Левченко Н.Б. Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Графическое исследование плоского напряженного состояния.

Формулы (2.2а) и (2.2б) можно представить в графической форме.

Как известно из аналитической геометрии, в декартовой системе

координат параметрическое уравнение окружности радиуса

координатами центра



0

имеет вид

j cosRax

;

j sinRy

. (2.12)

Если в формулах (2.12) обозначить

x 

y 

2/)(

R 

2/)(

a 

j 2

, то формулы примут вид (2.2а) и (2.2б). Значит,

напряжения





на площадке с нормалью

, заданной углом



являются координатами точки окружности радиуса

2/)(



, центр

которой лежит на горизонтальной оси и имеет координату

2/)(



Построенную таким образом окружность обычно называют "кругом

Мора".

Деформированное состояние в точке. Деформированное

состояние в точке нагруженного тела есть совокупность линейных

относительных деформаций отрезков, проведенных через эту точку,

и изменений углов между отрезками (угловых деформаций).

Деформированное состояние в точке задано, если для любых двух

направлений могут быть вычислены линейные и угловые

деформации.

Деформированное состояние в точке определяют шесть

параметров: линейные относительные деформации



по трем

взаимно перпендикулярным направлениям

и изменения

прямых углов между этими направлениями



Всегда можно провести через точку три взаимно

перпендикулярные прямые, углы между которыми не изменятся

вследствие деформации. Оси координат, совпадающие с этими

прямыми, называются главными осями деформированного состояния

в точке.

Связь между напряжениями и деформациями. Для изотропного

материала (свойства материала одинаковы во всех направлениях)

при не слишком большом уровне напряжений связь напряжений и

деформаций описывает обобщенный закон Гука:

)],([

yxzz

xzyy

zyxx

n

;

zxzx

yzyz

xyxy



(2.13)

Здесь

– упругие характеристики материала;

– модуль

Юнга (модуль упругости);

– коэффициент Пуассона (

5,00 n

);

– модуль сдвига, для которого имеет место соотношение

)]1(2/[ nEG

Для изотропного материала главные оси деформированного

состояния и главные оси напряженного состояния совпадают,

поэтому линейные деформации вдоль главных осей напряженного

состояния определяются соотношениями (2.13):

)]([

3211

n

)]([

1322

n

, (2.14)

)]([

2133

n

Соответствующие угловые деформации равны нулю.

Относительная объемная деформация в точке (отношение

абсолютного изменения объема элементарного параллелепипеда к

первоначальному объему) не зависит от выбора системы координат:

321



zyxv

. (2.15)

Оценка прочности. Прочность материала в точке проверяется

по соответствующей материалу теории прочности. Из большого

числа ныне существующих теорий прочности при выполнении

студенческих задач используются перечисляемые ниже.

Под исчерпанием прочности подразумевается переход

материала в предельное состояние – разрушение для хрупкого

материала и развитие пластической деформации для пластичного

материала. Расчет должен обеспечивать некоторый нормативный

запас прочности, что проще всего достигается введением

коэффициента запаса прочности, понижающего разрешаемый

уровень напряжений.

Современные нормы строительного проектирования предусматривают

несколько более сложный подход (введение отдельных коэффициентов запаса

Для всех применяемых при выполнении расчетно-

проектировочной работы теорий прочности условие прочности

можно записать в едином виде

 

рэкв



, (2.16)

где

 

nR /

рр



– допускаемое напряжение. Величина

представляет

собой предельный уровень напряжения и определяется из

эксперимента. Для хрупких материалов она совпадает с пределом

прочности при осевом растяжении, для пластичных материалов – с

пределом текучести при осевом растяжении. n – нормируемый

коэффициент запаса прочности.

экв



– комбинация главных

напряжений



(эквивалентное напряжение).

Согласно первой теории прочности, справедливой для хрупких

материалов, разрушение происходит от отрыва при достижении

максимальным напряжением



(оно должно быть положительным,

т. е. растягивающим) предельного значения. Плоскость отрыва

(опасное сечение) перпендикулярна направлению главного

напряжения



. Условие прочности имеет вид

 

1 экв



. (2.17)

Вторая теория прочности также применяется к хрупким

материалам. Согласно этой теории разрушение происходит от

отрыва при достижении максимальной деформацией



(она должна

быть положительной) предельного значения. Деформации вплоть до

момента разрушения считаются малыми и вычисляются по закону

Гука. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна

направлению действия главного напряжения



. Условие прочности

приводится к виду

 

321 экв

)( n

. (2.18)

Третья теория прочности определяет уровень напряжений, при

котором в пластичном материале возникают заметные остаточные

деформации. Согласно третьей теории прочности переход материала

в предельное состояние происходит от сдвига при достижении

максимальным касательным напряжением

max



предельного

значения. Плоскость пластического сдвига (опасное сечение)

на нагрузку, свойства материала, условия работы конструкции). С этим студент

познакомится при изучении курсов металлических, железобетонных и других

конструкций.

совпадает с плоскостью действия напряжения

max



. Данной теории

соответствует условие прочности

 

31 экв



. (2.19)

Согласно четвертой теории прочности пластическое

деформирование возникает от сдвига при достижении энергией

изменения формы предельного значения. Условием прочности

служит соотношение

 

21 экв

])()()[(



. (2.20)

Сама эта теория прочности непосредственно не определяет

положения опасных площадок. Последние (на основании иной

трактовки теории) можно считать равнонаклоненными к главным

осям (октаэдрические площадки).

Условие прочности, соответствующее теории прочности Мора

(пятой теории прочности), относящейся к хрупким материалам,

имеет вид

 

1 экв







. (2.21)

Здесь



– пределы прочности при растяжении и при сжатии.

Эта теория учитывает взаимодействие нормального и касательного

напряжений на площадке с

max



, которая, следовательно, должна

считаться плоскостью зарождения начальной микротрещины.

(Согласно опыту плоскость развивающейся далее макротрещины

перпендикулярна первому главному направлению.)

Среди первой, второй и пятой теорий лучше количественно

согласуется с опытом при плоском напряженном состоянии

последняя теория. Третья и четвертая теории обе имеют

достаточную пригодность для использования в инженерных

расчетах.

Примеры решения задач

2.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО

СОСТОЯНИЯ ПО ЗАДАННЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

НА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛОЩАДКАХ.

ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ (ЗАДАЧАC№C7)

Условие задачи

Элемент, выделенный из тела, находится в плоском

напряженном состоянии (рис.F2.3). По граням элемента заданы

нормальные и касательные напряжения, значения которых

приведены на рисунке.

Материал элемента – сталь с такими характеристиками: предел

текучести

240



МПа; модуль Юнга

102×E

МПа; коэффициент

Пуассона

3,0n

; модуль сдвига

100,77

)1(2

×

n



МПа; нормируемый

коэффициент запаса прочности

5,1n

Требуется:

1) найти нормальное, касательное и полное напряжения на

наклонной площадке, заданной углом



105 (см. рис.F2.3);

2) определить величины главных напряжений и положение

главных площадок;

3) найти наибольшее касательное напряжение и положение

площадки, по которой оно действует;

4) оценить прочность материала в точке и показать вероятное

направление плоскости сдвига или отрыва (опасной площадки);

20 МПа

100 МПа

80 МПа



=105



Рис. 2.3. Заданное

напряженное состояние

в условии задачи № 7

5) найти величины относительных продольных деформаций в

исходной системе координат

xyz

и по главным направлениям;

вычислить относительную объемную деформацию.

Примечание. Пп. 1–3 следует выполнить двумя способами:

аналитическим и графическим.

Решение

Изобразим элемент в виде плоского рисунка, на котором

должна быть указана система координат (см. рис.F2.4). Введенная

система координат позволяет присвоить напряжениям обозначения:

20

МПа,

100

МПа,

80

МПа.

На рисунке следует показать также наклонную площадку,

указать штриховкой ее внутреннюю сторону, задать внешнюю

нормаль к площадке.

Аналитический способ исследования напряженного состояния

Определение напряжений на наклонной площадке.

Напряжения, действующие на наклонной площадке (см. рис.F2.4),

находим по формулам (2.2а) и (2.2б). В этих формулах положение

площадки задает угол



между нормалью

к площадке и осью

Этот угол нельзя путать с углом



, указанным на рис.F2.3.

Можно отсчитывать угол



не от оси

, а от оси z, но тогда в

формулах (2.2а) и (2.2б) напряжения



надо поменять местами и



= –100



105





= –



= –80

Рис. 2.4. Определение

напряжений на заданной

наклонной площадке

напряжение



заменить напряжением



. Надо выбирать более

удобный способ.

Используем угол



между

и осью

, отсчитывая его от оси

к нормали

 105

( см. рис.F2.4). Значение угла

положительное, так как угол отсчитывается против часовой стрелки.

Согласно (2.2а) и (2.2б)















10020

)2(sin)2(cos

nxzn

zxzx

МПа6,134)1052(sin)80()1052(cos

)100(20

××





МПа.3,49)1052(cos)80()1052(sin

)100(20

)2(cos)2(sin

××











nxzn

Получившееся нормальное напряжение



отрицательно,

значит, оно направлено к площадке (сжимающее). Касательное

напряжение



положительно, это значит, что оно обходит площадку

по часовой стрелке.

Используем теперь угол



между нормалью

и осью

отсчитывая его от z к

 15

. Формулы (2.2а) и (2.2б) записываем

в измененном виде:

МПа,6,134)152(sin80)152(cos

)20(100

20100

)2(sin)2(cos

××



















nzxn

xzxz

МПа.3,49)152(cos80)152(sin

)20(100

)2cos()2sin(

××











nzxn

Абсолютная величина полного напряжения

(или просто полное напряжение)

МПа.4,143)3,49()6,134(

2222



nnn

Вычисленные напряжения

показаны на рис.F2.5.





Рис. 2.5. Напряжения

на наклонной

площадке

Определение главных напряжений и главных направлений.

Согласно (2.5) главные напряжения





















гл

)80(4)]100(20[

)100()20(

МПа44,8960 

После вычисления главные напряжения следует пронумеровать

согласно убыванию. Чтобы не путать напряжения до и после

нумерации, специально используются для этих напряжений разные

обозначения. Главные напряжения, пронумерованные согласно их

величине,

МПа44,29



МПа44,149



Найдем положение главных площадок. Сказанное о способах

вычисления напряжений по наклонной площадке относится и к

способам вычисления положения главных площадок. Здесь мы

вычислим углы

гл





гл





, определяющие положения главных

площадок, одним способом: будем отсчитывать эти углы от

направления оси

. Углы являются решениями уравнения (2.7):

)100(20

)80(2

)2(tg

гл















то есть

,7,31

гл





.7,121

гл





Получены два значения угла, которые отвечают площадкам с

напряжениями



(рис.F2.6). Выясним, какому из этих

напряжений соответствует угол

гл





. Для этого определим по

формуле (2.8) знак второй производной

dd 

при

гл







0)7,312(sin)80(4)7,312(cos)]100(20[2

××





Знак отрицательный, следовательно, по этой площадке

действует бóльшее из найденных главных напряжений – напряжение



. Теперь можно в соответствии с нумерацией главных напряжений

пронумеровать и углы:

 7,31

 7,121

Определение максимального касательного напряжения.

Касательное напряжение, максимальное среди касательных

напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости

zx0

(рис.F2.7), определяется формулой (2.10):

44,89

)44,149(44,29

max

глгл

















МПа.

В рассматриваемом примере главные напряжения

1гл





3гл





, поэтому касательное напряжение

max

является максимальным

среди касательных напряжений для всей совокупности площадок,

проходящих через заданную точку:

max

max 

Нормальные напряжения на той же площадке даются формулой

(2.11):



гл



гл



гл



гл

Рис. 2.6. Определение

положения главных

площадок

45°

31,7°



max



max



Рис. 2.7. Площадка

с максимальным

касательным напряжением

)44,149(44,29

глгл

max



















МПа.

Графический способ исследования напряженного состояния

Круг напряжений Мора является средством вычисления. При

выполнении задачи его необходимо построить в крупном масштабе

на миллиметровке, используя заточенный карандаш. Чем точнее

выполнены построения, тем точнее будет получен результат.

Строим круг напряжений Мора (рис.F2.8). Изображаем систему

координат

0

с одинаковым масштабом по вертикальной и

горизонтальной осям. Отмечаем на координатной плоскости

0

две

точки X,

, соответствующие заданным площадкам с нормалями

zx,

. Координатами точек

)80,20( X

)80,100(Z

являются

нормальные и касательные напряжения на заданных площадках.

Соединяем точки отрезком, который представляет собой диаметр

круга Мора. Точка О пересечения диаметра с осью



– центр круга.

Проводим окружность.

– 160

– 120

– 80

– 40

– 80













Рис. 2.8. Круг Мора, изображающий заданное

плоское напряженное состояние