Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов

Подождите немного. Документ загружается.

ются смещенными, так как минимум 2«? в

(8.10)

не соот-

ветствует

минимуму 2в* в (8.9).

[12]

(см.

также приложение 3) делается вывод, что для

компенсации

смещения в

случае

производственной функ-

ции

рассматриваемого нами вида нужно обе части уравне-

ния

(8.10)

предварительно умножить на переменную, стоя-

щую

левой части уравнения

(8.9).

Таким образом, приходим

задаче оценивания уравнения:

где v

— случайная переменная; v

Ä*

Если теперь для оценивания этого уравнения вместо

МНК

применить метод адаптивной множественной регрес-

сии,

то получим адаптивную модель производственной

функции.

Пример

Построим адаптивную модель производственной функ-

ции

экономики США по данным за

1947—1973

гг., приве-

денным в табл. 8.2. В качестве переменной Y возьмем вало-

вой

национальный продукт

ценах 1958 г., в качестве К —

величину основного капитала по полной стоимости в ценах

1958 г., умноженной на индекс загрузки оборудования, и в

качестве L — численность занятых в народном хозяйстве.

После простого преобразования получим возможность

рассчитывать производственную функцию на основе ин-

дексов, как это обычно и делается:

(8.11)

Делим обе части исходного уравнения

(8.11)

на

ILx

логарифмируем:

Проводим преобразование уравнения, необходимое для

корректировки смещения при оценивании параметров:

Оценивание

проводим методом адаптивной множествен-

ной

регрессии

получаем картину эволюции параметров

(см.

табл.

8.2).

Таблица

8.2

Адаптивная производственная функция экономики

США

(1947—1973)

Год

1947

1948

1949

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

1959

1960

1961

1962

1963

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

Исходные

данные

•

309,9

323,7

324,1

355,3

383,4

395,1

412,8

407,0

438,0

446,1

452,5

447,3

475,9

487,7

497,2

529,8

551,0

581,1

617,8

658,1

675,2

706,6

725,6

722,5

746,3

792,5

839,2

«я

ь*

»к

я " х -с

SSBSSS

428 705

447216

461

761

480

881

500640

518053

536325

553462

572 708

595509

615884

630255

645

172

663 545

680 050

699872

712

014

745

146

778

123

817 822

855304

894 529

936 600

973400

1006 800

1045

100

1090

200

l§i

95,2

92,4

81,3

89,5

90,6

88,5

92,3

82,9

90,8

89,8

86,5

75,9

82,2

80,5

77,7

81,2

82,8

85,7

90,6

95,8

92,7

94,5

95,6

87,9

85,3

89,6

95,8

га

со

а-

57039

344

649

920

59 962

60 254

61181

60110

62171

802

64 071

63036

64630

778

65 746

66 702

67 762

69 305

71088

895

74 372

75920

77902

78627

79120

81702

84 409

Результаты

0,27823

0,27820

0,27811

0,27812

0,27818

0,27809

0,27806

0,27805

0,27801

0,27792

0,27794

0,27793

0,27792

0,27793

0,27792

0,27791

0,27789

0,27784

0,27785

0,27784

0,27783

0,02769

0,03102

0,03296

0,03459

0,03928

0,03186

0,03045

0,02876

0,02678

0,02162

0,02309

0,02327

0,02208

0,02125

0,02191

0,02270

0,02171

0,02164

0,02111

0,02097

0,01998

0,02002

0,01791

0,01805

0,01856

0,01787

0,01739

—0,00797

—0,00464

-0,00367

—0,00313

-0,00195

—0,00344

—0,00367

-0,00391

-0,00416

-0,00473

-0,00459

-0,00457

—0,00467

-0,00473

—0,00469

—0,00463

—0,00469

-0,00470

-0,00473

-0,00474

-0,00478

-0,00488

-0 00487

-0,00485

-0,00488

-0,00490

а+нх

х(<-1)

0,9921

1,0267

1,0642

1,1059

1,1679

1,1687

1,1961

1,2182

1,2338

1,2091

2540

2858

2973

13120

3526

1,3920

4087

4379

4554

4824

4841

5153

14757

5072

1,5536

5556

5640

•

Economic report

the

president, transmitted

to the

congress,

•

197

»"*

Fixed nonrestdential business, Capital

the U. S.,

1925-1970,

P-

Survey

current business, 1974,

n. 3.

**»

Economic report

of the

president, 1976, Wharton series.

222

Таблица

8.3

Сравнение обычной

адаптивной множественных регрессий

Фактическое

значение

эндогенной

переменной

0,0000

0,0219

0,0357

•

0,1195

0,2015

0,2398

0,2885

0,2891

0,3672

0,3631

0,3830

0,3854

0,4668

0,4893

0,5305

0,6492

0,7169

0,8136

0,9364

1,0784

1,1186

1,2273

1,2621

1,2251

1,3285

1,4822

1,6363

Обычная регрессия

Модельное

значение

Уобычк

0,0737

0,0921

0,0905

0,1469

0,1886

0,2172

0,2669

0,2684

0,3405

0,3714

0,3985

0,3892

0.4658

о;5ооо

0,5328

0,6180

0,6804

0,7723

0,8862

1,0165

1,0754

1,1849

1,2720

1,2776

1,3584'

1,5154

1,6950

Ошибка

Y—Уобычн

—0,0737

—0,0702

—0,0547

—0,0274

0,0129

0,0226

0,0216

0,0207

0,0267

—0,0083

—0,0156

—0,0038

0,0010

—0,0107

—0,0023

0,0312

0,0365

0,0413

0,0503

0,0619

0,0432

0,0424

—0,0099

—0,0525

—0,0300

—0,0332

-0,0587

Адаптивная

регрессия

Модельное

значение

Кадапт

0,0124

0,0176

0,0326

0,1158

0,1864

0,2697

0,2956

0,2987

0,3811

0,4043

0,3698

0,3836

0,4803

0,4997

0,5214

0,6367

0,7342

0,8150

0,9479

1,0820

1,1448

1,2261

1,3286

1,2205

1,3103

1,5092

1,6072

Ошибка

—0,0124

0,0042

0,0031'

0,0038

0,0150

—0,0300

—0,0070

—0,0096

—0,0138

—0,0412

0,0132

0,0018

—0,0135

—0,0105

0,0091*

0,0125

—0,0173

—0,0014*

-0,0115

—0,0036

—0,0262

0,0012

—0,0665

0,0046

0,0182

—0,0270

—0,0208

обычной регрессии,

оцененной

МНК

0,00163

адаптивной

регрессии

0,00043

223

Средние квадраты отклонений

Начальные значения параметров для процесса адапта-

ции

были получены как оценки МНК обычной регрессии,

построенной на первых N

точках выборок. Наилучшее Nu

найденное методом перебора, оказалось равным 9, а наи-

лучшее

значение параметра адаптации равным

1,642.

Рис.

8.1. Иллюстрация результатов, по-

лученных по адаптивной модели.произ-

водственной функции экономики США

но

данным за

1947—1973

гг.

Динамика показателя экономической эффективности

представлена в столбце 9 табл. 8.2.

Следует

отметить, что

явная

тенденция показателя и к снижению

свидетельству-

ет о невыполнении обычно принимаемой гипотезы об

экспо-

ненциальном росте экономической эффективности. В дей-

ствительности, как это

следует

из адаптивной модели, про*

224

исходит последовательный переход с более быстрой экспо-

ненты на более медленную. Технический прогресс при этом

носит нейтральный характер U-^—« const).

Для Сравнения уравнение

(8.12)

было оценено обычным

МНК

по тем же данным (см. табл. 8.3).

Сопоставление средних квадратов отклонений приво-

дит к выводу о значительно более гибком отражении функ-

ционирования

экономики адаптивной моделью.

На

рис. 8.1 на графике по оси ординат отложены индек-

сы валового национального продукта (ВНП) и значения по-

казателя экономической эффективности A (t). Показатель

экономической эффективности отражает роль интенсивных

факторов роста, а роль экстенсивных факторов можно оп-

ределить разделив индекс ВНП на соответствующий по-

казатель экономической эффективности. Этот показатель,

обозначенный как В (t)

также представлен на графике.

Легко заметить совпадение тенденций индекса ВНП и

показателя В (t) и колеблемость эффективности A (t) как

бы в противофазе с В (t) и индексом ВНП. Первое говорит

о прямом влиянии экстенсивных факторов на рост ВНП, а

второе — о падении эффективности в период роста произ-

водства и ее увеличении во время кризисных явлений. Это

объясняется тем, что в период экономических спадов из

процесса производства в первую очередь выбывают

уста-

ревшие производственные фонды и работники с низкой ква-

лификацией,

а в период подъема начинают функциониро-

вать и отсталые предприятия, которые тянут показатель

экономической эффективности вниз.

В заключение отметим, что результаты, получаемые мето-

дом адаптивного моделирования,

могут

давать ценную ин-

формацию о последовательном развитии экономических сис-

тем

•

полезны как для краткосрочного прогнозирования,

так и для анализа долгосрочных тенденций.

Глава

НЕТРАДИЦИОННЫЙ

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ

АНАЛИЗ

ВРЕМЕННЫХ

РЯДОВ

В этой

главе

дана критика применения класси-

ческой теории корреляции для анализа связи временных (и,

частности, экономических) рядов, когда не выполняются

гипотезы об их стационарности и эргодичности. Предлага-

ется ряд новых измерителей.

§ 1. УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ

ТРАДИЦИОННОГО КОРРЕЛЯЦИОННОГО

АНАЛИЗА

Корреляционный

анализ часто используется в

экономических исследованиях для изучения статистической

связи

между

переменными, представленными временными

рядами [3]. Несмотря на то что он не позволяет отделить

прямые причинно-следственные связи от косвенных или

даже

просто от случайных совпадений колебаний переменных, этот

анализ ценен тем, что предоставляет возможность придать

количественную определенность степени сопряженности

колебаний этих рядов, подтвердить или поставить под со-

мнение

те или иные гипотезы. Корреляционный анализ в

соединении с содержательным исследованием оказывается

полезным и достаточно простым аналитическим средством.

Этим и объясняется его популярность у экономистов.

Корреляционная

теория была разработана для случай-

ных стационарных процессов, допускающих получение лю-

бого числа реализаций (наблюдений, измерений). Под ста-

ционарностью

понимается неизменность среднего уровня

226

случайного процесса, дисперсии отклонений и постоянство

автокорреляционной функции. Эта теория предназначалась

прежде

всего

для технических приложений, где гипотеза о

стационарности считается приемлемой, а принципиальных

ограничений на число реализаций нет.

На

самом

деле

выдвигаются (или молчаливо используют-

ся)

даже

еще

более

жесткие требования к случайному про-

цессу,

заключающиеся в том, что предполагается его эрго-

дичность.

Эргодическими

случайными

процессами

называется

подкласс стационарных случайных процессов, для которых

усреднение по множеству реализаций эквивалентно

усред-

нению по времени.

Тогда

корреляционный анализ особенно

упрощается, и это одна из причин его распространенности.'

Именно

эта теория, разработанная для стационарных и

эргодических случайных процессов, некритически воспри-

нята экономистами и используется ими для анализа про-

цессов заведомо нестационарных (например, имеющих тренд)

даже

неслучайных (случайный процесс должен описывать-

ся

тем или иным законом распределения вероятностей), ко-

торые обычно представлены единственной реализацией.

Большое число реализаций в экономике при одних и тех же

условиях часто принципиально невозможно.

В экономических исследованиях

требуется

особая теория

корреляционного анализа, специально предназначенная для

изучения сопряженности (или связности) колебаний неста-

ционарных процессов, представленных единственной реали-

зацией. Такая теория, предложенная нами в [122] и [125], и

будет

изложена в этой главе. Вводятся новые виды корреля-

ционных коэффициентов, позволяющие измерять изменение

силы связи

двух

переменных во времени, а также в зависи-

мости от амплитуды их отклонения от некоторой критичес-

кой

величины. Рассматривается корреляционная связь с ве-

роятностной точки зрения.

§ 2. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Постулирование стационарности и эргодичности

процессов х

и x

- вынужденная мера, к которой экономис-

ты прибегают, чтобы обеспечить

себе

хоть

какую-то возмож-

ность провести корреляционный анализ связи

двух

перемен-

227

ных. Арифметические средние величины т, и т

трактуются

как

неизменные средние уровни процессов х

и х

соответ-

ственно,

ас, и о

—

как постоянные среднеквадр этические

отклонения

от среднего. И это, с нашей точки зрения, вооб-

ще говоря, неправомерно.

На

самом

деле

переменные х

и х

, как правило, не име-

ют фиксированных средних уровней и каких-либо опреде-

ленных среднеквадратических отклонений от них. Величи-

ны

т, и т

являются некоторыми условными уровнями,

относительно которых вычисляются отклонения исследуемых

рядов. В этой ситуации обычный показатель корреляции г

выражает скорее силу связи

между

такими отклонениями

рядов х

и х

от т, и т

, чем

между

собственно рядами х

2Г

Неопределенный характер т, и т

объясняется тем, что

они

не отражают каких-либо действительных, устойчивых

характеристик временных рядов. Дело в том, что как толь-

ко

мы сдвинем границы выборочного периода, т.е. расши-

рим,

сузим или как-то изменим его диапазон, все оценки m

, 6, и Ь

станут

другими, особенно (как это обычно и

бывает в реальных данных) если исследуемые ряды имеют

временные тренды. Это приводит к

тому,

что одному и тому

же моменту времени при одних и тех же статистических

наблюдениях

будут

соответствовать отклонения ряда, раз-

личающиеся не только по величине, но, возможно,

даже

по

знаку в зависимости от таких внешних по отношению к

данной

точке обстоятельств, как расположение границ вы-

борочного периода на оси времени. Тем более что, как изве-

стно,

вопрос о границах выборочного периода (тесно свя-

занный

с т) решается исследователем субъективно. Таким

образом, единое движение ряда от момента t—l к моменту /

может оказаться искусственно и произвольно разделенным

величиной т на положительную и отрицательную части. В

результате

слагаемое в числителе формулы для коэффици-

ента корреляции, соответствующее моменту /, также

будет

переменным, зависящим от т, и пг

. А ведь слагаемое -

фактически

локальное, частное свидетельство о характере

корреляционной

связи рядов, поступившее в момент /. Зыб-

кость, изменчивость этого свидетельства, его зависимость от

внешних обстоятельств представляется серьезным недостат-

ком

изложенной методики, проистекающим из ложной по-

сылки,

что классическую теорию корреляционного анализа

можно формально применять для изучения нестационар-

228

ных экономических временных рядов. С нашей точки зрения,

переход от наблюдаемых рядов х

и х

к рядам (х

—

т,) и

(х

—

) в общем

случае

«портит»

первичную информацию.

Выход

из этого затруднительного положения обычно на-

ходят

в том, чтобы исходный нестационарный ряд преобра-

зовать к приблизительно стационарному

виду.

С этой целью

предпринимается попытка предварительно исключить из

рядов временные тренды. Но, во-первых, эта операция так-

же зависит от границ выборочного периода и таких субъек-

тивных факторов, как выбор типа тренда, метода его оцени-

вания,

и, во-вторых, в

результате

элиминирования тренда из

временного ряда удаляется весьма существенная информа-

ция,

Остатки, после исключения тренда, как правило, оказы-

ваются слабо коррелированными, а исходные ряды

могут

обнаруживать корреляцию, близкую к идеальной из-за по-

чти одинакового характера тренда. Получив такие

результа-

ты, практик остается в растерянности. Можно констатиро-

вать, что в

случае

предварительного исключения тренда

искажение первичной информации лишь

усугубляется.

§ 3. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ

КОРРЕЛЯЦИИ

Возможен, однако,

другой

выход:

судить

о нали-

чии

положительной или отрицательной корреляции в момент

t по совпадению или несовпадению знаков прироста интере-

сующих переменных. Для получения общего представления

об усредненных корреляционных свойствах

двух

нестацио-

нарных рядов целесообразно разработать специальный ста-

тистический показатель корреляции, основывающийся на

использовании приростов переменных. Для этого модифици-

руем

коэффициент корреляции следующим образом (для

упрощения

будем

считать лаг т « 0):

229

(9.1)

Знаменатель формулы (9.1) играет роль нормирующего

коэффициента.

Благодаря ему

mod

не может выйти за пре-

делы —1 <

тдй

1. При таком измерителе степени коррелиро-

ванности

двух

рядов отмеченный выше недостаток устраня-

ется и никакой деформации исходных данных не происходит.

Каждое слагаемое в числителе и знаменателе неизменно, не

зависит от каких-либо субъективных процедур или желаний

исследователя.

Отметим, что усреднение по времени вместо усреднения

по

реализациям здесь остается, поскольку мы считаем, что

имеется лишь одна реализация для каждого момента и дру-

гого пути нет. По

существу,

такое усреднение основывается

на

гипотезе о постоянстве корреляционной связи

двух

рядов

на

всем выборочном периоде. Это предположение, очевидно,

также слишком сильное для экономических нестационарных

процессов. Мы к нему вернемся несколько позже. А сейчас

продолжим анализ формулы (9.1).

Вычисление этого коэффициента возможно для неслучай-

ных функций, так как его определение не связано с какими-

либо гипотезами вероятностного характера. В частности, лег-

ко

заметить особенность предложенного коэффициента

корреляции,

заключающуюся в том, что модифицированный

коэффициент

корреляции любых

двух

монотонно возраста-

ющих или монотонно убывающих функций

всегда

будет

ра-

вен единице. В этом

случае

целесообразно перейти к анали-

зу разностей второго (или

даже

более высокого) порядка.

Получаемый коэффициент можно назвать

модифицирован-

ным

коэффициентом

корреляции

второго

(или более высо-

кого)

порядка.

§ 4. АДАПТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Напомним,

что речь идет прежде всего о неста-

ционарных временных рядах: корреляционная связь

между

ними

может становиться то слабее, то сильнее, и если найти

способ выявить динамику этой связи, то можно получить

дополнительную интересную информацию о взаимосвязях

переменных, полезную в содержательном анализе исследу-

емых явлений. В таком

случае

гипотезу о постоянстве кор-

реляционной

связи, использовавшейся в (9.1), придется при-

230