Лабораторные работы по курсу общей физики (2-я Редакция 2012 г.)
Подождите немного. Документ загружается.
1
Лабораторная работа №22 a
Собственные электромагнитные колебания
Цель работы: экспериментально и теоретически установить зависимость
параметров колебательного процесса (периода Т и логарифмического
декремента затухания Λ) от параметров контура (емкости С и
сопротивления R).
Теоретическое введение
Рассмотрим электромагнитный колебательный контур, изображенный на
рисунке 1. Колебательные процессы, происходящие в контуре можно
описать, используя второй закон Кирхгофа:
U
C
+ U
R
= E
L
(1)
Рис. 1.
Выражая напряжения на конденсаторе U
C
, резисторе U
R
и ЭДС
самоиндукции E
L
через заряд конденсатора q и пара метры контура, получим
уравнение, описывающее колебания в контуре
L(d
2
q/dt
2
) +R(dq/dt) + q/C = 0 (2)
В соответствии с уравнением (2), заряд на обкладках конденсатора q и
напряжение U
C
на нем изменяются со временем по закону
q(t) = q
m
exp[-(R/2L)t] cos(ωt – φ)
(3)
U
C
(t) = U
cm
exp[-(R/2L)t] cos(ωt – φ)
Для проверки, достаточно подставить в уравнение (2) заряд q(t) из (3) и его
первую и вторую производные по времени. При этом определится частота и
период происходящих в контуре колебаний:
C
R
M
R
L
L
2
ωω
2
2
4
1
L
R
LC
−= , (4)
2
2
4
1
22
L
R
LC
T
−
==
π
ω
π
. (5)
Введем обозначения
L
R
LC
2
,
1
2
0
== βω , (6)
Из формулы (5) видно, что при некотором допущении период колебаний
может быть вычислен по более простой формуле:
LCT π2=
(7)
В выражениях (3) множители q
m
e
-βt
и U
cm
e
-βt
– амплитуды колебаний
заряда и напряжения, убывающие со временем. Нетрудно показать, что
логарифмический декремент затухания
Λ = ln(U
n
/U
n+1
) (8)
Связан с активным сопротивлением колебательного контура R соотношением
Λ = βТ = (R/2L)T (9)
Вместо формулы (8) для практического определения Λ удобнее использовать
выражение
Λ = (1/N) ln(U
n
/U
n+N
) (10)
Где U
n
– амплитуда n–го колебания, U
n+N
– амплитуда (n+N)-го колебания.
Значение N = 3÷4.
При некотором значении сопротивления R, называемом критическим,
колебания в контуре прекращаются. Критическое сопротивление контура R
кр
соответствует обращению в нуль частоты колебаний ω и может быть найдено
из выражения (4). Экспериментально R
кр
находится путем увеличения
сопротивления магазина сопротивлений R
М
до полного прекращения
колебаний. На экране осциллографа в этом случае появится картина
апериодического разряда конденсатора.
Описание установки и метода измерения
Собственные электромагнитные колебания можно получить в цепи
собранной по схеме изображенной на рисунке 2.
R
M
R
L
L
С
МВ
Вход
“Y”
ЭО
Рис. 2.
3
Мультивибратор (МВ), подключенный к сети, формирует импульсы
напряжения и подает их на конденсатор С контура. В результате в контуре
возникают колебания, которые визуально наблюдаются с помощью
осциллографа (ЭО). Картины импульсов вырабатываемых мультивибратором
и затухающих колебаний регистрируемых осциллографом показаны на
рисунках 3 и 4.
U(t)
t
Рис.3
Рис.4
Задание к лабораторной работе
1) Рассчитать период колебаний Т в контуре для трех значений емкости
по формуле (7) и оценку стандартного отклонения σ
Т
по заданным σ
С
и σ
L
.
2) Получить на экране осциллографа картину собственных колебаний
контура. Измерить период колебаний Т для тех же трех значений емкости С.
Решить вопрос о том, каким должно быть сопротивление магазина R
M
в этом
эксперименте, чтобы измеренные значения Т как можно лучше совпадали со
значениями, вычисленными по формуле (7). Выставить это сопротивление.
Измерение периода производится непосредственно по шкале экрана
осциллографа.
3) Построить график зависимости периода от емкости, самостоятельно
решив вопрос о том, в каких осях его удобнее строить. Показать на графике
4
точки Т
теор.
(см. п.1) и Т
эксп.
(см.п.2); учесть σ
Т
. По паспорту осциллографа
погрешность измерения составляет 15% от измеряемой величины.
4) При одном значении емкости, заданном преподавателем, измерить
логарифмический декремент затухания Λ (согласно формуле (10)) при 5 – 6
различных сопротивлениях магазина введенных в контур. Вычислить σ
Λ
. Для
оценки погрешности воспользоваться указанием п.3.
5) В координатах R
M
, Λ построить график зависимости
логарифмического декремента затухания от сопротивления магазина. Учесть
σ
Λ
. Определить по графику активное сопротивление катушки индуктивности.
6) При том же значении емкости рассчитать и измерить критическое
сопротивление контура. Сравнить их по порядку величины.
Контрольные вопросы
1) Что такое собственные колебания? Каков вид графика U
C
от t? Как
зависит амплитуда собственных колебаний от времени? С какой частотой
происходят эти колебания в общем случае?
2) Объяснить физическую причину возникновения собственных
колебаний в электромагнитном колебательном контуре.
3) Чем определяется характер собственных колебаний? Какие величины
служат количественной характеристикой этих колебаний? Как они связаны с
параметрами контура и между собой?
4) При каком допущении период колебаний в контуре можно вычислить
по формуле
LCT π2=
?
5) При измерении Т каким должно быть сопротивление магазина, чтобы
экспериментально полученные значения Т, как можно лучше совпадали с
рассчитанными по формуле LCT π2= ?
6) В каких осях целесообразно строить график зависимости периода от
емкости? Почему? Какой график Вы ожидаете получить?
7) Выведите связь Λ с R
M
. Можно ли ожидать, что зависимость Λ от R
при любых R будет линейной? Будет ли график проходить через начало
координат, если его строить в координатах Λ, R
M
, а R
M
сравнимо с
сопротивлением катушки?
8) Как по графику Λ от R
M
определить сопротивление катушки?
9) Как практически можно измерить логарифмический декремент
затухания?
10) Совпадают ли полученные результаты с теми, что Вы ожидали
получить?
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1 – М.: Наука, 1998 .
1
Лабораторная работа №22 б
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В
КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
Цель работы – экспериментально определить зависимость периода
колебаний и логарифмического декремента от параметров контура.
Полученные результаты сравнить с рассчитанными теоретически.
Физическая модель колебательного контура и описание свободных
электромагнитных колебаний в нем
Под колебательным контуром обычно подразумевается устройство,
состоящее из последовательно соединенных конденсатора, катушки
индуктивности и резистора ( наличие резистора возможно, но не обязательно
). Основной характеристикой конденсатора является его емкость
.C
В
идеальном конденсаторе нет диссипативных потерь энергии. Его импеданс
чисто реактивный. В реальных конденсаторах диэлектрик, заполняющий
пространство между обкладками, может иметь небольшую
электропроводность и поэтому возможны некоторые потери энергии на
выделение джоулева тепла. Кроме того, при электрических колебаниях
периодически происходит переполяризация диэлектрика, на которую также
затрачивается некоторое количество энергии. В некоторых случаях
приходится учитывать также тот факт, что кроме емкости
C
конденсатор,
как и любой проводник, может иметь небольшое значение индуктивности
,L
величина которой зависит от конструкции конденсатора.
Основной характеристикой катушки индуктивности является ее
индуктивность
.L
Идеальная катушка, в которой нет потерь энергии, имеет
чисто реактивный импеданс. Однако, если в катушке применяется сердечник,
то при колебаниях в контуре часть энергии теряется на перемагничивание
сердечника. Часть энергии теряется также на нагревание проводника
обмотки, имеющей конечное значение сопротивления. Большое влияние на
реальный импеданс катушки оказывают так называемые межвитковые
емкости. Эти емкости имеют наименьшее значение в однослойных катушках
с принудительным шагом ( шаг спирали больше диаметра провода ) и
наибольшее в многослойных катушках с намоткой внавал.
Резисторы, кроме активного сопротивления
R
, могут иметь некоторое
значение индуктивности.
В идеальном случае можно считать, что колебательный контур состоит
из последовательно соединенных идеальных элементов
RL,
и
C
.
Рассмотрим колебательный контур, состоящий из этих элементов. При
наличии электромагнитных колебаний в контуре энергия магнитного поля
сосредоточена в катушке и равна 2
2
qL
&
. Энергия электрического поля
2
сосредоточена в конденсаторе и равна Cq 2
2
. Полная энергия
электромагнитного поля в контуре равна
C
qqL
W
эм
2
2
22
+=
&
(1)
.
Если бы потерь энергии не было (при
0
=
R
), то энергия
эм
W была бы
постоянной, а производная от этой энергии по времени равнялась нулю. Если
сопротивление
R
отлично от нуля, то в резисторе выделяется джоулево
тепло, на что расходуется энергия электромагнитного поля. При этом, в
соответствии с законом сохранения энергии , изменение энергии
эм
W в
единицу времени равно выделяемой тепловой мощности, взятой со знаком
минус, т.е.
Rq
C
qqL
dt
d
dt
dW
эм
2
22
)
2
2
(
&
&
−=+= (2)
Выражение (2) после взятия производной можно привести к виду
0
1
=++ q
LC
q
L
R
q
&&&
(3)
Если ввести обозначения β2=
L
R
;
2
0
1
ω=
LC
, то получим уравнение
02
2
0
=++ qqq ωβ
&
&
&
(4)
Выражение (4) является стандартной формой записи дифференциального
уравнения любого линейного осциллятора, совершающего свободные
затухающие колебания. Решением уравнения (4) является функция
)cos()(
0
ϕω
β
+=
−
teqtq
t
, (5)
где частота колебаний
22
0
βωω −= . Для колебательного контура
2
2
4
1
L
R
LC
−=ω
(6)
В выражении (5) произведение
t
eq
β−
0
имеет смысл амплитуды, величина
которой убывает со временем. Коэффициент
β
называется коэффициентом
затухания. Чем больше коэффициент
β
, тем быстрее со временем убывает
амплитуда колебаний. Коэффициент
β
входит также в выражение для
частоты колебаний
ω
. В идеальном случае, когда потери отсутствуют и
коэффициент
β
равен нулю,
0
ω
ω =
. Частоту
0
ω
называют собственной
частотой.
Период свободных колебаний
2
1
2
2
4
1
2
2
−
−==
L
R
LC
T π
ω
π
(7)
3
При отсутствии потерь энергии ( или когда амплитуды двух соседних,
отличающихся на один период , колебаний почти одинаковы и потерями
энергии за один период по сравнению с
эм
W можно пренебречь )
LCT π
ω
π
2
2
0
==
(8)
Из выражения (7) следует, что с увеличением сопротивления
R
период
T
также увеличивается и при приближении
R
к значению CL2
стремится к бесконечности. При значениях
R
, больших, чем CL2
колебания становятся невозможными ( период становится мнимой
величиной). Сопротивление
CLR
к
2=
(9)
называется критическим.
Решение дифференциального уравнения (4), представленное
выражением (5) трудно проверить экспериментально, так как мы не
располагаем прибором, позволяющим непосредственно измерять заряд
конденсатора для каждого момента времени. Однако мы можем
сравнительно легко измерить напряжение на конденсаторе. Напряжение на
конденсаторе , имеющем емкость
C
)cos(
0
ϕω
β
+==
−
teU
C
q
U
t
CC
)cos()(
ϕ
ω
+
=
ttU
CA
(10)
Для характеристики степени затухания колебаний колебательной
системы кроме коэффициента затухания
β
используется логарифмический
декремент
λ
. Логарифмическим декрементом называется логарифм
отношения амплитуд , соответствующих моментам времени ,
различающимся на период, т.е.
)(
)(
ln
TtU
tU
CA
CA
+
=λ
(11)
Можно показать, что логарифмический декремент колебательного контура
связан с параметрами контура соотношением
.
2
T
L
R
T == βλ
Если затухание мало, то в соответствии с (8) LCT π2= и
L
C
Rπλ =
(12)
Описание лабораторной установки и методики измерений
Схема лабораторной установки показана на рисунке 1
4
Рис 1
Колебательный контур состоит из однослойной катушки
,L
конденсатора,
i
C ( одного из трех возможных, входящих в комплект
установки ), резистора
k
R ( одного из пяти возможных, входящих в комплект
установки ) и резистора с малым сопротивлением
0
R . Колебательный контур
подключен к генератору импульсов с внутренним сопротивлением
Г
R через
дополнительное сопротивление
Д
R .
С генератора на контур подаются короткие электрические импульсы.
Длительность импульса во много раз меньше периода колебаний. В
промежуток времени между импульсами в контуре совершаются свободные
колебания. Для тока в контуре сопротивление
0
R шунтировано цепочкой
последовательно соединенных сопротивлений
Г
R и
Д
R . Сопротивления
0
R и
Д
R подобраны так, чтобы выполнялось условие
(
Г
R +
Д
R ) >>
0
R .
В этом случае сопротивление контура на участке
ab
можно считать равным
0
R , а полное сопротивление в цепи контура
R
равным
Lk0
RRR
+
+
, где
L
R
- сопротивление провода обмотки катушки.
На контур подаются короткие электрические импульсы. Их
длительность значительно меньше периода колебаний в контуре. Под
действием этого импульса конденсатор заряжается ,и после прекращения
импульса в контуре совершаются свободные колебания.
Напряжение с конденсатора подается на вход осциллографа. Вход
осциллографа должен быть высокоомным, чтобы его влиянием на
колебательный процесс можно было пренебречь. Осциллограмма на экране
осциллографа имеет вид графика зависимости напряжения на конденсаторе
от времени. По виду этой осциллограммы можно определить период
колебаний и логарифмический декремент.
Для того, чтобы измерить период собственных колебаний , потери
энергии в контуре должны быть минимальными . Для этого резистор
k
R
следует установить с минимальным значением сопротивления. На экране
осциллографа должна наблюдаться картина, примерный вид которой показан
на рисунке 2.
5
Рис 2.
Время, за которое световое пятно проходит на экране осциллографа одно
деление ( цена деления
k
) , указывается на панели прибора. Если измерить
период в делениях шкалы на экране (расстояние
S
, показанное на рисунке) и
умножить на цену деления
k
, то получим значение периода T в секундах т.е.
k
S
T
⋅
=
(13)
Для определения логарифмического декремента на экране
осциллографа надо получить картину, аналогичную изображенной на
рисунке 3.
Рис 3
Для того, чтобы измерить амплитуду напряжения на конденсаторе для
колебания под номером n, надо амплитуду этого колебания
n
a , измеренную в
делениях шкалы , умножит на цену деления m, указанную на панели прибора.
Таким же образом можно определить и амплитуду напряжения следующего
колебания, с номером
1
+
n
. Тогда
11
lnln
++
==
n
n
n
n
a
a
ma
ma
λ (14)
Из выражения (14) следует, что для измерения логарифмического декремента
амплитуды напряжения достаточно измерять только в делениях шкалы
прибора. Нетрудно доказать, что логарифмический декремент можно найти
по отношению любых двух амплитуд
n
a и
Nn
a
+
по формуле
Nn
n
a
a
N
+
= ln
1
λ (15)
6
Точность измерения логарифмического декремента зависит от точности
измерения амплитуд по шкале прибора. При измерении амплитуд
n
a и
Nn
a
+
отсчет ведется от нулевого уровня. Поэтому важно, чтобы картина на экране
осциллографа была очень точно расположена относительно этого уровня и
такое расположение было достаточно стабильным. Это требование
обеспечить не очень просто. Указанную трудность можно избежать, если
измерять не амплитуды
n
a и
nn
a
+
, а расстояния
n
A и
Nn
A
+
, как показано на
рисунке 3. Можно доказать, что при этом
Nn
n
A
A
N
+
= ln
1
λ
(16)
Формула (16) имеет такой же вид, как и формула (15).
Ошибка в измерении логарифмического декремента зависит не только
от ошибки отсчета по шкале прибора
a
σ
, но и от выбора числа N .
Исследование относительной ошибки в измерении логарифмического
декремента
λ
σ
λ
на минимум показывает, что относительная ошибка
минимальна, если
3=
+Nn
n
A
A
(17)
Следовательно, при измерениях
λ
мы должны выбрать N таким, чтобы
Nnn
AA
+
было как можно ближе к 3.
При этом
n
a
A
σ
λσ
λ
3≈
(18)
Задание к работе
1. Рассчитать период собственных колебаний в контуре с заданным
значением индуктивности для трех значений емкости
i
C и сделать оценку
стандартного отклонения
T
σ
по известным
C
σ
и
L
σ
.
2. Получить на экране осциллографа картину свободных колебаний с
минимальным значением затухания (при минимальном значении
сопротивления
k
R ) и определить экспериментально периоды колебаний
для тех же случаев, что и в п.1.
3. Рассчитать стандартные отклонения
T
σ
для экспериментально
определенных значений периода.