Левченко Н.Б. Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
прочности (1.5) или (1.7). (При этом должно выполняться заданное
отношение площадей.)
Решение
Определяем продольную силу и строим эпюру распределения N
вдоль оси стержня. Для этого сначала из уравнения равновесия всего
стержня находим опорную реакцию:
221312
lqFlqFR
.
Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу
в произвольном сечении на каждом участке стержня:
на первом участке
11
0
(
lx
)
RxN )(
1
;
на втором участке
)0
22
(
lx
222
)(
2
xqFRxN
;
на третьем участке
)0(
33
lx
)(
3
xN
311
xqF
.
x
1
x
2
x
3
F
1
F
2
l
1
l
2
l
3
a
б
21/
A
1
10/
A
2
=
20/
A
1
Эпюра N
, кН
Эпюра
A
1
(сталь)
A
2
(чугун)
R
в
10
5
19
21
5/
А
1
10/
А
1
19/
А
1
q
1
q
2
Рис. 1.3. К решению задачи № 1:
а – схема нагрузки на стержень;
б, в – эпюры продольной силы и напряжений
11
Ищем значения N на границах участков. На первом участке
продольная сила постоянна и не зависит от x. В начале второго
участка
22
)0( FRxN
,
в конце второго участка
22222
)( lqFRlxN
.
Аналогично для третьего участка
13
)0( FxN
,
31133
)( lqFlxN
.
По полученным точкам строим эпюру N. На рис.F1.3,Fб эпюра N
построена для следующих исходных данных:
1
31
ll
м,
2,1
2
l
м; F
1
= 10 кН, F
2
= 40 кН, q
1
= 15 кН/м, q
2
= 20 кН/м.
Зная продольную силу, по формуле (1.1) находим напряжения в
стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине
стержня (рис.F1.3,Fв). Заметим, что на эпюре продольных сил скачки
(т. е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение)
имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил,
на эпюре напряжений скачки появляются так же и в местах
изменения поперечного сечения.
Для подбора сечения стержня по эпюре напряжений выбираем
опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для
хрупких материалов важным является не только абсолютное
значение напряжения, но и его знак. Более опасным является
растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при
растяжении у хрупкого материала много меньше прочности при
сжатии. Например, на эпюре
, показанной на рис.F1.3,Fв, опасным
является не только сечение в начале третьего участка
)(
0
3
x
, где
действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в
конце третьего участка
)(
33
lx
с максимальными растягивающими
напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рис.F1.3,
должны выполняться условия прочности в трех опасных сечениях:
для чугунной части
чуг
c1
с
max
][/20 A
, откуда
чуг
с
/20
1
A
,
чуг
р
1
p
max
/10 A
и
чуг
р
/10
1
A
;
для стальной части
ст
1max
/21 A
, тогда
ст
1
/21 A
.
12
Из трех значений A
1
, найденных из условий прочности в
опасных сечениях выбираем то, которое удовлетворяет всем
условиям. Значение А
2
находим по заданному соотношению:
2/
12
AA
.
Для проверки вычислений находим действительные
коэффициенты запаса прочности на каждом участке по формуле (1.8)
и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом
опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент
запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных
участках согласно (1.7) должен быть больше нормируемого.
1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне
при растяжении-сжатии с учетом собственного веса
(задача № 2)
Условие задачи
Стержень переменного сечения с соотношением площадей
поперечных сечений A
1
/A
2
= 2 находится под действием
a R
q
1
F
1
a a
q
2
F
2
l
a
l
1
l
2
l
3
A
1
A
2
б
R R
/
A
1
F
1
F
1
/
A
1
F
2
2
F
2
/
A
1
Эпюра N Эпюра
в
1
2
Рис. 1.4. К решению задачи № 2:
а – схема нагрузки на стержень;
б, в – эпюры продольной силы и напряжений
13
сосредоточенных сил и собственного веса (рис.F1.4,Fа). Материал
стержня на всех участках одинаков. Требуется построить эпюры
распределения продольной силы и напряжений вдоль оси стержня и
определить перемещение сечения а–а.
Решение
Строим эпюры изменения продольной силы и напряжений
вдоль оси стержня. Собственный вес стержня принято учитывать,
заменяя его распределенной по всей длине нагрузкой.
Интенсивность распределенной нагрузки равна собственному весу,
действующему на единицу длины стержня, т. е.
на первом и втором участках
1
21
211
1
)(
)(
A
ll
llA
q
,
на третьем участке
2
3
32
2
A
l
lA
q
,
где – объемный вес материала стержня.
Эпюры продольной силы и напряжений строим, используя
метод сечений, аналогично тому, как это делали в задаче № 1.
Заметим, что угол наклона эпюры продольной силы зависит от
величины q и, следовательно, при построении эпюры N в масштабе
угол ее наклона на первом и втором участке должен быть больше,
чем на третьем участке, так как A
1
по условию больше, чем A
2
(рис.F1.4,Fб). Угол же наклона эпюры напряжений зависит от
объемного веса , и поэтому угол наклона эпюры напряжений на
всех участках одинаков (рис.F1.4, Fв).
Находим перемещение (опускание) сечения а–а. Это
перемещение можно искать разными способами. По первому
способу для определения перемещения используем формулу (1.4).
Здесь F – сосредоточенная сила, вызывающая перемещение участка
длиной l; G – собственный вес рассматриваемого участка. Эту
формулу можно использовать на участках постоянного сечения
между сосредоточенными силами. Отсчет надо вести от
неподвижного сечения, т. е. заделки. Например, в рассматриваемой
задаче перемещение сечения а–а складывается из удлинения участка
14
длиной l
1
, которое мы обозначим l
1
, и удлинения участка длиной l
a
– l
a
. При определении удлинения l
1
в формуле (1.4) сила F равна
сумме F
1
, F
2
и собственного веса всех расположенных ниже
участков. Вес участка стержня длиной l
1
:
11
lAG
. Таким образом, по
(1.4)
1
111322121
1
)2/(
EA
llAlAlAFF
l
.
Удлинение l
a
происходит под действием сосредоточенной
силы, состоящей из силы F
2
, веса участков стержня, расположенных
ниже сечения а–а, и собственного веса участка
a
lAG
1
. То есть
1
132212
]2/)([
EA
llAlAllAF
l
aaa
a
.
Окончательно опускание сечения а–а равно
a
lll
1
.
Если построена эпюра распределения напряжений, то для
определения перемещения заданного сечения удобно использовать
второй способ, применяя формулу (1.2). В формуле (1.2)
)(/)( xAxN
, а
dxx)(
– это площадь эпюры напряжений. Таким
образом, если найти площадь двух трапеций на участке между
неподвижным сечением (заделкой) и сечением а–а (заштрихованные
площади
1
и
2
эпюры на рис.F1.4,Fв) и разделить полученную
величину на модуль упругости, мы получим искомое перемещение
сечения а–а:
El
21
.
При вычислении перемещения обращайте внимание на
единицы измерения величин, входящих в формулы. Рекомендуем
окончательный результат получить в сантиметрах.
1.1.3. Определение грузоподъемности статически
определимой конструкции, работающей на растяжение-
сжатие (задача № 3)
Условие задачи
Конструкция, состоящая из стержней, соединенных шарнирами,
загружена силой F (рис.F1.5). Сечения стержней – из прокатной стали
и площади сечений можно найти по таблицам сортамента прокатной
стали (например, в [1]). Цель расчета:
1) определить значение допускаемой нагрузки;
15
2) найти перемещение узла С.
Примечание. Если на схеме, выбранной студентом по [4], один
стержень показан более жирным, то его следует считать абсолютно
жестким, т. е. деформациями этого стержня можно пренебречь.
Решение
Для определения усилий используем
метод сечений. Для этого нарисуем
план сил: рассечем деформируемые
стержни конструкции и
отброшенные части стержней
заменим продольными силами N
1
и
N
2
(рис.F1.6). Из уравнений
равновесия отсеченной части
конструкции найдем продольные
силы в стержнях
1
:
tg
1
F
N
и
sin
2
F
N
.
Знак минус показывает, что направление усилия в стержне 2
противоположно показанному на рис.F1.6, т. е. стержень 2 сжат.
1
Желательно составлять такие уравнения равновесия, чтобы в каждое
уравнение входило только одно неизвестное усилие, например,
0
1
x
для
определения N
1
и
0
2
x
(рис.F1.6) для нахождения N
2
. Для конструкции,
имеющей жесткий стержень, рациональным уравнением равновесия, в которое
входит одно неизвестное усилие, является уравнение
0
A
m
, где А –
шарнир, вокруг которого поворачивается жесткий стержень.
1
С
2
F
Рис. 1.5. Схема
конструкции в задаче № 3
N
1
N
2
F
x
1
x
2
Рис. 1.6. План сил
16
Определим напряжения по (1.1) и выберем наиболее
напряженный стержень (допустим, что в рассматриваемой задаче это
будет стержень 1).
Из условия прочности этого стержня получим значение
допускаемой нагрузки:
][
tg
1
max
A
F
,
tg][
1
AF
.
Найдем перемещение узла С, построив план перемещений
(рис.F1.7). Предварительно найдем абсолютные деформации
стержней l
1
и l
2
по формуле (1.3). В рассматриваемой задаче
растянутый стержень 1 будет удлиняться, а сжатый стержень 2 –
укорачиваться. Для построения плана перемещений нарисуем схему
конструкции в масштабе и отложим отрезки l
1
и l
2
вдоль оси
каждого стержня, выбрав масштаб для деформаций так, чтобы
картинка плана перемещений была наглядной. В процессе
деформации стержни поворачиваются относительно точек А и В по
дугам. Из-за малости деформаций эти дуги заменяем касательными,
т. е. перпендикулярами к направлениям стержней (отрезки
CC
1
и
CC
2
на рис.F1.7). На пересечении дуг (перпендикуляров к
направлениям стержней) находится новое положение узла C после
A
C
l
1
С
1
С
2
l
2
C
C
верт
С
гор.
C
B
Рис. 1.7. План перемещений
17
деформации – точка
C
на рис.F1.7. Вертикальное и горизонтальное
перемещение узла C допускается определять по масштабу, не делая
сложных геометрических выкладок.
Примечание. Если конструкция имеет абсолютно жесткий
стержень, то принцип построения плана перемещений тот же. Все
точки абсолютно жесткого стержня могут перемещаться только по
дугам (перпендикулярам к направлению стержня), поворачиваясь
вокруг неподвижного шарнира. Например, если стержень АС на
рис.F1.7 считать абсолютно жестким, то точка С переместится в
положение
C
и горизонтальное перемещение узла С будет равно
нулю.
1.2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Основные определения
Статически неопределимая система – система, в которой
количество неизвестных (опорных реакций, внутренних усилий)
больше числа независимых уравнений статики, составляемых для
рассматриваемой системы (конструкции). Таким образом, в
статически неопределимой системе невозможно найти все
неизвестные, пользуясь только уравнениями равновесия. Разность
между количеством неизвестных и числом уравнений статики
называется степенью статической неопределимости.
Конструкции, состоящие из стержней, соединенных
шарнирами, называются шарнирно-стержневыми. В этих
конструкциях есть стержни, которые обеспечивают геометрическую
неизменяемость конструкции и при удалении которых система
превращается в механизм. Такие стержни будем называть
необходимыми. Если же при удалении некоторых стержней
геометрическая неизменяемость конструкции не нарушается, то
такие стержни назовем лишними. В статически определимой
системе есть только необходимые стержни, в статически
неопределимой – число лишних стержней равно степени статической
неопределимости.
18
Порядок определения всех неизвестных в статически
неопределимых конструкциях (раскрытия статической
неопределимости) следующий:
1) записываем необходимые уравнения равновесия;
2) составляем уравнения совместности деформаций
(геометри-ческие уравнения). Количество уравнений совместности
деформаций равно степени статической неопределимости;
3) записываем физические уравнения;
4) решая полученную систему уравнений, находим все
неизвестные.
Если в качестве физических уравнений используется закон
Гука, то такой способ расчета носит название расчета по упругой
стадии деформаций. После определения внутренних усилий –
продольных сил в стержнях статически неопределимой системы –
встает задача обеспечения ее прочности. При расчете по упругой
стадии деформаций считается, что предельное состояние
конструкции наступает тогда, когда один, наиболее напряженный,
стержень переходит в предельное состояние (разрушится или
потечет). Поэтому после определения усилий по этому способу
находим напряжения в стержнях и выбираем стержень, в котором
действует максимальное напряжение. Из условия прочности этого
наиболее напряженного стержня либо вычисляем допускаемую
нагрузку, либо подбираем сечения стержней. Следует отметить, что
в большинстве статически неопределимых конструкций в результате
расчета по этому способу только в одном стержне напряжения будут
равны допускаемым, остальные же стержни будут недогружены.
Достичь равенства напряжений во всех элементах конструкции и,
следовательно, добиться выполнения требования, чтобы напряжения
во всех стержнях равнялись допускаемым, в общем случае
невозможно.
Второй способ расчета статически неопределимых стержневых
систем носит название расчета по предельному пластическому
состоянию.
2
Благодаря наличию лишних стержней в статически
неопределимой системе, наступление состояния текучести в одном
2
Как видно из названия, этот способ применим к конструкциям, стержни
которых выполнены из пластичного материала.
19
(наиболее напряженном) стержне еще не приводит к нарушению
геометрической неизменяемости всей конструкции. Остальные
стержни, оставаясь упругими, препятствуют пластическим
деформациям этого стержня. Конструкция продолжает выполнять
свое назначение, перейдя из упругой стадии работы в
упругопластическую. При увеличении нагрузки в пластическую
стадию работы вовлекаются все новые стержни. И только тогда,
когда в системе потекут все лишние стержни и хотя бы один
необходимый, конструкция превращается в механизм и не может
выполнять свои функции. Это состояние и считается предельным
при расчете по предельному пластическому состоянию. Таким
образом, расчет по предельному пластическому состоянию сводится
к следующему:
1) определяем, сколько стержней должно потечь, чтобы
конструкция превратилась в механизм. Дальнейший расчет
возможен по двум вариантам:
· если в предельном состоянии текут все стержни системы, то,
составляя уравнения равновесия конструкции в предельном
состоянии, находим из него значение предельной нагрузки
пред
F
;
· если в предельном состоянии течет только часть стержней, то,
не определяя порядка перехода стержней в пластическое
состояние, рассматриваем все кинематически возможные
варианты предельного состояния конструкции. Находим из
уравнений равновесия предельную нагрузку для каждого
варианта. Выбираем из всех вариантов минимальное значение
предельной нагрузки
minпред
FF
;
2) из условия прочности конструкции по предельному
состоянию
nFF /
пред
либо вычисляем допускаемую нагрузку, либо
подбираем сечения стержней.
Отметим, что расчет по предельному пластическому состоянию
является более экономичным, чем расчет по упругой стадии
деформаций. Поэтому при сравнении результатов расчета по двум
способам должно получиться, что допускаемая нагрузка, найденная
расчетом по предельному пластическому состоянию, всегда не
меньше нагрузки, полученной расчетом по упругой стадии
деформации. Соответственно площади сечений стержней, найденные
20