Лабораторный практикум - Математические методы и модели в расчётах на ЭВМ
Подождите немного. Документ загружается.
Если зависимость, описывающая массив данных, известна, можно
использовать одну из следующих функций [ 3 ]:
- expfit(x,y,g) – регрессия экспонентой
cbxaxf )exp(*)(
;
- lgsfit(x,y,g) – регрессия логистической функцией
)exp(*1
)(
cxb
a
xf
;
- sinfit(x,y,g) – регрессия синусоидой
cbxaxf )sin(*)(
;
- pwfit(x,y,g) – регрессия степенной функцией
cxaxf
b
*)(
;
- logfit(x,y,g) – регрессия логарифмической функцией
cbxaxf )ln(*)(
;
- lnfit(x,y) – регрессия двухпараметрической логарифмической функцией
bxaxf ln*)(
.
Однако применение этих функций требует точного знания вектора
начальных условий g, состоящего из трёх элементов и задающего начальные
значения a, b, c. Если функция хорошо приближает зависимость y =f(x), то
начальные значения выбраны удачно.
С помощью функций linfit(x,y,F) можно осуществить регрессию в виде
линейной комбинации функций F(x), задаваемых пользователем, либо с
помощью функции genfit(x,y,g,G), где G(x,C) – векторная функция
пользователя и её частных производных по каждому из параметров С.
Последняя функция наиболее универсальная, но наименее точная и более
трудная в использовании.
В качестве функций пользователя выбраны:
-
).tanh()(3
;)(2
;
1
)(1
10
5
2
3
10
10
xCxCxf
xCxCxCxf
xC
x
x
Cxf
Наилучший результат получен для функций f1 и f3(рис. 5).
Порядок выполнения работы
Для таблично заданных функций аргумента х с помощью встроенных
алгоритмов выполнить интерполяцию и определить вид зависимости y = f(x).
х 0 2 4 6 8 10 12
у1 0 4.1 15.7 36 68 95 150
у2 101 85 60 34 20 16 14
Сравнить полученные результаты графически и выбрать наилучшую
зависимость.
Вопросы для самопроверки
На какие группы в зависимости от специфики решаемых задач можно
разделить встроенные функции обработки данных?
Что такое интерполяция и экстраполяция?
В чём отличие интерполяции В-сплайнами от интерполяции
кубическими сплайнами?
Что является задачей регрессионного анализа? Какие встроенные
функции аппроксимации имеются в Mathcad?
71
F x( )
x
x 1
x
C linfit x y F( ) C
1.659
1.362 10
3
x1 0 10 300
h x1( ) 1.659
x1
x1 1
0.001362 x1
0 100 200 300
0
1
2
3
h x1( )
y
x1 x
F1 x( )
x
x
3
x
5
C1 linfit x y F1( )
C1
0.056
4.322 10
6
4.19 10
11
f2 x( ) C1
0
x C1
1
x
3
C1
2
x
5
F2 x( )
x
tanh x( )
C2 linfit x y F2( ) C2
1.922 10
3
1.521
f3 x( ) C2
0
x C2
1
tanh x( )
0 100 200 300
0
1
2
3
f2 x( )
y
f3 x( )
x
Рис. 5
Литература
Макаров Е.Г. Инженерные расчёты в Mathcad. Учебный курс. – Спб.:
Питер, 2003. – 448с.: ил.
72
Гурский Д.А. Вычисления в MathCAD / Д.А. Гурский. – Мн.: Новое
знание, 2003. – 814с.: ил.
Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.
– 576с.: ил.
Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –
СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464с.: ил.
Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной
математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 / Алексеев Е.Р.,
Чеснокова О.В. – M.: НТ Пресс, 2006. – 496с.: ил. – (Самоучитель).
73
Лабораторная работа № 2 - 6
Символьные вычисления в Mathcad
Цель работы: изучить приёмы символьных вычислений и
ознакомиться с возможностями символьного процессора Mathcad
Введение
Символьный процессор Mathcad позволяет решать широкий круг
математических задач аналитически, не прибегая к численным методам. Это
исключает погрешности вычислений и повышает точность расчётов.
Получение результата в виде алгебраического выражения определяет
широкие возможности использования его в дальнейшем.
Следует также понимать, что не всякое выражение поддаётся
аналитическому преобразованию.
В Mathcad предусмотрены два способа осуществления символьных
вычислений: при помощи команд меню и с использованием оператора
символьного вывода. Если требуется быстро получить аналитический
результат без сохранения или использования его в дальнейшем,
целесообразно применять команды меню. В противном случае лучше
применять операторы символьного вывода – операторы панели Symbolic.
С помощью меню возможны символьные операции над выражением,
его частью или отдельной переменной. Для этого необходимо ввести
выражение, выделить его целиком (или часть, или переменную в
зависимости от типа символьной операции) и выбрать в главном меню
Symbolics соответствующие специфические команды символьных
преобразований: упрощение выражений (Symplife – упростить можно
лишь простые, как правило, алгебраические или логарифмические
выражения ); разложение выражений (Expand); разложение на множители
(Factor); приведение подобных слагаемых (Collect); коэффициенты
полиномов (Polynomial Coeffcients); разложение на простые дроби и т.д.
После нажатия на клавишу Enter ниже появится результат преобразования.
С помощью рабочей панели Symbolic семейства Math возможны
практически те же символьные операции, что и с меню, но проводятся
специальными операторами. Они вводятся нажатием правой мыши на
соответствующий пункт. В результате появляется ключевое слово, маркер
слева, маркер (один, два, три или отсутствует) справа и оператор
символьного вывода (горизонтальная стрелка). На место левого маркера
вводится уравнение, на место правого – переменная, по которой оно должно
быть решено. Далее необходимо нажать клавишу Enter. Возможен и другой
порядок: вводится уравнение, выделяется все или нужная часть и вводится
ключевое слово. Выводом результатов символьных операций можно
управлять с помощью команды Evaluation Style.
В Mathcad предусмотрено также выполнение символьных операций с
помощью сочетания клавиш.
Рассмотрим особенности символьных вычислений на примерах (рис.1).
74
x
3
x 5( )
2
4 x simplify x
3
x
2
14 x 25
x
3
x 5( )
2
4 x
x
3
x
2
14 x 25
cos
2
x sin
2
x 2 x y 4 sin 2 x( ) expand x cos
2
x sin
2
x 2 x y 8 sin x( ) cos x( )
cos
2
x sin
2
x 2 x y 4 sin 2 x( )
sin
2
x cos
2
x 2 x y 8 sin x( ) cos x( )
x
2
4 x 4 factor x 2( )
2
45 factor 3
2
5
x
2
4 x 4
x 2( )
2
x y 5 x
2
3 y y
5y x collect x 4 x y 5 x
2
20 y
x y 5 x
2
3 y y
5y x collect y 4 x 20( ) y 5 x
2
x
4
4 x
3
9 x
2
10
x 2( )
20
10
18
17
6
1
x
4
4 x
3
9 x
2
10
x 2( ) convert parfrac x x
5
6 x
4
17 x
3
18 x
2
10 x 20
x
2
3 x 10
x
4
4 x
3
10 x
2
12 x 21
convert parfrac x
1
4
4 x( )
x
2
4 x 7
1
4
4 x( )
x
2
3
Рис. 1
С помощью символьного процессора Mathcad возможно также
аналитическое решение уравнений, матричные вычисления, интегрирование
и дифференцирование функций, вычисление пределов, разложение в ряд
Тейлора, интегральные преобразования Лапласа и Фурье, прямое и обратное
z – преобразование. Эти операции выполняются в той же
последовательности, что и предыдущие. Перед выполнением этих операций
необходимо выделять переменную, к которой будет относиться операция.
75
Матричные операции транспонирование (Transpose), обратная матрица
(Invert) и определитель (Determinant) можно организовать с помощью пункта
меню Symvoics → Matrix → Transpose (Invert, Determinant). Предварительно
необходимо ввести матрицу, выделить её и выполнить соответствующую
операцию нажатием левой мыши. Результат появляется ниже ввода исходной
матрицы (рис. 2):
èñõîäíàÿ ìàòðèöà
a
q
r
b
f
u
c
d
l
транспонирование
a
b
c
q
f
d
r
u
l
a f l a u d b q l b r d c q u c r f определитель
a
c
b
d
èñõîäíàÿ ìàòðèöà
îáðàòíàÿ ìàòðèöà
d
a d b c( )
c
a d b c( )
b
a d b c( )
a
a d b c( )
Рис. 2
Решение алгебраических уравнений – Solve – рис. 3
5 x
2
4 x 10 solve x
2
5
1
5
i 46
2
5
1
5
i 46
0.4 1.356i
0.4 1.356i
f x( ) 5 x
2
4 x 10
f x( ) solve x
2
5
1
5
i 46
2
5
1
5
i 46
0.4 1.356i
0.4 1.356i
f x y z( ) a x
2
b x y c z solve z x
a x b y( )
c
e
2 x
4 a 0 solve x
1
2
ln 4 a( )
Рис. 3
В тоже время при символьном решении сложных уравнений,
содержащих специальные функции или параметры, а также
76
тригонометрические функции, символьный процессор допускает ошибки.
Поэтому обязательно нужно делать проверку или переходить к численным
методам.
Дифференцирование и интегрирование (Differentiate, Integrate)
Дифференцирование возможно двумя путями:
- ввести аналитическое выражение, выделить его и переменную, по которой
необходимо провести дифференцирование; выбрать команды главного меню
Symbolics → Variable → Differentiate. В следующей строке появится
результат;
- с помощью математической панели Calculus и оператора производной
ввести аналитическое выражение, с панели Symbolic ввести → и нажав левую
мышь, получить результат (рис. 4):
x
2
5 x
2 x 5
x
x
2
5 x
d
d
2 x 5
Рис. 4
Аналогично производится вычисление интеграла (рис. 5):
x
2
5 x
1
3
x
3
5
2
x
2
xx
2
5 x
d
1
3
x
3
5
2
x
2
Рис. 5
Разложение в ряд Тейлора (Expand to Series)
Разложение в ряд Тейлора применяется при линеаризации
дифференциальных уравнений (переход к уравнениям в приращениях) в
окрестности рабочей точки. Предварительно нужно ввести выражение,
выделить переменную и выполнить последовательность команд Symbolicx →
Variable →Expand to Series → Order of Approximation (ввести желаемый
порядок аппроксимации). Можно использовать также панель Symbolic →
series и после ключевого слова ввести последовательно имя переменной и
порядок аппроксимации. Разложение хорошо работает в окрестности точки
х = 0 (рис. 6). Чтобы получить разложение в точке х = с, необходимо перейти
к переменной у = х – с.
Прямое и обратное преобразование Лапласа (laplace, invlaplace)
Преобразование Лапласа
0
)exp()()( dtsttfsF
применяется при решении дифференциальных уравнений, расчёте
переходных процессов в электрических цепях и анализе систем управления.
77
Предварительно нужно ввести выражение, выделить переменную и
выполнить последовательность команд Symbolicx → Tranform → Laplace или
использовать панель Symvolic → laplace. Аналогично выполняется и
обратное преобразование Лапласа (рис. 7).
10 0 10
100
0
100
200
f5 x( )
f4 x( )
x
e
5 t
fourier t 2 Dirac 5 i
4 laplace s
4
s
e
t
laplace t
1
s
sin t
laplace t
s sin
cos
s
2
2
Рис. 6
4 laplace s
4
s
4
s
invlaplace s 4
e
t
laplace t
1
s
1
s
invlaplace s exp t
sin t
laplace t
s sin
cos
s
2
2
s sin
cos
s
2
2
invlaplace s sin
cos t
cos
sin t
Рис. 7
Прямое и обратное z-преобразование (ztrans, invtrans)
Z-преобразование функции f(x) определяется через бесконечную сумму
следующего вида
0
)()(
n
n
znfzF
.
Применяется при анализе цифровых систем управления и играет такую же
роль, как и преобразование Лапласа в непрерывных системах. В Mathcad
78
выполняется аналогично преобразованию Лапласа с помощью панели
главного меню Symvolics → Z или математической панели Symvolic →
ztrans. Для обратного z-преобразования используются операторы Symvolics
→ Inverse Z или Symvolic → invztrans (рис. 8).
1
x
ztrans z
1
x
z
z 1( )
1
x
z
z 1( )
invztrans z
1
x
x ztrans x
z
z 1( )
2
z
z 1( )
2
invztrans z n
e
t
ztrans t
z
z exp
z
z exp
invztrans z exp
n
sin t
ztrans t sin
z
2 z cos
z
2
1
1 e
t
ztrans t z
exp
1
z 1( ) z exp
z
exp
1
z 1( ) z exp
invztrans z 1
1
exp
n
Рис. 8
Порядок выполнения работы
Упростить выражение х =2, z = 4
)5(**)*4(
22
yyzyax
.
Разложить на множители
147
;4127119
234
xxxx
Вычислить коэффициенты полинома
xxxxx 10)4(*)4(*)10(
2
Разложить на элементарные дроби
2114105
104
234
2
xxxx
xx
Продифференцировать функцию по переменным х и у
)exp()()(
22
xbyxaxxf
Разложить в ряд Тейлора
2
)cos( axbx
Решить уравнение
0
2
cbxax
Выполнить прямое и обратное преобразование Лапласа
104
2
xx
Выполнить прямое и обратное Z-преобразование
2
1 btat
Вопросы для самопроверки
79
Для каких целей служит символьный процессор Mathcad?
Как с помощью командного меню и математической панели можно
решать аналитически алгебраические уравнения?
Почему необходимо проверять команду Simplify?
Что такое прямое и обратное преобразование Лапласа?
Какие аналитические вычисления можно выполнять с матрицами?
Какие символьные операции можно выполнять в Mathcad?
Как выполнить разложение функции в ряд Тейлора?
Можно ли менять способ вывод результатов символьных
преобразований?
Литература
Макаров Е.Г. Инженерные расчёты в Mathcad. Учебный курс. – Спб.:
Питер, 2003. – 448с.: ил.
Гурский Д.А. Вычисления в MathCAD / Д.А. Гурский. – Мн.: Новое
знание, 2003. – 814с.: ил.
Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.
– 576с.: ил.
Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –
СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464с.: ил.
Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной
математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 / Алексеев Е.Р.,
Чеснокова О.В. – M.: НТ Пресс, 2006. – 496с.: ил. – (Самоучитель).
Лабораторная работа № 3 - 1
80