Лабораторный практикум - Математические методы и модели в расчётах на ЭВМ

Подождите немного. Документ загружается.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений целесообразно

выполнять с помощью преобразования Лапласа:

,)()(







 dtetfpF

где f(t) – оригинал, F(p) – изображение, р = α +jω. Система интегро-

дифференциальных уравнений относительно оригинала заменяется системой

алгебраических уравнений относительно их изображений. После решения

этой системы находятся изображения искомых функций в виде рациональной

дроби:

)(

...

)(

apapa

bpbpb









= const.

Для решения обратной задачи - перехода от изображения к оригиналу –

можно воспользоваться таблицами соответствия оригинала изображению,

разложением на простые дроби или теоремой разложения. На основании

последней, если изображение Х(р) есть рациональная дробь и n ≥ m, то

оригинал





),exp(

)(

где р

– корни характеристического уравнения F

(p) = 0; F

’

– производная от

полинома знаменателя. Если F

(p) = pF

(p), то







pFp

)exp(

)(

)0(

)(

На рис. 4 представлен листинг решения дифференциального уравнения

четвёртого порядка при входном воздействии gg = 1.

Порядок выполнения работы

1. Решить с помощью блока Given - Odesolve(t,t1,m)

дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и двух

значениях фазы включения Ψ:

.29,84;29,174),314sin(81.314.31.0



Построить графики решений этих уравнений.

2. Решить с помощью встроенных функций следующие

дифференциальные уравнения

.0)0(;3)0(;0)0(;10273

;1)0(;0)0(;56





ddt

Построить графики решений этих уравнений.

2. Решить дифференциальное уравнение

72151083



с помощью преобразования Лапласа и построить график функции при gg = 1.

0 0.2 0.4

y t( )

0.95 ho gg

1.05 ho gg

y t( ) ho gg gg

B p

 

exp p

t

 

C p

 







t 0 0.0001 1ho 3.212ho



Óðàâíåíèå ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêè

B p( ) b2 p

 b1 p b0

b0 88b1 9.68b2 0.088

k 0 3

Êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ

C p( ) 4 a4 p

 3 a3 p

 2 a2 p a1

Ïðîèçâîäíàÿ îò ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ

113.573

9.388

9.145 34.66i

9.145 34.66i













p polyroots a( )a















Êîðíè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ

a0 27.4a1 3.55a2 0.092a3 2.825 10

3

a4 2 10

5



Êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ

gg 1

Èñõîäíûå äàííûå

Ðàñ÷¸ò ïåðåõîäíîé ôóíêöèè

Рис. 4

Вопросы для самопроверки

1. Что значит решить дифференциальное уравнение?

2. Перечислите численные методы решений ОДУ и дайте их краткую

характеристику.

3. В чём заключается преимущество операторного метода решения

дифференциальных уравнений перед другими методами решений?

4. Какие блоки и встроенные функции Mathcad предназначены для

решений ОДУ?

5. Почему для решения дифференциального уравнения необходимо

задавать начальные условия?

Литература

Макаров Е.Г. Инженерные расчёты в Mathcad. Учебный курс. – Спб.:

Питер, 2003. – 448с.: ил.

Гурский Д.А. Вычисления в MathCAD / Д.А. Гурский. – Мн.: Новое

знание, 2003. – 814с.: ил.

Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

– 576с.: ил.

Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –

СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464с.: ил.

Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной

математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 / Алексеев Е.Р.,

Чеснокова О.В. – M.: НТ Пресс, 2006. – 496с.: ил. – (Самоучитель).

Лабораторная работа № 2 - 4

Расчёт переходных процессов в Mathcad

Цель работы: закрепить навыки и умения методов анализа

переходных процессов, основанных на решении обыкновенных

дифференциальных уравнений.

Введение

В электрических цепях происходят включения и отключения активных

и пассивных ветвей, короткие замыкания отдельных участков, оперативные

переключения и т.д. В результате таких изменений, называемых

коммутацией, в цепи возникают переходные процессы, которые

заканчиваются спустя некоторое время. Анализ переходных процессов

состоит в решении линейных дифференциальных уравнений, полученных

для после коммутационной схемы. Например, при включении цепи R, L на

синусоидальное напряжение справедливо следующее дифференциальное

уравнение

)sin(  tURi



, (1)

где i - ток , L - индуктивность, R - сопротивление,U

– амплитуда напряжения

источника питания, ω – угловая частота, ψ – фаза включения. Это

дифференциальное уравнение имеет точное аналитическое решение

)exp()sin()sin()( t





, (2)

где

)( LRz





- полное сопротивление,

arctg







- сдвиг фаз между

напряжением и током.

На рис. 1, 2 приведены результаты решения этих уравнений при

различных фазах включения. Моделирование показывает, что при

определённых условиях примерно через полпериода после включения цепи

ток достигает почти удвоенной амплитуды принуждённого тока.

Аналогичные процессы происходят и при включении цепи RC на

синусоидальное напряжение. В этом случае справедливы следующие

уравнения:

exp()

sin()

sin()(

);sin(

RCCz

tUu

















(3)

Здесь

)

(





, а

)

(

arctg







Здесь также при определённых условиях примерно через полпериода

после включения цепи напряжение на ёмкости достигнет почти удвоенной

амплитуды принуждённого режима. При этом в первый момент после

замыкания при нулевых начальных условиях внешнее напряжение окажется

приложенным к резистору R, что объясняет возникновение больших толчков

тока при включении ненагруженной кабельной сети.

Более сложный характер имеют переходные процессы при включении

цепи RLC на синусоидальное напряжение. В зависимости от того, какой

контур – апериодический или колебательный – в цепи могут быть

перенапряжения, броски тока и сверхтоки, а также затухающие биения.

Um 38.1  314 R 3.14 L 0.1  84.29 z R

 L

 



r atan 















 r 1.471 r 



180

 r 1.471

i t( )

sin  t r r

 



sin r r

 

 e

R

t

 t 0 0.001 1

0 0.05 0.1 0.15

i t( )

 84.29 r 



180



Given

i t( )

31.4 i t( ) 381 sin 314 t r

 

 i 0( ) 0

i Odesolve t 0.2 100( )

0 0.05 0.1 0.15 0.2

i t( )

Рис. 1

Um 38.1  314 R 3.14 L 0.1  174.29

r 



180

 r 3.042 r atan 















 r 1.471

i t( )

sin  t r r

 



sin r r

 

 e

R

t



t 0 0.001 1

0 0.05 0.1 0.15

i t( )

 174.29 r 



180



Given

i t( )

31.4 i t( ) 381 sin 314 t r

 

 i 0( ) 0

i Odesolve t 0.2 100( )

0 0.05 0.1 0.15 0.2

i t( )

Рис. 2

Порядок выполнения работы

1. Для цепи RL и RC решить дифференциальные уравнения (1, 3) и

построить графики переходных процессов по уравнениям (2, 3) в одних

координатных осях. Считать, что ω = 314 c

-1

; R = 10 Ом; L = 0,2 Гн; C = 50

мкФ, U

= 381 B. Фазу включения выбрать из условия:

- для цепи RL

;90;







- для цепи RC

.0;











2. Решить дифференциальное уравнение

)23314sin(

tUu

LC 

предварительно рассчитав свободную составляющую напряжения на

ёмкости. Построить графики переходных процессов.

Вопросы для самопроверки

1. Почему в электрических цепях возникают переходные процессы?

2. Приведите примеры математических моделей пассивных линейных

элементов – двухполюсников?

3. Какие опасные явления могут возникать во время

переходныхпроцессов в электрических цепях постоянного и переменного

така?

4. Какие численные методы решения дифференциальных уравнений

целесообразно использовать при анализе переходных процессов в цепях

переменного и постоянного тока?

5. Что такое жесткие дифференциальные уравнения?

Литература

Макаров Е.Г. Инженерные расчёты в Mathcad. Учебный курс. – Спб.:

Питер, 2003. – 448с.: ил.

Гурский Д.А. Вычисления в MathCAD / Д.А. Гурский. – Мн.: Новое

знание, 2003. – 814с.: ил.

Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

– 576с.: ил.

Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –

СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464с.: ил.

Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной

математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 / Алексеев Е.Р.,

Чеснокова О.В. – M.: НТ Пресс, 2006. – 496с.: ил. – (Самоучитель).

Лабораторная работа № 2 - 5

Обработка экспериментальных данных и

аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Цель работы: изучить методы обработки данных

Введение

При анализе нелинейных электрических цепей возникает задача

обработки экспериментальных данных, чаще всего представленных в виде

массива, состоящего из пар чисел х и у. Необходимо заменить дискретную

зависимость непрерывной функцией у = f(x), к которой предъявляются

различные требования:

- она должна проходить через все экспериментальные точки – интерполяция

данных и предсказывать результат за пределами изменения аргумента х –

экстраполяция данных;

- задана в аналитическом виде и наилучшим образом приближается к

экспериментальным точкам, не обязательно проходя через них – задача

регрессии;

- она должна уменьшать погрешность измерений, присутствующую в

экспериментальных данных (шумовая составляющая измерений) – задача

фильтрации.

Рассмотрим решение первых двух задач.

Интерполяция

Интерполяция означает построение функции, аппроксимирующей

зависимость у = f(x) в промежутках между точками х

. Самый простой вид

интерполяции – линейный, в Mathcad предусмотрена функция linterp(x,y,t),

где t – значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующая

функция (рис.1):

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10( )

 y 1.3 4 3.2 4 7.5 6.6 4.1 2.2 1 0.5( )



A t( ) linterp x y t( )

0 2 4 6 8 10

A t( )

t x

linterp x y 7.2( ) 3.72 linterp x y 4.5( ) 5.75

Рис. 1

Если желательно соединять экспериментальные точки гладкой кривой,

то лучше всего реализовать интерполяцию с помощью кубических сплайнов

и встроенной функции interp(s,x,y,t), где s – вектор вторых производных,

созданных одной из сопутствующих функций.

В промежутках между экспериментальными точками аппроксимация

осуществляется отрезками кубических парабол (кубическими сплайнами)

,)(

atatatatA 

где а

– константы, подлежащие определению. Для этого предусмотрены

сопутствующие функции:

- lspline(x,y) – вектор значений коэффициентов линейного сплайна;

- pspline(x,y) – вектор значений коэффициентов квадратичного сплайна;

- cspline(x,y) – вектор значений коэффициентов кубического сплайна.

Пример сплайн-интерполяции приведён ниже (рис. 2).

s1 lspline x y( ) s2 pspline x y( ) s3 cspline x y( )

A1 t( ) interp s1 x y t( ) A2 t( ) interp s2 x y t( ) A3 t( ) interp s3 x y t( )

0 5 10

A1 t( )

A2 t( )

A3 t( )

Рис. 2

Очевидно, что выбор вспомогательной функции существенно меняет

результат экстраполяции данных за его пределами.

В Mathcad предусмотрен также более сложный тип интерполяции с

помощью В-сплйнов, многомерная интерполяция и экстраполяция функцией

предсказывания.

Регрессия

Выборка экспериментальных данных заменятся некоторой функцией

f(x), минимизирующей совокупность ошибок. При этом задача сводится к

выбору функции и определению её коэффициентов. Коэффициенты

вычисляются из условия минимума тем или иным образом задаваемой

функции ошибки. В качестве аппроксимирующих функций применяют

кусочно-линейные функции, степенные, экспоненциальные и

тригонометрические полиномы, гиперболические синусы и тангенсы и т.д.

Самый простой вид регрессии – линейный:

bxaxy )(

реализуется с помощью функции line(x,y) – результат – вектор из двух

элементов – а и b или с помощью функций intercept(x,y) – коэффициент а

линейной регрессии, slope(x,y)– коэффициент b– линейной регрессии (рис. 3).

В Mathcad имеется альтернативный алгоритм, реализующий медиан-

медианную линейную регрессию для расчёта коэффициентов а и b:

medfit(x,y) – рис. 3:

x 0 2 4 6 8 10 12 14( )

 y 0 1.2 2.4 3.8 5 7.2 8.9 11( )



line x y( )

0.525

0.78













 f t( ) line x y( )

line x y( )

t

intercept x y( ) 0.525 slope x y( ) 0.78

medfit x y( )

0.179

0.779













 u t( ) medfit x y( )

medfit x y( )

t

0 5 10 15

f t( )

u t( )

t x t

Рис. 3

Полиноминальная регрессия полиномом k степени осуществляется

комбинацией встроенной функции s = regress(x,y,k), которая рассчитывает

вектор коэффициентов для построения полиноминальной регрессии данных

и полиноминальной интерполяции interp(s,x,y,t). Однако использование этой

функции для аппроксимации кривой намагничивания дало отрицательный

результат (рис. 4). Наилучший результат дала функция регрессии отрезками

полиномов s = loess(x,y,span) + interp(s,x,y,t). Здесь span –некоторое число,

которое задаёт степень сглаженности данных, в нашем случае 0.9).

Результаты расчётов приведены на рис. 4

x 0 5 10 25 50 100 300( )

 y 0 1.38 1.5 1.62 1.71 1.81 2.05( )



k 2 s2 regress x y k( ) A2 t( ) interp s2 x y t( )

k 4 s4 regress x y k( ) A4 t( ) interp s4 x y t( )

k 6 s6 regress x y k( ) A6 t( ) interp s6 x y t( )

s loess x y 0.9( ) A t( ) interp s x y t( )

0 100 200 300

A2 t( )

A t( )

t x t

Рис. 4

Удовлетворительный результат получен с последним алгоритмом.