Левченко Н.Б. Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Уравнения равновесия составляем по плану сил (рис.F1.14,Fа),

уравнения совместности деформаций – по плану перемещений

(рис.F1.14,Fб). План сил и план перемещений, как и раньше, должны

соответствовать друг другу. Поясним особенности построения плана

перемещений от температурного воздействия. Если бы конструкция

была статически определимой, т. е. стержень 2 отсутствовал, то

стержень 1 при охлаждении уменьшил бы свою длину на величину



, жесткий диск повернулся бы на угол  и узел В переместился в

положение В. Поскольку конструкция статически неопределима, то

лишний стержень 2 препятствует такой деформации. В результате

жесткий диск повернется только на угол , точка В перейдет в

положение В. Стержень 1 окажется растянутым на величину



(выделенный жирным отрезок на плане перемещений рис.F1.14,Fб) и в

нем возникнет растягивающее усилие N

. В свою очередь стержень 2

в процессе деформации также будет растянут на величину

l

продольной силой N

. В соответствии с планом перемещений на

плане сил (см. рис.F1.14,Fа) оба стержня показаны растянутыми.

Теперь запишем систему уравнений для определения

внутренних усилий в заданной конструкции:

уравнение равновесия



0

;

0cos

×× aNaN

;







a a















Рис. 1.14. К решению задачи № 5:

а – план сил от температурного воздействия;

уравнение совместности деформации

211

sin

cos

×j





×



и физические уравнения

Tll



;



;

l 

Решая эту систему уравнений, найдем усилия в стержнях

системы, а далее по формуле (1.1) температурные напряжения.

Заметим, что отрицательный знак

T

используется только при

построении плана перемещений (стержень укорачивается от

действия температуры), при решении системы уравнений величину

T

следует принять положительной.

Примечание. Определение монтажных напряжений, связанных с

неточностью изготовления одного из стержней



, производится так

же, как температурных напряжений. Например, если в

рассмотренном примере стержень 1 будет изготовлен короче, чем

требуется, на величину



(эта величина в таблице исходных данных

[4] задана отрицательной), то при сборке конструкции стержень 1

надо будет растянуть и при этом стержень 2 тоже растянется. На

плане перемещений отрезок



заменим на



и решение задачи

будет справедливо, если в полученной системе уравнений всюду

заменить



на заданную величину



.(Отрицательный знак



при

решении системы уравнений не учитывается.)

Очевидно, что связь между деформациями стержней будет такой же, как

и в первой части задачи, поэтому уравнение совместности деформаций в

третьей части задачи можно записать, используя ранее полученное уравнение,

заменив в нем

l

на

 l l

T N

1 1



1.2.3. Определение грузоподъемности статически

неопределимой шарнирно-стержневой конструкции

(задача № 6)

Условие задачи

Имеется шарнирно-стержневая система, состоящая из трех

деформируемых стержней, загруженная силой

(рис.F1.15). Заданы:

геометрические характеристики системы (





); площади

поперечных сечений стержней

AA 

AA 2



AA 5,0



; материал

конструкции  пластичный.

Требуется

1) определить грузоподъемность системы тремя способами:

· расчетом по упругой стадии деформаций;

· расчетом по упругопластической стадии;

· расчетом по предельному пластическому состоянию;

2*) определить остаточные напряжения в стержнях системы

при полной разгрузке из положения предельного равновесия.

При решении этой задачи студенты заочной формы обучения

выполняют только расчет по предельному пластическому состоянию.

Остальные студенты решают задачу № 6 в соответствии с требованием

преподавателя. Пункт 2, отмеченный значком *, не является обязательным и

выполняется по желанию студента.





Рис. 1.15. Схема конструкции

в задаче № 6

Решение

I. Определение грузоподъемности системы расчетом

по упругой стадии деформаций

Найдем степень статической неопределимости системы. В

данной конструкции имеем три неизвестные продольные силы в

стержнях. Число уравнений статики, которые можно составить для

системы сил, сходящихся в одной точке, равно двум. Таким образом,

число неизвестных больше числа уравнений равновесия на единицу,

и система является один раз статически неопределимой. Можно

определить степень статической неопределимости и по-другому.

Шарнир

(модель которого  точка) для неподвижного закрепления

на плоскости требует наложения двух линейных связей. Такими

необходимыми связями являются любые два стержня из имеющихся

трех стержней системы. Следовательно, оставшийся третий стержень

становится лишней кинематической связью (лишним стержнем), а

система является один раз статически неопределимой.

Для раскрытия статической неопределимости требуется

составить уравнения статики, одно (по числу лишних связей)

кинематическое соотношение (условие совместности деформаций) и

физические уравнения.

Рекомендуем начинать решение

задачи с записи условия

совместности деформаций,

построив предполагаемый план

перемещений. Для составления

уравнений равновесия строим план

сил, направления усилий на

котором должны быть согласованы

с планом перемещений.









Рис. 1.16. План перемещений при

расчете по упругой стадии

1. Уравнение совместности деформаций. Построим

предполагаемый план перемещений (рис.F1.16). Величины двух

абсолютных деформаций задаем произвольно (например, считаем,

что стержни 2 и 3 удлиняются, и откладываем произвольные отрезки

l

вдоль стержней). На пересечении траекторий поворота

концов двух стержней (перпендикуляров к направлениям стержней)

получаем новое положение шарнира

– точку С на рис.F1.16.

Опустив из этой точки перпендикуляр на направление оси стержня 1,

найдем величину его абсолютной деформации

l

Разложим полное перемещение шарнира

– отрезок



– на

составляющие

. Найдем абсолютные деформации стержней,

выразив их через

, используя их геометрическую связь:

ul 

 sincos

vul

 sincos

uvl

Исключив из этих выражений

, получим искомое

соотношение между абсолютными деформациями

 

cossin

ctgtg















Допускается составлять уравнение совместности деформаций

приближенно, измеряя отношения между абсолютными

деформациями по построенному в масштабе плану перемещений.

Для приближенного определения связи между абсолютными

деформациями представим эту связь в виде

33221

 lklkl

Неизвестные параметры данной зависимости

определим

из двух планов перемещений. При построении первого плана

перемещений предположим, что

l

. Измерим деформации

первого





и третьего





стержней. Тогда









313

llk

Построив второй план перемещений в предположении, что

l

, найдем отношение деформаций первого





и второго





стержней и получим









212

llk

2. Уравнения равновесия. Составим их на основании плана сил.

Нарисуем план сил, вырезав узел

и заменив отброшенные части

стержней внутренними усилиями, причем направления усилий

покажем в соответствии с планом перемещений растягивающими

(рис.F1.17). Запишем два независимых уравнения статики. Для

данной системы таковыми являются:



0x

;

0sincos

321

 NNN

;



0y

;

0cossin

 NNF

3. Физические соотношения. Поскольку расчет ведется по

упругой стадии деформаций, то материал конструкции подчиняется

закону Гука (1.3) и для каждого стержня записываем физические

уравнения:

l 

;

l 

;

l 

Полученную систему уравнений решаем относительно усилий

. Например, при

 45

 30

это решение имеет вид

FN 101,0



FN 608,0



FN 658,0



Найденное решение показывает, что усилие в первом стержне

отрицательно, т. е. стержень не растянут, как мы предполагали, а

сжат. Полученные положительные знаки

подтверждают

предположение о том, что эти стержни растянуты.

Для проверки прочности конструкции определим напряжения в

стержнях системы:

 

N 101,0



;





Рис. 1.17. План сил в упругой

стадии работы

 

N 304,0

608,0



;

 

316,1

5,0

658,0



При расчете по упругой стадии деформации считаем, что

предельное состояние конструкции наступит тогда, когда потечет

один, наиболее напряженный, стержень. Поскольку пластичный

материал имеет одинаковые пределы текучести при сжатии и

растяжении, то знак напряжения не имеет значения и первым

потечет стержень, в сечении которого возникают наибольшие по

модулю напряжения. В данном случае это третий стержень. Из

условия его текучести находим предельную нагрузку:

316,1



упр

пред

 767,0

;

а из условия прочности  допускаемую нагрузку на конструкцию:

 



F316,1

 

упр

пред

упр

доп

 767,0

Отметим, что при расчете по упругой стадии деформаций

нагрузка и напряжения на всем участке деформирования связаны

прямой пропорциональной зависимостью, а потому коэффициенты

запаса по напряжениям и по нагрузке равны между собой.

II. Определение предельной грузоподъемности системы

расчетом по упругопластической стадии

Проследим за дальнейшим развитием процесса нагружения –

деформирования системы после того, как напряжения в третьем

стержне достигли предела

текучести. Примем, что материал

конструкции работает в

соответствии с идеализированной

диаграммой упругопластического

тела – диаграммой Прандтля

(рис.F1.18). При продолжении роста

нагрузки напряжения в третьем

стержне будут оставаться

постоянными и равными



. При

работе конструкции в





Рис. 1.18. Диаграмма Прандтля

упругопластической стадии напряжения в остальных стержнях будут

расти в соответствии с упругим законом, но при изменившихся

параметрах линейной зависимости от нагрузки. Эти изменения

связаны с перераспределением нагрузки только на упругие стержни,

обеспечивающие неизменяемость системы в этой стадии ее работы.

Поскольку усилие в стержне 3 уже известно, задача становится

статически определимой и усилия в стержнях 1 и 2 находим из

уравнений равновесия узла

(план сил на рис.F1.19):



0x

;

0sincos

3т21

 ANN

;



0y

;

0cossin

3т2

 FAN

Решение этой системы уравнений при

 45

 30

AFN

 683,0

AFN

т2

612,0414,1 

Зависимости напряжений от нагрузки на данной стадии работы

системы:

 

т1

683,0 

 

т2

306,0707,0 

Предельное пластическое состояние конструкции достигается

тогда, когда напряжения в одном из упругих стержней 1 и 2

достигнут предела текучести и конструкция превратится в механизм.

Определим, какой из стержней потечет первым, приравняв

напряжения в стержнях пределу текучести и найдя, при каком

значении нагрузки стержни потекут:

 

т1



683,1 

;

 

т2



847,1 

Видно, что нагрузка, при

которой

 

т1



, меньше и

первый стержень потечет раньше

второго. Нагрузка, при которой

будут течь два стержня (3 и 1), и

есть предельная нагрузка для

всей конструкции

пл

пред

 683,1

Заметим, что в предельном состоянии напряжения в первом и

третьем стержнях достигли предела текучести. При этом первый

стержень потек вслед за третьим, хотя к концу упругой стадии

напряжения в нем были меньше, чем во втором стержне.

Зависимость между напряжениями и нагрузкой с начала

деформирования в упругопластической стадии уже не является

линейной, а потому одинаковым коэффициентам запаса по нагрузке

и по напряжениям в наиболее напряженном упругом стержне будут

соответствовать различные значения допускаемой нагрузки. Так, в

нашем случае допускаемая нагрузка с коэффициентом запаса

5,1n

по напряжениям определяется из условия

 





;

683,0





;

тдоп

350,1 



Если же исходить из коэффициента запаса

5,1n

по нагрузке,

то

пред



;

683,1 



;

тд

122,1 



оп

Очевидно, что расчет по допускаемой нагрузке приводит к

повышенному запасу прочности в отдельных стержнях системы, а

расчет по допускаемым напряжениям не обеспечивает заданного

коэффициента запаса по нагрузке. Поэтому значение допускаемой

нагрузки принимаем из условия прочности по нагрузке:

оп

оп д











Рис. 1.19. План сил

в упругопластической стадии работы

Следует отметить, что современными строительными нормами

проектирования предусматривается раздельное применение

коэффициентов надежности по нагрузке и по материалу. Условие

прочности в этом случае приняло бы вид







683,1

где



 коэффициенты надежности (запаса) по нагрузке и по

материалу соответственно.

III. Определение предельной грузоподъемности системы

расчетом по предельному пластическому состоянию

Заданная система имеет три деформируемых стержня, один из

которых является лишним, так как система один раз статически

неопределима. В предельном состоянии, когда конструкция

превращается в механизм, должны потечь два стержня (один лишний

и один необходимый). В рассмотренных ранее способах решения

этой задачи рассматривался порядок перехода материала стержней в

пластическую стадию работы, было выяснено, какой стержень

потечет первым, какой – вторым. При этом конструкция сначала

работает в упругой стадии (материал всех стержней подчиняется

закону Гука), затем переходит в упругопластическую стадию

работы. Решение вопроса о предельной нагрузке на конструкцию,

при которой последняя переходит в механизм, может быть получено

и без рассмотрения упругой и упругопластической стадий работы

конструкции. Для этого достаточно исследовать равновесие системы

в момент перехода в предельное пластическое состояние, т. е. в так

называемое предельное равновесие. Сложность состоит в том, что

конкретный механизм перехода системы в предельное пластическое

состояние заранее неизвестен. Поэтому приходится рассматривать

все кинематически возможные варианты перехода к предельному

равновесию и для каждого из них вычислять предельную нагрузку.

Фактически будет иметь место тот вариант предельного состояния,

которому соответствует минимальное значение предельной

нагрузки.

В данной задаче возможны три варианта предельного

равновесия конструкции: 1) текут стержни 1 и 3; 2) текут стержни 2

и 3 и, наконец, 3) текут стержни 2 и 1.