Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов

Подождите немного. Документ загружается.

Частная модель 2 (с ограничениями Н

ос=

0, ß= О,

у=0):

Ау, -

0,511Ду

+ е,

(12.21)

а =

0,079

СКО

0,065966.

Для проверки значимости в модели

(12.19)

только одно-

го коэффициента у, т.е. гипотезы Н

: у= 0, вычислим статис-

тику

Ее критическое значение при 5%-ном уровне значимос-

ти равно —3,45, т.е. наблюденное значение по

модулю

боль-

ше критического. Следовательно,

нулевую

гипотезу

следует

отвергнуть.

Выполним более сложные проверки, в которых выдвига-

ются совместные гипотезы относительно нескольких пара-

метров модели.

Для проверки нулевой гипотезы, что данные генериро-

ваны моделью

(12.21)

против альтернативной, что «истин-

ной» моделью является (12.19), т.е. Н

: а= 0, ß= 0, у= 0,

используется статистика ф

. Наблюденное значение статис-

тики

при проверке указанной гипотезы Н

равно:

Число степеней свободы знаменателя получено

следую-

щим

образом.

Всего

квартальных наблюдений за полных 28

лет равно 112, однако в уравнении предполагается лаг за-

висимой

переменной второго порядка, так что для оценива-

ния

остается только 110 наблюдений, и из этого числа вычи-

тается число оцениваемых коэффициентов в общей модели,

т.е. ПО - 4 = 106. Критическое значение ф

при 5%-ном

уровне значимости равно 4,88, т.е. наблюденное значение

больше критического, следовательно, гипотезу Н

(модель

(12.21))

отвергаем.

281

Для проверки нулевой гипотезы, что данные генериро-

ваны моделью

(12.20)

против альтернативной, что «истин-

ной» моделью является модель (12.19), т.е. Н

: ß= 0, у = 0,

используется статистика ф

. Наблюденное значение статис-

тики

при проверке указанной гипотезы Н

равно:

При

объеме данных около 100 наблюдений критическое

значение ф

= 6,49 при 5%-ном уровне значимости. Таким

образом, наблюденное значение

меньше критического, ги-

потеза Н

, которая означает наличие единичного корня и

(или)

детерминированного временного тренда, не отверга-

ется, т.е. принимается модель (12.20).

Критерий

Дикки — Фуллера предполагает, что ошибки

независимы и имеют постоянную дисперсию. Здесь возника-

ют четыре проблемы:

1. Процесс, порождающий временной ряд, может содер-

жать- как авторегрессию, так и скользящую среднюю. Необ-

ходимо понять, как нужно проводить

тест,

если порядок

скользящей средней неизвестен.

2. Нельзя получить

хорошую

оценку у и ее стандартной

ошибки,

если не все авторегрессионные члены включены в

уравнение. Другими словами, возникает проблема выбора

порядка авторегрессии (максимального лага).

3. Критерий Дикки -' Фуллера предназначен для обна-

ружения единственного единичного корня. Однако авторег-

рессия порядка р имеет р характеристических корней. Если

имеется d <,p единичных корней, то для достижения стаци-

онарности нужно перейти к разностям временного ряда по-

рядка d.

4. Обычно заранее неизвестно, включать свободный член

временной тренд в уравнение (12.10).

Рассмотрим эти проблемы. Поскольку обратимая модель

скользящего среднего (СС) может быть преобразована в

авторегрессионную модель, то рассмотренная выше проце-

дура

Дикки - Фуллера применима и при наличии в модели

компонент

скользящего среднего. Пусть последовательность

282

значений

} генерирована смешанной моделью авторегрес-

сии-скользящего среднего

APCC(p,q)

где

(В) и Q(B) — полиномы от оператора сдвига назад В со-

ответственно порядка р

q. Оператор сдви-

га назад В означает, что

«/,_,,

у,=

у,_

и т.д.

Если корни Q(B)

лежат

вне единичного круга, то после-

довательность {у,} можно представить авторегрессионным

процессом

или,

введя обозначение D(ß)=

<p(B)/Q(B),

получаем

D(B)y, - и,.

Даже

если оператор D(B)

будет

полиномом бесконечного

порядка, используя тот же прием, что и в (12.11), можно прий-

ти к авторегрессионной модели бесконечного порядка вида

(12.22)

Бесконечную авторегрессию

(12.22)

нельзя оценить на

конечной

выборке. Однако Сайд и Дикки в 1984 г. показа-

ли,

что процесс интегрированной модели авторегрессии-

скользящего среднего

АРИСС(р,\,я),

т.е. смешанный про-

цесс авторегрессии-скользящего среднего для первых

разностей, может быть хорошо аппроксимирован процес-

сом АРИСС(р,1,0), где порядок авторегрессии р не больше,

чем п

1/3

. Таким образом, первую проблему можно решить,

используя авторегрессию конечного порядка для аппрокси-

мации

(12.22). Проверка нулевой гипотезы Н

: у- 0 может

быть выполнена с помощью статистик т, т^ или t

рассмот-

ренного выше критерия Дикки - Фуллера.

Теперь возникает проблема определения подходящего

лага. Завышенный лаг снижает мощность критерия по про-

283

верке нулевой гипотезы о единичном корне, так как в этом

случае требуется оценить большее число параметров, а,

кроме

того, уменьшается число наблюдений, используемых

для оценивания. И то, и

другое

снижает число степеней сво-

боды. С другой стороны, заниженный лаг недостаточно хо-

рошо

будет

отражать действительные свойства ошибок, так

что у и ее стандартная ошибка

будут

оценены плохо. Как

.же выбирать хорошее значение лага в таком

случае?

Один

подход состоит в том, чтобы начать с достаточно

большого лага и постепенно сокращать его в модели на ос-

нове

обычных t- и /^-критериев. Повторять процесс до тех

пор,

пока коэффициент при лаговом значении не станет су-

щественно

отличным от нуля. В чисто авторегрессионном

процессе это приведет к определению истинного значения

лага. При наличии сезонных явлений процесс

будет

несколь-

ко

иным. Например, используя квартальные данные, мож-

но

начать с трехлетнего лага, т.е. т = 12. Если /-статистика

у лага 12 несущественна, а ^-критерий указывает на то, что

лаги с 9 по 12 также несущественны, переходите к лагам с

по 8. Повторите этот процесс для лага 8 и лагов с 5 по 8

так далее, пока не

будет

достигнута приемлемая величи-

на

лага.

После

того как лаг выбран, требуется выполнить диаг-

ностическую проверку. Прежде всего

следует

изучить гра-

фик

остатков: в них не должно быть признаков структур-

ных сдвигов или автокорреляции. Коррелограмма остатков

должна быть такой, как у белого шума. Статистика Бок-

са — Пирса Q (см. гл. 7 § 3) или ее модификация — статисти-

ка

Льянга — Бокса

не

должна показывать существенную автокорреляцию ос-

татков. Не рекомендуется альтернативная процедура, на-

чинающая

с низкого значения лага, а затем увеличиваю-

щая

его до тех пор, пока не

будет

достигнут незначимый

лаг. Исследования методом Монте-Карло показали, что

ДЛЯ

этой

процедуры характерно смещение в сторону заниже-

ния

лага,

284

Множественность корней

Дикки

и Пентала предложили простое расширение кри-

терия Дикки — Фуллера на случай, когда корней больше,

чем один. По

существу,

речь идет о применении процедуры

Дикки

— Фуллера к последовательным разностям y

. Если

подозревается один корень, то оценивается уравнение вида

Если

предполагаются два корня, то оценивается урав-

нение

(12.23)

Дл^я проверки существенного отличия у, от нуля исполь-

зуются те же самые статистики

х,

т или т

(в зависимости от

детерминированных элементов, включенных в модель). Если

нельзя отвергнуть гипотезу, что у,=0, то гипотеза о втором

порядке разностей принимается и делается вывод, что ряд

является интегрированным порядка 2, т.е. /(2). Если же у,

отличен от нуля,

следует

проверить гипотезу о том, что име-

ется один корень, путем оценивания уравнения

(12.24)

Наличие

одного корня означает, что либо у,, либо у

, либо

оба коэффициента отличны от нуля. При нулевой гипотезе о

наличии

единственного корня у, < 0 и у

= 0. При альтерна-

тивной

гипотезе y

является стационарным, так что у, и у

отрицательны. Таким образом, нужно оценить модель

(12.24)

использовать критические значения статистик Дикки -

Фуллера для проверки гипотезы у, = 0. Если нулевая гипо-

теза отвергается, делается вывод о том, что у, стационарен.

Отметим, что экономические ряды не

требуют

перехода

разностям выше второго порядка.

Сезонность

и единичные корни

Для простоты изложения предположим, что кварталь-

ные

наблюдения у, генерируются моделью

285

т.е. разности лага 4 стационарны:

Если начальные значения положить равными нулю: у

#_,=

... =0,то

так

что

Следовательно, первые разности Ay

являются разностя-

ми

между

двумя стохастическими трендами. Поскольку

дисперсия Ay

неограниченно возрастает с ростом t, после-

довательность Ау

(

нестационарна. Однако разности лага,

равного периоду сезонности,

могут

быть стационарными.

Например,

если y

генерируется моделью у

(

~ y

+ м,, то

разности лага 4 А

у, = у,— у,^

",_,

+ м,_

+ u

стацио-

нарны,

однако их дисперсия больше дисперсии первых раз-

ностей.

Процедура Дикки — Фуллера может быть модифициро-

вана для обнаружения единичных корней, связанных с се-

зонностью, и для различения сезонных и несезонных еди-

ничных корней.

Возможно несколько альтернативных способов обработ-

ки

сезонности в нестационарных рядах. Наиболее прямой

метод применим, когда сезонность является чисто детерми-

нированным

явлением. Например, пусть D

, D

пред-

ставляют квартальные сезонные фиктивные

переменные,

так

что D

1 в квартале / и О-в

других

случаях.

Оценим

регрессионное уравнение

где/?,

- регрессионный остаток, который можно рассматривать

как

, очищенный от сезонных колебаний.

286

Затем используем регрессионные остатки для оценива-

ния

регрессии:

(12.25)

Нулевая гипотеза о наличии единичного корня (т.е. у- 0)

может быть проверена с помощью статистики т

Дикки -

Фуллера. Отклонение нулевой гипотезы эквивалентно при-

нятию

альтернативной, что последовательность y

является

стационарной.

Этот критерий применим, так как Д. Дикки,

В. Белл и Р. Миллер [139] показали, что на предельное рас-

пределение для у не влияет удаление детерминированных

сезонных компонент. Если желательно включить временной

тренд в уравнение (12.25), то

следует

использовать статис-

тику т

§ 5. СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ

МОДЕЛИ

АРИСС

главе

7 была рассмотрена модель, предложен-

ная

Дж. Боксом и Г. Дженкинсом [5], которая объединяет

авторегрессию исходного временного ряда и скользящую

среднюю для ошибок.

Нестационарные

модели авторегрессионного типа раз-

работаны для тех случаев, когда нестационарные времен-

ные ряды

могут

быть преобразованы в стационарные путем

перехода от исходного ряда к его разностям соответствую-

щего порядка d. Такая модель является более общей и назы-

вается

интегрированной

моделью

авторегрессии-скользя-

Щего

среднего

порядка р, d, qu обозначается АРИСС(рД<7).

Де р — порядок авторегрессии, q — порядок скользящей

средней. Обычно порядок разностей d &2,

Первый

шаг в построении модели АРИСС(/?Д<7) для

одномерного временного ряда состоит в выборе порядков р,

d, q, который осуществляется в два этапа. Сначала опреде-

ляют порядок разности d, при котором достигается стацио-

нарность процесса. Этот порядок называется

порядком

ин-

теграции

и обозначается I(d). Он определяется с помощью

расширенного критерия Дикки - Фуллера (ADF test). За-

287

тем определяются порядки модели АРСС р и q для разно-

стей порядка d. Дж. Бокс и Г. Дженкинс делали это на

основе изучения коррелограммы временного ряда и сравне-

ния

ее с теоретической коррелограммой конкретной теоре-

тической модели. Однако сейчас выбор порядков,/? и q осу-

ществляется на основе информационного критерия Акайка

или

байесовского критерия Шварца.

Оценивание

параметров моделей АР, СС и АРСС про-

изводится путем минимизации суммы квадратов ошибок 2и

(

;

для этого применяются итеративные процедуры или проце-

дуры

поиска наилучших оценок на сетке значений. Значе-

ния

ошибок и, интерпретируются как ошибки прогнозов на

один шаг (на одну единицу времени) вперед. Одной из це-

лей при построении модели является поиск модели с наи-

меньшим числом параметров —

принцип

экономности.

Общим критерием качества модели АРСС является кри-

терий Акайка и байесовский критерий Шварца. Они анало-

гичны критерию максимума скорректированного

коэффи-

циента детерминации R

или минимума дисперсии ошибки

. Эти критерии позволяют найти наилучшие значения по-

рядков р и q модели. Однако наилучшая модель из задан-

ного класса моделей еще не гарантирует того, что она явля-

ется хорошей. Необходимы дополнительные исследования

ее качества. В частности,

следует

проверить автокорреля-

цию остатков. Для авторегрессионных моделей нельзя ис-

пользовать статистику Дарбина — Уотсона (DW). В этом

случае

следует

применять критерий h Дарбина или крите-

рий

множителей Лагранжа (LM). Как уже упоминалось,

Дж. Бокс и Дж. Пирс [45] предложили изучать автокорре-

ляцию не только первого порядка, а

всех

порядков.

Статистика Q Бокса - Пирса (Box - Pierce test) имеет вид

где r

— коэффициент автокорреляции лага k\

п - число наблюдений в ряде.

Если модель адекватна, то Q имеет асимптотическое

распределение %

с числом степеней свободы т - р -

Ц>

гД

288

— порядки

АР и

СС частей модели. Льянгом

Боксом

предложена модификация этого теста

для

выборок умерен-

ного объема:

(12.26)

Однако имеются свидетельства того,

что и

критерий

Q, и

критерий

Q* имеют

малую

мощность,

критерий LM являет-

ся

более предпочтительным,

он

уже

введен

современные

программы. Однако

настоящее время

программах

и пуб-

ликациях

чаще встречается критерий

или его модификация.

Информационный

критерий Акайка

Пусть

(8)будет

максимальное значение логарифмичес-

кой,

функции правдоподобия эконометрической модели,

где

9 — оценка максимального правдоподобия (ML) вектора

па-

раметров

полученная

на

выборке объема

п.

Информаци-

онный

критерий Акайка

(Akaike

information criterion —

AIC)

[132, 133], предназначенный

для

выбора наилучшей модели

для временного ряда

из

некоторого

их

множества, имеет

вид

(12.27)

гдер

размерность вектора

т.е.

число оцениваемых

коэф-

фициентов

регрессионной модели.

случае

линейной или нелинейной регрессионной моде-

ли,

состоящей

из

одного уравнения, этот критерий эквива-

лентным образом может быть переписан

как

(12.28)

где

— оценка ML-дисперсии регрессионных остатков е/,

=l!£,

— вектор ошибок,

289

Оба варианта критерия Акайка

дают

одинаковые ре-

зультаты, но в первом варианте выбирается модель с наи-

большим значением А/С

а во втором — с наименьшим AICo*.

Таким

образом, и в том, и в

другом

случае

в этом критерии

вводится штраф за добавление в правую часть уравнения

каждой новой объясняющей переменной.

случае

линейных регрессионных моделей эквивалент-

ность

двух

вариантов критерия вытекает из

следующих

пре-

образований. Подставим максимальное значение логариф-

мической функции правдоподобия

(12.27):

(12.29)

(12.30)

и,

используя (12.28), получаем

(12.31)

Так

что максимум

AIC

будет

достигаться при миниму-

ме AIC .

Байесовский

критерий

Шварца

Байесовский

критерий Шварца (Schwarz

Bayesian

crite-

rion- SBC) также предназначен для выбора наилучшей

модели, как и информационный критерий Акайка. Он пред-

ставляет собой аппроксимацию на больших выборках апос-

териорного отношения вероятностей сравниваемых моделей.

Он

определяется как

(12.32)

Из

ряда сопоставляемых моделей выбирается та, у ко-

торой наибольшее значений SBC.

290