Левченко Н.Б. Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

В качестве примера рассмотрим два варианта предельного

пластического состояния в нашей задаче. Согласно первому

варианту допустим, что напряжения в стержнях 1 и 3 равны



, а

стержень 2 работает упруго. Для определения направления усилий в

стержнях 1 и 3 построим план перемещений, используя те же

правила построения плана перемещений, которые описаны при

решении задач № 3 и 5. Поскольку упругие деформации стержня 2

много меньше пластических деформаций стержней 1 и 3, то при

построении плана перемещений стержень 2 можно считать

абсолютно жестким. Под действием нагрузки жесткий стержень 2

повернется вокруг шарнира А, и этот поворот вызовет укорочение

стержня 1 на l

и удлинение стержня 3 на l

(рис.F1.20,Fа).

Соответствующий плану перемещений план сил для первого

варианта перехода в предельное состояние показан на рис.F1.20,Fб.

Чтобы неизвестное усилие N

не входило в уравнение, в

качестве условия предельного равновесия выберем уравнение

"сумма моментов относительно шарнира

равна нулю" (см.

рис.F1.20,Fб):

0



;

0tgsincostg

331п

×××××



 aAaAaAaF

тттред

Из этого уравнения при



45



30

найдем

тред





683,1













пред

Рис. 1.20. Вариант 1 предельного пластического состояния:

а – план перемещений;

б – план сил

Во втором варианте предельного пластического состояния

напряжения в стержнях 2 и 3 равны 

, а первый стержень работает в

упругой стадии. Планы сил и перемещений показаны на рис.F1.21.

Запишем уравнение предельного равновесия для узла С (такое

уравнение равновесие, в которое не входит неизвестное усилие N



0y

;

0cossin

32т







предт

FAA

Отсюда

тред





847,1

Аналогично можно определить предельную нагрузку для

третьего варианта, в котором пластически деформироваться будут

стержни 1 и 2. Фактической предельной нагрузкой будет

минимальное значение из трех полученных. В нашей задаче это

тред





683,1

(первый вариант предельного состояния), что

совпадает со значением, найденным ранее расчетом по

упругопластической стадии.

Надо отметить, что число кинематически возможных вариантов

предельного состояния может уменьшиться, если ось какого-либо

стержня совпадает с линией действия нагрузки (в этом случае

поворота этого стержня не происходит и механизма не образуется).













пред

Рис. 1.21. Вариант 2 предельного пластического состояния:

а – план перемещений;

б – план сил

Допускаемое значение нагрузки определяем как отношение

предельного значения нагрузки к коэффициенту запаса прочности n.

IV. Определение остаточных напряжений

Процесс нагружения конструкции в упругой и упругопластической

стадиях, рассмотренный в пп. I и II, можно отобразить на диаграмме в осях

F

(рис.F1.F22). Характерные точки этой диаграммы получены по

соответствующим зависимостям

)(F

для трех стержней конструкции.

0,884



 767,0

упр

пред

пл

пред

683,1 

0,422



0,307



0,683



0,163



0,846



0,077



0,231



Рис. 1.22. Зависимость между напряжениями и

нагрузкой в процессе увеличения и уменьшения

нагрузки для стержней:

1 –

3 –

2 –

уменьшение

увеличение

;

уменьшение

;

уменьшение

;

увеличение

;

Рассмотрим процесс полной разгрузки системы из положения

предельного равновесия (на диаграмме это соответствует вертикальной прямой

с абсциссой

пл

ред

 683,1

). Процесс разгрузки можно трактовать как

наложение на существующие напряжения напряжений от отрицательного

приращения нагрузки. Закон изменения последних определяется упругим

решением задачи до тех пор, пока величина напряжения в одном из стержней

не достигнет



, поэтому линии разгрузки каждого стержня будут направлены

параллельно линиям упругого нагружения (левый участок диаграммы). Если

одно из напряжений при разгрузке достигнет величины



(как это имеет место

в нашем случае), то законы изменения напряжений станут соответствовать

упругопластической стадии, а их графики будут параллельны соответствующим

линиям нагружения (правый участок диаграммы).

Зависимости

)(F

можно записать, пользуясь уравнением прямой с

известным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку:

 

   

0 0

F F

где

k A/

 угловой коэффициент прямой линии нагружения, параллельной

рассматриваемой линии разгрузки;



 начальные параметры

(напряжение и нагрузка в начале участка). В нашем случае

F A

1 683 , 

 



для стержней 1 и 3, а для стержня 2

 

0 884 ,

Запишем эти зависимости непосредственно после начала разгрузки:

 

 

0 101 0 830 , ,

 

 

0 304 0 372 , ,

 

 

1 316 1 215 , ,

Напряжение

 



, как легко вычислить, достигнет значения

 

при

снижении нагрузки до

F A0 163, 

. При этом напряжения в остальных

стержнях будут

 

 

0 846 ,

 

 

0 422 ,

Пользуясь найденными значениями как начальными параметрами,

запишем зависимости для напряжений на втором участке разгрузки,

проходящей в упругопластической стадии:

 

 

0 683 

 

 

0 707 0 307 , ,

 

 



При полной разгрузке (

F 0

) получаем следующие значения остаточных

напряжений:

 

 

0 683 ,

 

 

0 307 ,

 

 



. В заключение следует

проверить равновесие узла

при полученных значениях остаточных

напряжений.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО

СОСТОЯНИЯ. ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ ДЛЯ СЛОЖНОГО

НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление

материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 13 (§ 13.6).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз,

1977. Гл. 3 (§ 10, 11), гл. 4 (§ 14, 15, 20).

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк.,

1989. Гл. 3 (§ 3.1–3.5, 3.7), гл. 8 (§ 8.1, 8.2).

Основные понятия и формулы

Напряженное состояние в точке тела. Пусть в нагруженном

теле выбрана точка

. Под напряженным состоянием в этой точке

понимают совокупность напряжений на всех площадках,

проведенных через нее. Задают напряженное состояние три вектора

напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках. Эти три

взаимно перпендикулярные площадки можно выбрать произвольно.

Векторы напряжений на всех других площадках можно вычислить

по указанным трем векторам напряжений.

Когда говорят о точке

тела, подразумевают малую ее

окрестность, в которой напряженное состояние практически

постоянно. В этой окрестности напряжения на параллельных

площадках одинаковы, поэтому, говоря о напряженном состоянии в

точке, параллельные площадки не различают. Важна только

ориентация площадки, которую принято задавать

перпендикулярным к ней вектором единичной длины – вектором

внешней нормали

Вводится прямоугольная система координат и три площадки,

перпендикулярные ее осям x, y, z, которые образуют элементарный

параллелепипед (элемент). Векторы напряжений на этих трех

площадках обозначаются соответственно

. Они задаются

своими проекциями на оси координат. Проекции, перпендикулярные

площадкам, называются нормальными напряжениями



Индекс в обозначении указывает направление нормали

площадке. Проекции, лежащие в плоскости площадок, называются

касательными напряжениями



. Первый

индекс здесь определяет площадку, на которой действует

напряжение, второй индекс указывает ось, в направлении которой

напряжение действует.

Правило знаков для нормального напряжения: нормальное

напряжение



положительно, если направление напряжения

совпадает с направлением внешней нормали

(направлено от

площадки, растягивающее).

Следствием условий равновесия элемента тела является закон

парности касательных напряжений:

yxxy



;

zxxz



;

yzzy



. При

этом касательные напряжения



направлены либо навстречу

друг другу, либо в противоположные стороны.

С учетом закона парности касательных напряжений для задания

напряженного состояния в точке нужно указать шесть параметров:

три нормальных напряжения



и три касательных

напряжения



Графически напряженное состояние в точке

изображается

системой напряжений, действующих на гранях элементарного

параллелепипеда, вырезанного из тела в окрестности точки

. Ребра

этого параллелепипеда параллельны осям координат и имеют длину

Каково бы ни было напряженное состояние в точке, всегда

можно найти три взаимно перпендикулярные площадки, на которых

действуют только нормальные напряжения, а касательные

напряжения равны нулю. Эти площадки называются главными,

действующие на них нормальные напряжения – главными

напряжениями. Три главные площадки, являясь взаимно

перпендикулярными, образуют элементарный параллелепипед.

Главные напряжения принято обозначать



с соблюдением

условия

321



Главные напряжения обладают свойством экстремальности:

одно из них самое большое среди нормальных напряжений на

площадках с произвольной нормалью

, другое – наименьшее. В

принятых обозначениях

max1



min3



. Пусть

– модуль полного

напряжения на произвольной наклонной площадке с нормалью

Свойство экстремальности означает также следующее:



Главными направлениями напряженного состояния называют

направления нормалей к главным площадкам. Эти направления

обозначают цифрами 1, 2, 3. Главные площадки обозначают

соответственно 1, 2, 3.

Напряженное состояние, при котором ни одно из трех главных

напряжений не равно нулю, называется объемным. Если одно из

главных напряжений равно нулю, то напряженное состояние

называется плоским. Наконец, линейным именуется напряженное

состояние, при котором отлично от нуля только одно главное

напряжение. Далее рассматривается плоское напряженное

состояние, которое часто реализуется в конструкциях.

Пусть главная площадка с нулевым главным напряжением (а

следовательно, вообще ненапряженная) расположена

перпендикулярно оси y. Тогда при плоском напряженном состоянии

отличны от нуля напряжения





(рис.F2.1; здесь ради

простоты напряжения на левой и нижней гранях элементарного

параллелепипеда не показаны; ненапряженная площадка совпадает с

плоскостью чертежа).

Аналитическое исследование плоского напряженного

состояния. Когда говорят об исследовании напряженного состояния,

понимают вычисление по заданным на взаимно перпендикулярных

площадках напряжениям напряжений на площадках произвольной

ориентации, определение главных площадок и главных напряжений,

площадок, по которым действуют экстремальные касательные

напряжения.

При исследовании плоского напряженного состояния удобно

пользоваться следующим правилом знаков для касательного

напряжения: касательное напряжение положительно, если в

плоскости чертежа оно обходит площадку по часовой стрелке.

Пусть на двух взаимно перпендикулярных площадках заданы

напряжения





. На рис.F2.1, 2.2 нормальные напряжения

0

(растягивающие), касательное напряжение

0

(обходит

площадку по часовой стрелке), касательное напряжение

0

(обходит площадку против часовой стрелки). При указанном правиле

знаков для



закон парности касательных напряжений принимает

вид

zxxz



. (2.1)

Если рассматривать только площадки, перпендикулярные

незагруженной площадке, то положение площадки определяет угол



между нормалью к ней и осью x (см .рис.F2.2). Угол



отсчитывается от оси x к нормали

и считается положительным,

если отсчет происходит против часовой стрелки.

Нормальное напряжение



и касательное напряжение



на

этой площадке определяются по формулам

)2(sin)2(cos

nxzn

zxzx











; (2.2а)

)2(cos)2(sin

nxzn







. (2.2б)

Примечание. В правой части формул (2.2а) и (2.2б) на первом

месте стоит нормальное напряжение на той площадке, от нормали к

которой отсчитан угол



. Касательное напряжение берется с этой

же площадки.

Формулы (2.2а) и (2.2б) показывают, что плоское напряженное

состояние в точке определяется тремя параметрами – напряжениями





: зная эти три параметра, можно вычислить напряжения

по любой площадке.









Рис. 2.2. Напряжения

на произвольной

наклонной площадке









Рис. 2.1. Плоское напряженное

состояние в точке тела

Пусть

90



– нормальное напряжение на площадке,

перпендикулярной площадке с нормалью n. Из выражения (2.2а)

следует, что

90



nnzx

, (2.3)

то есть сумма нормальных напряжений на двух взаимно

перпендикулярных площадках не изменяется при совместном

повороте этих площадок (является инвариантом напряженного

состояния).

Формулы (2.2а) и (2.2б) упрощаются, когда заданные площадки

являются главными (то есть на них отсутствуют касательные

напряжения). Пусть в этом случае главные напряжения обозначены

гл







гл







, тогда

).2(sin

),2(cos

глгл

глглглгл



































(2.4)

Если исходные площадки не являются главными, то главные

напряжения могут быть вычислены по формуле

гл

4)(

xzzx





















. (2.5)

Согласно (2.3)









глгл

. (2.6)

Положение главных площадок определяет угол

гл



, который

находится из уравнения







)2(tg

гл

. (2.7)

Формуле (2.7) отвечает множество углов

гл



, отличающихся друг от

друга на величину, кратную 90. Разные главные площадки

соответствуют только двум из этих углов, которые обозначают

гл





гл





Для определения площадки, на которой действует бóльшее из

напряжений

гл





гл





, можно установить, исследуя при

гл



знак

второй производной функции

)(



, заданной выражением (2.2а).

Эта производная

)2(sin4)2(cos)(2

nxznzx







. (2.8)

Если







при

гл







, то на этой площадке действует меньшее из

напряжений

гл





гл





, если







, – то бóльшее (случай равенства

нулю не встречается).

Для главных напряжений, как уже было сказано, используется

специальное обозначение:



(

321



). В рассматриваемом

случае плоского напряженного состояния



– максимальное, а



–

минимальное (с учетом знака) из трех напряжений

гл





гл





, 0.

Касательное напряжение, максимальное среди касательных

напряжений на всех вообще площадках в рассматриваемой точке,

max





. (2.9)

Такое напряжение действует на площадке, перпендикулярной

площадке 2 и повернутой относительно площадки 1 на угол 45. На

площадке с

max



действует нормальное напряжение







Площадка 2 может совпадать с плоскостью чертежа, но может и

совпадать с одной из площадок, по которым действуют

гл





гл





Соответственно рассматриваемая площадка с

max



может быть

перпендикулярна плоскости чертежа, но может быть и повернута из

плоскости чертежа.

Касательное напряжение, максимальное по модулю среди

напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости чертежа,

max

глгл











. (2.10)

Величина

max

в общем случае не равна

max



. Соответствующая ей

площадка перпендикулярна плоскости чертежа и наклонена к

площадкам

гл





гл





на угол 45 . На этой же площадке действует

нормальное напряжение

глгл

max













. (2.11)