Лабораторные работы по курсу общей физики (2-я Редакция 2012 г.)

Подождите немного. Документ загружается.

С вероятностью 1 - Р истинное значение может оказаться и вне

доверительного интервала (5), поэтому запись интервала обязательно

следует сопровождать указанием доверительной вероятности Р .

Допустима форма записи

...P;t(P)xxt(P)x

1ИСТ1

⋅

≤

⋅

−

(6)

Значения

t(P)

, отличные от 1,2,3, и соответствующие значения P могут быть

выбраны по таблице в [2]. Рекомендуется результат записывать для P =

0,95, т.е. выбирать доверительный интервал ± 2σ .

Однократными измерениями, как прямыми, так

и косвенными (см. п. 3.4.1), можно ограничиться во

всех лабораторных работах данного практикума (за

исключением вводного занятия). Среднеквадратичные

отклонения измеряемых величин указаны на

пояснительных табличках к каждой лабораторной

работе. Если характеристики погрешности не

указаны, то оценка σ производится по цене деления

шкалы

. Принято считать, что для шкалы с ин-

тервалом между штрихами I мм, рассматриваемой с

расстояния наилучшего зрения 250 мм, погрешность

отсчета равна 0,3÷ 0,5 деления, т.е. в единицах

измеряемой величины σ ≈ (0,3 ÷ 0,5)

С .

3.3.2 Прямые многократные измерения. Если

СКО измеряемой величины неизвестно, то его можно

определить многократными, т.е. повторяющимися

измерениями. Этот метод и используется во вводном

лабораторном занятии. Расчётной оценкой

математического ожидания µ является выборочное среднее

, а оценкой σ –

выборочное СКО s :

∑

x(1/n)x ;

∑

−

)xx(

(7)

Многие из инженерных калькуляторов имеют режим статистических

вычислений (STAT), существенно упрощающий вычисления по формулам

(7).

При

∞

→n

→x

, а

→s

. Поэтому, казалось бы, можно по

аналогии с (5) записать доверительный интервал

st(P)xx

ИСТ

⋅

; Р = …

Однако при любом конечном числе измерений выборочное СКО может

оказаться как больше, так и меньше неизвестного σ . Второй случай - самый

опасный: при подстановке s вместо σ преуменьшается ширина

доверительного интервала. Заданную доверительную вероятность

обеспечивают, расширяя интервал путём замены коэффициентов t(P) на

коэффициенты Стью дента (табл. 2) t(P,n) > t(P). Из таблицы видно, что,

Таблица 2

0,9

0,95

0,99

0,997

t(P,n)

2 6,3

12.7

63,6

212,3

3 2.9

4,3 9,9 182

4 2,4

3,2 5,8 9,0

5 2,1

2,8 4,6 6,4

б 2,0

2,6 4.0 5.4

7 1.9

2,4 3.7 4,8

8 1,9

2,4 3,5 4,4

9 1.9

2,3 3.4 4,2

1,8

2,3 3,2 4.0

1,8

2,1 3,0 3,6

1.7

2,1 2,9 3,4

1,7

2,0 2.8 3,2

1,7

2.0 2,7 3.1

например, t(P=0,95; n) ≈ t(P) только при n ≥ 30, т.е. только при таком числе

измерений s незначительно отличается от σ . С другой стороны, для

сужения интервала, т.е. для уточнения оценки µ используют то, что

выборочное среднее

в (7) зависит от суммы случайных нормально

распределённых результатов измерений

x и потому само является

случайной нормально распределённой величиной со среднеквадратичным

отклонением среднего

σσ = ,

∞

→n

, 0

→

Это означает, что, хотя от измерения к измерению единичные результаты

"прыгают" в среднем на σ, разброс выборочных средних от выборки к

выборке по n случайных измерений уменьшается с ростом n, что и позволяет

сузить доверительный интервал, проводя многократные измерения.

Уменьшение случайного разброса путём усреднения многократных

измерений широко используется в цифровых приборах.

Используя коэффициенты Стьюдента и переходя к выборочному СКО

среднего значения, окончательно запишем доверительный интервал для

результата многократных измерений

...P;n/sn)t(P,xx

ИСТ

=⋅±== µ (8)

3.4 Косвенные измерения. При косвенных измерениях физическая

величина вычисляется по формуле через величины, полученные в прямых

измерениях. Даже простые линейные измерения, являются, вообще говоря,

косвенными, т.к. измеряемый размер L вычисляется из двух координат,

начальной

x и конечной

x , по формуле

НК

xxL

−

Если физическая величина y вычисляется по формуле

c...)

f(a,

через нормально распределённые величины a, b, c … с СКО ...,,

cba

полученные в прямых измерениях, то y также распределена нормально с СКО

...)

()

(

cbay

∂

222222

σσσσ (9)

3.4.1 Однократное косвенное измерение. Пусть измерены значения

...c,b,a

111

величин a, b, c … Тогда доверительный интервал

ИСТ

...P;t(P)...)cb,f(a,y

yИСТ

⋅

(10)

Значения P и t(P) см. в (3), а

вычисляется по (9).

4. Предварительная подготовка к выполнению лабораторных работ

1. Ознакомьтесь с теорией вопроса, изложенной в описании лабораторной

работы и в указанной к ней литературе.

2. Найдите ответы на контрольные вопросы: цель эксперимента, принцип

действия измерительной установки; какие величины непосредственно

измеряются, какие вычисляются, какую теоретическую зависимость вы

ожидаете получить.

3. Заготовьте титульный лист отчета о лабораторной работе и эскизы таблиц,

необходимых в отчете по данной работе.

4. На лабораторном занятии получите у преподавателя разрешение

выполнять работу. Для этого необходимо: а) ответить на контрольные

вопросы; б) уточнить объем измерений и форму таблицы результатов

измерений.

5. Оформление результатов лабораторных работ

1. В таблицу приборов для каждого прибора должны быть записаны

наименование (например, вольтметр), тип, предел измерений (в единицах

измеряемой величины), число делений (для стрелочного прибора), цена

деления (видимая - для цифрового прибора, расчетная - для стрелочного),

а также одна из мер погрешности прибора – абсолютная или

относительная погрешность (во 2-м семестре – класс точности прибора).

2. В таблицу результатов измерений первичные данные следует заносить

"как вижу", например, числом делений, без пересчета в уме в другие

единицы, неизбежно ведущего к ошибкам. Для последующих

промежуточных расчетов рекомендуется предусмотреть в таблице одну

или несколько позиций.

3. С целью сохранения точности рекомендуется в промежуточных

результатах оставлять на 1-2 значащих цифры больше, чем в первичных

данных. Значащими цифрами являются все цифры, кроме нулей впереди.

4. Окончательное значение измеряемой величины записывают в виде

доверительного интервала (5), (8) или (10)

5. ...P;Ax

ИСТ

∆

. (11)

6. Границы интервала ∆ указываются двумя значащими цифрами, если

первая из них равна 1 или 2, и одной, — если первая цифра есть 3 и более.

При такой записи погрешность округления любого результата не

превышает 3,5 %.. Если у округляемого числа первая отбрасываемая

цифра ≥ 5, то последняя оставляемая увеличивается на единицу [3].

Например, результат расчета А = 62,7 с; ∆ = 4,5 с. Тогда при округлении ∆

до одной цифры окончательное значение доверительного интервала x

ИСТ

= (63 ± 5) с, Р = …

7. Числовой результат следует представлять в стандартном виде

aa 10⋅= ,

где целое число n - порядок числа а, а основа числа

a находится в

промежутке [I; 10] , например, е = 1,6021⋅10

Кл; с = 2,9979-10

мс

-1

6. Построение графиков

1. График строится на миллиметровой бумаге.

2. По горизонтальной оси обычно откладывают аргумент, а по вертикальной

его функцию. Для проверки теоретических зависимостей подбираются

такие переменные, чтобы получить график в виде прямой линии.

Например, график функции

axy = можно построить в переменных

x,y

или x,y .

3. У осей должны быть проставлены обозначения и единицы размерности

соответствующих величин. Масштабы по осям должны быть а) простыми

(0,1 ед/см; 0,5 ед/см и т.д..), чтобы при построении не производить

сложных вычислений; б) такими, чтобы размеры гистограммы по

вертикали и по горизонтали относились примерно как 1:1 илп 1:1,5, а

экспериментальные точки не сливались друг с другом. По осям

откладываются только масштабные единицы, а точки с координатами (x,

y), полученными в эксперименте, наносятся на график.

4. К каждой экспериментальной точке (x, y) пристраивается доверительный

интервал ± ∆ по оси y . Рекомендуется все доверительные интервалы

вычислять при одном и том же значении доверительной вероятности.

5. В поле рисунка или под ним указать условия, параметры измерений

данного графика и доверительную вероятность.

7. Задание к вводному занятию

1. Измерить время столкновения шаров n = 50 раз.

2. Построить гистограмму результатов измерений.

3. Графически оценить полуширину на полувысоте (ПШПВ) гистограммы.

4. По формулам (7) рассчитать выборочные среднее и СКО а) для любых

трёх результатов измерений; б) для n = 50.

5. Оценить относительное отклонение ПШПВ от СКО(n = 3) и СКО(n = 50).

6. Записать доверительный интервал для математического ожидания

времени соударения шаров по формуле (8) а) для n = 3; б) для n = 50.

7. Выбрав масштаб и начало отсчёта на миллиметровке, изобразить

полученные доверительные интервалы в виде отрезков.

8. Сделать вывод о связи числа измерений с точностью определения

истинного значения измеряемой величины.

8. Контрольные вопросы к вводному занятию

1. Объясните принцип построения гистограммы.

2. Что такое относительная частота? Чему равна сумма всех относительных

частот?

3. Как по функции плотности вероятности графически определить

вероятность попадания результата измерений в интервал x, x + dx ?

4. Чему равна площадь под кривой функции плотности вероятности?

5. Запишите функцию нормального распределения, нарисуйте её график и

укажите графически её характерные параметры.

6. Что такое математическое ожидание распределения? Какая выборочная

величина является наилучшей оценкой матожидания?

7. Как изменится график функции распределения, если а) возрастёт

случайная погрешность; б) изменится (уменьшится, увеличится)

матожидание распределения, т.е. появится систематическая погрешность?

8. Запишите формулу доверительного интервала для однократного прямого

измерения при а) P ≈ 0,68; б) P ≈ 0,95

9. Что такое среднеквадратичное отклонение среднего значения

многократных измерений и как оно изменяется с увеличением числа

измерений?

Список литературы

I. ГОСТ 8.207-76 Прямые измерения с многократными наблюдениями.

Методы обработки результатов наблюдений. - М.: Изд-во стандартов, 1977.

2. ГОСТ Р 50779.21-96 Статистические методы. Правила определения и

методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. - М.:

Изд-во стандартов, 1996. - Ч.1. Нормальное распределение .

3. СТ СЭВ 543-77. Числа. Правила записи и округления. - М.:

Изд-во стандартов, 1977.

4. Новицкий II.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов

измерений. -Л.: Энергоатомиздат, 1985.

5. Лавренчик В.Н. Постановка физического эксперимента и статистическая

обработка его результатов. - М.: Энергоатомиздат, 1986.

Лабораторная работа № 1

ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕНИ СОУДАРЕНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ

В данной работе проводится измерение времени упругого соударения двух

одинаковых стальных шаров с помощью электросекундомера.

Целью работы является сравнение экспериментально полученной

зависимости времени соударения шаров от диаметра шара с теоретической.

Описание установки и эксперимента

Два металлических шара, радиусы и массы которых одинаковы, подвешены

на проводящих нитях (см. рис.1 Вводного занятия). Один шар отводится в

сторону до соприкосновения с электромагнитом. При отключении

электромагнита с помощью тумблера «ПУСК» шар 1 падает и происходит

соударение. При этом замыкают электрическую цепь. В процессе соударения

в цепи протекает импульсный ток. В цепь генератора импульсов включен

счетчик импульсов (микросекундометр). Время прохождения импульсного

тока в цепи считается временем соударения (удара) шаров.

Зависимость времени удара от размера шара

В лабораторной системе отсчета шар 1, падая с высоты h, к моменту

соударения получает импульс mV

. Заметим, что шар 1 всегда поднимается

на одинаковую высоту. Тогда V

= gh2 = const. Шар 2 до соударения

находится в покое. Из законов сохранения импульса и энергии для

центрального упругого удара следует, что после соударения шар 1

остановится, а шар 2 получит импульс mV

. Шары, имеющие одинаковые

массы и радиусы, обменяются импульсами. Изменение импульса шара 2 за

время соударения ∆P

=mV

Время соударения шаров по второму закону Ньютона

τ = ∆P

/<F

> (1)

где <F

> - средняя упругая сила, с которой первый шар действует на второй.

Для определения F рассмотрим соударение шаров в системе центра

инерции (СЦИ), называемой также системой центра масс, т.е. в

инерциальной системе отсчета, в которой суммарный импульс шаров до и

после взаимодействия равен нулю. В такой системе отсчета импульсы шаров

до и после соударения равны по величине и противоположны по

направлению. До соударения шары движутся навстречу друг другу, после –

разлетаются в противоположные стороны. Скорость движения СЦИ

необходимо выбрать равной половине скорости первого шара V = V

/2. Закон

сохранения импульса в СЦИ имеет вид

+ Р

= Р

+ Р

= 0 (2)

где Р

= Р

= mV

Шары взаимодействуют друг с другом с упругими силами, равными по

величине и противоположными по направлению.

Процесс упругого соударения шаров в СЦИ можно представить в виде

следующих двух этапов:

1) на первом этапе оба шара одновременно тормозятся и упруго

деформируются, пока кинетическая энергия шаров полностью не

превратится в энергию упругой деформации;

2) на втором этапе величина деформации X уменьшится до нуля, энергия

упругой деформации превращается в кинетическую энергию шаров.

Закон сохранения механической энергии для первого этапа соударения

шаров

(mV

/4) = 2<F>X

, (3)

где X

– максимальная величина продольной деформации, одинаковая для

каждого из шаров.

Средняя величина упругой силы из (2), (3)

<F> = mV

/8X

(4)

Тогда время соударения шаров из (1), (4)

τ = 8X

(5)

Из (5) следует, что τ пропорционально X

Из рис.1 видно, что X

зависит от радиуса шара R: X

= 2R sin

= D sin

Для определения зависимости x

от R рассмотрим сначала грубую

физическую модель, в которой шар диаметром D заменен телом кубической

формы (рис. 2).

D D

Рис. 1 Рис.2

D = 2R

Считаем, что при упругом соударении тел упругая сила пропорциональна

величине деформации (закон Гука)

F/S = E(X/D) (6)

где Е – модуль Юнга; S = D

– площадь соприкосновения тел.

Средняя величина упругой силы равна половине максимальной

<F> = F

/2 = EDX

/2 (7)

Заменяя m = ρD

, из (4), (7) получим

m 0

2/1













(8)

где ρ – плотность тела.

Время соударения тел из (5), (8)

τ = 4(ρ/E)

1/2

D (9)

При упругом сжатии шаров закон Гука не выполняется (см. Приложение 1),

поскольку в этом случае наряду с продольной деформацией происходит еще

увеличение площади соприкосновения шаров. Кроме этого, имеют место

поперечные деформации шаров. В данном случае зависимость F от X

является нелинейной. Однако для стальных шаров так же, как и для тел

кубической и цилиндрической формы, максимальная величина продольной

деформации Xτ

пропорциональна размерам тел. Это приводит к линейной

зависимости времени соударения стальных шаров от их диаметра (5)

τ = AD (10)

где А – коэффициент пропорциональности, зависящий от ρ, Е, V

Полученную зависимость (10) τ от D проверяем экспериментально, измеряя

время соударения шаров микросекундометром. Значения диаметров шаров

приведены в паспорте установки.

Задания

1) Произведите измерения времени соударения четырех пар шаров (по 10

измерений для каждой пары).

2) Представьте зависимость времени соударения шаров в виде графика τ от

D с учетом значения величины σ

, найденного Вами на вводном занятии.

Результаты измерений и расчеты в данной работе удобно оформить в виде

следующей таблицы:

<τ>

τ = <τ> ± σ

мм мкс мкс мкс мкс

*В последнем столбике таблицы наименьший разряд значения величины

должен совпадать с разрядом значения величины σ

Контрольные вопросы

1. Какова цель данной работы?

2. Как в данной работе измеряется время соударения шаров?

3. Что такое система центра инерции?

4. Как записывается в данной работе закон сохранения импульса?

5. Как записыается закон сохранение энергии и какие при этом

принимаются допущения?

6. Перечислите все допущения, принятые при выводе теоретической

зависимости времени соударении шаров от их диаметров.

7. Получите зависимость τ от D при упругом соударении двух сплошных

цилиндров, радиусы которых равны радиусу шара, а длина – диаметру шара,

в случае ,если цилиндры ударяются торцевыми поверхностями.

8. Получили ли Вы ожидаемую зависимость времени соударения шаров

от их диаметров? Что это означает?

Для изучения этой темы рекомендуется учебник:

Савельев И. В. Курс общей физики: - М.: Наука, 1989. – Т. 1 - § 13,16,23,25.

Приложение 1

При упругом статическом сжатии одинаковых стальных шаров закон Гука не

выполняется и упругая сила F нелинейно зависит от величины продольной

деформации

F≈ 1.47 E R

1/2

3/2

(1)

Из (1) следует, что F растет быстрее, чем величина деформации; это случай

так называемой системы с жесткой характеристикой.

Кинетическая энергия шаров в СЦИ, равная mV

/4 , на первом этапе

соударения переходит в энергию упругой деформации

∫

Fdx

(2)

Из (1) и (2) следует

2/52/1

18.1

XER

Подставляя

Rm πρ=

найдем X

≈ 0.95 (ρ/E)

2/5

4/5

R. Время

упругого соударения шаров

τ = 8(X

) = 7.6 (ρ/E)

2/5

-1/5

R (3)

Из (3) видно, что для проверки справедливости приближения (1)

недостаточно исследования зависимости τ от R. Для этой цели, по крайней

мере, надо измерить зависимость τ от V

= (2gh)

1/2

при постоянных

значениях R,E,ρ.