Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов

Подождите немного. Документ загружается.

Рис.

7.3. Прогнозирование курса акций

фирм« ИБМ по модели АРИСС(1, 0,0):

=525+0,944

(*<-,—525)

Рис.

7.4. Прогнозирование курса акций фирмы ИБМ по модели

АРИСС (0, I, 1): (1~В)д:,=0,830+е

+0,126е(_1

201

Рис.

7.5.

Прогнозирование курса акций фирмы ИБМ

по

мо-

дели

АРИСС

(0, 1, 1):

(1—B)x

l,72+et-0,204bt-i

Рис,

7.6,

Прогнозирование цены

на

золото

по

модели

АРИСС

(0, 1, 1);

(1—

B)x, =

e,--0,248ei-i

202

дой части модель подбиралась отдельно. По построенным

моделям производилась экстраполяция на т = 10. Резуль-

таты отражены на рис.

7.3—7.11.

Проанализируем полученные результаты. Хорошо согла-

суется

прогноз с фактическим поведением процесса на от-

Рис.

7.7. Прогнозирование цены на золото по модели

АРИСС

(0, 1,1):

(1—£)*<«=

в«+0,068ej-j

Рис.

7,8. Прогнозирование цены на золото по модели

АРИСС

(0, 1, 1):

(l-ß).v

6(~0,387e(-

резках: Золото

, Золото

Золото

, Зо-

лото

ИБМ

, ИБМ

Особенно интересно сравнить прогно-

зы для отрезка Золото

с экстраполяцией по модели Холь-

та с гипотезой, что ряд генерируется процессом Тейла—

Вейджа

(см. рис.

1.10).

Модель

АРИСС

дала

здесь намного

лучший

результат.

203

На

участке

ИВМ^ реальный процесс

уходит

из довери-

тельной области. Это можно объяснить резким падением

курса акций (на 40 дол.) от точки 46 до точки 51. Таких пе-

репадов на

участке

1—48 не наблюдалось. В данном слу-

чае оказалась неверна гипотеза о возможности экстраполя-

ции

динамических свойств ряда.

Рис.

7.9. Прогнозирование цены на золото по модели

АРИСС

(0, 1, 0): (1—5)лг

(

е<

Наш

опыт работы с моделями АРИСС показал, что не-

удачи

при прогнозировании часто объясняются неоднород-

ностью свойств ряда. Поэтому целесообразно в общей блок-

схеме

построения модели АРИСС (см. рис. 7.1) добавить

блок

предварительного анализа ряда на однородность.

Иногда

полезно при построении модели отказаться от части

имеющейся устаревшей информации с тем, чтобы данные

характеризовались большей однородностью.

В табл. 7.4 приведены

результаты

эмпирического

сравне-

ния

моделей Бокса—Дженкинса и адаптивной модели авто-

регрессии, рассмотренной в гл. 3. Адаптивная модель ав-

торегрессии хорошо себя зарекомендовала при эмпиричес-

ком

сравнении с другими моделями (см. гл. 6, § 4), На ос-

нове данных табл. 7.4 можно сделать вывод о том, что мо-

дели Бокса—Дженкинса, по-видимому, приводят к более

точным прогнозам, чем адаптивная модель авторегрессии.

204

РйС

АРИ?г°

1р

аН

о?

ены

на Золот

° по

модели

АРИСС

(0, 1, I): (l~ß)*,»0,196+ei+0

416B|

tai

205

Таблица 7.4

Сравнение моделей Бокса—Дженкинса

адаптивной моделью авторегрессии

по

среднему квадрату ошибки ретроспективных прогнозов (т=1)

Ttmn

"яд

Курс

акций

фирмы ИБМ

Цена

на

золото

Номер

отрезка

Количество

членов

Средний квадрат ошибки

модель

Бокса—

Дженкинса

30,254

33,808

44,547

0,09208

0,10623

0,02797

0,13410

0,40441

0,68115

адаптивная

модель авто-

регрессии*

30,72а

44,363

45,008

0,09571

0,10947

0,02910

0,13851

0,83498

0,81166

•

связи

тем,

что при

подсчете среднего квадрата ошибки

"спользо

ванных нами программах метода Бокса-Дженкинса первые пять

зн

»'^ые

ошибки

не

учитываются,

как

связанные

начальными условиями, дани

скорректированы.

Сделаем некоторые выводы. В данной

главе

рассмотрев

ны

методы построения интегрированных моделей авторег-

рессии — скользящего среднего, изучены их свойства, про-

ведено экспериментальное моделирование. Преимущества

метода Бокса—Дженкинса проявились в том, что, во-пер-

вых, возможности адаптивных моделей расширились за

счет

учета

авторегрессионных свойств исходного ряда или его

разностей; во-вторых, теперь при наличии достаточного

количества однородных данных можно более обоснованно

конструировать модель;

в-третьих,

в процедуре исполь-

зуется критерий 0 (критерий

Бокса—Пирса),

и критерий

%, на основании которых можно отвергнуть ту или иную'

модель. Однако, как показывают эксперименты, и при хо-

роших значениях критерия адекватности модели реальному

процессу в некоторых

случаях

модели

могут

давать плохие

прогнозы.

Проведенные исследования показал.и, что основным

фактором погрешности в таких

случаях

являлась неодно-

родность анализируемых рядов (они охватывали временные

отрезки с качественно различной динамикой развития). В

практических исследованиях такого рода погрешности, по*

видимому, наиболее

опасны.

Поэтому перед

построением

мо-

дели необходим тщательный качественный анализ исходного

ряда. В связи с этим

следует-считать

неправомерным чисто

формальное применение рассмотренной процедуры для син*

теза модели АРИСС на

основе.автокорреляционнойи.

част*

ной

автокорреляционной функций. Перёд построением мо-

дели Бокса—Дженкинса необходим анализ данных на од-

нородность. В ряде

случаев

может'появиться возможность

усилить однородность

путем

преобразования части

исход«

ных данных.

Как

отмечалось, для исключения

тенденций,

выражаемой

полиномом порядка d, Бокс и Дженкинс предложили

пере«

ходить

от исходного ряда к его разностям w

, =

стро-

ить модель. АРСС для ряда щ =

— ц

(см. (7.10)),

где ц

— среднее значение w

т. е.

(7.67)

207

Представим

(7.57)

для случая d = 1 в виде:

где n=N — 1.

При

d —I и

Ци,

Ф 0 речь идет об исключении тенденции,

выражаемой полиномом первого порядка, причем ц

№

есть

коэффициент

линейного роста. Способ его оценки (7.58),

очевидно, не является наилучшим, так как он опирается

лишь на два крайних наблюдения выборки, а остальные

данные в расчет не принимаются.

Точно так же можно показать, что при d — 2

Это свидетельствует о том, что предлагаемый метод ис-

ключения полиномиальных тенденций может быть пригоден

лишь при краткосрочном прогнозировании. При увеличе-

нии

же периода упреждения тенденцию лучше исключать

каким-либо другим способом, а модель АРСС строить для

отклонений

от тенденции.

Сравнивая процессы Бокса—Дженкинса и Тейла—Вей-

джа, мы пришли к выводу, что это различные процессы.

Между тем линейный предиктор Хольта, использованный

Тейлом и Вейджем, является частным случаем предикторов

Бокса—Дженкинса. Таким образом, один и тот же предик-

тор может быть оптимальным для прогнозирования различ-

ных процессов, при этом доверительные границы прогноза

должны рассчитываться,

конечно,

по различным формулам.

Мы

видели, что модели Брауна являются частным слу-

чаем моделей Бокса и Дженкинса. Подчеркнем теперь ос-

новное различие

между

этими методами. Модели Брауна

полностью определяются единственным параметром ß.

Браун пытался прогнозировать все многообразие рядов С

помощью всего лишь

трех

различных значений ß. Таким

образом, его целью было создание простых универсальных

моделей, дающих минимум среднеквадратической ошибки

для совокупности многих рядов в целом.

У Бокса и Дженкинса к каждому ряду подход индиви-

дуален. Они решают проблему построения специальной,

оптимальной модели отдельно в каждом случае. По-види-

мому, оба подхода для практики сохраняют свое значение,

но

различаются по целям и области применения.

Глава 8

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ

ВРЕМЕННЫХ

РЯДОВ

Глава посвящена вопросам многомерного ста-

тистического анализа. Рассматривается возможность про-

верки адекватности линейных динамических эконометри-

ческих моделей реальному процессу на основе изучения и

сопоставления стохастических свойств переменных, вхо-

дящих в состав уравнений. Предлагается адаптивная мо-

дель

множественной регрессии. На ее основе построена

адаптивная производственная функция на данных, харак-

теризующих экономику США

(1947—1973

гг.).

§ 1. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В предыдущих

главах

рассматривалась техника

анализа изолированного временного ряда. В центре нашего

внимания

были методы построения прогностических моде*

лей на основе анализа данных единственной выборки. Пред-

полагалось, что

будущая

тенденция является той или иной

функцией

времени или предшествующих значений ряда;

Вследствие

того, что на коэффициенты этой функции не на-

кладывалось требование быть неизменными во времени, а

модель, по которой рассчитывались прогнозы, наделялась

адаптивными свойствами, методы анализа и прогнозиро-

вания

изолированного ряда были достаточно гибкими и по-

лезными для моделирования широкого класса одномер-

ных процессов или их отдельных сторон. В

случае

ограни-

ченности исходной информации, неразработанности теории

исследуемого процесса, неопределенности представления о

взаимосвязях данного ряда с другими рядами эти мето-

ды

могут

оказаться незаменимыми и упрощение, в резуль-

14-1866

209

тате

которого совокупное воздействие всех сторонних фак-

торов выражается в модели через время, становится необ-

ходимым.

Если

же известно о воздействии на изучаемый процесс

каких-то

других

процессов и имеется возможность полу-

чить временные ряды, описывающие их развитие, то мето-

ды анализа изолированных рядов

уступают

место много-

мерному статистическому- анализу. Это позволяет включить

модель ценную дополнительную информацию,

учесть

структуру

изучаемого объекта и получить взаимоувязанные

прогнозы

нескольких переменных.

случае

многомерного статистического анализа обыч-

но

строят

системы

линейных

уравнений,

модели множествен-

ной

регрессии. Вопросам их построения посвящено доста-

точно много работ (см. например, [14]). В процедуре по-

строения

таких моделей можно выделить пять основных

этапов:

отбор временных рядов (факторов) для включения

модель, разделение всех отобранных факторов на

экзо-

генные и эндогенные, принятие гипотезы о характере свя-

зи

эндогенных и 'экзогенных переменных (т. е. структуры

модели),

оценивание параметров модели по заданному кри-

терию, анализ адекватности модели, На все этапы, кроме,

пожалуй, оценивания, огромное влияние оказывает субъ-

ективное мнение исследователя, его опыт, знание реаль-

ных процессов и теорий. В силу этого структура модели

часто задается произвольно, интуитивно. Этим и объясня-

ется потребность в методах анализа гипотез о

структуре

научаемого объекта. Интересным в этом плане является

предложение А. Зельнера и Ф. Пальма [115] сначала теоре-

тически вывести свойства каждого включенного в модель

фактора

исходя из гипотетической структуры модели, а

затем провести эмпирический анализ статистических дан-

ных. Если результаты эмпирического и теоретического ана-

лиза не противоречат

друг

другу,

то предполагается, что

структура модели выбрана верно. Если же обнаруживает-

ся

противоречие, модель перестраивается в соответствии с

новой

гипотезой и вновь осуществляется проверка.

Иными

словами, структура эконометрической системы

уравнений проверяется на основе раздельного анализа каж-

дого входящего в нее временного ряда методом, рассмот-

ренным

в гл. 7, и сопоставления статистических свойств

эндогенных и экзогенных переменных. Таким образом, тра-

диционный

эконометрический подход соединяется с послед-

210