Левченко Н.Б. Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

расчетом по предельному состоянию, должны быть не больше

площадей сечений, полученных расчетом по упругой стадии

деформаций.

Примеры решения задач

1.2.1. Расчет статически неопределимого составного

стержня, работающего на растяжение-сжатие

(задача № 4)

Условие задачи

Стержень переменного

сечения с заданным

соотношением площадей

поперечного сечения

AA

, выполненный из

разного материала, загружен

силой F (рис.F1.8). Между

правым концом стержня и

стенкой существует зазор



Требуется:

1) определить продольные силы, напряжения на каждом

участке и проверить прочность стержня от действия заданной

нагрузки F.

2) найти дополнительные напряжения, возникающие в стержне

при его нагревании на температуру

T

и проверить

прочность стержня от температурного воздействия.

Решение

I. Определение напряжений от заданной нагрузки

Прежде всего надо убедиться, что заданная система является

статически неопределимой. Найдем абсолютную деформацию

стержня, показанного на рис.F1.8, предполагая сначала, что правая

стенка отсутствует. Тогда, используя метод сечений, определим

продольные силы на трех участках стержня:

(сталь)

(бронза)

a b c



Рис. 1.8. Схема нагрузки на стержень

в задаче № 4

на первом участке длиной

FNa



;

на втором и третьем участках

0

Полное удлинение стержня, равное в общем случае

cba

llll 

, в данной задаче равно удлинению первого участка и,

следовательно, по (1.3)

1ст



Если под действием нагрузки абсолютная деформация

l

стержня будет больше заданного зазора



, то стержень упрется

правым концом в стенку и возникнут опорные реакции как в левом

защемлении (

), так и в правом опорном закреплении (

)

(рис.F1.9,Fа). Для заданной системы можно составить только одно

независимое уравнение статики



0x

. Таким образом, две

неизвестные опорные реакции нельзя найти из одного уравнения, и

система в процессе деформации становится один раз статически

неопределимой.

(сталь)

(бронза)

a b c

Эпюра



Рис. 1.9. К решению задачи № 4:

а – план сил от действия F,

б – эпюры продольной силы и напряжений от F

Для раскрытия статической неопределимости используем

расчет по упругой стадии деформаций и запишем три группы

уравнений:

1) уравнения равновесия. Из них получим:

· для всего стержня

FRR



;

· для отсеченных частей стержня

RN 

,FRN



RN 

Заметим, что при составлении уравнений равновесия

отсеченных частей стержня сделано предположение, что

первая и вторая части стержня растянуты, а третья часть –

сжата;

1) уравнение совместности деформаций, смысл которого в

данной задаче очень простой: полная деформация стержня равна

заданному зазору. При составлении уравнения совместности

деформаций важно, чтобы знаки абсолютных деформаций

соответствовали сделанным предположениям о направлении усилий.

В нашем примере



cba

llll

;

2) физические уравнения

1ст



ст



бр



Решив полученную систему уравнений, найдем продольные

силы, а затем напряжения в разных частях стержня и построим

эпюры их распределения по длине стержня (рис.F1.9,Fб). Если знак

усилия после решения системы уравнений получился

отрицательным, это означает, что сделанное предположение о

направлении продольной силы не подтвердилось. В рассмотренной

задаче отрицательным должно получиться усилие

, т. е. второй

участок длиной b не растянут, а сжат. Знаки N и  на эпюрах ставим

в соответствии с правилом знаков для продольной силы.

После определения напряжений производим проверку

прочности по формулам (1.5) или (1.7) так же, как в статически

определимой системе. Если условие прочности на каком-нибудь

участке стержня не будет выполняться, измените значение F так,

чтобы условие прочности соблюдалось.

II.Определение температурных напряжений

Найдем удлинение стержня от температурного воздействия

l

и убедимся в том, что это удлинение больше заданного зазора



cTbaTlll

TTT

брстбрст

 )(

Если

l



, то система является один раз статически

неопределимой и раскрытие статической неопределимости

производим по той же схеме, что и в предыдущей части задачи:

Из уравнений равновесия следует, что

RR 

RNN 

брст

Здесь в соответствии с рис.F1.10,Fа предполагаем, что стержень

всюду сжат. (Силу F при определении температурных напряжений

считаем равной нулю.)

Уравнение совместности деформации показывает, что

абсолютная деформация стержня, равная разности удлинения

стержня от температурного воздействия

l

и укорочения от

действия сжимающих продольных сил

l

не может быть больше

заданного зазора





lll

где

NNN

lll

брст



(сталь)

(бронза)

b c

Эпюра



Рис. 1.10. К решению задачи № 4: а – план сил от действия

T

б – эпюры продольной силы и напряжений от

T

Укорочение стержня от действия продольных сил найдем,

используя физические уравнения (закон Гука):

)(

baN

ст





бр



После решения полученной системы уравнений найдем усилия

в обеих частях стержня. Полученный положительный знак должен

подтвердить предположение о том, что стержень сжат. Строим

эпюры продольной силы и напряжений (рис.F1.10,Fб) от

температурного воздействия.

Проверяем прочность стержня и в случае невыполнения

условия прочности на каком-нибудь участке находим новое значение

T

, при котором условие прочности будет соблюдаться на всех

участках.

1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой

конструкции, работающей на растяжение-сжатие

(задача № 5)

Условие задачи

Стержневая конструкция, состоящая из абсолютно жесткого

диска и двух деформируемых стержней длиной l

и l

, соединенных

шарнирами, подвержена действию силы F (рис.F1.11).

Расчет этой конструкции состоит из трех частей:

Часть 1. Расчет по упругой стадии деформации. В зависимости

от исходных данных, выписанных из таблицы и являющихся

индивидуальными для каждого студента, надо либо определить

грузоподъемность конструкции, либо подобрать размеры

поперечного сечения расчетом по допускаемым напряжениям.

Часть 2. Расчет по предельному пластическому состоянию.

Требуется найти грузоподъемность (или подобрать сечения

стержней) расчетом по предельному состоянию.

Часть 3. Определение дополнительных напряжений, связанных

с изменением температуры на T или неточностью изготовления 

одного из стержней. Допустим, что в рассматриваемой задаче

стержень 1 охлаждается (T

< 0), и найдем возникающие в стержнях

конструкции температурные напряжения.

Решение

Прежде всего убедимся, что рассматриваемая конструкция

является статически неопределимой. Сосчитаем число неизвестных:

ими являются продольные силы в двух деформируемых стержнях и

две опорные реакции в шарнирно неподвижной опоре в точке А.

Таким образом, имеем 4 неизвестные, а число независимых

уравнений статики для данной системы равно 3. Система является

один раз статически неопределимой.

Часть 1. Для расчета конструкции по упругой стадии

деформации необходимо составить три группы уравнений:

· уравнения равновесия;

· уравнения совместности деформаций;

· физические уравнения (закон Гука).

Чтобы составить уравнения равновесия, нарисуем план сил. Для

этого рассечем стержни и, отбросив части стержней, заменим их

внутренними усилиями – продольными силами N

и N

(рис.F1.12,Fа).

Важно, чтобы на плане сил направления усилий соответствовали



a a F

B A

Рис. 1.11. Схема конструкции в задаче № 5

плану перемещений. Для того, чтобы выяснить как направлены

продольные силы в стержнях, нарисуем приближенный план

перемещений (рис.F1.12,Fб), пользуясь принципами, описанными при

решении задачи № 3. Точки В и С жесткого диска поворачиваются с

радиусами AB и АС вокруг неподвижной точки А на один и тот же

угол  и перемещаются по дугам, которые заменяем

перпендикулярами



СС



Для того, чтобы найти абсолютные

деформации стержней, надо из точек



(новые положения

узлов В и С) опустить перпендикуляры на направления стержней.

Как видно из рис.F1.12,Fб стержень 1 укорачивается на

l

(выделенный жирным отрезок), и поэтому на плане сил усилие N

показано сжимающим. Стержень 2 согласно плану перемещений

удлиняется на

l

, и на рис.F1.12,Fа продольная сила N

нарисована

растягивающей.

Теперь составим три уравнения равновесия:



0x

;

0sin

 NH

;



0y

;

0cos

 FNNR

;



0

;

0cos

××× aFaNaN

Запишем вторую группу уравнений – уравнения совместности

деформаций. Поскольку данная система является один раз

a a















Рис. 1.12. К решению задачи № 5:

а – план сил от действия F;

б – план перемещений от действия F

статически неопределимой, необходимо составить одно уравнение

совместности деформаций. Это геометрическое уравнение,

связывающее абсолютные деформации стержней, и его мы получим

на основании плана перемещений. Из подобия треугольников ABB



ACC



на рис.F1.12, Fб







. Связывая отрезки BB



и CC



деформациями стержней

l

и учитывая, что AB = a, а

baAC 

, получим окончательно уравнение совместности

деформаций

sin

cos

×j





×



Теперь надо связать деформации стержней с внутренними

усилиями. Предполагая, что материал подчиняется закону Гука

(расчет по упругой стадии деформаций), запишем третью группу

уравнений

l 

Мы получили полную систему уравнений для определения всех

неизвестных (

RHNN ,,,

). Как правило, нас интересуют только

продольные силы в стержнях, поэтому из уравнений равновесия при

решении системы используется только последнее уравнение, в

которое не входят опорные реакции. Решая полученную систему

уравнений, найдем внутренние усилия в стержнях:

)

cos

sin

1(cos









;

sin

cos









Здесь введено обозначение

e 

– погонная жесткость i-го

стержня.

Заметим, что, как видно из полученных формул, усилия зависят

не только от величины нагрузки и геометрических размеров

конструкции, как в статически определимых системах, но и от

отношения погонных жесткостей стержней. Эта важная

закономерность справедлива для любой статически неопределимой

конструкции и позволяет влиять на распределение усилий в

стержнях без изменения ее геометрической схемы.

Определив внутренние усилия в стержнях, находим напряжения

и выбираем наиболее напряженный стержень. Из условия прочности

этого (наиболее напряженного) стержня либо определяем

допускаемую нагрузку, либо подбираем размеры поперечных

сечений стержней (заданное отношение площадей сечения

необходимо сохранить). Например, если в заданной схеме задаться

следующими данными:

2a

м,

3b

м,



30

AA

l

м,

l

м, то

555,0942sin j

FN 494,0



, а

FN 571,0



. Напряжения в стержнях

1)1(

494,0 AF

12)2(

142,1571,0 AFAF 

. Из сравнения видно, что наиболее

напряженным является стержень 2. Из условия прочности этого

стержня

][142,1

1)2(max

 AF

находим либо значение F, либо А

(А

по заданному отношению

равно А

/2).

Для проверки рекомендуем после определения допускаемой

нагрузки (либо размеров площадей сечения) еще раз найти

напряжения в стержнях и убедиться в том, что условие прочности

выполняется в обоих стержнях.

Часть 2. Сделаем расчет конструкции по предельному

пластическому состоянию. Поскольку заданная система является

один раз статически неопределимой, то в предельном состоянии

должны потечь два стержня, то есть все деформируемые стержни

конструкции. Для определения предельной нагрузки нарисуем план

сил в предельном состоянии (рис.F1.13). Направления усилий снова

должны соответствовать плану перемещений. Составим одно

уравнение равновесия в предельном состоянии (такое уравнение, в

которое не входят неизвестные опорные реакции):



0

;

0cos

21т

××× aFaAaA

предт

Из этого уравнения можно найти значение предельной

нагрузки. Для конкретных исходных данных, использованных в

первой части задачи, получим:

367,1867,0

121

×× AAAF

тттпред

Из условия прочности

конструкции по предельному

состоянию

nAF

367,1



либо

находим значение допускаемой

нагрузки, либо подбираем размер

Сравним величины допускаемых нагрузок, найденных разными

методами для рассмотренного примера. Допускаемая нагрузка,

определенная расчетом по упругой стадии деформации

142,1][

1оп

AF 

упр

оказалась меньше допускаемой нагрузки, полученной расчетом по

предельному пластическому состоянию

][367,1 AF 

пл

доп

, на 56%.

Часть 3. Найдем дополнительные напряжения в стержнях

конструкции, связанные с охлаждением стержня 1 на

T

градусов.

Предполагая, что в процессе деформации материал стержней

остается упругим, расчет ведем по той же схеме, что и в первой

части задачи, т. е. составляем три группы уравнений:

· уравнения равновесия;

· уравнения совместности деформаций;

· физические уравнения.

a a



пред

Рис. 1.13. План сил в предельном

состоянии