Левченко Н.Б. Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Точкам I, III пересечения круга с горизонтальной осью

соответствуют главные площадки 1, 3. Горизонтальные координаты

этих точек (измеренные в масштабе) являются главными

напряжениями:



МПа,

149



МПа.

Углы



, определяют положения главных площадок.

Отмеченные на рисунке углы дают удвоенные значения



. По

рисунку сразу видно, какому главному напряжению соответствует

каждое значение угла. Графически найденные значения:

 632

 631802432

. Графический способ дает возможность проверить

аналитическое решение, поэтому в расчетной работе следует рядом с

кругом напряжений на отдельном рисунке показать положения

главных площадок и напряжения на них.

Площадке, по которой действует максимальное касательное

напряжение, соответствует точка

круга. Координаты точки

дают значения

89max 

МПа,

max





МПа.

Найдем с помощью круга напряжений напряжения на

наклонной площадке. Построим на круге точку

соответствующую наклонной площадке. Для этого отложим от

радиуса OX (соответствующего оси x) против часовой стрелки угол

× 10522

, либо от радиуса ОZ (соответствующего оси z) в том же

направлении угол 2×15. Координаты точки

дают напряжения на

наклонной площадке:

МПа135

МПа49

Полное представление о напряженном состоянии дают три

круга напряжений. Точки каждого круга соответствуют площадкам,

которые перпендикулярны одной из главных площадок. Круги

строятся по главным напряжениям. Обычно изображение

напряженного состояния в виде трех кругов Мора используется в

качестве иллюстрации, а не в качестве способа вычисления, поэтому

данный рисунок можно выполнить в меньшем масштабе и не

обязательно на миллиметровке. Все три круга напряжений для

рассматриваемого напряженного состояния показаны на рис.F2.9.

Построенный на рис.F2.8 круг напряжений соответствует площадкам,

перпендикулярным плоскости чертежа (перпендикулярным второй

главной площадке). Из рис.F2.9 видно, что максимальное касательное

напряжение

max



определяется по бóльшему кругу.

Проверка прочности.

Главные напряжения



уже известны (вычислены

выше).

Начать решение вопроса нужно с выбора соответствующей

материалу теории прочности. По условию задачи материал – сталь

(пластичный материал), поэтому используем третью и четвертую

теории прочности.

Согласно третьей теории прочности эквивалентное напряжение

МПа9,178)44,149(44,29

31экв



Сравнение

экв



с пределом текучести



показывает, что материал

работает упруго. Действительно,

МПа240МПа9,178

тэкв



Но условие прочности не выполнено:

 

МПа160МПа9,178

экв



Это означает, что не обеспечен нормативный коэффициент запаса

прочности. Конструкцию, имеющую точку с такими напряжениями,

эксплуатировать запрещается. Действительный (фактический)

коэффициент запаса

33,19,178/240/

эквт

действ

n

меньше нормативного

5,1n

Согласно четвертой теории прочности

МПа,0,167]))44,149(44,29()44,149()44,29[(

])()()[(

222

21 экв







max



III

– 160

– 120

– 80

– 40

Рис. 2.9. Круги Мора,

изображающие объемное

напряженное состояние

 

1600,167240



МПа.

Условие прочности не выполнено и согласно четвертой теории.

Однако фактический коэффициент запаса оказывается другим:

44,1167/240

действ

n

Положения опасных площадок согласно третьей и четвертой

теориям приведены на рис.F2.10,F2.11. По площадке, показанной

жирной линией на рис.F2.10, действует максимальное касательное

напряжение. Эта площадка перпендикулярна к площадке 2 и

наклонена под углом в 45° к площадкам 1 и 3. Площадка, показанная

жирной линией на рис.F2.11, соответствует четвертой теории

прочности. Она равно наклонена ко всем трем главным площадкам.

Специально обратим внимание на способ изображения опасных

площадок: эти площадки показаны с привязкой к исходному

элементу. Так необходимо сделать и при оформлении задачи.

Положение исходного элемента по отношению к конструкции,

из которой вырезан элемент, известно. Примененный способ

изображения опасных площадок позволяет указать эти площадки

непосредственно на конструкции.

Определение деформаций в точке. Следует начать с

выяснения, работает ли материал в упругой области. Вычисленное

выше эквивалентное напряжение оказалось меньше предела

текучести. Это означает, что уровень напряжений соответствует

31,7



Рис. 2.11. Опасная площадка

по четвертой теории прочности

31,7









max



Рис. 2.10. Опасная площадка

по третьей теории прочности

упругой стадии деформирования и можно использовать обобщенный

закон Гука.

Если уровень напряжений соответствует неупругой стадии

деформирования, то закон Гука определяет только упругую часть

полных деформаций. В задаче при этой ситуации нужно вычислить

только упругую составляющую деформации, отметив это

примечанием в тексте.

Линейные деформации в направлении осей

zyx ,,

105))]100(0(3,020[

102

)]([



×

n

zyxx

108,1)]20(100(3,00[

102

)]([



×

n

xzyy

107,4)]020(3,0100[

102

)]([



×

n

yxzz

Угловая деформация

×





06,0рад1004,1)80(

1077,0

xzxz

Знак минус означает, что угол (



) уменьшается. Две другие

угловые деформации отсутствуют:

0

yzxy

, так как равны нулю

соответствующие касательные напряжения.

Линейные деформации вдоль главных направлений 1, 2, 3

,103,714)]44,1490(3,044,29[

102

)]([

3211



×

n

,101,80)]44,2944,149(3,00[

102

)]([

1322



×

n

.107,914 )]044,29(3,044,149[

102

)]([

2133



×

n

Относительная объемная деформация

321

102,4



×

zyxv

Рис. 2.12, 2.13 разъясняют результаты

вычислений. Условно исходные длины ребер

элемента считаются равными единице. При

этом линейные относительные деформации в

направлении этих ребер равны абсолютным

изменениям длин. В исходном

недеформированном состоянии грани элемента

параллельны координатным плоскостям

системы координат

xyz

. В результате

деформации тела элемент перемещается как

жесткое целое и

деформируется. На

рис.F2.12 жирной линией изображен

деформированный элемент.

Недеформированный элемент показан

штриховой линией. Перемещение элемента

как жесткого целого не изображено. Этот

элемент получает угловые и линейные

деформации.

Деформированный элемент, грани которого в исходном

недеформированном состоянии были параллельны главным

площадкам, показан на рис.F2.13. Этот элемент получает только

линейные деформации.

2.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО

СОСТОЯНИЯ ПО ЗАДАННЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

НА ГЛАВНЫХ ПЛОЩАДКАХ.

ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ (ЗАДАЧА № 8)

Условие задачи

На гранях элементарного параллелепипеда заданы главные

напряжения (рис.F2.14). Материал элемента – чугун c









Рис. 2.13. Деформации

элемента по главным

направлениям 1, 3





Рис. 2.12. Деформации

элемента по заданным

направлениям х, z

характеристиками

180

МПа,

600



МПа,

102,1 ×E

МПа,

25,0n

Нормативный коэффициент запаса прочности

3n

Требуется:

1) найти нормальное



, касательное



и полное

напряжения на наклонной площадке, заданной углом



изображенной на рис.F2.14;

2) найти величины наибольшего касательного напряжения и

соответствующего ему нормального напряжения, показать

положение площадки, на которой эти напряжения действуют;

1) проверить прочность материала; найти действительный

коэффициент запаса прочности.

Решение

Заданный элемент ограничен главными площадками, поэтому

сразу пронумеруем главные напряжения по убыванию (





МПа,

120



МПа) и изобразим на рисунке главные оси (рис.F2.15).



=15



120 МПа

мМПА

МПа

50 МПа



Рис. 2.14. Заданное

напряженное состояние

в условии задачи № 8





120

Рис. 2.15. Определение

напряжений на наклонной

площадке

Определение напряжений. Напряжения на наклонной

площадке вычисляются так же, как в задаче № 7. Единственное

отличие состоит в том, что можно использовать частный случай (2.4)

общих формул (2.2а) и (2.2б). Положение наклонной площадки

будем задавать углом



, отсчитываемым от оси 3 к нормали n.

Значение

 15

положительно, так как угол отсчитывается против

часовой стрелки.

Согласно (2.4)

МПа,3,115)2(cos

2323











МПа.5,17)2(sin







Модуль полного напряжения

6,116



nnn

МПа.

Примененная формула для касательного напряжения



справедлива для площадок, перпендикулярных плоскости чертежа.

Максимальное для таких площадок касательное напряжение

)120()50(

max













МПа.

Соответствующее нормальное напряжение

)120(50

max













МПа.

Подсчитанное выше значение

касательного напряжения

max





не

самое большое из всех возможных

значений. Это значение является

максимумом для касательных

напряжений по площадкам,

перпендикулярным плоскости

чертежа. Площадка, на которой

действует

max





, расположена под

углом 45°

к главным площадкам 2, 3

(рис.F2.16).



120



max



max



Рис. 2.16. Площадка

с максимальным касательным

напряжением для заданного

плоского напряженного

состояния

Максимальное касательное напряжение (максимум вычисляется

для всех возможных площадок, проведенных через точку) и

соответствующее ему нормальное напряжение

)120(0

max











МПа,









МПа

всегда действуют на площадке, перпендикулярной второй главной

площадке и повернутой на угол в 45° к первой и третьей главным

площадкам (рис.F2.17). Заметим особо, что теперь, в отличие от

результата в задаче № 7,

 max

max

Круг напряжений для заданного плоского напряженного

состояния показан на рис.F2.18. Координаты точки

дают значение

напряжений на площадке с нормалью n. Площадке с

max

соответствует точка

круга.

На рис.F2.19 показаны все три круга напряжений. Видно, что

площадке с наибольшим по модулю касательным напряжением

max



соответствует точка, лежащая на бóльшем круге напряжений.

Проверка прочности. По условию задачи материал элемента

хрупкий. При проверке прочности используем теории прочности,

относящиеся к хрупким материалам.

Расчетное напряжение, соответствующее первой теории

прочности

 

1экв

0 

120



max





Рис. 2.17. Площадка

с максимальным касательным

напряжением для заданного

объемного напряженного

состояния

Видим, что первая теория прочности не годится для оценки

прочности, так как она выдает в рассматриваемой ситуации

неправдоподобный результат: при любом уровне напряжений

прочность обеспечена.

Расчетное напряжение, соответствующее второй теории

прочности,

 

.МПа60

180

2,42)12050(25,00)(

р321экв



Прочность обеспечена с фактическим коэффициентом запаса

4,26

2,42

180

экв

действ





n

большем нормативного (

3n

Расчетное напряжение, соответствующее теории прочности

Мора,

 

.МПа60

180

36,0)120(

600

180

1экв







–120

– 40

III









×





(



)/2



m a x





– 100

– 80

– 60

– 40

– 20

Рис. 2.18. Круг Мора, изображающий заданное плоское

напряженное состояние

Прочность обеспечена. Фактический коэффициент запаса

0,36

180

экв

действ





n

Опасная плоскость показана на рис.F2.20 жирной линией. Она

перпендикулярна первому главному направлению. Если

напряженное состояние достигнет критического уровня (для этого

все напряжения надо увеличить в

действ

раз), то по указанной

плоскости произойдет разрушение.

120

Рис. 2.20. Опасная площадка

по первой и второй теориям

прочности

m ax





m ax





m ax







III

Рис. 2.19. Круги Мора,

изображающие заданное объемное

напряженное состояние