Лабораторный практикум - Математические методы и модели в расчётах на ЭВМ

Подождите немного. Документ загружается.

2 1 6

3 5 4

>> polyval(H,s)

ans =

14 8 58

22 44 32

С помощью оператора roots(…) можно вычислить все корни полинома,

коэффициенты которого вещественные числа:

>> p=roots(D)

p =

-3.5222

-2.0000

0.2611 + 1.6646i

0.2611 - 1.6646i

или

>> p=roots([1 5 7 12 20])

p =

-3.5222

-2.0000

0.2611 + 1.6646i

0.2611 - 1.6646i

Восстановить коэффициенты полинома, у которого коэффициент при

старшей степени равен 1, можно с помощью оператора poly(…):

>> a=poly(p)

a =

1.0000 5.0000 7.0000 12.0000 20.0000

С помощью оператора conv(…) выполняется операция умножения двух

полиномов:

>> W=conv(D,H)

W =

1 8 26 53 84 108 80

Для вычисления производной используется оператор polyder(…):

>> Hd1=polyder(H)

Hd1 =

2 3

>> Wd1=polyder(D,H)

Wd1 =

6 40 104 159 168 108

Экспериментальные данные, представленные в виде массивов чисел и

отражающие зависимость одних физических величин от других (y = f(x)),

целесообразно интерпретировать в виде аппроксимирующих полиномов n-го

порядка. В программе MATLAB предусмотрена функция polyfit(x, y, n),

реализующая метод наименьших квадратов. Предварительно нужно задать

вектора значений функции y и аргумента x. В качестве примера рассмотрим

аппроксимацию функции y =f(x), заданную таблично:

>> x=[0 5 10 25 50 100 300]

x =

0 5 10 25 50 100 300

>> y=[0 1.38 1.5 1.62 1.71 1.81 2.05]

y =

0 1.3800 1.5000 1.6200 1.7100 1.8100 2.0500

Обоснованно выбрать степень полинома можно путём вычисления

табличных разностей с помощью функции dyff(y,n), предпочтение отдаётся

полиному с меньшими табличными разностями:

>> diff(y,2)

ans =

-1.2600 0 -0.0300 0.0100 0.1400

>> diff(y,3)

ans =

1.2600 -0.0300 0.0400 0.1300

>> diff(y,4)

ans =

-1.2900 0.0700 0.0900

>> diff(y,5)

ans =

1.3600 0.0200

>> diff(y,6)

ans =

-1.3400

Очевидно, что лучше выбрать полином порядка n = 6 (если порядок

полинома на единицу меньше размерности векторов х и у, то график

полинома проходит через точки этих векторов). Результатом расчёта

является вектор коэффициентов полинома в порядке убывания степени х:

>> a2=polyfit(x,y,2)

a2 =

-0.0000 0.0150 0.9488

>> a3=polyfit(x,y,3)

a3 =

0.0000 -0.0005 0.0482 0.6777

>> a4=polyfit(x,y,4)

a4 =

-0.0000 0.0000 -0.0035 0.1328 0.3547

>> a5=polyfit(x,y,5)

a5 =

0.0000 -0.0000 0.0003 -0.0154 0.2860 0.0751

>> a6=polyfit(x,y,6)

a6 =

x 0 5 10 25 50 100 300

y 0 1.38 1.5 1.62 1.71 1.81 2.05

-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0024 -0.0538 0.4907 -0.0000

Следовательно, аппроксимирующий полином запишется в виде

.4907,00538,00024,0)(

xxxxfy 

Проверить достоверность результатов аппроксимации можно с

помощью оператора polyval(a,x):

>> f6=polyval(a6,x)

f6 =

-0.0000 1.3800 1.5000 1.6200 1.7100 1.8100 2.0500

>> f5=polyval(a5,x)

f5 =

0.0751 1.1566 1.6799 1.5836 1.7150 1.8098 2.0500

Совпадение с исходными данными практически полное, следовательно,

данный полином можно рассматривать как математическую модель

(например, процесса намагничивания ферромагнитного материала). График

рассматриваемой функции (рис. 1) построен с помощью оператора

>> plot(x,y,x,f6,'x',x,f5,'o')

Рис. 1

Сглаживание неточностей исходных данных можно осуществить с

помощью функции lsqcurvefit(f, а0, x, y), где а0 – стартовое значение

неизвестных параметров функции f, задаваемой пользователем.

Порядок выполнения работы

1. Вычислить корни полиномов:

.7015102

;45102541

2345





xxxP

xxxxxP

2. Построить графики этих функций, умножить полиномы, определить корни

результирующего полинома и восстановить коэффициенты полиномов.

3. Продифференцировать исходные полиномы и определить их корни.

4. Для экспериментальных данных, заданных таблично, выбрать

аппроксимирующий полином и определить его коэффициенты. Восстановить

значение полинома в узлах интерполяции. Построить графики исходной

зависимости и аппроксимирующего полинома.

х 15 29 41 50 59 72 80 91

у 3.3 6.3 6.87 7.4 8.1 8.43 8.8 9.24

Вопросы для самопроверки

1. Каким образом нужно задавать полиномы, чтобы выполнять с ними

алгебраические операции сложения, умножения и деления?

2. С помощью каких операторов можно вычислить корни полинома,

восстановить его коэффициенты и построить график?

3. Что такое интерполяция и аппроксимация экспериментальных

данных?

4. Как выбирается порядок аппроксимирующего полинома и с

помощью какого оператора можно выполнить полиноминальную

аппроксимацию?

Литература

1. С. В. Поршнев MATLAB 7. Основы работы и программирования. Учебник

– М.: ООО <<Бином-Пресс>>, 2006г. -320 с.: ил.

2. Курбатов Е.А. MATLAB 7. Самоучитель. – М.: Издательский дом

“Вильямс”, 2006. – 256 с.: ил.

3. Половко А.М., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. – СПб.: БХВ-

Петербург, 2005. – 320 с.: ил.

4. В.П. Дьяконов MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6. Основы применения.

Серия << Библиотека профессионала >>.-М.: СОЛОН-пресс, 2005. -800 с.: ил

5. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики

в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 /Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. –

М.: НТ Пресс, 2006. – 496с. : ил.

Лабораторная работа № 1 - 6

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и

систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Цель работы: изучить встроенные функции для решения

обыкновенных дифференциальных уравнений; решение дифференциальных

уравнений в среде Simulink.

Введение

Под обыкновенным дифференциальным уравнением понимают

уравнение, содержащее аргумент, искомую функцию этого аргумента и её

производные различных порядков. Решением или интегралом

дифференциального уравнения является функция, удовлетворяющая ему –

подстановка этой функции и её производных превращает дифференциальное

уравнение в тождество. Дифференциальное уравнение рассматривается как

математическая модель физических процессов, происходящих в

электрических цепях и объектах управления. Например, для

последовательного соединения индуктивности L и резистивного элемента R

справедливо следующее дифференциальное уравнение

),(teRi

L 

(1)

где i – ток, e(t) – эдс источника. Решение таких уравнений можно проводить

классическим, операторным и численным методом, а также методом

переменных состояния.

Для решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка

можно применять прямое и обратное преобразование Лапласа. Применяя

прямое преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, получим

)(

);(}*)[(

RsL

sERsLsI







Если R =10 Ом, L = 0,1Гн, Е = 100 В, то

100

)(,

)10*1,0(

100

)(

sI 





Для получения решения исходного дифференциального уравнения

необходимо применить обратное преобразование Лапласа. В MATLAB

предусмотрена функция iLaplace(L,t) для нахождения обратного

преобразования Лапласа. Здесь L – прямое преобразование Лапласа искомой

функции, а t – аргумент искомой функции. Предварительно необходимо

создать группу символьных объектов с помощью функции syms:

>> syms s t I;

>> I=100/(s*(0.1*s+10));

>> i=iLaplace(I,t)

i =

10-10*exp(-100*t)

Следовательно, i(t)=10 – 10 e

-100 t

Дифференциальные уравнения можно решать в среде Simulink пакета

MATLAB. Для этого надо создать новую модель для решения

дифференциального уравнения, используя блоки интеграторов, сумматоров,

усилителей, осциллографов, сигналов и передаточных функций непрерывных

систем. Структурные схемы решений дифференциального уравнения первого

порядка (1) приведены на рис. 1.

Рис. 1

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в MATLAB

используется функция dsolve(…).

Рассмотрим решение уравнения

100*10*1.0  x

при начальных условиях y(0)=0 :

>> x=dsolve('0.1*(Dx)+10*x=100','x(0)=0')

x =

10-10*exp(-100*t).

Мы получили такое же решение, что и в предыдущем случае.

Рассмотрим решение уравнения

052

 y

(2)

при начальных условиях y(0)=0 и dy/dt(0)=-4:

>> x=dsolve('(D2x)+2*(Dx)+5*x=0','x(0)=0','Dx(0)=-4')

x =

-2*exp(-t)*sin(2*t)

Дифференциальное уравнение второго порядка (2) путём подстановки

y1=y и y2=dy1/dt можно свести к системе двух дифференциальных уравнений

первого порядка:

.4)0(2;0)0(1;2215

 yyyy

Для численного решения этой системы уравнений необходимо создать

m-функцию для вычисления правых частей этой системы уравнений:

function F=md(t,y)

F=[y(2);-5*y(1)-2*y(2)];

Её необходимо сохранить в m-файле под именем md в папке work.

Аргумент функции md время t, по которому проводится дифференцирование

и вектор Y, размерность которого определяется числом неизвестных

функций системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

первого порядка в MATLAB имеются встроенные фукции (решатели): ode23,

ode45, de113, ode15s, ode23s,ode23t и ode23tb. Они реализуют различные

численные методы решения дифференциальных уравнений – Рунге - Кутты,

Адамса – Башворта – Мултона, Розенброка, метод трапеций и методы

переменного порядка.

В качестве решателя выбираем функцию ode45(‘f’,[t0 tk],[y0]), где f –

имя m-файла, в котором содержатся правые части системы

дифференциальных уравнений; t0, tk – начальное и конечное значения

аргумента; y0 – вектор-столбец начальных условий. Эта функция

используется для решения нежёстких систем дифференциальных уравнений:

>> [t,Y]=ode45('md',[0 5],[0;-4]);

Графики решения можно получить с помощью операторов

>> plot(t,Y(:,1),'o',t,Y(:,2),'x') - (рис. 2)

Рис. 2

>> plot(t,Y) – (рис. 3)

Рис. 3

или вывести таблицу (если убрать ;).

Порядок выполнения работы

1. Найти решение следующих линейных дифференциальных уравнений

./1)0(,0)0(,1105010

;27)0(;314sin311155,0

Butu





всеми рассмотренными методами и построить графики решений.

2. Найти решение дифференциального уравнения второго порядка

5)0(,10)0(,505,72,0



предварительно преобразовав его к системе двух дифференциальных

уравнений первого порядка.

Вопросы для самопроверки

1. Какие решатели предусмотрены в MATLAB для решения

обыкновенных дифференциальных уравнений? Зависит ли выбор той или

иной функции от характеристики решаемой задачи?

2. В чём состоит преимущество преобразования Лапласа перед другими

методами решения дифференциальных уравнений?

3. С помощью каких функциональных блоков решаются

дифференциальные уравнения в MATLAB + Simulink?

Литература

1. С. В. Поршнев MATLAB 7. Основы работы и программирования. Учебник

– М.: ООО <<Бином-Пресс>>, 2006г. -320 с.: ил.

2. Курбатов Е.А. MATLAB 7. Самоучитель. – М.: Издательский дом

“Вильямс”, 2006. – 256 с.: ил.

3. Половко А.М., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. – СПб.: БХВ-

Петербург, 2005. – 320 с.: ил.

4. В.П. Дьяконов MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6. Основы применения.

Серия << Библиотека профессионала >>.-М.: СОЛОН-пресс, 2005. -800 с.: ил

5. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики

в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 /Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. –

М.: НТ Пресс, 2006. – 496с. : ил.

Лабораторная работа № 2 - 1

ВЫЧИСЛЕНИЯ В Mathcad

Цель работы: выработать навыки и умения вычислений в Mathcad

Введение

Пакет Mathcad предназначен в первую очередь для выполнения

инженерных расчётов и является мощным калькулятором, позволяющим

решать системы алгебраических и дифференциальных уравнений, выполнять

анализ экспериментальных данных, строить графики и т.д.

Для запуска Mathcad необходимо два раза нажать левую кнопку мыши

по пиктограмме на рабочем столе, после чего ознакомиться с рабочим окном

(рис. 1), меню и панелями инструментов Mathcad.

Рис. 1

Главное меню (верхняя строчка) содержит пункты File, Edit, View и др.

Если набрать команды View →Toolbars, то можно создать или изменить

математическую панель инструментов (рис. 2).На рабочем поле имеется

красный крестик, положение которого можно менять с помощью курсора и

нажатия левой мыши.

Имена переменных и функций не могут начинаться с цифры, знаков

препинания, процента, штриха, не могут включать пробелы. Имена

переменных и функций должны быть различны. Прописные и строчные

буквы воспринимаются как разные идентификаторы.

Рис. 2

В редакторе Mathcad выражения вводятся и вычисляются так, как они

были бы написаны на листе бумаги. Место ввода определяется курсором и

нажатием левой мыши (появляется красный крестик). Место вывода должно

быть не выше места ввода.

Операции умножения, деления, вычитания, суммирования можно

выполнять как с клавиатуры, так и с помощью инструментов Calculator и

Evaluation (Выражения). Присваивание переменной какого либо значения

допускается с помощью клавиш : , = или с помощью оператора

присваивания Definition (:=) инструментов Calculator и Evaluation. В тоже

время названия некоторых переменных зарезервированы для обозначения

единиц измерений или физических констант, например:

g 9.807ms

-2

 N 1kgms

-2



Чтобы переопределить эти переменные, необходимо пользоваться панелью

инструментов или двоеточием < : >:

g 25 N 15

Поэтому такие обозначения лучше не использовать.

Рассмотрим выполнение простейших математических операций с

переменными величинами и функциями на примерах с помощью клавиатуры

и математической панели инструментов. В соответствии с терминологией,

принятой в математике, ряд действий реализован в виде операторов (+ ,- ,/ , )

или в виде встроенных функций (sin, cos, tan, ln, log ):