Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов

Подождите немного. Документ загружается.

из

равенства

ß,jc

+ ß

(

= 0

следует

=~&хъ,

что является

недопустимым, так как d

3, Если вектор х, имеет k компонент, то может быть k

—

линейно

независимых векторов коинтеграции. Ясно, что если

х, содержит только две переменные, то самое большее мо-

жет быть один независимый вектор коинтеграции. Число

векторов коинтеграции называется

рангом

коинтеграции

вектора

4. В большинстве работ, посвященных проблемам

коин-

теграции, рассматривается случай, когда каждая перемен-

ная

имеет единственный единичный корень. Причина этого

состоит в том, что традиционный регрессионный анализ

временных рядов имеет дело с переменными /(0), /(1)

очень

редко с экономическими показателями, имеющими порядок

интеграции выше 1. Поэтому часто термин коинтеграция

употребляется в узком смысле для обозначения процессов

С 1(1,1),

хотя

можно себе представить множество перемен-

ных /(2), имеющих порядок коинтеграции С/(2,1), так что

существует

их линейная

комбинация

1(1).

Коинтеграция

и тренды. Рассмотрим простей-

ший

случай, когда вектор x

содержит только две перемен-

ные y

и z

, очищенные от циклических и сезонных колеба-

ний,

т.е. x^(y

z,),

каждую

переменную можно представить

моделью случайного блуждания с аддитивной случайной

компонентой:

где

г1

представляют процессы случайного блуждания

трендов переменных y

и z

соответственно в момент t, а и

у1

г1

—

стационарные случайные отклонения.

Если и

у1

и и

г1

коинтегрированы С 1(1,1), то должны суще-

ствовать ненулевые значения ß, и ß

, для которых линейная

комбинация

301

является стационарной. Но для стационарности этой сум-

мы член

(ßjjA^

+ ß^,) должен быть равен нулю. Если он не

равен нулю, то ß,#,+

также

будет

иметь тренд. Поскольку

второй член в скобках стационарен, необходимым и доста-

точным условием того, чтобы y

и z

были коинтегрирован-

ными

процессами С/(1,1), является

Ясно,

что \i

и ц

, непрерывно изменяются во времени.

Поскольку ß,?* 0 и ß

5* 0, то

что означает идентичность стохастических трендов с точно-

стью

до постоянного (масштабного) множителя. Таким об-

разом, можно сделать вывод: с точностью до постоянного

множителя — ß

/ß, два стохастических процесса с порядком

интеграции один /(1) должны иметь одинаковый стохасти-

ческий тренд, если они коинтегрированы с порядком С/(1,1).

Пример.

Рассмотрим три процесса

все случайные компоненты u

, и

г1

, u

, e, - независимо

распределенные отклонения (белые шумы).

Каждый процесс является интегрированным первого

порядка /(1) и критерий Дикки ~ Фуллера не отверг бы

гипотезу о наличии в каждом из них единичного

корня.

Это

означает, что процессы расходятся во времени. Однако тренд

у показателя w

является суммой трендов в у

{

и z

302

Следовательно, вектор х,= (y

, z

, w

) имеет вектор

коин-

теграции (1,

1,-1),

так как линейная комбинация

является стационарной.

Этот пример иллюстрирует тот факт, что коинтеграция

имеет место

тогда,

когда тренд одной переменной может

быть выражен через линейную комбинацию трендов

других

переменных. Элементы вектора коинтеграции должны быть

таковы, чтобы тренд был исключен из линейной комбина-

ции

переменных. Такой

результат

может быть обобщен на

случай k переменных. Рассмотрим векторное уравнение

(13.4)

где x

- (x

,,..,

)

—

вектор

значений

переменных

момент

Ц,

—

(ц,, \i

....

к1

)

—

вектор стохастических трендов;

и,

«-

(м„'и

...,u

)

—

вектор случайных компонент.

Если тренд одной переменной может быть выражен в

виде линейной комбинации трендов

других

переменных си-

стемы, то это означает, что

существует

вектор-столбец ß =

(ß,, ß

, ..., ß^)', такой, что:

Умножив справа уравнение

(13.4)

на ß, получим

Так

как \ifi - 0, то x,ß = u,ß. Следовательно, линейная

комбинация

xji стационарна.

Легко сделать обобщение и на случай, когда имеется

множество линейных соотношений

между

трендами. Если

ранг коинтеграции г, то имеется г < к линейных соотноше-

ний

между

трендами и можно написать:

•Tieß

~ матрица (г х k) с элементами ß

303

Например,

если имеются два независимых вектора

коин-

теграции для k переменных, то они

могут

быть представлены

как

Заметим,

что если умножить вторую строку на

ß,/ß

вычесть ее из первой, то получим

другую

линейную комби-

нацию

элементов вектора х,, которая

будет

стационарной.

Однако

в этой комбинации

будет

только k — 1 ненулевых

коэффициентов

при х.

В более общем случае, когда имеется г векторов

коин-

теграции

между

k переменными,

существует

вектор

коин-

теграции для каждого подмножества из (k—r) переменных.

§ 3.

КОИНТЕГРАЦИЯ

И МОДЕЛИ

КОРРЕКТИРОВКИ ОШИБОК

В последние годы получил распространение класс

моделей с распределенными лагами, названных моделями

корректировки

ошибок (Error correction models

—

ЕСМ).

Эти

модели основываются на том факте, что часто

между

двумя

переменными

существует

долговременное равновесное соот-

ношение.

Например,

между

потреблением и доходом, зарп-

латой и ценами и т.п. Однако в краткосрочном плане равно-

весие может нарушаться. Отклонение от равновесия в одном

периоде, корректируется в следующем. Например, измене-

ние

цены в одном периоде может зависеть от избыточного

спроса в предыдущем. Процесс корректировки ошибок та-

ким

образом является средством согласования краткосроч-

ной

и долгосрочной динамики изучаемого процесса. Вклад в

разработку этой темы сделали Д. Сарган [159], Д. Дэвидсон,

Д.

Хендри, Ф. Срба, С. Йо [136], Р. Энгл и К. Гренжер [142].

Предположим,

что долгосрочное соотношение

между

(

X, имеет вид

(13.5)

где К — константа.

304

В качестве примера Фридман сформулировал гипотезу

постоянном доходе, в которой утверждается, что потреб-

ление У, пропорционально постоянному

доходу

Он апп-

роксимировал постоянный

доход

процессом с распределен-

ными

лагами. Другой пример

—

это гипотеза о жизненном

цикле,

в которой утверждается, что в долгосрочном плане

потребление есть постоянная доля богатства. Еще один при-

мер:

зарплаты и цены должны иметь примерно равные дол-

госрочные темпы роста, хотя в краткосрочном плане их тем-

пы

могут

различаться.

Взяв логарифмы от обеих частей уравнения (13.5), полу-

чаем

или

(13.6)

где малые буквы обозначают логарифмы.

Поскольку у

= k + x

(

то, вычитая это равенство из

выражения (13.6), получаем

(13.7)

В общем виде краткосрочная модель с лаговой коррек-

тировкой выглядит так:

(13.8)

Теперь установим, при каких условиях краткосрочная

модель

будет

совпадать с долгосрочной. Для этого поло-

жим,

что в установившемся состоянии

у* и х,- х' для

всех t. Тогда уравнение (13.8), полагая, что в долгосрочном

плане «

(

= 0, принимает следующий вид:

Для того чтобы это совпадало с уравнением (13.6), дол-

жно выполняться условие

305

которое обеспечивает равенство

Обозначим 1

—

а, = ß

=7-

Тогда сс,= 1 -уи

=y-ß,.

Делая эти подстановки в (13.8), получаем

или

т.е.

(13.9)

Полученное уравнение представляет собой простейшую

модель с корректировкой ошибки. Оно связывает изменение в

одной переменной с изменениями в

другой

и с разрывом меж-

ду

двумя

переменными в предыдущем периоде. Важно отме-

тить, что уравнение содержит краткосрочную корректировку

в то же самое время основывается на долгосрочной теории.

Член x

—

«/,_, обеспечивает корректировку краткосрочного

отклонения

от равновесия, поэтому

тест

относительно у есть

тест

для компоненты, отражающей нарушение равновесия.

В общем виде спецификация модели с корректировкой

ошибки

такая:

(13.10)

Однако эта общая формулировка не предполагает, что

= —у,. На практике мы должны это проверить, поэтому

тест

относительно

и Y

является тестом для члена коррек*

тировки отклонения от равновесия.

Наиболее общий вариант модели с корректировкой ошиб-

ки

имеет еще одно, второе уравнение, связывающее измене-

ния

в x

с изменениями в у, и лаговыми значениями. Таким

образом, имеем

306

Построение модели корректировки ошибок тесно связа-

но

с изучением коинтеграции переменных.

Пример.

Несмотря на то что модель с корректировкой

ошибки

ввел Филлипс, первым применил ее Дж. Сарган [159].

Он

исследовал связь

между

зарплатой и ценами в Велико-

британии.

Им сформулировано большое число моделей, не-

которые из которых имели

структуру

модели с корректи-

ровкой

ошибки.

В частности, на квартальных данных он оценил

следую-

щую модель (ниже даны /-статистики):

гдеду,

- 1п(7

,) - логарифм индекса зарплаты;

р,

— 1п(7 ',) - логарифм индекса цен;

и,

— \n(R

) — логарифм доли безработных;

D, — фиктивная переменная, равная 0 до конца 1954 г. и I —

дальнейшем (введена для

учета

замораживания зар-

платы в раннем периоде).

Зависимая

переменная представляет темп прироста уров-

ня

зарплаты, так как

— темп прироста зарплаты

за квартал.

В качестве объясняющих переменных Дж. Сарган ис-

пользовал темп прироста цен за целый год, а не за один

квартал; переменная безработицы введена для отражения

эффекта

экономического цикла, в предположении, что в пе-

риоды высокой безработицы рост зарплаты не

будет

боль-

шим;

член (м>

- р

) - корректировка отклонения от рав-

новесия;

временной тренд включен для отражения роста

зарплаты вследствие технического прогресса.

По

оцененному уравнению видно, что темп прироста цен

фактор замораживания зарплаты незначимы, но член кор-

307

ректировки ошибки значим. Когда незначимые члены были

опущены, оцененная модель приняла вид:

Значимость члена корректировки возросла. Отрицатель-

ный

знак его коэффициента означает, что рост реальной зар-

платы уменьшает темп прироста зар-

платы.

§ 4. КРИТЕРИИ КОИНТЕГРАЦИИ

Поскольку тип модели зависит от ответа на воп-

рос,

является ли переменная (кандидат на фигурирование

качестве регрессанда) коинтегрированной с независимой

переменной,

необходима проверка коинтегрированности

двух

или

большего числа переменных. Р. Энгл и К. Гренжер рас-

смотрели множество тестов на коинтегрированность. Мы рас-

смотрим два, рекомендованных ими.

Первый

тест

основывается на статистике Дарбина -

Уотсона DW. Процедура предполагает сначала оценку урав-

нения

вычисление обычной статистики Дарбина - Уотсона DW.

Если y

и x

являются /(1), то можно ожидать, что и и, может

оказаться /(1). Если это так, то статистика DW

будет

близ-

ка

к нулю и ряды y

и х, не коинтегрированы. Если же DW

значимо больше нуля, то это может означать коинтегриро-

ванность

двух

переменных и и,~/(0). Однако стандартные

таблицы для теста DW здесь не применимы, поскольку они

построены для проверки нулевой гипотезы, что DW - 2, а

не

DW = 0. Энгл и Гренжер с помощью имитационного мо-

делирования получили критические значения, представлен-

ные в табл. 13.1 для выборки в 100 наблюдений.

308

Таблица 13.1

Критические значения для

проверки

коинтегрированности,

л-

100

Уровень

значимости

0,01

0,05

0,10

Статистика DW

0,511

0,386

0,322

(-статистика расширенного

критерия Дикки—Фуллера

3,77

3,17

2,84

Второй

тест

использует расширенный критерий Дик-

ки

Фуллера. Он также предполагает сначала оценку урав-

нения

—

ос

+ ßj^ + u

получение ошибок

а затем оценивание регрессии Дикки — Фуллера

где

—

предварительно выбранный порядок лага для остатков.

Статистикой критерия является f-статистика

для

но

/•распределение

не

подходит.

Для

этого случая Р< Энгл

К.

Гренжер получили критические значения

помощью ими-

тационной

процедуры.

Для

выборки

в 100

наблюдений кри-

тические значения приведены

в той же

табл.

13.1.

Вопросы, рассмотренные в этой главе, имеют большое зна-

чение

для

правильной спецификации регрессионной модели,

содержащей несколько объясняющих переменных. Если

со-

держательной точки зрения экономиста

могут

удовлетворить

модели

различной структурой уравнения,

то

эконометрик

должен

уделять

внимание сбалансированности динамических

свойств статистических рядов, используемых

обеих частях

равенства,

и их

связанности (коинтегрированности).

случае

несбалансированности требуется

то или

иное предваритель-

ное преобразование данных, поиск новых переменных.

Глава

РЕКУРРЕНТНЫЕ

АЛГОРИТМЫ

ОЦЕНКИ

ТРАЕКТОРИЙ

ПАРАМЕТРОВ

МНОЖЕСТВЕННОЙ

РЕГРЕССИИ

Линейная

регрессионная модель, или просто рег-

рессия,

отражает связь

между

одной переменной у

несколь-

кими

другими переменными

,...,

в виде линейного урав-

нения

(ИЛ)

где^ - номер наблюдения, t

«=

1, 2, ,.., Т, Т

—

число наблюде-

ний

или объем выборки;

ß,

—

параметры уравнения, регрессионные коэффициенты,

1,2,

...,р;

{

— случайное возмущение, ошибка уравнения, остаток.

В матричных обозначениях эта модель записывается как

(14.2)

где

для

всех

В классическом регрессионном анализе параметры рег-

рессионного уравнения считаются постоянными и их оценки

310