Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов

Подождите немного. Документ загружается.

Последнее уравнение означает следующее: если ошибка

предыдущий момент была большой, то и дисперсия

теку-

щей ошибки

будет

увеличенной. Если же а, = 0, то это озна-

чает, что эффекта ARCH не наблюдается, дисперсия посто-

янна,

т.е. имеет место гомоскедастичность и можно применять

обычные методы оценивания

(МНК).

При ос,* 0 для оценива-

ния

модели используются более сложные методы максималь-

ного правдоподобия.

Проверка

нулевой гипотезы Н

: а, = 0 выполняется с по-

мощью оценивания МНК первого уравнения, получения ос-

татков йД оценивания регрессии квадратов остатков uf на

ЙД,

(с постоянным членом) и проверки значимости

коэффи-

циента при йД,.

Если гипотеза о гетероскедастичности принимается, то

полученные оценки h

применяются для новой оценки пер-

вого уравнения модели уже с

учетом

характера гетероске-

дастичности. Далее этот процесс может быть повторен ите-

ративным образом до достижения сходимости. Проблемы

могут

возникнуть, если оценка а, меньше нуля или больше

единицы.

Отметим, что эффекты ARCH обнаружены у курсов ак-

ций

и у

других

активов, с которыми производят спекуля-

тивные операции. Читатель легко может вспомнить, что после

резких сдвигов в курсе валюты разница

между

курсом про-

дажи и курсом покупки сразу увеличивается, так как возра-

стает

неопределенность относительно дальнейшего его дви-

жения:

то ли он вернется к прежнему уровню, то ли продолжит

движение в том же направлении. Это говорит о воздействии

дисперсии колебаний случайной компоненты на уровень кур-

са. Эффекты ARCH признаны полезными в моделях инфля-

ции,

когда последовательности больших и малых ошибок

прогнозирования

образуют

кластеры. Все это объясняется

краткосрочным ажиотажным спросом, возникающим при оче-

редном повышении цен и ожиданиях их дальнейшего роста.

Уточненная дисперсия остаточного члена позволяет гиб-

ко

строить доверительные интервалы для

будущих

значе-

ний

эндогенной переменной, т. е. для у

Модель Энгла была расширена до включения большего

числа лагов остаточного члена. В этом более общем

случае

спецификация

модели ARCH имеет вид

331

(14.60)

(14.61)

гдех,

,...,x

)

—

вектор-строка значений экзогенных

пе-

ременных

момент

= (ß,, ß

, ..., ß

)' -

вектор-столбец коэффициентов

при эк-

зогенных переменных;

1,_,— совокупность информации, известной

на

момент /-1,

включающая значения

и лаговые значения

х,, т.е.

где/i^

— дисперсия

условная

по 1

Безусловная дисперсия

постоянна

равна:

Модель

GARCH

Модель GARCH(p,<7) - обобщенная модель ARCH

(generalized ARCH), введенная Т. Болерслевым [135] явля-

ется особым случаем модели

ARCH{p,q),

в уравнении кото-

рой

есть авторегрессия и скользящая средняя

(14.62)

(14.63)

332

Модель

GARCH-M

Обобщенная модель ARCH в среднем значении (по-анг-

лийски

называется GARCH-in-mean, кратко она обозна-

чается как GARCH (p,q)

—

М) имеет

следующую

специфи-

кацию:

(14.64)

где h] = var(aJl

)определена в уравнении (14.62).

Таким

образом, среднее значение зависимой перемен-

ной

(

в момент t зависит от условной дисперсии остаточно-

го члена и

{

, представляемой, в свою очередь, моделью ARCH.

Необходимое условие ковариационной стационарности

(14.64)

состоит в том, чтобы

(14.65)

В дополнение к ограничениям

(14.63)

(14.65)

Т. Болерс-

лев предполагает также, что сс,£ 0, i •»

1,2,...,

q и ф.£ 0, / = 1,

2, ... , р. Этих дополнительных ограничений достаточно для

того, чтобы условная дисперсия была положительной, но они

не

являются необходимыми.

Модель

AGARCH

Модель GARCH(p,<7).

которой условная стандартная

ошибка u

(14.60)

определяется как

(14.66)

называется

абсолютной

GARCH

обозначается AGARCH(p,<7).

Она также содержит авторегрессионную часть порядка р и

скользящую среднюю порядка ц.

333

Модель

AGARCH-M

AGARCH-M - это модель AGARCH в среднем значении

(AGARCH-in-mean)

—

специфицируется уравнениями

(14.64)

(14.66).

Модель

EGARCH

- это экспоненциальная модель GARCH(p,<7),

которой логарифм условной дисперсии ошибки уравнения

(14.60)

имеет

следующую

спецификацию:

(14.67)

Значение

ц зависит от функции плотности вероятностей,

которая,

по предположению, описывает стандартизованные

возмущения

£/=-*••

Эта модель, разработанная Д. Нельсо-

ном

[154], допускает асимметричные воздействия прошлых

ошибок

на условные дисперсии ошибок.

Модель

EGARCH-M

ГРГ

огт

Де

BQA

(P><!)

в среднем значении

(14 64) n4fi^

mmean)

специ

ици

РУ

емая

Уравнениями

Оценивание моделей семейства

ARCH

Параметры моделей семейства ARCH получают мето-

дом максимального правдоподобия, применяя приближен-

ные итеративные методы, например алгоритм Ньютона -

Нафсона,

использующего численные оценки производных.

Сходимость обычно зависит

от

характера условной гетеро-

скедастичности

данных

и от

выбора начальных оценок

параметров.

Тесты

на

наличие эффектов

ARCH или GARCH

Самый

простой способ обнаружения эффектов

ARCH(p)

состоит

использовании процедуры множителей Лагран-

жа, предложенной

Р.

Э.нглом [141]. Процедура предполага-

ет

два

шага.

На

первом шаге получают остатки

после

применения

обычного МНК для оценивания регрессии

у,

на

•

а на

втором

—

оценивается регрессия квадратов остатков

на

константу

и р

лаговых значений квадратов остатков

для

t ~ р + 1, р + 2, ... , п.

Далее проверяется статисти-

ческая значимость

коэффициентов,

т.е. нулевая гипотеза Н

а,

- ... - а

- 0.

В этой

главе

представлены методы рекуррентного

оце-

нивания

параметров линейной множественной регрессии.

Данный

подход

позволяет получить важную дополнитель-

ную информацию об устойчивости параметров, оценить тра-

ектории движения коэффициентов.

На

основе такого рода

информации

могут

быть выдвинуты более адекватные гипо-

тезы

структуре

регрессионного уравнения или добавлены

уравнения, отражающие динамику коэффициентов,

а так-

же определены моменты скачков

значениях коэффициен-

тов,

что

позволит весь выборочный период разделить

на

отдельные подпериоды относительно однородного поведения

исследуемого временного ряда.

Критерий

качества, использовавшийся здесь, предпола-

гает

минимизацию суммы квадратов ошибок прогнозирова-

ния

на

один

шаг

вперед.

этот критерий,

по

нашему мне-

нию,

обладает преимуществом по сравнению с коэффициентом

Детерминации

который

не

является операциональным

335

том смысле, что он не имеет максимума и может только воз-

растать при увеличении числа регрессоров. Так, в одном ис-

следовании [151] в

результате

статистического анализа нами

были получены три модели практически одинакового каче-

ства, если

судить

по обычным статистическим критериям. И

только с применением критерия, построенного на анализе

ошибок

ретроспективных прогнозов на один шаг вперед, по-

лученных рекуррентным способом с использованием адап-

тивной

регрессии, сразу

удалось

выявить достоинства одной

из

моделей.

Авторегрессионные модели семейства ARCH, предпола-

гающие

условную

(локальную) изменчивость дисперсии ос-

таточного члена регрессии, позволяют на каждом шаге об-

новлять оценку этой дисперсии и более гибко строить

точечные и интервальные оценки прогнозов.

Глава

КРАТКОСРОЧНОЕ

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

КУРСОВ

ВАЛЮТ

ПОМОЩЬЮ

СТАТИСТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ

Повышение

эффективности краткосрочных опе-

раций

с валютой — одна из важных задач в деятельности

банков

других

инвесторов. Ежедневно (а иногда и несколь-

ко

раз в день) банки продают и покупают различные валю-

ты в значительных

объемах,

стремясь придать движение

имеющимся

в наличии свободным валютным резервам с

целью избежать потерь от конъюнктурных колебаний кур-

сов и получить дополнительную прибыль. Причем валют-

ные

операции осуществляются с большой скоростью

путем

Договоренности представителей банков с помощью совре-

менных средств связи, и очень важно выйти на валютный

рынок

с предложениями раньше конкурентов. Все это, по

сути

дела,

составная часть непрерывного процесса форми-

рования

оптимальной

структуры

валютных резервов.

Эффективность

валютных операций существенным об-

разом зависит от надежности прогнозов колебания курсов

валют. Именно поэтому краткосрочное прогнозирование

курсов имеет большое практическое значение для опера-

тивной

деятельности банков и прочих инвесторов, а воп-

рос о возможности применения статистических методов для

этой

цели представляется актуальным и естественным.

Проблема краткосрочного прогнозирования курсов

валют

применением статистических моделей

будет

рассмотре-

на

здесь исходя из того, что для успешного ведения валют-

ных операций

требуется

получение прогнозов на одни сут-

ки

вперед.

337

§ 1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Информация

о динамике курсов национальных

валют создает впечатление хаотического движения: паде-

ние

и рост курсов сменяют

друг

друга

в каком-то случай-

ном

порядке. Даже если за большой интервал времени от-

мечается тенденция, например, к росту, то на графике легко

можно

увидеть, что эта тенденция прокладывает себе путь

через сложные движения временного ряда курса валюты.

Направление

ряда все время меняется под воздействием

нерегулярных

часто неизвестных

сил.

Исследуемый объект

полной мере подвержен воздействию стихии мирового

рынка,

и точной информации о

будущем

движении курса

нет. Необходимо сделать прогноз. При этом совершенно оче-

видно,

что прогнозировать даже

знак

прироста курса очень

сложно.

Делать это обычно поручают экспертам, которые

анализируют текущую конъюнктуру, а также пытаются

выделить факторы, регулярным образом связанные с дви-

жением

курса (фундаментальный анализ). При построении

формальных моделей также пытаются выделить круг суще-

ственных факторов и на их основе сконструировать

какой-

либо индикатор или предиктор.

Насколько

нам известно, ни

эксперты-практики,

ни фор-

мальные методы не

дают

пока устойчивых хороших резуль-

татов. Полагаем, объясняется это прежде всего тем, что если

есть действительно какой-либо круг факторов, влияющих

стабильным образом на курс, то их воздействие надежно

скрыто наложенной случайной составляющей, да й управ-

ляющими

воздействиями центральных банков. В результа-

те эти факторы и их влияние выделить довольно трудно.

Мы

склоняемся к тому, чтобы считать краткосрочное

прогнозирование

курса по существу задачей прогнозирова-

ния

последовательного движения изолированного времен-

ного

ряда, причиной которого является главнцм образом

массовое поведение на валютном рынке мелких дельцов и

крупных финансовых воротил, совершающих

основной

объем

финансовых

операций с валютой. Такой подход можно отне-

сти к так называемому техническому анализу.

Конечно,

отдельно взятый участник валютной игры во-

лен

совершенно произвольно менять свою стратегию. И все

же можно предположить, что поведение всей массы

участ-

338

ников

через соотношение спроса и предложения, влияющее

на

курс валюты, обладает в текущий период времени ка-

кой-то определенной доминирующей логикой, обнаружива-

ющейся через закон больших чисел. Например, при паде-

нии

курса валюты ее

могут

скупать, ожидая в дальнейшем

повышения

курса. И такой массовый спрос валюты дей-

ствительно ведет к росту ее курса. Или наоборот, если пос-

ле падения курса валюты доверие к ней падает и ожидает-

ся

ее дальнейшее обесценение, то преобладает массовое

предложение и курс падает еще ниже.

Заметим, что при таком упрощенном подходе саму ди-

намику временного ряда можно прочитать как хронологи-

ческую запись о массовом поведении участников валютного

рынка.

Это

дает

возможность при построении модели исхо-

дить из самого ряда, не привлекая дополнительной

инфор-

мации,

а все рассуждения о массовом поведении участников

рынка

использовать лишь для качественной интерпретации.

Если бы удалось найти в динамике ряда хотя бы крат-

косрочные закономерности, реализующиеся с вероятностью

более 50%, то это дало бы основания рассчитывать на ус-

пех. Тогда для прогнозирования курсов стало бы возмож-

ным

применение статистических методов, улавливающих

более или менее устойчивые отношения последовательных

событий временного ряда.

В данном случае мы ставим перед собой

следующую

зада-

чу. Во-первых, выяснить применимость для краткосрочного

прогнозирования

валютных курсов каких-либо статистичес-

ких методов, назначение которых

—

описывать повторяющие-

ся

события или ситуации, характеризующиеся относительно

устойчивыми связями. Во-вторых, если статистические мето-

ды применимы для решения поставленной задачи, то устано-

вить их наиболее перспективный класс, указать характерные

особенности этих методов, особое внимание уделить простей-

шим

из них.

В-третьих,

показать на примере практические

результаты хотя бы некоторых попыток.

Отметим, что вопросам прогнозирования курсов валют

всегда уделялось большое внимание. Из публикаций на близ-

кую тему укажем, например, работу К. Гренжера и О. Мор-

генштерна (Granger

Clive

W.J., Morgenstern Oscar.

Predictability of stock market prices. Massachusetts, 1970), в

339

которой исследуется динамика курсов акций и приведена об-

ширная

библиография. В этой монографии фактически сде-

лан вывод о том, что если и есть какая-либо корреляция в

рядах подобного рода, то наиболее вероятно, что она имеется

между

смежными приростами курсов. В дальнейшем появи-

лись модели класса ARCH, GARCH и др. (см. гл. 14, §

7),

по-

зволяющие учитывать волатильность.

Однако возникает вопрос, не пытаемся ли мы прогнози-

ровать совершенно случайные колебания курсов валют. Для

ответа на этот вопрос в [126] проведено специальное иссле-

дование.

АНАЛИЗ

СЛУЧАЙНОСТИ

ДВИЖЕНИЯ

КУРСОВ

ВАЛЮТ

Объектом исследования являлся временной ряд

последовательных ежедневных данных (наблюдений) о кур-

се той или иной валюты по отношению к американскому

доллару,

который

будем

записывать как x

...,x

, где N -

длина ряда, точнее длина исследуемого отрезка ряда. За-

дача

состояла в том, чтобы выявить наличие более или ме-

нее устойчивой зависимости i-ro наблюдения от предшеству-

ющих

на этом основании сделать прогноз на (ЛЖ)-й момент.

В качестве статистической базы исследования взяты данные

курсах пяти валют: британского фунта стерлингов, запад-

ногерманской марки, японской иены, французского и швей-

царского франков. Длина каждого временного ряда была

произвольно принята равной 150 ежедневным наблюдениям

за период с 31 декабря 1982 г. по 29 июля 1983 г. Таким

образом, ряды взяты достаточно протяженными для того,

чтобы можно было сделать более или менее основательные

выводы.

Прежде чем приступать к изучению механизма связи

между

последовательными значениями курса валюты, была

предпринята попытка выяснить, не являются ли исходные

ряды абсолютно случайными, представляющими так назы-

ваемый белый шум, в котором

отсутствует

зависимость меж-

ду значениями ряда, относящимися к различным моментам,

направление движения которого в

будущем

равновероят-

но,

т.е. непредсказуемо. Для этого отобранные ряды испы-

340