Курахтина Г.С. Общая электротехника: Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Ток ,

I равный

, будет током реактивным, отстаю-

щим по фазе от напряжения на четверть периода:

. Ток

I =

также реактивным током, но

будет опережающим

напряжение четверть периода, т. е. на

. Изобразим эти

токи на векторной диаграмме (рис. 2.37, б).

Чтобы найти общий ток, надо сложить три тока:

II , и

I . Для этого найдем вначале общий реактивный ток, который в

общем случае равен разности индуктивного и емкостного токов:

CLp

III

−

Рис. 2.37

Теперь ясно, что общий ток как гипотенуза прямоугольного треугольника, равен

I +

Для расчета цепи при параллельном соединении потребителей используют введен-

ное понятие об активных и реактивных токах. Для этого в каждой ветви находят сле-

дующие величины:

iCLii

XXRz

∑

∑∑∑

=ϕ=ϕ−+= sin,cos,)()(

После этого можно найти токи в ветвях и их активные и реактивные составляющие:

iipiiiai

IIII

I ϕ=ϕ==

sin,cos,.

Затем найдем общий активный ток как арифметическую сумму активных токов от-

дельных ветвей:

anaaa

IIII

....

Общий реактивный ток равен алгебраической сумме токов отдельных ветвей:

pnppp

IIII

....

Теперь можно найти и общий ток:

III +=

2.1.17. Проводимости в цепях переменного тока

Из закона Ома для постоянного тока известно, что ток прямо пропорционален при-

ложенному напряжению и проводимости цепи. Это положение це именимо и к ликом пр

переменному току. Общий ток определяется как

UyI

где

– полная про дво имость.

Активный ток вычисляется по формуле

UgI

где – активная проводимость.

Реактивный ток определяется как

UbI

где – реактивная проводимость. b

Из этого следует, то общий ток и его активная и реактивная составляющие прямо ч

пропорциональны напряжению, приложенному к соответствующим проводимостям.

Установим соотношения между сопротивлениями и проводимостями:

I ==

, или

; ;cos

I ==ϕ=

;sin

===ϕ=

или

g ==

b ==

222

XRZ +

222

XRZ +

Интересно отметить, что при xR

< с ростом активного сопротивления активный

ток растет, что видно из формулы

UUgI

При xR реактивный ток растет при увелич реактивногоении сопротивления, >>

что видно из формулы

UUbI

Если каждую сторону треугольника токов разделить на на-

пряжение, то получим треугольник проводимостей (рис. 2.38).

Из еугольника проводимостей имеем тр

.,,

222222

gybbygbgy −=−=+=

При расчете цепи методом проводимостей активную проводимость цепи находят

как арифметическую

Рис. 2.38

сумму проводимостей отдельных ветвей, реактивную проводи-

мость – как алгебраическую сумму проводимостей ветвей. Полную проводимость под-

считывают по формуле

bgy += .

2.1.18. Резонанс токов

Резонанс токов, как и резонанс напряжений, возникает в электрической цепи при

равенстве энергий магнитного и электрического полей:

CULI

В данном случае действие магнитного поля полностью скомпенсировано действием

элект отсутс ует обмен энергией между источником и рического поля. В результате этого тв

потре т по фазебителем, ток и напряжение совпадаю , 0,1cos

, т. е. цепь носит чисто

активный характер. Резонанс напряжений возникает в цепи, в которой участки, сосредо-

точивающие магнитное и электрическое поля, оединены последовательно. Резонанс же с

токов возникает в цепи, когда эти участки соединены параллельно, в результате чего при

подхо я по-разному. де к резонансу токов и напряжений цепи ведут себ

При подходе к резонансу напряжений ток в цепи растет, и в момент резонанса он

достигает наибольшего значения.

При подходе к резонансу токов общий ток в цепи уменьшается, и в момент резо-

нанса он достигает наименьшего значения.

При подходе к резонансу напряжений общее сопротивление цепи уменьшается, и в

момент резонанса оно достигает минимума. При подходе в резонансу токов общее со-

противление цепи растет, и в момент резонанса оно достигает максимума.

2.1.19. Резонанс токов в идеальном контуре

Схема идеального контура, т. е. электрической цепи

без п 9. отерь ( 0=R ), приведена на рис. 2.3

Токи в ветвях находим по формулам

I == ,

Пусть

XX > . Это означает, что

, мощность

магнитного ше электриче- поля (

P )

UI= мень мощности

Рис. 2.39

ского поля )(

UIP = .

Общий ток равен разности токов I

−

(рис. 2.40, а).

Если уменьшать то ток будет расти. При

X ,

токи и станут рав-

ными ( ). Это же ойдет с мощностями и еского полей.

II =

произ и магнитного электрич

В цепи пит резонанс токов. Общий т , равный токов , станет разности )(

− насту ок

равны

то

общий ток, равный разности токов

м нулю (рис. 2.40, б).

Если продолжать уменьшать ток

I будет расти, при этом начнет расти и

X ,

: I

−

(рис. 2.40, в).

а б в

Рис. 2.40

ов происходит следующее: с ростом напряжения конденсатор

заряжается, ток в конденсаторе уменьшается. При

Исходя из данного примера можно сделать вывод, что при подходе к резонансу то-

ков бщий ток уменьшается, следовательно, общее сопротивление растет. В момент ре-

зонанса общий ток достиг нуля (в идеальном контуре), следовательно, общее сопротив-

ление достигает наибольшего значения (в идеальном контуре оно равно бесконечности).

При резонансе ток

ток станет равным нулю, энер-

гия электрического поля достигнет максимума:

Затем напряжение, изменяясь по закону синуса, уменьшится. Конденсатор начнет

разряжаться через индуктивность. По мере уменьшения напряжения электрическое поле

будет убывать, ток – расти. Будет расти и энергия магнитного поля. При ток ста-

нет максимальным (

0=U

). Энергия магнитного поля достигнет максимума

⎟

⎠⎝

а энергия электрического поля станет равной нулю. Вслед за этим ток начнет умень-

шаться. Возникающая ЭДС самоиндукции стремитс ь ток, протекающий в

том же направлении, и конденсатор начнет заряжаться. По мере того, как уменьшается

ток, напряжение будет расти, а конденсатор станет заряжаться. При этом энергия элек-

трического поля растет, а энергия магнитного поля убывает. При

⎞

⎜

⎛

я поддерживат

ток равен нулю.

Энергия электрического поля достигнет максимума

⎟

⎠

⎜

⎝

, а магнитного поля не будет.

Посл

⎞⎛

е этого процесс повторится. В данном случае происходит непрерывное преобразо-

вание электрического поля в магнитное и наоборот, что и является формой существова-

ния электромагнитного поля.

2.1.20. Резонанс токов в реальном контуре

Реальный контур изображен на рис. 2.41. Такой контур содержит активное сопро-

тивление в индуктивной ветви, а также сопротивление R

L C

в емкостной цепи.

Резонанс возникает при равенстве энергий магнитного

и эле равенствуктрического полей, что соответствует

т. е. откуда При ре нансе токо

UIUI =

II =

. зо в равны

реактивные токи катушки индуктивности и конденсатора.

Обычн онансных контурах а ое сопротивле-о в рез ктивн

ние катушки тивности значительно больше активного

Рис. 2.41

индук

сопротивления тора, вследствие чего активный ток кат конденса ушек индук и

тивност

больше активного тока конденсатора С другой сто-

роны, реактивное сопротивление кату больше ее ак-шки

тивного сопротивления ультате чег реактивные , в рез о

токи

I и

I больше активных токов ветвей (рис. 2.42).

Так как реактивный ток цепи, определя зностью емый ра

реактивных токов в ветвях

)( III

, равен нулю, то

CLp

−

Рис. 2.42

общ ток цепиий

apa

IIII =+=

будет чисто активным

и рав е активных тоным сумм ков ветвей:

aaa

IIII

Наличие активного тока в цепи означает поглощение контуром электрической энер-

гии, которая преобразуется в тепло на активных сопротивлениях контура. Благодаря не-

прерывному возмещению потерь энергий в контуре за счет энергии источника в реальном

контуре происходит непрерывный процесс преобразования энергии магнитного поля в

электрическое, т. е. поддерживается непрерывный колебательный процесс.

2.1.21. Резонансное сопротивление контура

Сопротивление контура току источника называется резонансным сопротивлени-

ем

z . Величина его будет найдена из уравнения

z = .

При резонансе общий ток является активным : током

2a1

III

Он практически равен активному току катушки индуктивности из-за малой вели-

чины активного тока конденсатора, из чего следует:

a1a

z ==

В свою очередь,

11a1

cos

II ,

где

cos;

=ϕ=

Следовательно,

)ω

(

cos

===

Ранее указывалось, что

меньше L

, поэтому

значительно меньше . Не

)( Lω

будет большой ошибки, если величиною

в последнем равенстве пренебречь. Тогда

)(ω

= .

Это и есть одна из формул, по которой можно подсчитать резонансное сопротивле-

ние контура, обозначаемое в радиотехнике через

R .

Следует подчеркнуть, что словием резонанса токов является равенство реактив-у

ных токов в ветвях ), н (

II = о это не означает равенства реактивных сопротивлений

ветвей

X и

X .

Действительно, если

sin

=I I

sin

2211

sinsin

I =

I = ,

sin

= , ϕ

то

sin

=ϕ ,

2211

zzzz

XUXU

т. е. условием резонанса токо является равенство в

. Знаменатели в последнем

равенстве не равны, так как всегда в момент резонанса

II > (рис. 2.42). Следовательно,

zz > . Если знаменатели

z и

z не равны, то это обусловливает неравенство числите-

лей

X и

X .

2.1.22. В (лияние коэффициента мощности

cos ) на испо

атора, трансформатора)

льзование мощности ис-

точника электрической энергии (генер

Каждая электрическая машина характеризуетс своей мощностью, которая называ-я

ется номинальной мощностью.

Номинальная мощность определяется наибольшей допустимой температурой на-

грева, обусловленной потерями энергии в самой машине (в магнитопроводе и обмотках).

Потери энергии в магнитопроводе машины вызываются вихревыми токами и гистерези-

сом. Эти потери зависят от величины магнитного потока машины, а магнитный поток

определяется напряжением.

Потери в обмотках машины пропорциональны квадрату тока. Таким образом, потери в

машине, а следовательно, и ее температура определяются величиной ее напряжения и тока и

не зависят от угла сдвига фаз между ними. Отсюда и введены понятия номинального тока и

номи тельно-допустимые величины для д й нального напряжения U – это наибольшие дли

анно

машины. Номинальная мощность и есть произведение номинального напряжения на номи-

нальный ток, а это будет полная, или кажущаяся, мощность )(

HHH

UIS

, измеряемая в ВА.

Полное использование мощности генератора (трансформатора) возможно при его

работе с номинальным напряжением, номинальным током и при , так как в этом ϕcos

случае он развивает наибольшую активную мощность, равную кажущейся мощности:

HHHHH

cos SIUIUP

= .

В этом случае генератор вырабатывает и отдает наибольшее длительно-допустимое

количество энергии. При

ϕcos

< 1 и номинальном токе генератор дает энергии меньше,

чем он мог бы дать. Больше энергии он не может дать, так как для этого надо увеличить

ток (который станет больше номинального), что приведет к перегреву генератора. При

1cos <ϕ в составе тока ора, помимо активной составляющей , которая и уча-генерат

ствует в преобразовании электрической энергии в другой вид энергии, есть еще реак-

тивны й твует в преобразовании электрической энергии в другой й ток

I , которы не учас

вид энергии, но нагревает соединительные провод обмотку генератора. Наличие этого а и

тока вызывает неоправданные потери энергии в проводах и генераторе.

Чтобы полностью использовать генератор, электростанцию, сети, надо разгрузить

их о , нот реактивного тока реактивный ток необходим двигателям и аппаратам, ибо он

обусловливает наличие в них магнитного потока, без которого машины и аппараты ра-

ботат очником реактивного тока лучше использовать не генератор и ь не могут. Ист

трансформатор, а другое устройство, которое не вырабатывает электрическую энергию.

Устанавливать это устройство надо вблизи потребителя реактивного тока, благодаря че-

му от реактивного тока будет разгружена и линия электропередач. Такими устройствами

являются конденсаторы и синхронные компенсаторы.

Если бы ток такого конденсатора был равен реактивному (индуктивному по- ) току

треби инд по то актеля, то общий ток конденсатора и уктивного требителя был бы чис тив-

ным, только он поступал бы от генератор через сеть к данным потребителям. Устаноа вка

работала бы с коэффициентом мощности, равным единице, что позволило бы использо-

вать электростанцию и сеть на полную мощность

2.2. Трехфазный ток

2.2.1. Общие понятия

В предыдущем разделе рассмотрена теория однофазной системы (однофазного то-

ка), в которой имеется только один источник электрической энергии. Однофазные сис-

темы (однофазный ток) применяются для питания только маломощных потребителей.

Кроме однофазной сис -темы применяются многофазные системы, в которых имеет

ся не ов энергии. х ЭДС имеют ую частоту и укоторое число источник И одинаков амплит -

ду, но сдвинуты по фазе на определенную часть периода.

Наибольшее применение по трехфазные системы. В настоящее время элек-лучили

трическая энергия повсеместно производится, передается и потребляется преимущест-

венно как энергия вается система, со-трехфазных систем. Трехфазной системой назы

стоящая из трех электрических сдвинуты по фазе на цепей одной частоты, ЭДС которых

одну треть периода. ЭДС одинаковой Применяются только симметричные системы с

амплитуды. Каждая отдельная цепь трехфазной системы фазой. Трехфазная называется

система обладает следующими достоинствами:

1) обеспечивает экономию проводниковых материалов (по весу – до 50%) по

сравнению с однофазной системой;

2 к о) позволяет создать руг вое вращающееся магнитное поле;

3) использовать самые совершенные по конструктивным и эксплуата- позволяет

ционным свойствам электродвигатели.

2.2.2. Трехфазный генератор. Трехфазная ЭДС

Электрическая энергия вырабатывается трехфазными генераторами, состоящими

из трех однофазных генераторов, ЭДС которых имеют одинаковую частоту и амплитуду,

но сдвинуты по фазе на одну треть периода.

Трехфазный генератор конструктивно представляет одну машину, но может рабо-

тать так, как три самостоятельных однофазных генератора.

Из теории однофазного переменного тока известно, что если проводник (рамку)

вращать с постоянной скоростью в равномерном магнитном поле, то в нем будет индук-

тироваться синусоидальная ЭДС. То же самое происходит и при неподвижной рамке но ,

вращающемся магнитном ле (что конструктивно проще). по

В трехфазном генераторе имеются три одинаковые рамки (обмотки), расположен-

ные в пространстве под углами 120º относительно друг др екающиеся одним уга и перес и

тем же вращающимся магнитным полем, благодаря чему в обмотках индуктируются си-

нусоидальные ЭДС, сдвинутые по фазе на одну треть периода. ЭД ндуктируемые в С, и

фазах (обмотках) трехфазного генератора, называются фазными ЭДС и могут быть запи-

саны равнениями у

;sin tEe

ω= )240sin();120sin( −ω=−ω= tEetEe

mCmB

ЭДС

e ,

e изображены графически (рис. 2.43) и векторно (рис. 2.44), что со-

ответствует записи в комплексной форме:

2401200

ФC

ФB

ФA

eEEeEEeEE

−−

===

Рис. 2.43 Рис. 2.44

Каждая отдельная обмотка трехфазного генератора является самостоятельным ис-

точником и сокращенно называется фазой генератора.

2.2.3. Несвязанная трехфазная система

На электрической схеме трехфазный

генератор условно принято изображать в

виде трех обмоток, расположенных под

углом 120° относительно друг друга в ви-

де звезды или треугольника (рис. 2.45).

Каждая обмотка (фаза) генератора имеет

начало и конец. Принято обозначать нача-

ло первой фазы буквой А, ее конец – бук-

вой Х ало второй фа-. Соответственно, нач

зы обозначают буквой В, конец – буквой Y.

Начало третьей фазы – буквой С, конец –

буквой Z.

Как уже указывалось, каждая фаза трехфазного генератора может являться сам

Рис. 2.45

о-

стоятельным источником электрической энергии. К каждой из фаз могут быть подклю-

чены свои потребители.

Изображенная на рис. 2.46 система назы-

вается несвязанной трехфазной системой. Токи

в фазах трехфазной системы определяются ра-

венствами

,,,

I ===

где Z , –

CBA

ZZ , сопротивления фаз (сопротив-

ления фазы генератора, соединительных прово-

дов и потребителя);

CBA

III ,, – токи в этих фазах.

Несвязанная трехфазная система позволяет

Рис. 2.46

получить круговое вращающееся маг-

нитное поле, однако не имеет других преимуществ перед однофазной системой. Поэто-

му она практически не используется.

2.2.4. Четырехпроводная трехфазная система

Работа системы (потребителей) не изменяется,

если три обратных провода заменить одним (рис. 2.47).

В этом случае токи будут определяться прежними ра-

венствами

.,,

I ===

Другими словами, замена трех проводов одним

обратным проводом не изменила величин токов в по-

требителях. Полученная система называется четырех-

проводной трехфазной, которая имеет преимущества, отмеченные выше, перед однофаз-

ной системой. В полученной системе приняты следующие названия и обозначения:

1. Точка, в ко

Рис. 2.47

торой объединены концы фаз генератора, обозначается буквой О

и называется нулевой точкой . Соответственно, имеется нулев точка потре- генератора ая

O . бителя

2. Про од ое иняющий нулевые точки генератора и потребителя, называется ну-в , с д

левым проводом.

3. Ток нулевого провода равен геометрической сумме фазных токов:

CBAo

IIII

••••

++=

4. Провод, соединяющий начало фазы генератора с потребителем, называется ли-

нейным проводом.

5. Ток в линейном проводе называется линейным током.

6. Ток в обмотке (фазе) генератора и ток в фазе потребителя называются фазными

токами.

7. Напряжения между линейными провод нулевым проводом ами и называются

фазными напряжениями:

CCBBAA

UUUUUU

ϕϕϕ

,,.

8. Напряжения между линейными проводами называются линейными напряжениями:

BCAB

UU ,,.

трехфазной системы («звезда – звезда» с нуле-2.2.5. Свойства четырехпроводной

вым проводом)

К данным свойствам относятся следующие:

1. Система нормально работает при любом распределении нагрузки между фаза-

ми, так как изменение нагрузки (тока) в одной из фаз не сопровождается изменением то-

ков в других фазах, ибо

I == ,

(здесь ЭДС заменены напряжения-

ми, под сопротивлениями понимаются сопротивлени потребителей, а не я фаз

сопротивления всей фазы, включая сопротивление генератора). Это справедливо при со-

противлении нулевого провода, равном нулю.

2. Доказательство. Линейное напряжение больше фазного на 3. Если зазем-

лить точку О (что практически и делается), то 0

. Тогда

AOAA

COCCBOBB

U ϕ=ϕ=ϕ−ϕ

−

; ;.

Соответственно,

BAAB

−

= или

BAAB

UUU

•••

−= .

Другими словами, линейное напряжение равно разности фазных напряжений. По-

скольку

eU и

•

U =

•

120j

−

то =

•

U =−−− )120sin120(cos)0sin0os

jUj

ФФ

=−

−

1200

UeUeU

5,1()

5,01()

5,0()01(

ФФФФ

jUjUjUjU =+=++=−−−+=

eU .

= UU 3

. Следовательно, Докажите эт построением векторной диаграммы фаз-о

ных и линейных напряжений.

В данном случае надо воспользоваться следующим правилом: разность двух векто-

ров определяется третьим вектором, который соединяет концы первых и направлен в

сторо азности векторов и , т. е. ну уменьшаемого. На рис. 2.48 вектор

U равен р

BAAB

UUU

•••

−= .

Рис. 2.48 Рис. 2.49

3. Ток нулевого провода равен геометрической сумме действующих значений фаз-

ных ток : ов

••••

++=

CBAo

IIII

4. При нагрузке аз ток левого провода р вен нул . равномерной ф ну а ю

Доказательство. Так как то =++=

••••

CBAo

IIII

120

1200

IIeIIeII ===

•

−

••

=++

−

)(

1201200 jj

eeeI

−

++ )120sin120cos120sin120cos0sin0(cos jjjI

1( −I .0)5,05,0 =−

В этом случае отпадает необходимость в нулевом проводе и образуется соединение

«звезда – звезда» без нулевого провода. Следует помнить, что эта система работает нор-

мально только при равномерной нагрузке.

5. Если нагрузка неравномерная, но имеет одинаковый характер, то ток нулевого

провода всегда меньше тока линейного провода. Это позволяет брать нулевой провод

меньшего сечения, чем линейный.

6. Четырехпроводная трехфазная система позволяет иметь два напряжения, отли-

чающиеся друг от друга на 3.

Нулевой провод играет следующую роль: пр его применении можно подключать и

к четырехпроводной системе и однофазные потребители, так как каждая фаза в этом

случае работает независимо от других. При наличии нулевого провода нулевая точка по-

требителя

O всегда находится в центре топографической (векторной) диаграммы на-

пряжения (рис. 2.49) независимо от распределения нагрузки между фазами (падение на-

пряжений в соединительных проводах и генераторе не учитывается). Благодаря этому

фазны нагрузки. е напряжения не изменяются при изменении

К ненормальным режимам работы четырехпроводной трехфазной системы

(«звезда – звезда» с нулевым проводом) относятся:

1. Обрыв линейного алентно выключению потребителя соответ- провода, это эквив

ствующей фазы. Работа др . Векторная диаграмма для этого слу-угих фаз не изменяется

чая приведена на рис. 2.51.

2. Короткое замыкание в фазе потребителя (при условии, что линейные напряже-

ния остаются неизменными при любых условиях работы). Пусть произошло короткое

замыкание фазы А. В этом случае потенциал нулевой точки

примет потенциал точки

А и напряжения на других фазах увеличатся в 3 (рис. 2.53).

3. Обрыв нулевого провода.

При симметричной нагрузке это повреждение не вызывает никаких изменений в

работ ется в центре топографической (векторной) диаграммы напряже-е. Точка

O остан

ний. неравномерная, то нулевая точка сместится из центра. Это озна-Если же нагрузка