается к кривой тока в цепи r, L
(смотри рис.5.2); при малых значениях L влияние
индуктивности значительно и кривая тока близка к
кривой тока в цепи r, C (рис.5.6). Следует заметить,
что при коротком замыкании цепи r, L, C, то есть при
E=0,
ток в цепи обуславливается разрядом емкости.
Рис.5.9
Случай 2.
0
ω
δ
=
,
то есть
2
C
L
r =
( критический случай).
Корни
21
, pp характеристического уравнения (раздел 5.5) одинаковы:
δ
−=−==
L
r
pp
2
21
. Если воспользоваться общим решением однородного
дифференциального уравнения с кратными корнями:
()
t
св
etBBi
δ
−
+=
21
, то в
рассматриваемом случае 0
1
=
=
Bi
св
и
tt
etBeB
dt
di
δδ
δ
−−
−=
22
. Следовательно,
()
L
UE
B
dt
di −
==
2
0
. Кривая тока аналогична кривой на рис.5.9.
Случай 3.
0
ω
δ
<
,
то есть 2
C
L
r <
( колебательный процесс).
Корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные:
св
jp
ω
δ
±−=
2,1
, где
22
0
δωω
−=
св
.Величина
св
ω
называется угловой частотой
свободных или собственных колебаний в цепи r, L, C, а
св
св
T
ω
π
2
=
- периодом этих
колебаний. Если исходить из общего решения однородного дифференциального уравнения с
комплексно-сопряженными корнями:
()
t
свсвсв
etNtMi
δ
ωω
−
+= sincos
, то
te
Lj
UE
i
св
t
св
ω
ω
δ
sin
−
−
=
. Полученное выражение показывает, что при включении цепи r, L,
C на постоянное напряжение, когда
св
ω
δ
<
, в цепи возникают затухающие синусоидальные
колебания, причем огибающими кривой тока служат кривые
t
св
e
L
UE
i
δ
ω
−
−
±=
(рис.5.10).
Колебания возникают вследствие
периодического преобразования
энергии электрического поля в энергию
магнитного поля и обратно, причем эти
колебания сопровождаются потерей
энергии в сопротивлении. На рис.5.10
показана также кривая напряжения
C
u на емкости, которая в другом
масштабе выражает также зависимость
электрического заряда q от времени.
Функции
C
u и i имеют одинаковый
множитель затухания.
Рис.5.10
C
ui,
E
C
q
u
C
=
tp
св
eAi
1
11
=
tp
св
eAi
2
22
=
i
0
t
1
A
12
AA
−
=
t
св
e
L
UE
δ
ω
−
−
t
св
e
L
UE
δ
ω
−
−
−
св
T
0
E
U
св
ii
=
C
q
U
C
=
C
Ui,
t
70
При нулевых начальных условиях (U=0) кривая
C
u начинается с нуля. Чем меньше δ
по сравнению с
0
ω
, тем медленнее затухает колебательный процесс и тем больше частота
собственных колебаний цепи r, L, C приближается к резонансной. В пределе, при δ=0
0
ω
ω
=
св
, колебания не затухают и корни характеристического уравнения располагаются на
мнимой оси. На рис 5.11 в виде примера последовательно показано изменение характера
переходного процесса с уменьшением величины δ.
Рис.5.11
5.5.2 Включение в цепь r, L, C синусоидальной э.д.с.
Если цепь r, L, C присоединяется к источнику синусоидальной э.д.с.
(
)
ψ
ω
+
tE
m
sin ,
то принужденный ток равен
(
)
ϕ
ψ
ω
−
+
= tii
mпр
sin и переходной ток согласно уравнению
(*) раздела 5.5 равен:
()
tptp
m
eAeAtIi
21
21
sin ++−+=
ϕψω
.
Частота принужденного тока равна частоте источника синусоидального напряжения,
свободный же ток при
0
ω
δ
< изменяется с собственной частотой цепи
св
ω
. Частота
св
ω
может быть в зависимости от параметров r, L, C меньше, больше или равна частоте
ω
.
Свободное колебание тока накладывается на принужденный ток и затухает пропорционально
множителю
t
e
δ
−
. По мере затухания свободного тока кривая переходного тока
приближается к кривой принужденного тока. Та из двух слагающих тока i, частота которой
меньше, служит как бы криволинейной осью для другой слагающей относительно нее.
5.6 ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Сущность операторного метода заключается в том, что функции
)t(f
вещественной
переменной t, которую называют
оригиналом,
ставится в соответствие функция
)p(F
комплексной переменной
ω
js
p
+
=
, которую называют
изображением.
В результате
этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от
соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р,
а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы
интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно
изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и
далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в
практическом плане является необходимость определения только независимых начальных
условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка
по сравнению с классическим методом.
Изображение
)p(F
заданной функции
)t(f
определяется в соответствии с
прямым
преобразованием Лапласа:
dt)t(fe)p(F
0
pt
∫
∞
−
=
(5.1)
В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом
обозначается, как:
)t(f)p(F
=
•
•
или
{}
)t(fL)p(F =
.
0
ω
δ
=
t
i
0
св
T
t
i
0
ω
δ
<
0
t
i
0
ω
δ
>
00
i
t
0
ω
δ
<<
св
T