Левченко Н.Б. Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

2.3. РАСЧЕТ ДЛИННОЙ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБЫ,

ПОДВЕРЖЕННОЙ ДЕЙСТВИЮ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ,

ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ И КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА

(ЗАДАЧА № 9)

Основные формулы

Рассматривается длинная прямолинейная цилиндрическая

тонкостенная труба (рис.F2.21) с

5/ Rl

10/ R

. Труба нагружена

внутренним давлением

, по ее торцам приложены силы

крутящие моменты

Напряжения в трубе будем обозначать, используя местную

декартову систему координат x, y, z (см. рис.F2.21): ось x параллельна

оси трубы, ось z направлена по касательной к срединной линии

поперечного сечения, осью y служит продолжение радиуса R.

Сила

вызывает в поперечном сечении трубы продольное

усилие

FN 

и создает нормальное напряжение (рис.F2.22)





Здесь

R2

– значение площади поперечного сечения тонкостенной

трубы.



Рис. 2.21. Тонкостенная труба под действием внутреннего

давления, продольной силы и крутящего момента



Рис. 2.22. Напряжения

в трубе от продольной силы

Внутреннее давление вызывает

растяжение трубы в кольцевом

направлении (рис.F2.23), чему

соответствует напряжение



продольных сечениях трубы:





Напряжения



положительны при

0q

. Случай

0q

отвечает

давлению, приложенному к наружной поверхности.

Крутящий момент создает касательные напряжения в

поперечном сечении трубы (рис.F2.24):





2 R

Направление касательного напряжения



совпадает с направлением

крутящего момента

Остальные напряжения либо в точности равны нулю, либо

малы:

0

zyxy

0

Напряженное состояние элементарного параллелепипеда,

вырезанного из трубы (рис.F2.25), является плоским. Анализ

напряженного состояния выполняется так же, как в задачеF№F7.









Рис. 2.23. Напряжения в

трубе от

внутреннего давления



Рис. 2.24. Напряжения

в трубе от крутящего

момента

Условие задачи

Труба с радиусом сечения

5,0R

м толщиной

1

см загружена

продольной растягивающей силой

900F

кН, внутренним давлением

8,0q

МПа и крутящим моментом

мкН300 ×M

. Материал трубы –

чугун с такими характеристиками:

180



МПа,

600



МПа,

25,0n

Нормативный коэффициент запаса прочности

3n

Требуется:

1) найти напряжения на гранях элемента, выделенного из

трубы;

1) найти главные напряжения и положения главных площадок;

2) проверить прочность и определить действительный

коэффициент запаса прочности;

3) показать направление трещины, возникающей при

повышении уровня напряженного состояния до критического.

В расчетно-проектировочной работе студенту требуется, кроме

того, вычислить напряжения по указанной наклонной площадке. Это

задание выполняется так же, как в задаче № 7.

Решение

Начать решение задачи нужно с изображения трубы и

действующих на нее сил. Рядом со стрелками указываются

абсолютные значения сил. Знаки учитываются соответствующим

направлением стрелок.

Проверим применимость к данной задаче формул для

вычисления напряжений в тонкостенной трубе. Так как

10501/50/ R

, то труба является тонкостенной. Следовательно,

вышеприведенные формулы применимы.







Рис. 2.25. Напряженное

состояние точки трубы

Нормальное напряжение от продольного растяжения силой

кН900F

МПа7,28

см

кН

87,2

1502

900



××







положительно.

Нормальное напряжение, вызванное внутренним давлением

МПа8,0q

508,0







МПа

также положительно.

Касательное напряжение, вызванное моментом

мкН300 ×M

, по

модулю равно

МПа19

см

кН

9,1

1502

10300



××







Принимая во внимание направление крутящего момента (см.

рис.F2.21) и учитывая правило знаков для касательного напряжения

при плоском напряженном состоянии, получаем

МПа19

Изобразите найденное напряженное состояние точки трубы в

виде плоского рисунка, учтя при этом правила знаков для

напряжений.

Для последующей проверки прочности вычислим главные

напряжения:

.МПа82,1935,34)19(4)407,28(

407,28

4)(

гл

×

























xzzx

Главные напряжения, пронумерованные должным образом,

МПа17,54



МПа53,14



Тангенс угла наклона главной площадки

36,3

407,28

)19(2

)2(tg

гл













Отсюда два главных угла

×



× 907,36

рад641,0

гл

)1;0( k

Соответствие угла

гл



главным площадкам (1 или 2)

устанавливается так же, как в задаче № 7. Главные направления 1 и 2

показаны на рис.F2.26. Проверку вычисленных значений главных

напряжений и главных направлений можно выполнить графически,

построив круг напряжений Мора. Построение круга напряжений

описано при решении задачи № 7.

Материал является хрупким (чугун), поэтому с целью проверки

прочности используем вторую теорию прочности или теорию

прочности Мора.

Согласно второй теории прочности

n )053,14(25,014,54)(

321 экв

 

МПа60

180

МПа54,50



значит, прочность обеспечена.

Вычислим действительный коэффициент запаса прочности:

33,56

54,50

180

экв

действ





 nn

Вероятная плоскость отрыва (трещины) перпендикулярна

первому главному направлению, то есть наклонена к продольной оси

трубы под углом





7,36

гл

. Она показана на рис.F2.26, где ось

– продольная ось трубы. Направление вероятной плоскости отрыва

на рисунке привязано к оси конструкции, значит, может быть

показано и на самой конструкции.

Согласно пятой теории прочности (теории Мора)



гл

Рис. 2.26. Вероятное

направление трещин

 

МПа60

180

МПа14,5403,014,54

1 экв

×





то есть прочность также обеспечена. Вычислим фактический

коэффициент запаса прочности:

33,32

14,54

180

экв

действ





 nn

3. КРУЧЕНИЕ

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление

материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл.5 (§ 5.1–5.4), гл. 11 (§ 11.5);

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз,

1977. Гл. 6 (§ 27, 29–30, 32);

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк.,

1989. Гл. 6 (§ 6.1–6.4, 6.6, 6.7).

Основные понятия и формулы

При кручении поперечные сечения стержня поворачиваются

вокруг его продольной оси, а продольные волокна при этом

искривляются, превращаясь в пространственные кривые. Кручение

вызывается парами сил, действующими в плоскости поперечных

сечений. В поперечных сечениях стержня возникает одно

внутреннее усилие  крутящий момент М

. Стержень, работающий на

кручение, принято называть валом.

Крутящие моменты в сечениях определяются, как и другие

виды усилий, методом сечений. Крутящий момент в сечении равен

сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от

сечения, относительно продольной оси стержня. Примем правило

знаков для крутящего момента: его положительное направление

соответствует повороту сечения по ходу часовой стрелки, если

смотреть на сечение со стороны внешней нормали (рис.F3.1).

> 0

Рис. 3.1. Правило знаков для крутящего

момента

Напряженное состояние в любой точке поперечного сечения

при кручении является чистым сдвигом, и в точках поперечного

сечения возникают касательные напряжения.

Касательные напряжения при кручении стержня круглого

сечения с радиусом R (или кольцевого сечения с внешним радиусом

R) определяются по формуле



, (3.1)

где



 расстояние от центра до точки, в которой мы определяем .

Эти напряжения направлены

перпендикулярно радиусу,

соединяющему центр круга с

рассматриваемой точкой. Эпюра

распределения касательных

напряжений на любом диаметре

будет иметь вид, показанный на

рис.F3.2. Максимальные

касательные напряжения, как

следует из формулы (3.1),

действуют в точках на контуре

сечения и они равны



max

, (3.2)

где

RIIW

ppp

max



– полярный момент сопротивления.

Деформацию стержня круглого (кольцевого) сечения при

кручении характеризует угол закручивания поперечного сечения на

участке длиной

(рис.F3.3)

q

. (3.3)

Относительная величина этого угла (на единицу длины)



называется погонным углом закручивания

q



. (3.4)



max



max









Рис. 3.2. Распределение

касательных напряжений

в круглом сечении

Эпюры распределения касательных напряжений в стержнях

прямоугольного сечения показаны на рис.F3.4. Максимальные

касательные напряжения действуют в точках, расположенных по

середине длинной стороны сечения. Они равны



max

. (3.5)

Напряжения в точках по середине короткой стороны



. (3.6)

Рис. 3.3. Деформация стержня при кручении



max

Рис. 3.4. Распределение

касательных напряжений

в прямоугольном сечении

Погонный и полный углы закручивания для стержней

прямоугольного сечения определяются по формулам

q



;

q

. (3.7)

Геометрические характеристики сечения, входящие в формулы

(3.1)–(3.7), можно найти следующим образом:

Полярный момент инерции и полярный момент сопротивления:

· для круглого сечения









; (3.8)

· для кольцевого сечения

 







;

 







. (3.9)

Здесь

Rr

 отношение радиусов внутреннего и внешнего

контуров кольца.

Для стержня прямоугольного сечения геометрическая

характеристика жесткости

bI 

(3.10)

и момент сопротивления кручению

bW 

, (3.11)

где

 меньшая сторона прямоугольного сечения, а коэффициенты







в формулах (3.6), (3.10), (3.11) определяются в зависимости

от отношения сторон сечения

по таблицам, имеющимся в

справочной литературе, например в [3, § 6.6].

Модуль сдвига в формулах (3.3) и (3.7)

 

n



. (3.12)

Целью расчета вала на кручение, как правило, является

удовлетворение двум условиям: прочности и жесткости. Условие

прочности в опасной точке вала при кручении записывается так:

 



max

, (3.13)

где [] берется либо на основании опытных данных, либо (при

отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности,

соответствующим материалу. Например, из теорий прочности для