Лабораторный практикум - Математические методы и модели в расчётах на ЭВМ
Подождите немного. Документ загружается.
-1.0000 1.2000 0.5000
Для создания единичной матрицы используются следующие
операторы:
>> eye(4)
ans =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
>> eye(2,4)
ans =
1 0 0 0
0 1 0 0
>> eye(size(A))
ans =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Матрица с единичными элементами создается с помощью операторов
>> ones(4)
ans =
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
>> ones(2,4)
ans =
1 1 1 1
1 1 1 1
>> ones(size(A))
ans =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Образование матрицы с нулевыми элементами возможно с помощью
оператора
>> zeros(4)
ans =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
>> zeros(2,4)
ans =
0 0 0 0
21
0 0 0 0
>> zeros(size(A))
ans =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Матрицу с заданной диагональю из элементов вектора R можно создать
с помощью оператора diag (R) :
>> R=[1 2 3 4]
R = 1 2 3 4
>> RB=diag(R)
RB =
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
Элементы вектора R могут находится или в k-ой верхней (k>0) или в
k- нижней (k<0) диагонали от главной диагонали. Это можно выполнить с
помощью оператора diag(R,k):
>> Z=diag(R,2)
Z =
0 0 1 0 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 4
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
>> Z=diag(R,-2)
Z =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 3 0 0 0
0 0 0 4 0 0
Для вычисления собственных чисел матрицы необходимо использовать
функцию eig( )
>> C=eig(A)
C =
34.1199
-6.6812
-0.4387
С помощью этого оператора можно получить матрицу собственных
векторов F, если изменить формат вызова:
>> [F,C]=eig(A)
22
F =
-0.7893 -0.3733 0.2792
-0.5536 -0.6626 -0.8410
-0.2655 0.6493 0.4635
C =
34.1199 0 0
0 -6.6812 0
0 0 -0.4387
C помощью оператора svd( ) можно вычислить сингулярные числа
матрицы:
>> S=svd(A)
S =
47.9607
7.6617
0.2721
Вычисление отношения самого большого сингулярного числа к
наименьшему (числа обусловленности матрицы) можно выполнить с
помощью команды
>> cond(A)
ans =
176.2352
47.9607/0.2721 =176.2613
С помощью этой же функции можно выполнить сингулярное
разложение матрицы, применив формат вызова
>> [Q,S,T]=svd(A)
Q =
-0.7799 0.1186 -0.6145
-0.6145 -0.3318 0.7158
-0.1190 0.9359 0.3316
S =
47.9607 0 0
0 7.6617 0
0 0 0.2721
T =
-0.2465 0.9155 0.3180
-0.5273 0.1486 -0.8366
-0.8131 -0.3739 0.4461
Элементами матриц Q и T являются ортонормированные
собственные векторы, соответствующие собственным значениям матриц
А*А’ и А’* A, соответственно.
В MATLAB предусмотрены поэлементные операции над матрицами,
которые рассмотрим на примерах:
>> A=[10 20 30;5 15 25;8 4 2]
23
A =
10 20 30
5 15 25
8 4 2
>> B=[8 4 2;5 15 25;10 20 30]
B =
8 4 2
5 15 25
10 20 30
вычитание
>> A-B
ans =
2 16 28
0 0 0
-2 -16 -28
>> minus(A,B)
ans =
2 16 28
0 0 0
-2 -16 -28
сложение
>> A+B
ans =
18 24 32
10 30 50
18 24 32
>> plus(A,B)
ans =
18 24 32
10 30 50
18 24 32
умножение
>> A.*B
ans =
80 80 60
25 225 625
80 80 60
>> times(A,B)
ans =
80 80 60
25 225 625
80 80 60
возведение в степень
>> A.^2
ans =
24
100 400 900
25 225 625
64 16 4
>> power(A,2)
ans =
100 400 900
25 225 625
64 16 4
деление элементов матрицы слева направо
>> A./B
ans =
1.2500 5.0000 15.0000
1.0000 1.0000 1.0000
0.8000 0.2000 0.0667
деление элементов матрицы справа на лево
>> A.\B
ans =
0.8000 0.2000 0.0667
1.0000 1.0000 1.0000
1.2500 5.0000 15.0000
В MATLAB предусмотрены и матричные функции:
матричное умножение
>> A*B
ans =
480 940 1420
365 745 1135
104 132 176
>> mtimes(A,B)
ans =
480 940 1420
365 745 1135
104 132 176
деление матриц слева направо
> A/B
ans =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
>> mrdivide(A,B)
ans =
0 0 1
25
0 1 0
1 0 0
обратное деление матриц
>> A\B
ans =
3.4000 19.2000 33.6000
-5.8000 -45.4000 -81.2000
3.0000 24.0000 43.0000
>> mldivide(A,B)
ans =
3.4000 19.2000 33.6000
-5.8000 -45.4000 -81.2000
3.0000 24.0000 43.0000
возведение матрицы в степень
>> A^2
ans =
440 620 860
325 425 575
116 228 344
>> mpower(A,2)
ans =
440 620 860
325 425 575
116 228 344
матричная экспонента ехр(А)
>> A=[2 7 4;1 6 2;5 3 1]
A =
2 7 4
1 6 2
5 3 1
>> Q=expm(A)
Q =
1.0e+004 *
0.5315 1.3965 0.5555
0.3558 0.9361 0.3721
0.4209 1.1051 0.4398
логарифмирование матрицы
>> A=logm(Q)
A =
2.0000 7.0000 4.0000
1.0000 6.0000 2.0000
5.0000 3.0000 1.0000
извлечение квадратного корня
>> sqrtm(A)
ans =
26
1.2192 + 0.7445i 1.6531 - 0.3939i 1.0267 - 0.6072i
0.1833 + 0.1900i 2.2970 - 0.1005i 0.4814 - 0.1550i
1.3760 - 1.1901i 0.5370 + 0.6296i 0.9466 + 0.9707i
Порядок выполнения работы
1. Ввести матрицы
.
865
917
243
;
531
724
126
BA
2. Для матрицы А вычислить её основные параметры.
3. Для матриц А и В выполнить все математические операции (поэлементные
и матричные).
Вопросы для самопроверки
1. Чем отличаются матричные функции от обычных функций?
2. С помощью каких операторов можно вычислить детерминант, собственные
числа и ранг матрицы?
3. Какие функции предусмотрены для работы с разряжёнными матрицами?
4. Как получить диагональную, единичную и обратную матрицы?
Литература
1. С. В. Поршнев MATLAB 7. Основы работы и программирования. Учебник
– М.: ООО <<Бином-Пресс>>, 2006г. -320 с.: ил.
2. Курбатов Е.А. MATLAB 7. Самоучитель. – М.: Издательский дом
“Вильямс”, 2006. – 256 с.: ил.
Лабораторная работа № 1 - 4
Математическое моделирование электрических цепей.
27
Цель работы: изучить методы решения систем линейных
алгебраических уравнений.
Введение
Электрическая цепь включает резистивные (R,G) и динамические (L,C)
пассивные элементы, а также источники энергии: независимые источники
напряжения E и тока J, управляемые источники напряжения ИНУН, ИНУТ и
тока ИТУН, ИТУТ. Соединение элементов рассматривается как обобщенная
электрическая ветвь и ее частные случаи (рис. 1).
i
J
k
j
i
E j
J
k
i R j i C j i I
E
k
I
k
R
k
I j
J
k
i
E R
j i
L
j i I
j
I
k
G
k
Рис. 1
Для каждого элемента схемы можно на основании законов Ома и
Кирхгофа записать уравнения электрического равновесия:
- резистивный элемент R
I
U
R
,
I G U
,
U R I
,
j
-
i
+
R I 0
;
- индуктивный элемент L
U L
di
dt
,
U jIL
,
I
U
jL
,
- емкостной элемент C
i c
dU
dt
,
I jc U U
,
U j
c
I
1
,
- короткозамкнутая ветвь
i
-
j
=
0
,
- источник тока I =J,
- источник напряжения
i
-
j
+
=
0
,
- обобщенная ветвь
I G U E J
U R I J E
( )
( )
,
— R- ветвь
i
-
j
=
ERIU
,
— G- ветвь
I G (
i
-
j
)
J GU J
.
Все эти уравнения можно рассматривать как математические модели
линейных элементов – двухполюсников.
28
Состояние электрической цепи зависит не только от элементов схемы,
но и от способа их соединения. Для узлов и контуров схемы записывают
уравнения электрического равновесия на основании законов Кирхгофа. Они
выражают связь между напряжениями и токами ветвей и называются
топологическими.
Для сложных электрических цепей, состоящих из большого числа
линейных двухполюсников, целесообразно перейти от электрической цепи
(рис. 2) к графу (рис. 3). При этом узлы (место соединения трёх и более
ветвей) схемы соответствуют вершинам графа, а её ветви – его рёбрам.
J
3
1 E
3
R
3
I
R3
2
I
R1
I
R2
I
R5
R
1
R
2
R
5
J
4
R
4
E
1
E
2
I
R4
E
5
3
Рис. 2
Ветви, содержащие идеальные источники тока, на графе не
показывают, так как по определению они имеют бесконечно большое
сопротивление.
1 3 2
1 2 4 5
3
Рис. 3
Такой граф называется ориентированным (направленным) графом.
Каждая ветвь его рассматривается как обобщённая электрическая ветвь
(рис. 4), для которой справедлив закон Ома в матричной форме записи
J
29
I I
R
R E
U
Рис. 4
U = R(I + J) – E,
I = G(U + E) – J,
где U – вектор – столбец напряжений обобщённых ветвей размерностью b×1,
b – число обобщённых ветвей; R и J – диагональные матрицы сопротивлений
и проводимостей ветвей размерностью b×1; I – вектор – столбец токов
обобщённых ветвей размерностью b×1; J – вектор – столбец токов
источников токов размерностью b×1; E – вектор – столбец ЭДС источников
напряжения размерностью b×1.
Формализованный переход от графической модели к математической
реализуется в виде матрицы инциденций А размерностью (q-1)×b, у
которой строки соответствуют узлам, а столбцы – ветвям. Здесь q – число
вершин графа, b – число его дуг. Элементы этой матрицы имеют значения
+1, -1 и 0, если дуга выходит из вершины, входит в вершину и не связана с
этой вершиной.
Тогда первое уравнение Кирхгофа можно представить в виде
AI = 0.
Получить независимую систему уравнений второго закона Кирхгофа
можно при помощи дерева графа схемы (на рис. 3 это выделенные ветви 1 и
5). Дерево содержит все узлы графа, но ни одного контура, и ветви связи,
дополняющие до исходного графа. Число ветвей дерева d = q – 1, число
ветвей связи k = b – (q - 1). Ветви связи 2, 3, 4 образуют главные контуры,
направление обхода контура определяется направлением ветви связи.
Тогда второе уравнение Кирхгофа в матричной форме имеет вид
BU = 0,
где В – матрица главных контуров размерностью k × b, т.е. строки
соответствуют контурам, а столбцы – ветвям. Элементы этой матрицы имеют
значения +1, если ветвь входит в контур и её направление совпадает с
направлением обхода контура; -1, если не совпадает; 0, если ветвь не
содержится в контуре.
Если в качестве неизвестных выбрать потенциалы независимых узлов
(например, φ
1
и φ
2
), то необходимо решать матричное уравнение
AGA
T
φ = AJ – AJE, (1)
где G – диагональная матрица проводимостей ветвей.
Если в качестве неизвестных выбрать контурные токи (токи ветвей
связи), то необходимо решать матричное уравнение
BRB
T
I = BE – BRJ. (2)
Токи ветвей связаны с контурными токами соотношением I
b
= B
T
I.
30