Лукоянычев В.Г. Электротехника
Подождите немного. Документ загружается.
11
Второй закон Кирхгофа.
Алгебраическая сумма э.д.с. в любом контуре цепи равна алгебраической сумме
падений напряжения на элементах этого контура:
Обход контура совершается в
произвольном выбранном направлении,
например по ходу часовой стрелки. При этом
соблюдается следующее правило знаков для
э.д.с. и падений напряжений: э.д.с. и падения
напряжения, совпадающие по направлению с
направлением обхода, берутся с одинаковыми
знаками.
Например, для схемы рис.1.15 имеем:
Рис.1.15
Уравнение по
второму закону Кирхгофа можно переписать в виде:
Здесь
(u-E)
означает напряжение на ветви. Следовательно,
алгебраическая сумма
напряжений на ветвях в любом замкнутом контуре равна нулю.
Формулы по первому и второму законам Кирхгофа написаны в общем виде для
мгновенных значений токов, напряжений и э.д.с.; они справедливы для цепей как
переменного, так и постоянного тока.
При решении вопроса о распределении токов в сложной цепи, состоящей из
нескольких замкнутых контуров, составляют ряд уравнений, применяя первый закон
Кирхгофа к узловым точкам и второй закон – к отдельным замкнутым контурам. При расчете
целесообразно придерживаться следующей методики:
1)
на схеме наносятся условные положительные направления токов в ветвях;
2)
выбирается направление обхода контуров для составления уравнений по второму
закону Кирхгофа;
3)
составляются уравнения на основании первого и второго законов Кирхгофа.
Для случая, когда заданы э.д.с. источников и сопротивления резисторов, общее число
уравнений должно быть равно числу ветвей. Это объясняется тем, что в каждой ветви
протекает неизвестный ток. Если обозначить число ветвей через
n,
а число узлов через
y,
то
общее число уравнений, составленных по законам Кирхгофа, должно быть равно
n
. При этом
по первому закону Кирхгофа составляется
(y-1)
уравнений (
y-
е уравнение является
зависимым, то есть оно является следствием предыдущих
(y-1)-
х уравнений).
Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. Число этих
уравнений будет определяться разностью между числом неизвестных (равно числу ветвей
n
)
и числом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, то есть
n-(y-1)
.
Для обеспечения независимости уравнений, составленных по второму закону
Кирхгофа, необходимо, чтобы они соответствовали независимым контурам.
Независимым контуром схемы
называется контур, который отличается
от других контуров хотя бы одной
ветвью.
Методику составления уравнений
для расчета токов в цепи с помощью
законов Кирхгофа рассмотрим на
примере схемы, изображенной на
рис.1.16.
Схема содержит шесть ветвей
(n=6)
и четыре узла
(y=4)
.
Следовательно, по первому закону
Кирхгофа составляется
y-1=3
уравнений,
по второму закону —
n-(y-1)=3
.
Рис.1.16
∑
∑
= .uE
()
∑
=− .0Eu
.
432121
uuuuEE
−
++=−
1
E
2
E
1
u
2
u
3
u
4
u
обхода
еНаправлени
1
i
2
i
3
i
4
i
1
E
2
E
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
6
R
3
E
4
E
5
i
6
i
Ι
Ι
Ι
ΙΙΙ
a
b
c
d
12
0
0
0
431
654
621
=++
=−+
=
++
iii
iii
iii
2665522
34335544
41446611
ERiRiRi
EERiRiRi
EERiRiRi
−=++−
−=−−
−
=
−
−
Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для узлов
a,b,c
, имеют
следующий вид:
Если составить уравнение для четвертого узла
d
, то оно будет являться следствием
уравнений для узлов
a,b,c.
Действительно, сложив эти три уравнения, получим выражение
первого закона Кирхгофа для узла
d.
Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для независимых контуров I,
II, III (обход контуров по часовой стрелке):
Система уравнений для схемы на рис.1.16 содержит шесть уравнений, необходимых
для определения шести неизвестных токов. В результате расчета может оказаться, что
некоторые токи отрицательны. Это означает, что действительное направление токов
противоположно указанному на схеме цепи.
После
определения токов схемы напряжения на отдельных ее участках могут быть
определены по закону Ома.
1.7 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СХЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Преобразование линейных электрических цепей используется для упрощения
конфигурации исходной цепи и уменьшения числа ее ветвей. Условием правильного
преобразования цепи одной конфигурации в другую является энергетическая
эквивалентность исходной и преобразованной цепей; иными словами, после преобразования
общая мощность, потребляемая цепью, должна остаться той же, что и до преобразования
цепи. В тех участках цепи
, которые не подвергались преобразованию, токи и напряжения
должны остаться неизменными.
1.7.1 Последовательное и параллельное соединения
Последовательным соединением
участков электрической цепи называется
соединение, при котором через все участки цепи проходит один и тот же ток.
Рассмотрим случай для последовательно
соединенных резисторов (рис.1.17). По второму
закону Кирхгофа для этой цепи имеем:
При последовательном соединении резисторов
эквивалентное (общее) сопротивление цепи
равно сумме сопротивлений отдельных
резисторов.
Рис.1.17
Параллельным соединением
участков электрической цепи называется такое
соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, то есть,
находятся под действием одного и того же напряжения. Рассмотрим случай для параллельно
соединенных резисторов (рис.1.18). По первому закону Кирхгофа для этой цепи имеем:
.
21 n
IIII
+
+
+
=
K
Выразив каждый из токов уравнения по закону Ома, получим
,
21 nЭ
R
U
R
U
R
U
R
U
+++= L
откуда
.
,
21
2121
nэ
эnn
RRRRгде
iRiRiRiRuuuU
+++=
=
+
++=+++=
K
KK
1
R
2
R
n
R
Э
R
I
U
13
Эn
RRRR
1111
21
=+++ L
или
.
21
nЭ
GGGG
+++=
K
При параллельном соединении
резисторов величина, обратная общему
сопротивлению цепи, равна сумме
обратных сопротивлений отдельных
резисторов, то есть при параллельном
соединении резисторов общая
проводимость цепи
Э
G равна сумме
проводимостей отдельных резисторов.
Рис.1.18
Смешанным соединением участков электрической цепи называется сочетание
последовательного и параллельного соединения участков электрической цепи.
Пример схемы смешанного соединения резисторов изображен на рис.1.19.
Эквивалентное сопротивление такой цепи равно сумме сопротивлений последовательного и
параллельного участков:
ПАРЭ
RRR
+
=
1
.
После подстановки значения
сопротивления параллельного участка
получим
.
32
32
1
RR
RR
RR
Э
+
⋅
+=
Рис.1.19
1.7.2 Преобразование треугольника в эквивалентную звезду
Преобразованием треугольника в эквивалентную звезду называется такая замена
части электрической цепи, соединенной по схеме треугольника, цепью, соединенной по
схеме звезда, при которой токи и напряжения в остальной части цепи сохраняются
неизменными. Эквивалентность треугольника и звезды понимается в том смысле, что при
одинаковых напряжениях между одноименными зажимами токи, входящие в одноименные
зажимы
, одинаковы. Это равносильно тому, что мощности в этих цепях одинаковы.
На рис.1.20 показан случай, когда преобразование треугольника в эквивалентную
звезду дает возможность преобразовать многоконтурную схему в одноконтурную.
Рис.1.20
Для вывода расчетных выражений, служащих для преобразования треугольника в
эквивалентную звезду, примем следующие обозначения (рис.1.21):
312312
,, RRR — сопротивления сторон треугольника;
321
,, RRR — сопротивления лучей звезды;
321
,, III — токи, подходящие к зажимам 1,2,3;
232312
i,i,i — токи в ветвях треугольника.
Э
G
Э
R
1
1
I
2
I
n
I
I
U
1
1
R
2
1
R
n
R
1
1
I
2
I
3
I
U
2
R
3
R
1
R
a
b
c
a
b
c
31
i
12
i
1
I
1
14
Рис.1.21а Рис.1.21б
Выразим токи в ветвях треугольника через приходящие токи. По второму закону Кирхгофа
сумма напряжений в контуре треугольника равна нулю:
.0iRiRiR
313123231212
=
+
+
По первому закону Кирхгофа для узлов 2 и 1 имеем
.Iii;Iii
1123121223
−
=
+
=
Решение этих уравнений относительно
12
I
дает:
.
RRR
IRIR
i
312321
223131
12
++
−
−
=
Напряжение между зажимами 1 и 2 схемы рис.1.21а будет:
,
RRR
IRRIRR
iRU
312312
2231211231
121212
++
−
==
а в схеме рис.1.21б оно равно:
.
221112
IRIRU
−
=
Для эквивалентности необходимо равенство напряжений
12
U
при токах
1
I
и
2
I
, то есть
.
22112
312312
2312
1
322312
1231
IRIRI
RRR
RR
I
RRR
RR
−=
++
−
++
Это возможно при условии:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
++
=
++
=
++
=
312312
3123
3
312312
2312
2
312312
1231
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
(*)
Третье выражение получается в результате круговой замены индексов.
Таким образом,
сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений
прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму сопротивлений трех сторон
треугольника.
Круговой заменой индексов получаются токи в двух других сторонах треугольника:
.
RRR
IRIR
i
,
RRR
IRIR
i
312312
112323
31
312312
331212
23
++
−
=
++
−
=
1
2
3
1
I
3
I
1
R
2
R
3
R
2
I
0
15
1.7.3 Преобразование звезды в эквивалентный треугольник
В расчетах также возникает необходимость замены звезды эквивалентным
треугольником. На рис.1.22 показан случай, когда такая замена позволяет преобразовать
сложную электрическую схему в одноконтурную.
Рис.1.22
При переходе от звезды к треугольнику заданными являются сопротивления звезды
321
,, RRR . Выражения для искомых сопротивлений треугольника находятся в результате
совместного решения трех уравнений (*) (смотри п.1.7.2).
Деление третьего уравнения на первое, а затем на второе дает:
.;
12
31
2
3
12
23
1
3
R
R
R
R
R
R
R
R
==
Выражая
23
R и
31
R через
12
R и подставляя их в первое уравнение (*), получим:
,
2
3
2
12
2
3
12
1
3
12121
R
R
R
R
R
R
R
R
RRR =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
откуда
.
3
21
2112
R
RR
RRR ++=
Аналогично круговой заменой индексов получим:
.,
2
13
1331
1
32
3223
R
RR
RRR
R
RR
RRR ++=++=
Следовательно, сопротивление сторон треугольника равно сумме сопротивлений
прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.
Токи в лучах звезды выражаются через токи в сторонах треугольника. С учетом
положительных направлений на рис.1.21 имеем
.;;
233131223231121
IIIIIIIII
−
=
−
=
−
=
1.7.4 Эквивалентные источники напряжения и тока
Два разнородных источника электрической энергии - источник напряжения и
источник тока – считаются эквивалентными, если при замене одного источника другим токи
и напряжения во внешней электрической цепи, с которой эти источники соединяются,
остаются неизменными.
На рис.1.23 изображены эквивалентные
источники напряжения и тока, посылающие во
внешнюю цепь ток
1
I и поддерживающие на
своих зажимах одинаковое напряжение U.
Условием эквивалентности источников
служит следующее соотношение между э.д.с. E
источника напряжения и током I источника тока :
,IRE ⋅=
Рис.1.23
E
R
1
I
U
I
R
1
I
U
16
где R – внутреннее сопротивление как источника напряжения, так и источника тока.
В обоих случаях напряжения на зажимах источника одинаковы:
,)(
11
RIRIIIRRIEU
−
=
−
=
−
=
то есть получается условие, не зависящее от тока
1
I нагрузки.
При отсоединении эквивалентных источников напряжения и тока от внешней цепи
)0(
1
=
I
напряжение на зажимах обоих источников равно
E
. Именно это обстоятельство и
равенство внутренних сопротивлений обоих источников и обеспечивают их эквивалентность
при любом режиме работы. Однако мощности, расходуемые во внутренних сопротивлениях
эквивалентных источников напряжения и тока, неодинаковы.
Поэтому эквивалентность источников следует понимать только в смысле
неизменности токов, напряжений и мощностей во внешней электрической цепи,
присоединенной к источникам.
В
случае сложной электрической цепи замена источника напряжения источником
тока или обратно может иногда упростить расчет.
1.8 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ПО МОДУЛЮ 1
1.
Что такое положительное направление тока?
2.
Что понимается под линейной электрической цепью?
3.
Зависит ли выбор положительного направления напряжения от положительного
направления тока?
4.
Что понимается под полярностью источника напряжения и источника тока?
5.
При каких условиях реальные источники электрической энергии можно заменить
идеальными? Привести примеры, когда это возможно.
6.
Почему результат расчета электрической цепи не зависит от выбора
положительных направлений токов?
7.
Сколько вариантов системы уравнений можно составить для схемы на рис.1.16?
8.
Пояснить процесс прохождения переменного тока через конденсатор.
9.
Привести пример, в котором требуется преобразовать звезду в треугольник (или
треугольник в звезду).
10.
Выразить токи в сторонах треугольника через токи эквивалентной звезды.
Выполнить лабораторные работы по темам «Закон Ома» и
«Преобразование схем электрических цепей», используя соответствующие
моделирующие программы.
Задания для расчетной работы по теме «Законы Кирхгофа».
Определить все токи в ветвях, составив систему уравнений по законам Кирхгофа, и
для одного из контуров, в котором имеется э.д.с., построить потенциальную диаграмму.
Схема и контуры, для которых необходимо составить уравнения по второму закону
Кирхгофа, определяются в соответствие с выданным вариантом. Для расчета использовать
моделирующую программу.
Ва-
риант
Рисунок
схемы
Контуры Ва-
риант
Рисунок
схемы
Контуры Ва-
риант
Рисунок
схемы
Контуры
1 1 1.1 6 1 1.6 11 2 2.3
2 1 1.2 7 1 1.7 12 2 2.4
3 1 1.3 8 1 1.8 13 2 2.5
4 1 1.4 9 2 2.1 14 2 2.6
5 1 1.5 10 2 2.2 15 2 2.7
17
Ва-
риант
Рисунок
схемы
Контуры Ва-
риант
Рисунок
схемы
Контуры Ва-
риант
Рисунок
схемы
Контуры
16 2 2.8 21 3 3.5 26 3 3.10
17 3 3.1 22 3 3.6 27 3 3.11
18 3 3.2 23 3 3.7 28 3 3.12
19 3 3.3 24 3 3.8 29 3
20 3 3.4 25 3 3.9 30 3
Схема 1
Дано:
=
1
E
25 В
=
2
E
10 В
=
6
E
20 В
=
J 2 А
=
2
R 10 Ом
=
3
R 20 Ом
=
4
R
10 Ом
=
5
R 8 Ом
=
6
R 5 Ом
Варианты контуров для схемы 1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Схема 2
Дано:
=
1
E 2 В
=
2
E
3 В
=
3
E 2 В
=
4
E 4 В
=
1
R 1 Ом
=
2
R
2 Ом
=
3
R 3 Ом
=
4
R 2 Ом
=
5
R 3 Ом
1
4
3
2
R
5
R
6
R
4
R
3
R
2
J
E
2
E
1
E
6
E
4
1
3
R
1
R
4
R
5
E
1
R
2
2
E
2
R
3
E
3
I
4
I
1
I
3
I
5
2
I
18
Варианты контуров для схемы 2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Схема 3
Дано:
=
1
E
3 В
=
2
E 4 В
=
3
E 5 В
=
4
E 3 А
=
1
R
2 Ом
=
2
R 1 Ом
=
3
R 6 Ом
=
4
R 2 Ом
=
5
R 10 Ом
=
6
R 3 Ом
Варианты контуров для схемы 3.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
E
1
E
4
1
3
4
R
1
R
4
R
6
E
3
R
2
2
R
5
R
3
E
2
19
2 МЕТОДЫ РАСЧЕТА СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
2.1 МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных
электрических цепей, которые широко используется на практике. Этот метод заключается в
том, что вместо токов в ветвях определяются на основании второго закона Кирхгофа так
называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах. На рис.2.1 показан пример
двухконтурной электрической цепи, в которой
11
I и
22
I - контурные токи. Токи
1
I и
2
I в
сопротивлениях
1
R
и
2
R
равны соответствующим контурным токам: ток
3
I в сопротивлении
3
R
, являющимся общим для обоих контуров, равен разности контурных
токов
11
I и
22
I , так как эти токи направлены
в ветви
3
R
навстречу друг другу. При этом
если положительное направление искомого
тока в ветви
3
R
принять совпадающим с
направлением контурного тока
11
I , то ток в
ветви будет равен
11
I -
22
I . В противном
случае он будет равен
22
I
-
11
I
.
Рис.2.1
Число уравнений, записываемых для контурных токов по второму закону Кирхгофа,
равно числу независимых контуров, то есть для электрической схемы с числом узлов q и
числом ветвей p задача нахождения контурных токов сведется к решению системы
p-q+1
уравнений. Так, в схеме рис.2.1
q=2, p=3; следовательно, число уравнений равно 3-2+1
(число независимых контуров).
Сумму сопротивлений, входящих в контур, называют собственным сопротивлением
контура, а сопротивление, принадлежащее одновременно двум или нескольким контурам, -
общим сопротивлением этих контуров.
Положительные направления контурных токов задаются произвольно. Направление
обхода каждого контура принимается обычно совпадающим с выбранным положительным
направлением контурного тока; поэтому при составлении уравнения по второму закону
Кирхгофа падение напряжения от данного контурного тока в собственном сопротивлении
контура берется со знаком плюс. Падение напряжения от тока смежного контура в общем
сопротивлении берется со знаком минус, если контурные токи в этом сопротивлении
направлены навстречу друг другу, как, например, в схеме рис.2.1, где направление обоих
контурных токов выбрано по
ходу часовой стрелки.
Для заданной электрической схемы с двумя независимыми контурами (рис.2.1) могут
быть составлены два уравнения по второму закону Кирхгофа:
;)(
;)(
21132232
12231131
EIRIRR
EIRIRR
−=−+
=
−
+
где
31
RR + и
32
RR
+
- собственные сопротивления контуров 1 и 2;
3
R - общее
сопротивление контуров 1 и 2 (знак минус в уравнениях обусловлен выбором
положительных направлений контурных токов).
Если заданная электрическая схема содержит
n независимых контуров, то на
основании второго закона Кирхгофа получается система из
n уравнений:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
.
;
;
222111
22222221121
11122121111
nnnnnnnn
nnn
nnn
EIRIRIR
EIRIRIR
EIRIRIR
K
MMMM
K
K
(*)
1
E
2
E
1
R
2
R
3
R
22
I
11
I
20
где
ii
E — контурная э.д.с. в контуре i, то есть алгебраическая сумма э.д.с.,
действующих в данном контуре; э.д.с. совпадающие с направлением обхода, берутся со
знаком плюс, а направленные встречно – со знаком минус;
ii
R — собственное сопротивление контура i;
ik
R — общее сопротивление контуров i и k.
Собственные сопротивления
ii
R войдут со знаком плюс, так как обход контура
принимается совпадающим с положительным направлением контурного тока
ii
I . Общие
сопротивления
ik
R войдут со знаком минус, когда токи
i
I и
k
I направлены в них встречно.
Решение системы уравнений (*) относительно искомых контурных токов может быть
найдено с помощью определителей. Общее решение системы n уравнений относительно тока
ii
I :
(**),E
1
I,EEEI
ik
n
1k
kkii
in
nn
2i
22
1i
11ii
∆
∆∆
∆
∆
∆
∆
∆
∑
=
=+++= L
где
∆ — определитель системы;
im
∆ — алгебраическое дополнение, полученное из определителя
∆
путем
вычеркивания i столбца и m строки и умножения полученного определителя на
()
mi+
−1
.
∆
- симметричен относительно главной диагонали, так как
miim
RR
=
, поэтому
miim
∆
=
∆ .
Уравнения (*), выражающие второй закон Кирхгофа, записан в предположении, что
источниками электрической энергии служат источники напряжения. При наличии в
электрической схеме источников тока они могут быть заменены эквивалентными
источниками напряжения. Если проводимости источников тока равны нулю, то
целесообразно выбрать заданные токи в качестве контурных; тогда число неизвестных
контурных токов и соответственно
число уравнений сократиться на число заданных токов.
2.2 МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Метод узловых потенциалов заключается в том, что на основании первого закона
Кирхгофа определяются напряжения в узлах электрической цепи относительно некоторого
базового узла. Эти искомые потенциалы называются узловыми потенциалами.
Напряжение на какой-либо ветви равно разности узловых потенциалов концов данной ветви;
произведение же этого напряжения на проводимость данной ветви равно току в этой ветви. Таким образом,
зная узловые напряжения в электрической цепи, можно найти токи в ветвях.
Если принять потенциал базисного узла равным нулю,
то напряжение между остальными узлами и
базисным узлом
будут равны также потенциалам этих узлов.
На рис.2.2 в виде примера изображена электрическая
схема с двумя источниками тока, имеющая три узла: 1,2,3. В
качестве базиса выбран узел 3, потенциалы узлов 1 и 2
обозначены через
1
ϕ
и
2
ϕ
.
2
R
2
I
1
2
3
1
R
3
R
1
I
1
ϕ
2
ϕ
3
ϕ