Лекции - Уравнения в частных производных
Подождите немного. Документ загружается.
www.uchites.ru
31
Теорема 1.
Если однородная краевая задача имеет единственное тривиальное решение, то
неоднородное неоднородная краевая задача (1) (2) имеет единственное решение для
∀∈fLQ
2
().
2. Если (3) (4) имеет нетривиальное решение , то (1) (2) разрешима тогда и только тогда,
когда
(, )
()
fw
LQ
2
0= для любого w, являющегося решением (5) (6)
3. Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых решений.
Теорема Фредгольма.
Рассмотрим уравнения
()
I
C
uF+= (10)
()
I
C
v+=0 (11)
()
I
C
w+=0 (12)
где I - единичный оператор в H, C - компактный оператор в H.
1. Если однородное уравнение (11) имеет единственное тривиальное решение, то для
∀
∈
f
H
существует единственное решение уравнения (10).
2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10) разрешимо тогда и
только тогда, когда
(,)Fw
H
= 0.
3.
dim ( ) dim ( )
*
NI C NI C+= + <
∞
Оценим член :
A u dx uA dx u C
Q
T
Q
LQ H Q
11 1
2
2
ϕϕ ϕ
z
z
=≤⋅
() ()
A u dx Tu
HQ
Q
1
1
ϕϕ=
z
(,)
()
/
o
T
LQ H Q:() ()
2
1
→
o
T
HQ HQ:
0
1
0
1
bg bg
→ - компактно.
(,) (,)
()
/
()
/
uTu Af
HQ HQ
+=ϕϕ
11
oo
(13)
(,)
()
/
vTv
HQ
+=ϕ
1
0
o
(14)
Изучим член :
(,) (,) (,) (,) (,)
() () ()
()
/
()
/
Aw wA A w T w Tw
LQ LQ LQ
HQ HQ
111
222
11
+
∗
==
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
oo
Значит :
(,)
()
/
wTw
HQ
+=
∗
ϕ
1
0
o
(15)
(1) (2)
uTu A
f
+= (16)
(3) (4)
v
Tv+=0 (17)
(5) (6)
w
T
w+=
∗
0 (18)
Доказана первая часть теоремы.
Пусть (3) (4) имеет нетривиальное решение, тогда
(,)
()
/
Af w
HQ
1
0
o
=
Т.е. (, )
()
fw
LQ
2
0=
Теорема доказана.
UРазложение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ряд по
собственным функциям.
−= ∈ ∈∆ufx xQ QC Q() ( ), ,∂
1
- ограничено (1)
u
Q
|
∂
= 0 (2)
www.uchites.ru
32
∇∇ = ∀∈ ∈
z
z
u vdx f vdx v H Q f L Q
QQ
, ( ( )), ( )
1
2
o
(3)
v
e
s
s
=
R
S
|
T
|
U
V
|
W
|
λ
в HQ
1
o
()
uu
ee
fe
e
s
s
s
HQ
s
s
sLQ
s
s
=
F
H
G
I
K
J
⋅= ⋅
=
∞
∑∑
,
(, )
()
/
()
λλ
λ
1
1
2
o
∇∇
F
H
G
I
K
J
=
z
z
u
e
dx f
e
dx e L Q
s
s
Q
s
s
Q
s
λλ
в
2
()
UКонечноразностные операторы.
Цель : Аппроксимация обобщенных производных конечноразностными операторами.
f
LQ fx x Q∈
=
∉
2
0( ), ( ) , если
Пусть
gLQ∈
2
()- финитная в Q :
δ
h
k
kk k n
f
f
x
x
x
h
x
x
f
x
h
h=
+
−
≠
−+
( ,..., , , ,..., ) ( )
,( )
11 1
0 (1)
Аналог формулы интегрирования по частям :
δδ
h
k
Q
h
k
Q
f g dx f g dx
z
z
=−
−
Обозначим :
δδ
h
k
h
k
di
∗
−
=− .
Теорема.
Пусть
f
LQ f Q∈⊂
2
( ), supp , тогда :
1) если
∃∈fLQ
X
k
2
(), где ()1 ≤≤kn, то :
δ
h
k
LQ
X
LQ
ff h
k
2
2
0
()
()
()≤≠
(3)
и при этом :
δ
h
k
X
LQ
ff h
k
−→→
2
00
()
()
(4)
2) Если для
∀≠ ≤hfC
h
k
LQ
0
2
δ
()
, то :
∃∈ ≤fLQ f C
XX
LQ
kk
2
2
()
()
и
Доказательство.(1
ая
часть теоремы)
Из теорем об аппроксимации функции f и её обобщённой производной осреднениями
функции f и её обобщенной производной сооответственно следует, что достаточно доказать
часть теоремы для финитной бесконечно диффреренцируемой функции.
f
CQ∈
∞
()
δ
∂ξ
∂ξ
ξ
h
n
X
Xh
n
fx
h
fx
dxxx
n
n
()
(,)
; ( ,..., )=
′
′
=
+
−
z
1
11
(3)
δ
∂ξ
∂ξ
ξ
h
n
X
Xh
fx
h
fx
d
n
n
()
(,)
2
2
1
≤
′
+
z
(4)
δ
∂ξ
∂ξ
ξξ
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂ξ
ξ
ξ
ξ
h
n
nn
X
Xh
h
n
fx dx
h
dx
fx
d
h
d
fx
dx
fx
d
n
n
()
(,) (,) (,)
2
2
2
2
11
−∞
∞
−∞
∞
+
−∞
∞
−−∞
+∞
z
z
z
z
z
z
≤
′
=
′
=
′
www.uchites.ru
33
δ
h
k
X
RR
f x dx f dx
n
nn
()
2
2
≤
z
z
- доказано (3)
δ
∂ξ
∂ξ
∂
∂
ξ
h
n
X
n
n
X
Xh
ff
h
fx
fx x
x
d
n
n
n
−=
′
−
′
L
N
M
O
Q
P
≤
+
z
2
2
1
(,)
(, )
(применив неравенство Коши-Буняковского)
≤
′
−
′
=+
+
z
1
h
fx
fx x
x
dxh
n
n
X
Xh
n
n
n
∂ξ
∂ξ
∂
∂
ξξ
(,)
(, )
δ
∂η
∂
∂
∂
η
h
n
X
n
n
n
n
h
ff
h
fx x
x
fx x
x
d
n
−≤
′
+
−
′
z
2
0
2
1(, )(,)
По теореме Фубини имеем неравенство :
δ
∂η
∂
∂
∂
η
h
n
X
QQ
n
n
n
n
Q
ff dx
h
dx
fx x
x
fx x
x
d
n
−≤
′
+
−
′
=
z
z
z
2
2
1(,)(,)
=
′
+
−
′
<
z
z
1
0
2
h
d
fx x
x
fx x
x
dx
n
n
n
n
Q
h
η
∂η
∂
∂
∂
ε
(, ) (, )
Доказательство. (2
-ая
часть. )
δδ
δδ
h
k
LQ
h
k
LQ
h
k
h
k
QQ
fC f F
f v dx f v dx v C Q
m
2
2
1
()
()
,
&
()
≤⎯→⎯⎯⎯⎯
⋅=− ∀∈
−
zz
слабо в
di
Значит :
∃= ≤fF f C
XX
LQ
kk
,
()
и
2
Доказательство теоремы 2.
Пусть
QR
n
⊂ - ограниченная, односвязная область.
∂
QC
∈
1
.
Q - симметрично относительно
x
n
=
0, т.е. если (, )
′
∈
xx Q
n
, то (, )
′
−∈xx Q
n
.
X
n
x
Обозначим :
QxQ xQ
QxQx
QQQ
n
δ
δδ
ρ∂ δ=∈ >
=∈ >
=
+
++
{:(,)}
{: }0
I
www.uchites.ru
34
Теорема 2.
Пусть
f
LQ f Q∈⊂
+
2
( ), supp
δ
, тогда :
1) если
∃∈fLQ
X
k
2
(), где ()11≤≤
−
kn , то :
δ
h
k
X
LQ
ff h
k
−→→
2
00
()
()
2) если
δ
h
k
LQ
fC
2
()
+
≤ , то :
∃∈ ≤
+
+
fLQ f C
XX
LQ
kk
2
2
()
()
и
Указание. Для доказательства рассмотреть :
Fx
fx x Q
fx x x Q
n
()
(),
(, )
=
∈
−
′
−∈
R
S
|
T
|
+
−
По определению обобщённой производной в (1) получаем :
∃∈ =
+
FLQ F f
XX
LQ
X
LQ
kkk
2
22
22
2()
() ( )
и , тогда :
δδ
δδ
h
k
LQ
h
k
LQ
h
k
X
LQ
h
k
X
LQ
Ff
FF f f
kk
22
22
22
22
2
2
() ( )
() ( )
=
−=−
+
+
UЛокальная гладкость обобщённых решений.
−= ∈
=
R
S
T
∆ux f x x Q
u
Q
() () ( )
|
(1)
(2)
∂
0
QR
n
⊂ ограниченная.
Обобщённое решение :
uHQ∈
1
o
(),
∀∈ ∇∇ =
z
z
v H Q u vdx fvdx
QQ
1
o
() (3)
Теорема 1.
Для любого
f
LQ∈
2
() обобщённое решение u задачи (1) (2)
uH Q
HQ Q uH
loc
loc
∈
∀⊂ ∈
2
22
()
(): : ()
ΩΩ Ω
независимо от гладкости границы, если правая часть из
L
2
, то обобщённое решение тоже
гладко.
Доказательство.
ΩΩ⊂⊂
A
=
QSx
j
j
J
:()
δ
система шаров
1
U
Ω
δ
2δ
4δ
Sx Q
j
4
δ
()⊂
Достаточно доказать, что
u
H
∈
2
в каждом из шаров : uHSx
j
∈
2
(())
δ
.
www.uchites.ru
35
Обозначим xy
j
= .
В качестве v для (3) возьмём :
v
vCRx
xxSy
xxSy
=∈≤≤
=∈
=∉
∞
ξξ ξ
ξ
ξ
δ
δ
0
2
01
1
0
,
&
(); ()
() , ()
() , ()
где
если
если
ξ - финитная, бесконечно дифференцируемая.
v
HS y
0
1
4
∈ (())
δ
, v может быть использована как пробная :
Подставим v в (3) :
∇∇ +∇∇⋅ =
∇∇ −∇∇ +∇∇ =
zz z
zzzz
u v dx u v dx f v dx
u v dx u v dx u v dx f v dx
QQ Q
QQQQ
000
0000
ξξ ξ
ξξξξ()
(умножение u на срезающую функцию для локализации свойства в шаре )
∇∇ = +∇∇ −∇∇
z
z
z
z
()ξξξξu v dx f v dx u v dx u v dx
QQQQ
00 0 0
(4)
Введём конечноразностный оператор. Пусть
v
v
h
k
01
=
−
δ
.
v
HS y v S y h
1
1
413
∈⊂
<
( ( )); ( );
δδ
δ
supp .
∇∇=− +∇∇+∇∇
z
z
z
z
(()) ( )δξ ξδ δ ξ ξδ
h
k
Q
h
k
Q
h
k
Q
h
k
Q
u v dx f v dx u v dx u v dx
11 1 1
(5)
Представим (5) в виде :
II I I=+
+
123
.
Оценим :
IKf v Kf v Kf v
LQ
h
k
LQ
LQ
x
LQ
LQ
LQ
k
11 1 1 1 1 1
2
2
2
2
2
2
≤⋅ ≤⋅≤⋅∇
−
()
()
()
()
()
()
δ
По неравенству Коши-Буняковского :
IKu v
IKu v
HQ
LQ
HQ
LQ
22 1
33 1
1
2
1
2
≤⋅∇
≤⋅∇
()
()
()
()
IIIKf v
LQ
LQ
123 4 1
2
2
++≤ ⋅∇
()
()
,
где
v
u
h
k
1
=δ ξ().
Подставляем в решение в качестве пробной функции :
Iudx
h
k
Q
=∇
z
(( ))δξ
2
Результат :
∇≤⋅∇( ( )) ( ( ))
()
()
()
δξ δξ
h
k
LQ
LQ
h
k
LQ
uKf u
2
2
2
2
4
∇≤(( ))
()
()
δξ
h
k
LQ
LQ
uKf
2
2
4
(6)
В силу 2
-ой
части теоремы 1 (см. стр. ...) :
∃
∈
() ()
ξ
uLQ
xx
ij
2
.
u имеет обощённые производные
uLSy
xx
ij
∈
2
(())
δ
.
UОбобщение Теоремы на случай произвольной гладкости правой части.
Теорема 2.
Пусть
QR
n
⊂ - ограничена,
f
LQ H Q u H Q
loc
k
∈∈
2
1
() () () и
o
I
- обобщённое решение
задачи (1) (2), тогда :
uH Q
loc
k
∈
+2
().
UГладкость обобщённых решений эллиптических задач вблизи границ.
www.uchites.ru
36
−= ∈∆u
f
x
x
Q() ( ) (1)
u
Q
|
∂
= 0 (2)
uHQ vHQ∈∀∈
11
o
(),
&
()
∇∇ =
z
z
u vdx f vdx
QQ
(3)
Теорема 1.
Пусть
QR
n
⊂ - ограниченная область :
∂
QC f LQ
∈
∈
2
2
;()
uHQ∈
1
o
() - обобщённое решение (1) (2), тогда
uHQ∈
2
().
Доказательство.
Ω
4δ
QSx
j
j
J
⊂∪
F
H
G
I
K
J
=
Ω
δ
()
1
U
Доказать, что
uHQ Sy
r
∈
2
() ()
I
.
Пусть в окрестности X и Y граница создаётся уравнением :
yQS xxx
QS xx x
n
n
===<
=><
00 04
004
4
4
;(){: }
() {: }
∂δ
δ
δ
δ
I
I
Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что граница плоская.
Введём срезающую функцию :
v
vCRx
xxSy
xxSy
=∈≤≤
=∈
=∉
∞
ξξ ξ
ξ
ξ
δ
δ
0
2
01
1
0
,
&
(); ()
() , ()
() , ()
где
если
если
v
HS Q v
QS0
1
400
00
4
∈
=
(() ) |
()δ∂
δ
I
I
Подставим v в (3), получим :
∇∇ = +∇∇ −∇∇
z
z
z
z
()ξξξξu v dx f v dx u v dx u v dx
QQQQ
00 0 0
(4)
Введём конечноразностный оператор. Пусть
v
v
h
k
01
=
−
δ
.
v
HS y v v S y h
QS1
1
41 13
4
0∈=⊂
<
( ( )); | ; ( );
δ∂ δ
δ
δ
I
supp .
При этом :
11≤≤
−
kn .
∇∇=− +∇∇+∇∇
z
z
z
z
(()) ( )δξ ξδ δ ξ ξδ
h
k
Q
h
k
Q
h
k
Q
h
k
Q
u v dx f v dx u v dx u v dx
11 1 1
(5)
Представим (5) в виде :
II I I=+
+
123
.
Через неравенство Коши-Буняковского, получим :
IIIKf v
LQ
LQ
123 4 1
2
2
++≤ ⋅∇
()
()
,
www.uchites.ru
37
где
v
u
h
k
1
=δ ξ().
Подставляем в решение в качестве пробной функции :
Iu
h
k
LQ
=∇(( ))
()
δξ
2
2
∇≤(( ))
()
()
δξ
h
k
LQ
LQ
uKf
2
2
1
В силу 2
-ой
части теоремы 1 (см. стр. ...) :
∃
∈
+
<
() (),
ξ
uLQijn
xx
ij
2
2 .
u имеет обощённые производные
uLSy
xx
ij
∈
2
(())
δ
.
Лемма.
Пусть
uHQ∈
1
o
() - обобщённое решение (1) (2), тогда :
∂QC Q R
n
∈⊂
1
, - ограничена, следовательно u удовлетворяет уравнению (1) почти всюду
в Q.
Будем считать :
ΩΩ⊂∈
∞
QvC;
&
().
−∇ ∇ = − = ∈
zz
u v dx f v dx u f x x,(),∆Ω
ΩΩ
−−− − =
=− − − −
−−
−−
uuufx
uu u fx
xx x x xx
xx xx x x
nn nn
nn n n
11 1 1
11 1 1
... ( )
... ( )
Значит :
∃∈vLQSQ
XX
nn
2
(())I
δ
.
Теорема 2.
Пусть
QR
n
⊂ - ограниченная область, ∂QC f HQ uHQ
kk
∈∈ ∈
+21
.(),()
o
- обобщённое
решение задачи (1) (2), тогда :
uH Q
k
∈
+
2
().
Теорема "вложения" Соболева.
QR
n
⊂ - ограниченная область, ∂QC
k
n
∈
++
2
1
, следовательно HQCQ
k
k
n
++
⊂
2
1
() ( ) -
непрерывно вложено.
Определение.
Непрерывность оператора наложения - это
∀∈ ∃∈ =
++
f H Q f C Q fx fx
k
k
n
2
1
()
$
():
$
() () почти всюду в Q .
$
()
()
fCf
CQ
HQ
k
k
n
≤
++
2
1
(1)
Доказательство (теоремы).
∀∈ ∃ ∈
++ ++
fH Q FH
kk
nn
22
11
() ()Ω , где QFxfx⊂
≡
Ω
() (),
если
xQ F∈⊂
∗
, supp Ω, и :
FCf
HHQ
k
n
k
n
++ ++
≤
2
1
2
1
1
() ()
Ω
(2)
Доказательство (1) будет следовать из доказательства (2) и
FCF
CH
k
k
n
() ()ΩΩ
≤
++
1
2
1
(3)
Пусть (3) доказана для любой финитной, гладкой
FC⊂
∞
&
()
Ω
, то в этом случае теорема
справедлива для
FH
k
n
∈
++
2
1
()Ω .
FH F C
k
m
n
∈⇒∃∈
++
∞
2
1
()
&
()ΩΩ;
FFH
m
k
n
→
++
в
2
1
()Ω ; следует фундаментальность :
www.uchites.ru
38
FF CFF mp
mp
C
mp
H
k
k
n
−≤− →∞
→
++
()
,
()
,,
Ω
Ω
2
0
2
1
FFC
m
k
→ в ()Ω
FCF
m
C
m
H
k
k
n
() ()ΩΩ
≤
++
2
2
1
(4)
(Замечание. Предел в смысле почти всюду :
FF
=
$
п.в.
Остаётся доказать (3) для любых финитных, бесконечно дифференцируемых в Ω функций.
FC∈
∞
&
()Ω
Преобразование Фурье :
Fx e F d
n
ix
R
n
()
%
()
(,)
=
z
1
2
π
ξξ
ξ
ej
,
где
%
() ( )
(,)
FeFxdx
n
ix
R
n
ξ
π
ξ
=
z
1
2
ej
.
DFx i e F d K F d
ix
R
n
R
n
k
n
ααξ
ξξξ
π
ξξξ() (,)
%
() ( )
%
()
(,)
=≤+⋅≤
z
z
1
2
1
1
2
2
ej
умножим и разделим на
1
2
1
2
2
+
+
ξ
ej
e
j
n
и применим неравенство Коши-Буняковского.
≤+
R
S
|
T
|
U
V
|
W
|
⋅+ ⋅
R
S
|
T
|
U
V
|
W
|
≤
−− ++
zz
Kd Fd
n
n
n
n
R
k
R
1
2
1
2
1
2
11
2
1
2
2
1
2
ξξ ξ ξξ
ej ej
%
()
≤
++
KI F
H
k
n
1
2
1
()Ω
Докажем, что интеграл конечен :
IdKrrdsn
n
n
n
R
n
n
= + ≤ + =⋅ −+−
−−
−−
−
∞
z
z
11221
2
1
2
2
1
1
0
2
2
2
ξξ ξ
ej
di
12 2221
221 2221
)
)
nk k k
nk k k
=→
=
−−+
−
=+→=−−++
ξ
ξ
Где
() ( ) ...( )ii i
n
n
ξξ ξ
α
αα
=++
1
1
.
Теорема полностью доказана.
UОбобщённые и классические решения.
−= ∈∆u
f
x
x
Q() ( ) (1)
u
Q
|
∂
= 0 (2)
Функция
uCQ CQ∈
2
() ( )I - называется классическим решением задачи (1) (2), если она
удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2).
Теорема 1.
Если fLQH Q
loc
k
n
∈
+−
2
1
2
() ()I , то обобщённое решение uHQ∈
1
o
() обладает следующими
свойствами :
uCQ
k
∈ ().
Доказательство.
Пусть
uH Q
loc
k
n
∈
++
2
1
(), тогда :
uH Q
uC uCQ
k
kk
n
∈∀⊂
∈⇒∈
++
2
1
()
() ()
ΩΩ
Ω
www.uchites.ru
39
Теорема 2.
Пусть
QR
n
⊂ - ограниченная область;
∂
QC f H Q
kk
nn
∈∈
++ +−
22
11
,(), тогда обобщённое решение
uHQ uCQ
k
∈∈
1
o
(): ( ).
Доказательство.
uH Q uCQ
k
k
n
∈⇒∈
++
2
1
() ( )
Теорема 3.
Пусть
QR
n
⊂ - ограниченная область;
∂
QC f H Q H Q
nn
n
loc
∈∈
+−
+
22
2
11
1
,()()I , тогда обобщённое решение
uHQ uCQ CQ∈∈
12
o
I(): ( ) () и является классическим решением задачи Дирихле для
уравнения Пуассона.
Доказательство.
uCQ CQ
∈
() ()I
2
, следовательно всюду в Q удовлетворяет уравнению (1)
и условию (2).
Теорема 4.
Пусть
uHQ∈
&
1
bg
- обобщенная собственная функция оператора ∆ с однородными
условиями Дирихле, тогда:
uCQ∈
∞
bg
.
Доказательство.
−=∆uu
λ
Если
uHQ∈⇒
&
1
bg
⇒∈ ⇒∈ ⇒⇒∈ ∀>
+
L
N
M
O
Q
P
+
uHQ uHQ uH Q k
loc loc loc
k
n
35
2
1
0
bg bg bg
K ,
По теореме вложения:
uCQ k
k
∈
∀
>
bg
,0
UЗадача Неймана для уравнения Пуассона.
−= ∈
=∈
∆ ufx xQ
u
x
xQ
Q
bg b g bg
bg bg
1
2
∂
∂
∂
∂
0
Определение.
Функция называется обобщенным решением задачи (1) (2), если:
∀∈ ∇∇ = ∈
z
z
vHQ uvdx fvdx f LQ
QQ
1
2
bg bg
,
Пусть
QR
n
⊂ - ограниченная область.
Теорема 1.
Задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда , когда правая часть уравнения (1)
ортогональна константам, т.е:
fxdx
Q
bg
z
= 0 .
Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор , такой, что:
www.uchites.ru
40
1)
f v Af v
fLQ vHQ
LQ H Q
,,
bg b g bg
bg bg
bg bg
2
1
2
1
=
∀∈ ∈
5
для
2)
AH Q H Q:
21
bg bg
→ - компактный, самосопряженный, положительный
оператор.
Доказательство - аналогично.
∇∇ + = +
=
−=
z
z
z
u v u v dx f v dx u v dx
u v Au v
uAu Af в HQ
QQQ
HQ HQ
bg
bg b g
bg bg
bg bg
,,
11
1
6
Рассмотрим однородное уравнение:
для однородной задачи (1) (2)
wAw
−
=
0 7
bg
имеет нетривиальное решение.
По определению обобщенного решения :
∇=⇒= −
z
w dx w const w
Q
2
0 , где решение уравнения (7)
Af w f w f x dx
HQ HQ
Q
,,
bg bg bg
bg bg
11
000=⇒ =⇒ =
z
Теорема доказана.
Рассмотрим уравнение:
−+ = ∈
=
−+ = ∈
=
−+ = ∈
=
+
∆
∆
∆
uAu fx x Q
u
n
vAv x Q
v
n
wAw x Q
w
n
Q
Q
Q
1
1
1
0
0
0
0
06
bg b g bg
bg
bg bg
bg
bg bg
bg
1
2
3
4
5
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂