Лабораторные работы по курсу общей физики (2-я Редакция 2012 г.)
Подождите немного. Документ загружается.
3
Зависимость периода колебаний маятника от положения оси вращения
и выражение момента инерции через период колебаний
В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции маятника
относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно
параллельной ей оси, проходящей через центр масс плюс произведение
массы тела на квадрат расстояния между этими осями, т.е.
2
0
maII +=
Формулу для периода колебаний теперь запишем в виде
mga
maI
2T
2
0
+
= π ( 7 )
Зависимость периода
T
от расстояния
a
, т.е. функция
)
a(T
, проходит через
минимум. Если взять от этой функции первую производную и приравнять ее
нулю, то можно найти значение расстояния
a
, при котором период
минимален. Это расстояние mIa
0
= .
Подставив это значение
a
в формулу ( 7 ) , получим
4
2
0
min
mg
I4
2T π= . ( 8 )
Если экспериментально определить
min
T , то момент инерции относительно
оси , проходящей через центр масс
0
I можно вычислить по формуле
4
min
4
2
0
T
64
mg
I
π
= (9)
полученной из выражения ( 8 ). Момент инерции относительно любой другой
параллельной оси, смещенной на расстояние
a
, может быть найден по
теореме Штейнера. Если положение центра масс неизвестно, то неизвестно и
расстояние
a
. Тем не менее, момент инерции относительно произвольной
оси можно найти и в этом случае, исходя из результатов измерения периода,
пользуясь только одним измерительным прибором – секундомером.
Преобразуем формулу ( 7 ) к виду
0
m
I
a
8
gT
a
0
2
2
2
=+−
π
( 10 )
Это квадратное уравнение, из которого можно определить параметр
a
,
соответствующий измеренному значению периода
T
. Решение этого
уравнения имеет вид
m
I
64
Tg
T
8
g
a
0
4
42
2
2
−±=
ππ
( 11 )
С учетом формулы ( 8 ) можно также записать
4
min
4
2
2
2
TT
8
g
T
8
g
a −±=
π
π
( 12 )
4
Поскольку момент инерции
2
0
maII
+
=
, воспользовавшись формулами
( 9 ) и (12), получим
−±+=
2
4
min
4
2
min
2
0
1
T
T
T
T
1II ( 13 )
Описание экспериментальной установки
Экспериментальная установка состоит из физического маятника,
устройства подвеса маятника и секундомера. Устройство подвеса маятника
предусматривает возможность качания относительно целого ряда
параллельных осей. Все эти оси расположены в одной плоскости ,
проходящей через центр инерции маятника, как показано на рис. 2.
Рис.2
Расстояния между соседними осями d одинаковы. Оси пронумерованы по
порядку, начиная с ближайшей к центру инерции. Конструкция устройства
подвеса маятника показана на рис. 3.
Рис.3
Устройство состоит из кольца 1, двух закрепленных в нем винтов 2 с
заостренными концами и опорной платформы 3. Кольцо 1 может быть
закреплено в любом месте на стержне 4 маятника. Ось вращения проходит
5
через заостренные концы винтов 2. На стержне имеются риски,
показывающие рекомендуемое расположение осей качания. Рядом с рисками
расположены цифры, означающие номера осей. Ось, проходящая через
заостренные концы винтов 2, должна совпадать с одной из рисок на стержне
маятника.
Задание к работе
1.Измерить период колебаний маятника относительно каждой из
предложенных осей. Период определить по формуле
n
t
T
n
= , где
n
t - время
n
колебаний,
n
-число колебаний . Для увеличения точности измерений
n
должно быть, по возможности, большим ( например, 100 колебаний ).
2. Результаты измерений представить на графике. По вертикальной оси
отложить значения
4
T
, по горизонтальной – равномерно распределенные
номера осей от 1 до
N
.
3. По графику определить
4
min
T и по формуле ( 9 ) найти
0
I .
4. Определить момент инерции маятника относительно одной из осей по
указанию преподавателя.
Контрольные вопросы
1. Какова цель работы ?
2. В каком случае при выводе дифференциального уравнения физического
маятника потерями энергии можно пренебречь ?
3. Вывести это дифференциальное уравнение в указанном приближении.
4. Какими функциями, кроме приведенной в выражении (4), может
описываться решение уравнения (3) ?
5. Как с помощью только одного измерительного прибора – секундомера (
при известной массе тела ) можно определить момент инерции тела ?
6. Формула (13) дает ( с учетом знаков
±
внутри формулы ) два значения
момента инерции. Как это понимать ? В каком случае использовать
формулу со знаком + , а в каком – со знаком - ?
7.
Литература
1. Трофимова Т.И. Курс физики. - М. : Высшая школа, 1997. - § 140, 141, 142.
2. Детлаф А.А. Яворский Б.М. Курс физики. – М. : Высшая школа , 1999. - §
27.1, 27.2.
3. Савельев И. В. Курс общей физики. – Кн.1.-М. : Наука, Физматлит, 1998. -
§ 8.5.
1
Лабораторная работа № 20б
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В СИСТЕМЕ ДВУХ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ
Цель работы - в системе двух связанных физических маятников измерить
частоты нормальных колебаний и частоту биений при различной степени
связи. Соотношение между частотами и зависимость этих частот от
степени связи сравнить с теоретическими.
Гармонические колебания в системе с двумя степенями свободы
(нормальные колебания)
Экспериментальная установка (рис.1) состоит из двух одинаковых
физических маятников, соединенных пружиной (П), измерительной шкалы
(Ш) и секундомера. Маятники представляют собой стержни (С) с
укрепленными на них чечевицами (Ч). Пружину можно перемещать вдоль
стержней С. Этим обеспечивается изменение связи между маятниками.
О О
С С
П
Ч Ч
Ш
Рис. 1
Экспериментальная установка подставляет собой систему с двумя
степенями свободы. Это значит, что для фиксирования (определения)
положения системы в пространстве (т.е. положения обоих маятников)
необходимо задать всего две какие-либо величины. Этими величинами
могут быть (
ПЛ
xx, ) - горизонтальные смещения, или (
ПЛ
yy, ) –
вертикальные смещения, или (
ПЛ
αα ,
) - углы отклонения маятников и т.п.
(Индексы «Л» и «П» у величин указывают принадлежность величины
левому или правому маятнику). Какие две величины взять – это в
2
значительной степени вопрос удобства. Мы выберем для определения
положения маятников их угловые смещения
Л
α
и
П
α
(рис.2).
Очевидно, что в рассматриваемой установке будут происходить
колебательные процессы. Но будут ли эти процессы гармоническими, т.е.
будут ли изменяться углы отклонений маятников
Л
α
и
П
α
с течением
времени по законам косинуса или синуса с постоянной амплитудой
колебаний? В общем случае нет.
r
Л
α
П
α
Рис. 2.
Действительно, отклоним один из маятников и посмотрим, что произойдет
с другим маятником (первоначальные отклонения маятников от положения
равновесия не одинаковы). Из-за воздействия пружины второй маятник
придет в движение: будет происходить его постепенное раскачивание в
результате перехода энергии от одного маятника к другому и такое дви-
жение не будет гармоническим, поскольку амплитуда этих колебаний
непрерывно изменяется с течением времени (это движение невозможно
представить в виде синусоиды).
С другой стороны, если мы оба маятника отклоним в одну и ту же сторону
на одинаковые углы, то связывающая маятники пружина практически "не
будет работать", так как она не сжимается и не растягивается. При этом,
если трение и сопротивление воздуха мало, то оба маятника будут
совершать гармонические колебания (рис.3).
П
α
0
α
0
α
t
Л
α
t
Рис. 3
3
Гармонические колебания также можно наблюдать, если отклонить
маятники в разные стороны на одинаковые по величине углы (рис.4).
П
α
0
α
0
α
t
Л
α
t
Рис. 4.
(Этот факт не совсем очевиден, однако можно показать, что это следует из
симметрии первоначальных отклонений маятников от положения
равновесия).
Таким образом, в системе связанных маятников могут происходить как
гармонические, так и негармонические колебания. Гармонические
колебания в системе с двумя или более степенями свободы называются
нормальными колебаниями системы.
Нормальные колебания представляют особый интерес, поскольку любые
негармонические движения являются суперпозициями (или линейными
комбинациями) этих нормальных колебаний.
Перейдем теперь к количественному описанию колебательных процессов в
экспериментальной установке. Исходными являются основные уравнения
вращательного движения.
Пусть каждый из маятников имеет массу
m
и момент инерции
J
. Центр
инерции каждого из маятников расположен на расстоянии
l
от оси
вращения, пружина жесткости
k
прикреплена к маятникам на расстоянии
r
от оси вращения (рис. 2). Массой пружины мы пренебрежем.
На каждый маятник действуют два момента сил: момент силы тяжести и
момент сипы связи (предполагаем, что трением в оси колебаний маятников
можно пренебречь). Будем считать колебания малыми, т.е. полагаем
малыми углы отклонения маятников:
1
,
<<
ПЛ
α (1)
так что
ПЛПЛ ,,
sin αα ≈ , 1cos
,
≈
ПЛ
α (2)
4
Деформация пружины равна (см. рис.2):
)(sinsin
ПЛПЛ
rrrx αααα∆ −⋅≈⋅−⋅= (3)
Используя при вычислении моментов сил приближенные равенства (2),
основные уравнения динамики вращательного движения можно записать в
виде:
)(
2
2
2
ПЛЛ
Л
krmgl
dt
d
J ααα
α
−−−= (4)
)(
2
2
2
ПЛП
П
krmgl
dt
d
J ααα
α
−+−= (5)
Введем обозначения:
J
mgl
=
0
ω ,
J
kr
2
=δ (6)
Тогда уравнения (4) и (6) после деления на величину
J
перепишутся в
следующей форме:
0)(
22
0
2
2
=−++
ПЛЛ
Л
dt
d
ααδαω
α
(7)
0)(
22
0
2
2
=−−+
ПЛП
П
dt
d
ααδαω
α
(8)
Уберем мысленно пружину (положим формально жесткость
0
=
k
) или
мысленно поднимем пружину совсем вверх (
0
=
r
), т.е. сделаем маятники
независимыми друг от друга, не связанными. Тогда третьи члены в
уравнениях (7) и (8) обратятся в нуль, и движение каждого из двух маятни-
ков опишется обычным уравнением гармонических колебаний
0
2
0
2
2
=+
Л
Л
dt
d
αω
α
,
П
П
dt
d
αω
α
2
0
2
2
+ , (9)
где
0
ω имеет смысл собственной частоты колебаний одного отдельно взя-
того физического маятника.
Различие уравнений (7), (8) и (9) показывает, что при наличии связи между
маятниками, т.е. в системе с двумя степенями свободы, движение в общем
случае может не происходить по гармоническому закону.
Пусть )0(
Л
α и )0(
П
α - начальные угловые отклонения маятников. Тогда
решение уравнений (7), (8) можно записать в следующем виде (проверьте
это путем подстановки приведенных решений в уравнения):
( ) ( )
ttt
ПЛПЛЛ 21
cos)0()0(
2
1
cos)0()0(
2
1
)( ωααωααα −++= (10)
5
( ) ( )
ttt
ПЛПЛП 21
cos)0()0(
2
1
cos)0()0(
2
1
)( ωααωααα −−+= (11)
Здесь введены обозначения:
01
ωω = ,
22
02
2δωω += (12)
Зависимости углов отклонения от времени (10), (11) указывают на тот
факт, что в общем случае колебания маятников действительно не являются
гармоническими, а представляют собой суперпозицию (комбинацию) двух
гармонических колебаний - с частотами
1
ω и
2
ω . Именно эти
гармонические колебания и называются нормальными колебаниями.
Теперь уместно задать вопрос: при каких условиях возбуждения в нашей
экспериментальной установке возникают нормальные колебания? Точный
количественный ответ, конечно, дают соотношения (10) и (11), из которых
видно, что возможны две следующие ситуации (на качественном уровне
мы их уже рассмотрели выше):
а) нормальные колебания первого (синфазного) типа
Пусть в начальный момент
0=t
оба маятника были отклонены в одну и ту
же сторону на равные углы (см. рис.3):
0
)0( αα =
Л
,
0
)0( αα =
П
(13)
Тогда (см. выражения (10) и (11)):
tt
Л 10
cos)( ωαα = , tt
П 10
cos)( ωαα = (14)
Маятники совершают синфазные гармонические колебания с частотой
01
ωω = . Эта частота не зависит от наличии пружины (пружина "не работает").
б) нормальные колебания второго (противофазного) типа
Пусть в начальный момент
0
=
t
маятники были отклонены на равные углы,
но в разные стороны (см. рис.4):
0
)0( αα −=
Л
,
0
)0( αα =
П
(15)
Тогда (см. выражения (10) и (11)):
tt
Л 20
cos)( ωαα −= , tt
П 20
cos)( ωαα = (16)
Маятники совершают противофазные гармонические колебания с частотой
2
ω . Частота
2
ω больше частоты
1
ω и она растет с увеличением расстояния
r
от оси до места закрепления пружины (см. (12)).
Таким образом, в рассматриваемой колебательной системе с двумя
степенями свободы возможны два типа нормальных колебаний, и их мож-
но возбудить, если отклонить маятники в начальный момент времени в
соответствии с рис. 3 и 4.
6
Явление биений.
Всякое отклонение начальных условий от (13) или (15) (т.е. |)0(||)0(|
ПЛ
αα ≠ )
возбуждает оба нормальных колебания. Так что движение каждого из
маятников будет представлять собой результат суперпозиции (наложения)
нормальных колебаний обоих типов. (Имея в виду это иногда говорят о
сложении колебаний разных частот, но одного направления колебаний).
Действительно, положим, например, в соотношениях (10), (II)
0)0( =
Л
α ,
0
)0( αα =
П
(17)
Это значит, что в начальный момент
0
=
t
правый маятник отклонили
вправо на угол
0
α , а левый маятник оставили в положении равновесия.
При этом выражения (10) и (11) переписываются так
)cos(cos
2
1
)(
210
ttt
Л
ωωαα −= (18)
)cos(cos
2
1
)(
210
ttt
П
ωωαα += (19)
Преобразуем формулы (18) и (19), используя тригонометрические
соотношения:
)sin()sin()(
22
0
1212
ttt
Л
ωωωω
αα
+−
⋅=
(20)
)cos()cos()(
22
0
1212
ttt
П
ωωωω
αα
+−
⋅=
(21)
Видно, что движение маятников не является гармоническим колебанием. В
такой записи вторые сомножители описывают колебания с частотой,
равной полусумме частот нормальных колебаний:
2/)(
12
ωωω +=
(22)
а первые сомножители - колебания с частотой, равной полуразности частот
нормальных колебаний:
2/)(
12
ωωΩ −=
(23)
В нашей установке имеется возможность сделать связь маятников слабой в
том смысле, чтобы выполнялось неравенство
0
ωδ << , при котором частоты
1
ω и
2
ω становятся достаточно близки друг к другу. При этом
7
0
2
1012
// ωωωδωω Jkr+=+≈
(24)
0
ωω ≈
,
0
2
2/ ωΩ Jkr≈
(25)
Так как
ω
Ω
<<
, (26)
то первые сомножители в формулах (20) и (21) меняются сравнительно
медленно. На этом основании величины
)sin()sin()(
0
2
0
12
t ttA
Л
Ωαα
ωω
==
−
(27)
)cos()cos()(
0
2
0
12
t ttA
П
Ωαα
ωω
==
−
(28)
можно назвать периодически изменяющимися амплитудами
колебаний, описываемых вторыми сомножителями в соотношениях (20) и
(21).
С какой же частотой изменяются сами амплитуды )(tA
Л
, )(tA
П
?
Очевидно, с частотой
Ω
2
. В самом деле, частота
Ω
в выражении )sin(
0
t Ωα
или )cos(
0
t Ωα характеризует периодичность появления "горбов" (или
"впадин") вдоль синусоиды или косинусоиды. Когда мы находим модуль
)sin(
0
t Ωα или )cos(
0
t Ωα , то "горбы" остаются "горбами", а "впадины"
превращаются в "горбы", и в итоге "горбы" будут встречаться вдвое чаще.
Это и означает, что амплитуды )(tA
Л
и )(tA
П
периодически меняются с
удвоенной частотой, т.е. с частотой
12
2 ωωΩω −==
Б
(29)
0
2
12
/ ωωωω Jkr
Б
≈−=
(30)
В случае колебаний вида (20), (21) говорят, что происходит явление
биений: маятники совершают колебательное движение с частотой
2/)(
12
ωωω += ) с периодически нарастающими и убывающими
амплитудами колебаний. Переменные величины )(tA
Л
и )(tA
П
называются амплитудами биений, а величина )(
12
ωωω −=
Б
называется
частотой биений.
Явление биений возникает всегда, когда одновременно возбуждают оба
типа нормальных колебаний: движение представляет собой не-