Лубенцова В.С. Математические модели и методы в логистике

Подождите немного. Документ загружается.

онные изменения практически всех показателей потока и существен-

но затрудняющими процесс управление потоком.

12. По степени соответствия изменения параметров потока зара-

нее заданному ритму:

– ритмические потоки;

– неритмические потоки.

1.7. Логистическая функция

Логистическая функция – это укрупненная группа логистиче-

ских операций, направленная на реализацию целей логистических

систем.

Логистическая система должна устойчиво работать при допус-

тимых отклонениях параметров и факторов внешней среды (напри-

мер, при колебаниях рыночного спроса на конечную продукцию, из-

менениях условий поставки или закупки материальных ресурсов,

транспортных тарифов и т.д.).

При значительных колебаниях стохастических факторов внеш-

ней среды логистическая система должна приспосабливаться к но-

вым условиям, меняя программу функционирования, параметры и

критерии оптимизации.

1.8. Логистическая цепь и логистическая операция

Под логистической цепью понимают последовательность этапов

прохождения материального потока от источника сырья до потреб-

ления готовой продукции. Логистическая цепь состоит из звеньев.

Основные звенья логистической цепи включают:

– поставку сырья, материалов, полуфабрикатов;

– хранение сырья и продукции;

– производство товаров;

– отправка товаров со складов готовой продукции потребителю

и т.д.

Каждой операции по продвижению материального потока соот-

ветствуют определенные издержки, которые несут конкретные зве-

нья логистической цепи, т.к. эти издержки относятся к сфере логи-

стики, их называют логистическими издержками. К таковым отно-

сятся:

– погрузочно-разгрузочные операции;

– перевозка и экспедирование грузов;

– хранение груза;

– сбор, хранение и передача информации о грузе;

– расчёты с поставщиками и покупателями;

– страхование грузов;

– таможенное оформление грузов и т.д.

В промышленности логистические издержки составляют

10 – 15% суммарных затрат на производство и реализацию продук-

ции, в торговле – 25% и выше.

1.9. Научная база логистики и методология

Научную базу логистики составляет широкий спектр дисциплин:

– математика (теория вероятностей, математическая статистика,

теория случайных процессов, теория оптимизации, теория матриц,

функциональный анализ);

– исследование операций (линейное, нелинейное, динамическое

программирование, теории игр, теория массового обслуживания,

управление запасами, методы имитационного моделирования, сете-

вого планирования и др.);

– техническая кибернетика (теории больших систем, прогнози-

рование, общая теория управления, теория автоматического регули-

рования, теории графов, идентификации, информации, связи, распи-

саний, оптимального управления и др.);

– экономическая кибернетика и экономика (методы экономиче-

ского прогнозирования, маркетинг, менеджмент, стратегическое и

оперативное планирование, производственный (операционный)

менеджмент, бухгалтерский учёт, управление проектами, инвести-

циями, экономика и организация транспорта, складского хозяйства,

торговли и др.).

Уже это простое перечисление показывает, какой огромный на-

учный потенциал, накопленный человечеством за предыдущие деся-

тилетия, используется в современных логистических исследованиях

и разработках.

При анализе и синтезе логистических систем основными мето-

дологическими принципами являются:

1) системный подход, который заключается в рассмотрении всех

элементов логистической системы как взаимосвязанных и взаимо-

действующих для достижения единой цели управления; отличитель-

ной особенностью системного подхода является оптимизация функ-

ционирования не отдельных элементов, а всей логистической систе-

мы в целом;

2) принцип общих затрат, т.е. учёт всей совокупности издержек;

критерий минимума общих логистических затрат является одним из

основных при оптимизации логистических систем;

3) принцип глобальной оптимизации; при оптимизации проекти-

руемой логистической системы необходимо согласование локальных

целей звеньев (элементов) системы для достижения глобального оп-

тимума;

4) принцип логистической координации и интеграции; в процес-

се логистического менеджмента необходимо достижение согласо-

ванного интегрального участия всех звеньев логистических систем в

управлении потоками при реализации целевой функции;

5) принцип моделирования и информационно -компьютерной

поддержки; при анализе, проектировании и оптимизации объектов и

процессов в логистических системах широко используются различ-

ные модели: математические, экономико-математические, графиче-

ские, физические, имитационные и др. Реализация логистического

менеджмента невозможна без соответствующей информационно –

компьютерной поддержки;

6) принцип разработки необходимого комплекса подсистемы,

обеспечивающих процесс логистического менеджмента: техниче-

ской, экономической, правовой, кадровой, экологической подсисте-

мы и др.;

7) принцип всеобщего управления качеством; обеспечение на-

дежности функционирования и высокого качества работы каждого

элемента логистической системы для обеспечения общего качества и

услуг, поставляемых конечным потребителям.

ГЛАВА 2. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

В ЛОГИСТИКЕ

ЛЕКЦИЯ 3

Критерием эффективности реализации логистических функций

является степень достижения конечной цели логистической деятель-

ности, выраженной шестью правилами логистики:

1) груз …… нужный товар;

2) качество …… необходимое качество;

3) количество …… в необходимом количестве;

4) время …… должен быть доставлен в нужное время;

5) место …… в нужное место;

6) затраты …… с минимальными затратами.

Эти правила определяют многокритериальный характер матема-

тических моделей в логистике.

Рассмотрим, каким образом решаются такие задачи средствами

математического программирования. В многокритериальных задачах

математическая модель имеет несколько целевых функций, причём

некоторые из них требуют нахождения максимального, а другие –

минимального значений. Поэтому ставится задача нахождения тако-

го компромиссного (субоптимального) решения задачи, в котором

значения всех рассматриваемых экономических показателей были бы

приближены к экстремальным значениям.

Нахождение компромиссного решения относится к многокрите-

риальным задачам оценки оптимальности.

В настоящее время подобные задачи математически недостаточ-

но разработаны и на практике решаются разными методами.

2.1. Включение всех целевых функций в ограничения

Рассмотрим целевые функции

max,

min

Fcx

Fdx



=→







=→





∑

при ограничениях

ijjij

axbx

≤≥

∑∑

Решаем задачу по каждому показателю отдельно и находим

1max

2min

. Теперь формулируем ограничения в виде:

1max11max

2min12min

,0,1,,1,,

jjn

ijjij

cxFxF

dxFxF

axbximjn



+≥



−≥





≤≥==





∑

а новая целевая функция записывается в виде

min

=→

Математическая модель будет аналогичной в случае нахождения

компромиссных решений задач, имеющих три целевые функции и

более.

Пример. Фирма выпускает 2 вида изделий по цене 2 денежных

единиц (д.ед.) и 3 д.ед. соответственно. По результатам маркетинго-

вых исследований спрос на изделия 2 типа не менее 1 тыс. ед. в год.

Для производства изделий используют материалы А и В, запасы ко-

торых составляют 18 и 15 т. соответственно. Для изготовления 1 тыс.

изделий норма расхода материала А для изделий I вида составляет 3

т., а для II вида – 5 т. Для изготовления 1 тыс. изделий материала В

расходуется: для изделия I вида 5 т., для изделия II вида – 3 т. Найти

оптимальное решение по производству изделий I и II видов, чтобы

прибыль и количество выпускаемых изделий были максимальными,

а себестоимость минимальной.

Решение. Исходные данные задачи сведем в табл. 2.1.

Т а б л и ц а 2.1

Норма расхода т/т. ед.

Материалы

I II

Запасы материа-

ла (т)

A 3 5 18

B 5 3 15

Спрос

≥

т. ед.

Цена 2 д. ед. 3 д. ед.

Себестоимость 1 2

Обозначим:

– количество изделий 1-го вида;

– количество изделий 2-го вида.

Математическая модель имеет вид:

112

212

312

max,

23max,

2min,

Fxx

=+→





=+→





=+→



при ограничениях:

3518,

5315,

,0.

+≤





+≤





≥



≥



(2.1)

Графически область, задаваемая неравенствами (2.1), представ-

лена на рис. 2.1.

Используя пакет «Поиск решения» в Excel, найдем решение для

каждой целевой функции:

(

)

1опт

1,31,2,81

x = ;

(

)

2опт

1,31,2,81

x = ;

(

)

3опт

0;1

x = ;

1max

4,125

;

2max

11,063

;

3max

Математическая модель нахождения компромиссного решения:

А(2,4; 1)

3,6

В(1,31; 2,81)

Р и с. 2.1. Область допустимых

решений

min

=→

при ограничениях:

123

4,1254,125,

2311,06311,063,

222,

3518

5315,

0,0,0.

xxx

++≥





++≥



+−≤



+≤





+≤



≥



≥≥≥



Решая задачу на ЭВМ, используя пакет «Поиск решения» в

Excel, получим

(

)

комп

1,07;1

x = ,

2,07

;

5,14

;

3,07

2.2. Метод последовательных уступок

(метод главного критерия)

Суть метода в том, что одну из оптимизируемых функций при-

нимают в качестве целевой функции, а для других задают некоторые

предельные значения граничных условий. Задачу решают в несколь-

ких вариантах, которые отличаются друг от друга предельно зада-

ваемыми значениями.

Пример. Пусть исходные данные представлены в табл. 2.2.

Т а б л и ц а 2.2

Расход ресурсов на

ед. продукции Характеристики

I II III

Располагаемые ресурсы

Продукция

(Стоимость)

7 12 13 —

Качество

(Трудоёмкость)

9 7 10 —

Ресурсы:

Трудовые

0,2 0,3 0,4 35

Материальные 0,5 0,4 0,3 42

Финансовые 0,6 0,8 1,2 100

Требуется найти планы, оптимальные по объему выпуска про-

дукции, прибыли и её качеству.

Решение. Численно оценивать качество выпускаемой продукции

трудно и не всегда возможно. Однако часть его оценивают одним

числом – трудоёмкостью, измеряемой в единицах человеко - време-

ни.

Объём измеряется в рублях (можно валовой, реализованной про-

дукцией).

Математическая модель имеет вид:

– количество продукции 1-го вида;

– количество продукции 2-го вида;

– количество продукции 3-го вида.

Пусть

123

Об 71213max

xxx

=++→

– объем выпускаемой продукции,

123зад

123

9710,

0,20,30,435,

0,50,40,342,

0,60,81,200,

xxxK

xxx

++≥





++≤



++≤





+≤



≥



Первая постановка задачи:

(

)

Об

= ,

– качество выпускае-

мой продукции,

123

9710max

Kxxx

=++→

123зад

123

71213

Об ,

0,20,30,435,

0,50,40,342,

0,60,81,200,

xxx

++≥





++≤



++≤





+≤



≥



Вторая постановка задачи:

(

)

Об

Kf= .

Таким образом, рассматриваются две постановки задачи:

1) максимизация объёма при обеспечении качества не ниже за-

данного значения;

2) максимизация качества при обеспечении объёмов не меньше

заданного значения.

Результаты решения этой задачи при разных К приведены

в табл. 2.3, где П1(X

) – количество продукции I-го вида, П2(X

) – количе-

ство продукции II-го вида, П3(X

) – количество продукции III-го вида.

Анализ результатов даёт возможность сделать следующий выводы.

Т а б л и ц а 2.3

Варианты

Характеристики

1 2 3

зад

Неогран. 900 970

К 830 900 970

Об 1340 1284 1198

П1(X

) 0 14 31,7

П2(X

) 90 62 29,5

П3(X

) 20 34 47,8

Резерв ресурсов:

трудовых 0 0 0,7

материальных

0 0 0

финансовых

4 1,2 0

1. Повышение требований к качеству продукции приводит к

уменьшению объёма её выпуска. Действительно, в варианте 1, когда

на уровень качества не накладывается никаких требований, достиг-

нут максимальный объём выпуска продукции

Об 13140

, при этом

качество

830

. По мере увеличения требований к качеству вели-

чина Об уменьшается и при

зад

970

достигает значения 1198.

2. В зависимости от требований к качеству продукции меняется

структура плана. Так, в варианте 1 продукция вообще не выпускает-

ся, так как она даёт наименьший объём.

3. Дальнейший рост выпуска продукции лимитируется ресурса-

ми. При этом материалы всегда используются полностью.

В вариантах 1 и 2 увеличение выпуска продукции лимитирует

(кроме материалов) ещё и рабочая сила, т.к. её резервы равны нулю,

в то время, как финансы используются не полностью.

В варианте 3 трудовые ресурсы используются не полностью.

В этой постановке задачи максимизировался объём выпускаемой

продукции, при этом делались уступки по предельным допустимым

значениям её качества.

Возможна другая постановка задачи. Максимизируется качество

продукции при наложении ограничений на объём её выпуска. Ре-

зультаты решения задачи во второй постановке приведены

в табл. 2.4:

Т а б л и ц а 2.4

Варианты

Характеристики

4 5 6

Об

зад

не огран. 1180 1260

Об 1108 1108 1260

K 1028 981 930

П1(X

) 48,6 35 20

П2(X

) 0 23,8 50

П3(X

) 59 50 40

Резерв ресурсов:

трудовых 1,7 0,9 0

материальных 0 0 0

финансовых 0 0 0

Анализ результатов дает возможность сделать выводы.

1. При реализации требований по увеличению объёма выпуска

ухудшается качество продукции.

2. В варианте 6 достигнуто полное использование всех ресурсов.

При этом качество оказывается на самом низком уровне.

Следовательно, постановка задачи максимального использова-

ния ресурсов без дополнительных ограничений не всегда целесооб-

разна.

Заметим, что полное использование всех видов ресурсов может

быть только в задачах малой размерности, как в данном примере.

В реальных задачах распределения ресурсов всегда есть ресур-

сы, которые используются не полностью. Объединив результаты,

приведенные в табл. 2.3 и 2.4, можно построить зависимость объёмов

выпуска продукции от её качества (табл. 2.5).

Т а б л и ц а 2.5

Вариант 1 2 6 3 5 4

K(F

) 830 900 930 970 981 1028

Об(F

) 1340 1284 1260 1198 1180 108