Лубенцова В.С. Математические модели и методы в логистике

Подождите немного. Документ загружается.

На основании этих данных построим зависимость Об=f(K)

(рис. 2.2).

С помощью графика (рис. 2.2) можно решать два вида задач.

1. По заданному качеству продукции К выявить возможный объ-

ём её выпуска Об.

2. По заданному объёму определить возможное качество К. Та-

ким образом, за качество продукции надо платить уменьшением объ-

ёмов её выпуска. В связи с этим задача максимизации объема Об при

максимизации качества К не может быть выполнена. Возможно най-

ти лишь компромиссное решение.

Эта задача в общем виде записывается следующим образом:

зад

Об max,

,1,,1,;

ijji

jjj

KsxK

axb

dxDimjn



=→



=≥







≤



≤≤==





∑

Об

1300

1200

1100

1000

900

600 700

800

900 1000

Р и с. 2.2. График зависимости объема

от качества

зад

max,

ОбОб ,

,1,,1,.

ijji

jjj

Ksx

axb

dxDimjn



=→



=≥







≤



≤≤==





∑

В результате решения должны быть получены зависимости:

в первом случае

(

)

зад

Об fK= , во втором –

(

)

Об

Kf= .

Таким образом, применяя метод последовательных уступок,

сложно установить зависимость объёма выпуска продукции от каче-

ства и на основании этой зависимости выбирать связанные между

собой оптимальные значения параметров Об и К. Следовательно,

реализовать оптимальное решение можно лишь при строгом соблю-

дении зависимости между этими параметрами. А такой зависимо-

стью является получаемая в результате применения метода последо-

вательных уступок графическая зависимость, представленная на

рис. 2.2. Не вызывает сомнения, что этот метод можно обобщить на

случай большого числа параметров. Если стоит задача максимизации

по к параметрам, то один из них следует принять в качестве целевой

функции, а в остальные ввести ограничения.

ЛЕКЦИЯ 4

2.3. Метод экспертных оценок.

Непосредственное назначение коэффициентов веса

Этот метод основан на построении единого (интегрального) по-

казателя эффективности посредством суммирования произведения

имеющихся показателей на соответствующие весовые коэффициенты

(коэффициенты важности показателей).

Одним из распространенных методов определения степени от-

носительной важности является назначение коэффициентов веса, ко-

торые, как правило, находят с помощью методов экспертных оценок.

Назначение коэффициентов веса с помощью экспертизы представля-

ет собой, по существу, обычное обсуждение, с той лишь разницей,

что свое мнение эксперты выражают не словами, а цифрами. Методы

экспертных оценок достаточно широко распространены в спорте,

например, в фигурном катании, гимнастике. Нет основания считать

неприемлемым коллективное мнение специалистов при принятии

оптимальных решений. Методов определения экспертных оценок

достаточно много. Рассмотрим метод непосредственного назначение

коэффициентов веса. Согласно этого метода каждый i-тый эксперт

для каждого к-того параметра должен назначать коэффициент

таким образом, чтобы сумма всех коэффициентов веса, назначенных

одним экспертом для различных параметров, равнялась единице:

1,1,

∑

где

– число экспертов.

Результаты экспертизы сводятся в табл.2.6.

Т а б л и ц а 2.6

Параметры

Эксперт

1 … k … K

∑

1 a

…

i a

…

n a

В качестве коэффициента веса к-го параметра принимают сред-

нее значение по результатам экспертизы всех экспертов:

kik

αα

∑

Например, нас интересует сравнительная важность двух пара-

метров: объёма выпуска продукции и её качества. Пусть для экспер-

тизы пригласили 8 человек. Результат экспертизы приведён

в табл. 2.7.

Здесь значения экспертных оценок

0,75

0,25

Если

≥

, то, как показывает опыт, удовлетворение требования

∑

затруднено. Для того чтобы избежать выполнения этого

требования, можно определить коэффициенты другими методами.

Т а б л и ц а 2.7

Эксперт Об К

∑

1 0,8 0,2 1

2 0,9 0,1 1

3 0,7 0,3 1

4 0,7 0,3 1

5 0,6 0,4 1

6 0,8 0,2 1

7 0,7 0,3 1

8 0,8 0,2 1

0,75 0,25 1

2.4. Оценки точности параметров в баллах

В этом случае каждый i-тый эксперт назначает каждому к-му

параметру оценку по десятибалльной системе. Наиболее важный па-

раметр оценивают более высоким баллом, при этом различным па-

раметрам может быть назначен одинаковый балл. В результате экс-

пертизы заполняется табл. 2.8.

Т а б л и ц а 2.8

Параметры

Эксперт

1 … k … K

∑

…

Для каждого эксперта определяется сумма:

iki

ββ

∑

и находятся значения коэффициентов веса:

= .

Эти данные представляют строку для i-того эксперта; аналогично

определяются значения весовых коэффициентов для остальных экс-

пертов.

Здесь данные экспертизы оформляются в виде табл. 2.9 и 2.10.

Т а б л и ц а 2.9

Параметр

Эксперт

1 2 3 4

∑

1 6 5 9 7 27

2 10 8 4 9 31

3 5 8 9 3 25

Т а б л и ц а 2.10

Параметр

Эксперт

1 2 3 4

∑

1 0,22 0,19 0,33 0,26 1

2 0,32 0,25 0,13 0,3 1

3 0,2 0,32 0,36 0,12 1

0,25 0,25 0,27 0,23 1

kik

αα

∑

2.5. Статистический метод экспертных оценок

В результате опроса экспертов принимают среднее значение

экспертных оценок. Такой подход не учитывает разброса оценок, да-

ваемых каждым экспертом в отдельности, а разброс является показа-

телем того, что-либо вопрос поставлен недостаточно однозначно,

либо признаком некомпетентности экспертов, либо следствием и то-

го и другого. Вместе с тем, неучёт разброса экспертных оценок мо-

жет привести к неправильным выводам.

Для исключения этого недостатка необходимо исходить из того,

что оценка, данная отдельным экспертом, представляет собой реали-

зацию случайной величины и поэтому обработка результатов экспер-

тизы должна производиться по правилам действий со случайными

величинами. Проведение экспертизы рассматривается на примере

определения коэффициентов веса

параметров

. Определение

экспертных оценок ведётся следующим образом:

1) каждый эксперт должен независимо от других выразить коли-

чественно важность параметров

,,...,

xxx

, придав коэффициентам

веса

,,...,

ααα

соответствующие положительные значения таким

образом, чтобы

∑

– число экспертов, к – число параметров;

2) приведенные результаты эксперимента свести в таблицу;

3) по результатам произведённой экспертизы для каждого коэф-

фициента веса найти оценку математического ожидания:



[ ]

kik

∑

затем определить отклонение в оценке каждого эксперта от оценки

математического ожидания:



[

]

ikikik

αα

∆=−

и составить новую табл. 2.11;

Т а б л и ц а 2.11

Параметры

Эксперт

∆

…

∆

…

∆

…

∆

…

∆

…

∆

4) обсудить результаты проведенной экспертизы, предоставить

слово для обоснования своей оценки в первую очередь тем экспер-

там, у которых отклонения наибольшие; с помощью вопросов и об-

щей дискуссии добиться устранения возможного недопонимания то-

го, что имеется в виду под оцениваемыми параметрами;

5) провести повторную экспертизу, результаты которой свести в

таблицу экспертных оценок, но без столбцов со значением ∆

; затем

по данным таблицы определяются оценки математического ожида-

ния и оценки дисперсий:



[ ]



[ ]

( )

kikik

ααα

=−

−

∑

которые сводятся в табл. 2.12:

Т а б л и ц а 2.12

…

M[α

]

…

M[α

]

…

M[α

]

D[α

]

…

D[α

]

…

D[α

]

При обработке окончательных результатов экспертизы для ха-

рактеристики степени согласия мнения исследователей о ранжировке

коэффициентов веса вычисляют коэффициент конкордации:

( )

121

nkk



−+





−

∑∑

≤≤

– число рассматриваемых параметров,

– число экспертов.

2.6. Метод бинарных (парных) соотношений

Если совместная оценка всех параметров вызывает затруднения,

их можно сравнивать попарно, т.е. методом попарных соотношений.

Например, пусть задано 5 параметров

. Каждый i-

тый эксперт назначает парные соотношения:

если тый параметр важнее того,

0, в противном случае

−−







и для i- того эксперта составляется табл. 2.13, причем

∑∑

Определяем экспертную оценку

∑

∑∑

для i-того эксперта. В результате получим

0,3

;

0,2

;

0,3

;

0,3

Т а б л и ц а 2.13

Сравни-

ваемые

параметры

∑

— 0 1 1 1 3

1 — 1 0 0 2

0 0 — 0 0 0

0 1 0 — 1 3

0 1 1 0 — 2

Из последней строки нижней таблицы видно, что, несмотря на

отсутствие, казалось бы, какой-либо закономерности в оценках, дан-

ных экспертами, все параметры имеют примерно одинаковую отно-

сительную важность.

Приведенные методы определения коэффициентов веса дают

возможность получить достаточно достоверные исходные данные,

позволяющие оценить важность каждого оптимизируемого парамет-

ра.

2.7. Пример решения задачи методом экспертных оценок

Вернёмся к задаче многопараметрической оптимизации, которая

представляет собой попытку найти некоторый компромисс между

теми параметрами (целевые функции), по которым требуется опти-

мизировать решение. Возможной реализацией такого компромиссно-

го подхода является формирование специальной функции. При этом

компромиссная целевая функция должна удовлетворять следующим

требованиям: оптимизируемые параметры (целевые функции),

имеющие, как правило, различную размерность, должны быть при-

ведены к безразмерной форме, максимизируемые параметры входят

со знаком плюс, минимизируемые – минус:

max

=→

∑

В этой целевой функции оптимизацию производят по

пара-

метрам. Безразмерность параметров обеспечиваем введением норми-

рующей величины

, а степень компромисса назначается с помо-

щью коэффициентов

Нормирующая величина может задаваться различными спосо-

бами. В одном случае значение нормирующей величины

прини-

мается из какого-нибудь утверждающего документа, например, тех-

нического задания. Если такой утвержденной величины нет, то мож-

но решить задачу оптимизации при максимизации этой величины,

т.е.

max

, и полученное в результате оптимизации значение

принять за нормирующее:

кн

= . Коэффициенты веса назначаются

при условии

∑

с помощью экспертных оценок.

Для рассмотренного выше примера целевая функция записыва-

ется следующим образом:

нн

Об

max

Об

αα=+→.

В качестве нормирующих значений

Об

принимаем их

максимальные значения, полученные в результате оптимизации от-

дельно по каждому параметру:

Об 1340

1028

. Математиче-

ская модель задачи имеет вид:

Об

max

13401028

F αα=+→;

123

Об 71213;

9710;

0,20,30,435;

0,50,40,342;

0,60,81,2100;

0,1,3.

xxx

Kxxx

xxx

=++





=++



++≤





++≤



++≤



≥=





Результаты решения этой задачи при различных значениях ко-

эффициентов веса

приведены в табл. 2.14.

Анализ табличных данных даёт основание сделать нижесле-

дующие выводы.

1. С точки зрения объёма выпускаемой продукции наиболее вы-

годным является 1 вариант. По мере снижения коэффициента веса

её выпуск уменьшается. Самой невыгодной является продукция П1,

которая при

вообще не производится.

2. Наиболее выгодной с позиции качества является продукция

ПЗ. Наиболее невыгодной – П2, которая при

не выпускается.

3. Для обеспечения дальнейшего роста объёма выпуска продук-

ции необходимо увеличить трудовые и материальные ресурсы, а для

повышения качества продукции – материальные и финансовые.

Т а б л и ц а 2.14

Варианты

Характеристики

1 2 3

1 0,5 0

0 0,5 1

F 100 94,4 100

Об(F

) 1340 1260 1108

К(F

) 830 930 1028

П1(X

) 0 20 49

П2(X

) 90 50 0

П3(X

) 20 40 59

Резерв ресурсов:

трудовых 0 0 1,7

материальных 0 0 0

финансовых 4 0 0

Данные расчёты показывают, как влияют назначенные коэффи-

циенты веса на результат. Таким образом, зная желаемый компро-

мисс, следует принять коэффициенты веса, которые определяют по-

лученное решение.