Лабораторные работы по курсу общей физики (2-я Редакция 2012 г.)
Подождите немного. Документ загружается.
1
Лабораторная работа № 2
ИЗМЕРЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТИ ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ
БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Определение начальной скорости снаряда методом баллистического
маятника является одним из примеров использования на практике процесса
неупругого удара.
В данной работе с помощью баллистического маятника определяются
скорости пуль различных масс. Скорость пули и теоретическая зависимость
скорости от массы рассчитываются на основе законов сохранения импульса
и энергии.
Экспериментально полученная зависимость скорости пули от массы
сравнивается с теоретической.
Описание установки и эксперимента
Баллистический маятник (рис. 1) представляет собой подвешенный на
длинном тонком стержне массивный цилиндр массы М, заполненный
пластилином. В цилиндр в горизонтальном направлении стреляют пулей
массы m из пружинного пистолета Р, неподвижно закрепленного вблизи
маятника. Пуля входит в пластилин и дальше продолжает двигаться вместе с
маятником. В результате маятник отклоняется от положения равновесия.
Максимальное отклонение регистрируется с помощью линейки.
Измерение скорости пули
Происходящий процесс можно представить в виде двух таких этапов.
1. Пуля застревает в пластилине, при этом импульс системы, состоящей из
пули и маятника, сохраняется.
2. Маятник получает импульс и отклоняется от положения равновесия до
тех пор, пока вся его кинетическая энергия не перейдет в потенциальную
В соответствии с этим при расчете скорости пули можно использовать
следующие теоретические представления:
1) для первого этапа закон сохранения импульса записываем в виде
mV = (m + M)V
1
(1)
где V – начальная скорость пули; V
1
– скорость маятника-мишени с
застрявшей в нем пулей сразу после удара.
Левая часть уравнения – импульс пули, правая – импульс маятника-мишени
с застрявшей в нем пулей сразу после удара.
Закон сохранения импульса мы можем использовать для расчета только при
допущении, что за время столкновения пули с маятником смещения
маятника практически не происходит. Только при этом условии сумма сил,
действующих на систему маятник-пуля, равна нулю (маятник практически
находится в положении равновесия);
2
L
O
L
h
2) приобретая импульс и кинетическую энергию, маятник-мишень
начинает двигаться в поле силы тяжести. Предполагаем, что кинетическая
энергия переходит только в потенциальную (хотя она расходуется и на
преодоление сопротивления воздуха, трения в подвесе, трения в механизме,
измеряющем отклонение, и т.д.). Закон сохранения энергии записываем в
виде
(m + M)V
1
2
/2 = (m + M)gh, (2)
где g – ускорение свободного падения; h – высота подъема маятника (рис. 2);
3) исключив из выражений (1) и (2) скорость маятника V
1
, можно по
высоте подъема маятника h определить начальную скорость пули V. Однако
гораздо проще, чем высоту подъема, измерить горизонтальное смещение
маятника x при помощи механизма (см. рис. 1). Из рис. 2 видно, что
треугольники прямоугольные и подобны.
Тогда
h/x = x/ (2l – h) (3)
где l – длина нити.
При малых углах отклонения маятника l >>h. Тогда из (3) получаем
h = x
2
/2l. (4)
Решаем систему (1), (2), (4)
x
l
g
m
Mm
V
2/1
+
=
(5)
Введя обозначение
2/1
+
l
g
m
Mm
= K, записываем V = Kx.
M
m
P
Рис. 1
Рис. 2
3
Таким образом измерение скорости в этой работе – косвенное измерение.
Зная значение K и измерив несколько раз смещение x, рассчитываем среднее
значение <x> и значение скорости пули
<V> = K<x> (6)
Зависимость скорости пули от ее массы
Полученная для расчета скорости формула (5) не является явной
зависимостью скорости пули от ее массы, так как от массы зависит еще и
измеряемая величина x.
Явная зависимость скорости от массы может быть получена на основании
следующих соображений. Потенциальная энергия сжатой пружины
переходит в кинетическую энергию пули и пружины. При этом часть
потенциальной энергии сжатой пружины теряется в результате действия
силы трения в системе. Пренебрегая трением, запишем закон сохранения
энергии
ca
2
/2 = mv
2
/2 + E
к,пр
(7)
где с – коэффициент жесткости пружины; а – величина деформации
пружины. Для расчета E
к,пр
– кинетической энергии пружины в момент
вылета пули заметим, что один конец пружины всегда покоится, а скорость
второго равна скорости пули v. Для однородной пружины естественным
является линейный закон изменения скорости v(y) = (v/L)y с расстоянием y (0
≤ y ≤ L) от неподвижного конца. Через L мы обозначили длину пружины.
Введем также линейную плотность пружины ρ = m
пр
/L. Кинетическая
энергия участка пружины длины dy, находящегося на расстоянии y от
неподвижного конца раина dЕ = v
2
(y) ρdy/2. Подставляя в это выражение ρ и
v(y) и интегрируя по dy в пределах от 0 до L легко получить
E
к,пр
= m
пр
V
2
/6 (8)
Из (7) и (8) видно, что график зависимости V
-2
от массы пули должен быть
линейным (рис. 3):
V
-2
= m
пр
/3ca
2
+ m/сa
2
(9)
4
Рис.3
Оценка стандартного отклонения величины V
-2
Из формулы (6) следует, что
V
-2
= K
-2
x
-2
(10)
Величина V
-2
вычисляется по измеряемому значению х. Следовательно,
оценка стандартного отклонения может быть произведена по формуле (3)
вводного занятия
2
23
2
32
2
2
2
2
2
2
2
+
=
∂
∂
+
∂
∂
=
−−
−
xKxK
K
v
x
v
Kx
Kx
v
σ
σ
σσσ
(11)
Учитывая (9), преобразуем (10) к виду, удобному для вычислений
2
2
2
2
2
+
=
−
−
Kx
V
K
x
v
σσ
σ
(12)
Значения величин K, σ
K
, σ
x
заданы в паспорте установки.
Задания
1. Проведите измерения смещения x при попадании в маятник пуль
различной массы (для каждой пули измерения повторите три раза).
2. Рассчитайте значения величин V, V
-2
и σ
V
-2
.
m m
пр
/3
V
−2
5
3. Постройте график зависимости V
-2
от m с учетом σ
V
-2
и сравните с
теоретической зависимостью (9) (см. рис. 3).
4. Оцените по графику массу пружины и максимально возможную
скорость пули.
Контрольные вопросы
1. Какова цель данной лабораторной работы?
2. Как в данной работе измеряется скорость пули?
3. Как Вы записываете закон сохранения энергии при выводе расчетной
формулы (9) и какие при этом делаете допущения?
4. Как Вы записываете закон сохранения импульса в данной работе и какие
при этом делаете допущения?
5. Как от высоты подъема маятника перейти к величине его
горизонтального смещения и какие допущения при этом необходимо
сделать?
6. Перечислите все допущения, сделанные при выводе явной зависимости
скорости пули от массы.
7. В каких осях следует строить зависимость скорости пули от ее массы,
чтобы выяснить, подтвердилась ли теоретическая зависимость (9)?
8. Как в данной работе рассчитать оценку стандартного отклонения?
9. Получили ли Вы ожидаемую зависимость скорости пули от ее массы? Что
это означает?
Рекомендуемая литература
1. Савельев И. В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1989. – Т. 1, §16, 22, 24,
25.
2. Ландау Л. Д. и др. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика.
– М.: Наука, 1969. - §3, 11, 23.
1
Лабораторная работа № 3
ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
В данной работе на примере движения маятника Обербека изучается
динамика вращательного движения твердого тела.
Целью работы является сравнение экспериментально полученной
зависимости углового ускорения маятника Обербека от массы груза,
приводящего маятник во вращение, с теоретической.
Описание установки и эксперимента.
Маятник Обербека представляет собой крестовину, имеющую общую ось с
двумя шкивами разных диаметров
1
D и
2
D (см. рисунок). Крестовина и
шкивы соединены между собой жестко. Контакт крестовины со шкивом и
осью, на которую они насажены, осуществляется с помощью
шарикоподшипника. На стержни крестовины надевают одинаковые тела
массы
1
m , которые могут быть закреплены на различных расстояниях
R
от
оси вращения. На шкив наматывается нить, к свободному концу которой
прикрепляется груз массы
m
. Под действием груза нить разматывается и
приводит маятник в ускоренное вращение. Положение груза
m
отмечается по
вертикальной шкале (см. рисунок). Время движения груза измеряется
электросекундомером. За время
t
груз опускается на расстояние
x
.
D
2
D
1
R
x
m
m
1
m
1
m
1
m
1
Маятник Обербека
2
Зависимость углового ускорения маятника
от массы
m
ускоряющего груза.
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела
относительно фиксированной оси вращения имеет вид:
тррез
M
D
TMI
−⋅==
2
ε
, (1)
здесь уравнение выписано в проекции на ось вращения и в нем
I
- момент
инерции маятника Обербека относительно неподвижной оси; ε - проекция
углового ускорения маятника на ось вращения;
рез
M - проекция
результирующего момента всех сил на ось вращения, складывающаяся из
момента силы натяжения нити
T
и момента силы трения
тр
M , тормозящего
вращение шкива.
Силу натяжения нити
T
можно определить из второго закона Ньютона
для массы
m
, имеем в проекции на направление движения груза
m
:
Tmgma
−
=
, (2)
где
a
- ускорение движения массы
m
. С учетом уравнения (2) и
соотношения
2
D
a ⋅= ε , связывающего линейное ускорение
a
с угловым
ускорением ε, из уравнения (1) находим угловое ускорение маятника
Обербека:
4
2
2
D
mI
M
D
mg
тр
⋅+
−⋅
=ε . (3)
Очевидно, что при constM
тр
= (момент сил трения постоянен), вращение
маятника является равноускоренным.
Из полученной формулы видно, что маятник будет вращаться с ε > 0
лишь при выполнении условия:
gD
M
mm
тр
2
0
=>
, (4)
то есть при массе груза
m
, достаточной для того чтобы был преодолен
момент сил трения, препятствующий вращению маятника Обербека.
Формула (3) сильно упрощается при выполнении неравенства:
4
2
D
mI >> , (5)
зависимость углового ускорения ε от массы ускоряющего груза при этом
становится линейной:
I
M
I
mgD
тр
−=
2
ε . (6)
3
Примечание. Если момент сил трения зависит от времени, то вращение
маятника не будет равноускоренным. Возможен случай, когда момент сил
трения пропорционален угловой скорости:
ω⋅+= AMM
тр 0
, (7)
где
A
- коэффициент пропорциональности;
2
00
D
gmM
=
момент сил трения
при ω=0. Заметим, что при
gD
M
mm
тр
2
0
=<
(сравните с с формулой (4))
вращение маятника не происходит. Решая дифференциальное уравнение (3) с
учетом (7) (напомним, что
dt
d
ω
ε = ), можно показать, что угловое ускорение ε
в момент времени
t
дается формулой:
t
D
mI
A
e
D
mI
gDmm
4
2
0
2
)
4
(2
)(
+
−
⋅
+
⋅−
=ε . (8)
Измерение углового ускорения.
Движение маятника можно принять равноускоренным, если считать,
что момент силы трения постоянен constM
тр
= и что нить нерастяжима и не
проскальзывает по шкиву. Используя известную формулу для координаты
тела при равноускоренном движении
2
2
t
ax = , (9)
с учетом соотношения
2
D
a
⋅= ε
, получаем формулу для косвенного измерения
углового ускорения:
2
4
Dt
x
=ε
, (10)
где
x
- высота, с которой опускается груз;
D
- диаметр шкива, на который
намотана нить;
t
- время движения груза. Для расчетов удобно представить
(10) в виде:
2
t
K
=ε
, (11)
где
D
x
K
4
=
и указывается в паспорте установки.
Угловое ускорение ε рассчитывается по формуле (11), то есть по
измеренному времени
t
и заданному значению константы
K
. В данном
случае мы имеем косвенное измерение . Оценка стандартного отклонения
ε
σ производится по формуле:
4
22
2
2
()()
t
K
K
Kt
t
ε
σσ
σ =⋅+. (12)
Задания
1. Произведите трехкратное измерение времени опускания грузов масс
.100гm
=
, г200 , г300 , г400 с одинаковой высоты
x
при двух различных
расстояниях
R
грузов
1
m до оси крестовины. Расстояния
R
задаются
преподавателем.
2. Вычислите значения ε для всех измерений предыдущего пункта.
3. Вычислите оценки стандартных отклонений
ε
σ только для двух значений
ε
- наибольшего и наименьшего, при обоих расстояниях
R
.
4. Постройте зависимость ε от
m
при двух значениях
R
на одном и том же
графике с учетом оценок стандартных отклонений. По полученным графикам
сделайте оценки момента сил трения и момента инерции маятника Обербека.
5. Проверьте, используя оценку момента инерции
I
в п. 4, выполнение
неравенства
4
2
D
mI >> , при котором справедлива линейная зависимость
углового ускорения от массы
m
ускоряющего груза, для различных значений
массы
m
из п. 1..
Контрольные вопросы.
1. Что и как предстоит измерять в работе? Какая теоретическая зависимость
проверяется? Какой вид имеет график теоретической зависимости?
2. Как направлены векторы угловой скорости
ω
r
и углового ускорения
ε
r
в
случае ускоренного движения?
3. Как Вы записываете уравнение динамики вращательного движения
маятника в данной работе?
4. Как вычислить силу натяжения нити?
5. Перечислите все допущения, при которых получена линейная зависимость
углового ускорения ε от массы
m
.
6. При каких условиях движение маятника можно считать равноускоренным?
7. Как по графику линейной зависимости (6) ε от
m
оценить момент
инерции маятника Обербека и момент сил трения?
8. Как в данной работе рассчитать оценку стандартного отклонения
величины ε ?
9. Подтверждается ли линейная теоретическая зависимость (6) углового
ускорения ε от массы ускоряющего груза
m
?
1
Лабораторная работа № 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
Расчет момента инерции маятника Обербека производится на основе закона
сохранения энергии.
Целью работы является сравнение экспериментально полученной
зависимости момента инерции маятника от расстояния R грузов,
закрепленных на стержнях маятника, до оси вращения с теоретической.
Описание установки и эксперимента см. в лабораторной работе №3.
Зависимость момента инерции маятника от расстояния грузов до оси
вращения
Момент инерции маятника можно представить в виде суммы моментов
инерции крестовины со шкивами и четырех тел (грузов), закрепленных на
стержнях на расстоянии R от оси вращения.
Согласно теореме Штейнера момент инерции груза I
гр
= I
0
+ mR
2
, где I
0
-
момент инерции груза относительно его оси симметрии. Если размеры
закрепленных на стержнях тел малы по сравнению с R, то можно пренебречь
I
0
и зависимость момента инерции маятника от расстояния грузов до оси
вращения представить в виде
I = I
кр
+ 4mR
2
(1)
Измерение момента инерции маятника
Закон сохранения энергии для маятника можно представить следующим
выражением:
α
ω
тр
M
mVI
Mgx ++=
2
2
22
(2)
Здесь момент силы трения М
тр
предполагается постоянным; mgx –
изменение потенциальной энергии опускаемого груза;
2
2
ωI
- кинетическая
энергия (энергия вращения) маятника;ω - угловая скорость маятника;
2
2
mV
-
кинетическая энергия опускаемого груза:V - линейная скорость опускаемого
груза;
α
тр
M
- величина потерь энергии, обусловленная трением; α - угловой
путь маятника.