Левченко Н.Б. Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

хрупких материалов, примененных для чистого сдвига, следуют

такие результаты:

· из второй теории прочности

 

 

n









1+1 n

; (3.14)

· из теории Мора

 

 

knk 









1+1

, (3.15)

где

k

Из теорий прочности для пластичных материалов при чистом сдвиге

получим:

· по третьей теории прочности

 

n22









, (3.16)

· по четвертой теории прочности

 

n33









. (3.17)

Условие жесткости вала при кручении – это условие,

ограничивающее деформации стержня, а именно:

 



q



max

, (3.18)

где

][q



– допускаемый погонный угол закручивания, величина

которого нормируется.

Удовлетворяя этим двум условиям, можно либо подбирать

размеры сечения, либо определять допускаемую нагрузку на

стержень.

Примеры решения задач

3.1. ПОДБОР СЕЧЕНИЯ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ (ВАЛА),

РАБОТАЮЩЕГО НА КРУЧЕНИЕ (ЗАДАЧА № 10)

Условие задачи

Имеется стержень, расчетная схема которого представлена на

рис.F3.5,Fа. Стержень нагружен внешними парами

Левый участок стержня выполнен из чугуна и имеет прямоугольное

сечение с заданным соотношением сторон

; правый участок

выполнен из стали и имеет круглое сечение. Известны

характеристики прочности материалов:



(



) для чугуна и



для

стали; упругие постоянные материалов 

, n; допускаемый

погонный угол закручивания

 



Требуется:

1) подобрать размеры поперечных сечений стержня так,

чтобы выполнялись условия прочности и жесткости на каждом

участке стержня;

2) построить эпюру изменения угла закручивания по длине

стержня.

Решение

Строим эпюру крутящих моментов, используя метод сечений.

Крутящий момент на каждом участке находим как алгебраическую

сумму моментов внешних пар, расположенных справа от сечения. (В

этом случае можно построить эпюру М

без определения

реактивного момента, возникающего в защемлении.) Крутящий

Сталь



Чугун

3-0

2-0

1-0

Эпюра M

Эпюра

Рис. 3.5. К решению задачи № 10:

а – расчетная схема стержня;

б, в – эпюры крутящих моментов и углов закручивания

момент на крайнем правом участке равен

, на среднем 

MM 

на левом 

123

MMM 

. Эпюра крутящих моментов показана на

рис.F3.5,Fб.

Подбираем размеры сечения стержня из условия прочности. На

чугунном участке стержня

123max

MMMM 

и из условия прочности

(3.13), определяя

max



по формуле (3.5), находим минимально

необходимую величину момента сопротивления кручению:

 





max

необх

и, зная

необх

, определяем ширину сечения

из

формулы (3.11):

необх





. (Значение [] высчитываем либо по

второй теории прочности (3.14), либо по (3.15) – теории Мора.)

Для стального участка опасным является сечение, где действует

максимальный крутящий момент, т. е. в данном примере

23max

MMM 

, и из условия прочности (3.13) находим требуемый

полярный момент сопротивления

 





max

необх

где [] определяем по теориям прочности, справедливым для

пластичного материала (3.16) или (3.17). Зная

необх

, ищем радиус

поперечного сечения, используя формулу (3.8) для полярного

момента сопротивления

необх





Полученные размеры рекомендуем округлить в большую

сторону до 0,1 мм.

Проверим, выполняется ли для найденных из условия

прочности размеров поперечных сечений условие жесткости.

Сосчитаем геометрические характеристики

по формулам

(3.8) и (3.10) и модули сдвига чугуна и стали по (3.12). На чугунном

участке стержня должно выполняться условие

 





max

На стальном участке должно быть

 





maxк

Если условие жесткости на каком-то участке не выполняется, то

следует увеличить размеры сечения. Из условия жесткости находим

минимально необходимую геометрическую характеристику

жесткости для прямоугольного сечения:

 





max

необх

и требуемый полярный момент инерции для круглого сечения

 





max

необх

Зная

, определяем по формулам (3.10) и (3.8) размеры

поперечного сечения, удовлетворяющие условию жесткости

необх





необх





Окончательно размеры, удовлетворяющие двум условиям (и

условию прочности, и условию жесткости), и соответствующие им

геометрические характеристики сечений используем в дальнейших

расчетах.

Построим эпюры касательных напряжений в поперечных

сечениях стержня (рис.F3.2 и 3.4), сосчитав значения напряжений по

формуле (3.2) для круглого сечения и по формулам (3.5) , (3.6) для

прямоугольного сечения. Заметим, что по найденным значениям

напряжений можно проверить свои вычисления, а именно, если

размеры сечения были определены из условия прочности, то

значения максимальных касательных напряжений должны быть

близки к допускаемым. Если же размер сечения находился из

условия жесткости, то максимальные напряжения будут меньше

допускаемых касательных напряжений.

Построим эпюру углов закручивания. Углы закручивания на

каждом участке стержня вычисляются по формулам (3.3) или (3.7).

При этом следует учитывать знак крутящего момента. Построение

эпюры углов закручивания следует начинать, определив угол

закручивания q

1–0

сечения 1–1 (рис.F3,5,Fа) по отношению к

неподвижному сечению 0–0 (заделке). Например, в рассматриваемом

примере

lMMM

1321

)( 

q



Угол закручивания q

2–1

сечения 2–2 по отношению к сечению

1–1 найдем по формуле (3.3):

lMM

232

)( 

q



Аналогично находится угол закручивания q

3–2

сечения 3–3 по

отношению к сечению 2–2. На эпюре q откладываем полные углы

закручивания сечений по отношению к неподвижному сечению, т. е.

120102 

qqq

230203 

qqq

Вид эпюры углов закручивания зависит от того, найдены ли

размеры поперечного сечения из условия прочности или из условия

жесткости. На рис.F3.5,Fв показан вид эпюры q, построенной в

предположении, что размеры поперечных сечений найдены из

условия прочности. В этом случае угол наклона эпюры q на каждом

участке прямо пропорционален величине крутящего момента и

обратно пропорционален жесткости стержня при кручении (GI

, GI

Если размеры сечений на всех участках получены из условия

жесткости, то угол наклона эпюры q на опасных участках должен

быть одинаковым.

3.2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОГО ВАЛА

ПРИ КРУЧЕНИИ (ЗАДАЧА № 11)

Условие задачи

Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех

участков с различными полярными моментами инерции (рис.F3.6,Fа).

Концы вала жестко закреплены от поворота относительно

продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил

действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения

полярных моментов инерции участков вала





; длины участков

Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) подобрать размеры поперечных сечений из условия

прочности;

3) построить эпюру углов закручивания.

Решение

Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под

действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары

. Составив условие равновесия вала



MMMM

убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено

однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины:

. Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке

выполняются тождественно. Следовательно, задача является один

раз статически неопределимой.

Для раскрытия статической неопределимости составим условие

совместности деформаций. Вследствие жесткости опорных

закреплений концевые сечения вала не поворачиваются. Это

равносильно тому, что полный угол закручивания вала на участке А–

В равен нулю:

0q

 BA

, или

321

qqq

Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций.

Для его связи с уравнением равновесия запишем физические





Эпюра М

– М

–

Эпюра

Рис. 3.6. К решению задачи № 11:

а – расчетная схема стержня;

б, в – эпюры крутящих моментов и углов закручивания

уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания

(3.3) (закон Гука при кручении) , для каждого участка стержня:

q

 

lMM





q

 

lMMM





q

321

Подставив физические соотношения в условие совместности

деформаций, находим реактивный момент

, а затем из уравнения

равновесия определяем

. Эпюра крутящих моментов показана на

рис.F3.6,Fб.

Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для

определения максимальных касательных напряжений (3.5) на

каждом участке вала:

 



;

 





;

 



Коэффициенты

, представляющие собой отношения

полярных моментов сопротивления сечений второго и третьего

участков вала к полярному моменту сопротивления сечения первого

участка

, определим через известные параметры





Полярный момент инерции

I

может быть записан двояким

образом:





;





где

 радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда

выразим радиус

через

RR 

Тогда полярный момент сопротивления второго участка

   











то есть

 

a

. Аналогично

 

b

Теперь можно сравнить между собой максимальные

касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего

из них записать условие прочности (3.13). Из этого условия находим

требуемый полярный момент сопротивления

необх

, и затем,

используя формулу (3.8), радиусы вала на каждом участке.

необх





;

RR 

;

RR 

Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы

закручивания на каждом участке стержня по формуле (3.3).

Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием

результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов

вала. Контролем правильности решения является равенство нулю

угла закручивания на другом конце вала Вид эпюры углов

закручивания показан на рис.F3.6,Fв.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление

материалов. М.: Высш. шк., 1995.

2. Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз,

1977.

3. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк.,

1989.

4. Сопротивление материалов и основы строительной механики: Метод.

указания и схемы заданий к расчетно-проектировочным работам для

студентов всех специальностей / СПбГАСУ; Сост: И А. Куприянов, Н.

Б. Левченко. СПб., 1999.

СОДЕРЖАНИЕ

Общие указания по выполнению расчетно-проектировочных работ......................

Используемые

обозначения........................................................................................

1. Растяжение-сжатие...............................................................................................

1.1. Расчет статически определимых стержневых систем..................................

Примеры решения задач.......................................................................................

1.1.1. Подбор сечения стержня, подверженного растяжению-сжатию

(задача № 1).................................................................................................................

1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне при

растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача №

2)..............................................

1.1.3. Определение грузоподъемности статически определимой

конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача №

3).............................................

1.2. Расчет статически неопределимых стержневых систем..............................

Примеры решения задач.......................................................................................

1.2.1. Расчет статически неопределимого составного стержня,

работающего на растяжение-сжатие (задача №

4)......................................................................

1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой конструкции,

работающей на растяжение-сжатие (задача №

5).............................................................

1.2.3. Определение грузоподъемности статически неопределимой

шарнирно-стержневой конструкции (задача №

6)..........................................................

2. Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности

для сложного напряженного состояния.................................................................

Примеры решения задач.......................................................................................

2.1. Исследование плоского напряженного состояния по заданным

напряжениям на произвольных площадках. Проверка прочности (задача №

7)..................

2.2. Исследование плоского напряженного состояния по заданным

напряжениям на главных площадках. Проверка прочности (задача №

8).............................

2.3. Расчет длинной тонкостенной трубы, подверженной действию

внутреннего давления, продольной силы и крутящего момента (задача №

9).....................

3. Кручение.................................................................................................................

Примеры решения задач.......................................................................................

3.1. Подбор сечения составного стержня (вала), работающего на кручение

(задача № 10)...............................................................................................................

3.2. Расчет статически неопределимого вала при кручении (задача № 11).......

Список литературы.....................................................................................................