Курахтина Г.С. Общая электротехника: Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

На рис. 2.11 приведены графики тока, магнитного потока, ЭДС самоиндукции, на-

пряжения, а также изображена векторная диаграмма тока, ЭДС и напряжения чисто ин-

дуктивной цепи.

Указанные графики иллюстрируют изложенный выше физический процесс, проис-

ходящий в данной цепи.

гновенная мощность в цепи только с индуктивностью 2.1.8. М

Мгновенная мощность равна произведению гновенного значения тока на мгно-м

венное напряжения, т. е.

tUIt

tItUuip

ω=ω=ω⋅ω== 2sin2sin

sincos

значение .

Она изменяется по закону синуса с удвоенной частотой по сравнению с частотой тока и

напряжения (рис. 2.12).

Из уравнения мощности видно, tUIp ω= 2sin

что мощность бывает положительной и отрица-

тельной. Электрическая энергия направляется к по-

требителю, когда мощность положительная. Если

же мощность отрицатель ия направля-ная, то энерг

ется от потребителя к редняя мощ-источнику. С

ность такой цепи равна нулю, т. е.

====

TTT

2sin

∫∫

tUI

Рис. 2.12

pdt

Другими словами, в этой цепи нет расхода энергии, а есть только обмен энергией

межд источником и потребителем. у

На рис. 2.12 приведены графики напряжения, тока и мощности чисто индуктив-

ной цепи.

2.1.9. Последовательное соединение активного сопротивления и индуктивности

При последовательном соединении ток во

всех участках цепи один и тот же и равен I А

(рис. 2.13).

Напряжение, активном со-теряемое на

противлении, совпадает по фазе с током и рав-

но . Это напряжение называется активным

падением напряжения U.

Рис. 2.13

Напряжение на индуктивном сопротивле-

нии будем обозначать как Оно опережает по фазе ток на четверть периода и равно

Общее напряжение при последовательном соединении равно сумме напряжений на

отдельных участках. Поскольку расчет ведется для действующих значений, то эта сумма

будет геометрической, т. е. напряжения надо складывать вектор 2.14). Получен

ный треугольник называется треугольником напряжений. Из него при последо-

вательном соединении активного сопротивления и индуктивности общее напряжение опе-

режает ток на угол

U .

IX .

но (рис.

видно, что

. В этой цепи активное падение напряжения, индуктивное падение

напряжения и общее напряжение связаны как стороны прямоугольного треугольника, т.

е.

222222

XRIIXIRUUU +=+=+= )()(

LLLa

откуда

Величина, стоящая в знам

Рис. 2.14

енателе, имеет раз-

мерность сопротивления, обозначается буквой и называется полным сопротивлением. z

Последняя формула

I ==

выражает закон Ома для данной цепи.

Если каждую сторону треугольника напряжений раз-

делить на ток, то получится треугольник сопротивлений,

подобный треугольнику напряжений (рис. 2.15). Из тре-

угольника сопротивлений следует:

XRz +=

XzR −=

RzX

−=

=ϕ

cos , .

=ϕ

sin

Рис. 2.15

т. е. активное, ин е и полное сопротивления связаны между собой как стороны дуктивно

прямоугольного треугольника. Если каждую сторону треугольника напряжений умножить

на ток (а треугольник сопротивлений на квадрат тока), то получится треугольник щно-мо

стей (рис. 2.16), где

ϕ=ϕ=== coscos

– активная мощность, которая пока-

UISRIIUP

зывает количество электрической энергии, ежесекундно

преобразуемой в другой вид энергии, Вт;

zIUIS

–

полная, или кажущаяся, мощность, которая -показывает ко

личество электрической энергии, ежесекун -дно доставляе

мой электромагнитным полем потребителю. а Измеряется он

в вольт-амперах (ВА). Множитель

cos называется коэф-

фициентом мощности и характеризует степень использов

а-

ния энергии электромагнитного поля потребителем:

Рис. 2.16

===ϕcos .

Величина

ϕ=ϕ=== sinsin

UISXIIUQ

– реактивная мощность, измеряемая в

вольт-амперах реактивных (ВАр). Она характеризует скорость обмена энергией между

источником и потребителем.

2.1.10. Последовате оельн соединение нескольких разнородных сопротивлений

Пусть будут соединены последовательно две катушки индуктивности, каждая из

которых обладает как активным, так и индуктивным сопротивлением (рис. 2.17). Ток во

всех участках цепи одни и тот же.

Рис. 2.17

При его прохождении на всех участках цепи создаются падения напряжения, кото-

рые соответственно определяются по формулам

,,,,

22221111 LLaLLa

IXUIRUIXUIRU

причем активные падения напряжения

U и

U совпадают по фазе с током, а индук-

тивные напряжения

опережают ток по фазе на четверть периода.

Чтобы найти общее напряжение, сложим векторно

все напряжения в такой же последовательности, как это

изображено на схеме (рис. 2.17). В результате получим

векторную диаграмму, изображенную на ис. 2.18, из ко- р

торой следует:

)()( aвoaoв += ,

где ,,

21 aa

UUoaUoв +==

21 LL

UUaв

= .

Следовательно,

Рис. 2.18

2121

)

LLaa

U+ .

()( UUUU ++=

Так как

2211221

,,,

LLLLa

IXUIXUIRUIR

= ,

то

)()()()

LLL

XXRRIIXIXR +++=++ .

(

IIRU +=

Решение этого уравнения относительно тока дает формулу закона Ома для этой цепи

XXRR

+++

)()(

Обобщая последнее выражение для какого угодно числа разнородных сопротивле-

ний, сать: можно запи

)()(

∑

XRz .

Иначе говоря, общее сопротивление при последовательном соединении разнород-

ных с вле-опротивлений равно квадратному корню из квадрата суммы активных сопроти

ний плюс квадрат суммы индуктивных (реактивных) сопротивлений.

2.1.11. Цепь переменного тока только с емкостью

В данной цепи отсутствуют активное сопротивление и индуктивность – имеется толь-

ко емкость (рис. 2.19).

,sin tUu

При напряжении приложенном к цепи,

ток, определяемый по формуле

,cos

sin

tCU

tCdU

Cdu

ωω=

===

будет опережать по фазе напряжение на четверть периода.

1cos

ωt При ток будет наибольшим:

Рис. 2.19

CUIi

Тогда значение тока в любой момен и можно записать как т времен

)sin(cos

+ω=ω= tItIi

Разделив обе части последнего равенства на

, CU

ωI

. где амплитуда тока получим

ω=

или

CUI =

=ω=

где последние равенства выражают зако Ома для чисто ем-н

fCC π

ω 2

кост ной цепи. Выражение имеет размерность со-

проти ется емкостным сопротивлением. Оно вления и называ

обратно пропорционально частоте и емкости, что графически

представлено на рис. 2.20.

Мгновенная мощность в чисто емкостной цепи, опреде-

Рис. 2.20

ляемая по формуле

,2sin

cossin)

sin(sin t

ttIUtItUuip

mmmm

ω=ωω=

+ω⋅ω==

измен -яется по закону синуса с двойной частотой. Средняя мощность в этой цепи, опре

деляемая по формуле

TTT

tUIpd

∫∫

===

2sin

равна нулю. В цепи, содержащей только емкость, нет

расхода энергии, а есть только обмен энергией между

источником и потребителем. На рис. 2.21 показаны

графики и векторная диаграмма напряжения и тока,

а также график мощности в цепи, содержащей только емкость. По графикам видно, что в

первую четверть периода напряжение растет, конденсатор заряжается, растет и энергия

Рис. 2.21

электрического поля конденсатора. Когда напряжение достигнет максимума, энергия

поля

W =

Дж. Во вторую четверть периода конденсатор

разряжается, электриче-

ское оле убывает, убывает и накопленная в первую четверть периода энергия, которая п

отправляется обратно к источнику.

В третью четверть периода будет то же, что и в первую четверть, только поляр-

ность электрического поля конденсатора будет обратной.

2.1.12. Последователь ивного сопроное соединение акт тивления и емкости

На рис. 2.22 показана цепь с последовательным со-

единением активного сопротивления и емкости.

Напряжение на активном сопротивлении называется

активным падением напряжения. Оно обозначается как

и по закону Ома равно U произведению тока на активное

сопротивление. Это напряжени совпадает по фазе с то-е

ком. Напряжение на емкости называется емкостным паде-

нием напряжения и по закону Ома равн

о произведению

Рис. 2.22

тока на емкостное сопротивление:

IXU

Емкостное нап тает по фазе от тока на четверть периода. ряжение отс

Общее напряжение равно сумме напряжений на последовательно соединенных

сопротивлениях. Так как расчет ведется для дейст ющих значений, то это должна быть ву

геометрическая сумма.

На рис. 2.23 она представлена как сумма векторов

U напряжений . Полученный прямоугольный е-тр

угольник называется треугольником напряжений. Из дан-

ной векторной диаграммы следует, что при последова-

тельном соединении активного сопротивления и емкости

напряжение отстает по фазе от ол тока на уг

. Активное,

реактивное и полное напряжения связаны между собой как

стороны прямоугольного треугольника. На основании того

же треугольника напряжений можно написать следующее:

Рис. 2.23

,)()(

222222

IXRIIXIRUUU

ccca

+=+=+=

Последнее равенство выражает закон Ома для этой цепи, где

XRz +=

являет-

ся полным сопротивлением.

Если каждую сторону треугольника напряжений разделить на ток, то получим тре-

угольник сопротивлений (рис. 2.24). Из этого треугольника следует:

RzXXzrXRz

CCC

=ϕ=ϕ−=−=+= sin,cos,,,

222222

Рис. 2.24 Рис. 2.25

Если каждую сторону треугольника напряжений умножить на ток (а треугольник со-

противлений умножить на квадрат тока), то получим треугольник мощностей (рис. 2.25).

2.1.13. Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности

и емкости

На рис. 2.26 изображена рассматриваемая цепь. Здесь возможны три характерных

случая, каждый из которых следует рассмотреть отдельно.

XX >

Напряжения на каждом сопротивлении подсчитываются по известным формулам

CCLL

IXUIXUIR

Общее напряжение наход тси я как геометрическая

сумма напряже х уний на отдельны частках. Сложение це-

лесообразно вести по правилу многоугольника (рис. 2.26).

Одним катетом получившегося прямоугольного

треугольника является разность индуктивного и кост- ем

ного падений напряжений, которая называется -реактив

Рис. 2.26

ным напряжением:

CLp

UUU

−

Поскольку

IXU

следовательно,

IXXXIIXIXU

cLcLP

−

= )(.

Разность индуктивного и емкостного сопротивлений обозна-

чается буквой X и называется реактивны

м сопротивлением. Не-

трудно видеть, что

X и

X являются частными случаями реак-

тивного сопротивления, поэтому они часто ются называ

реактивными сопротивлениями соответственно индуктивности

или емкости. На реактивном сопротивлении, в отличие от актив-

ного сопротивления, нет расхода энергии.

Из построенной векторной диаграммы (рис. 2.27) следует:

Рис. 2.27

,)()(

222222

XRIIXIRUUU

+=+=+=

откуда

UUUU

I ===

XXRXR

−ω+

−++

2222

)

(

)(

Последнее равенство выражает закон Ома для общего случая последовательного

соединения. Ранее полученные выражения закона Ома были частными случаями. Актив-

ная и полная мощности для такой цепи подсчитываются по тем же формулам, которые

указывались ранее.

Реактивная мощность в общем случае подсчитывается по формуле

ϕ⋅=ϕ⋅=== sinsin

UISXIIUQ

Физический смысл полной, активной и реактивной

мощностей такой же, какой приводился ранее. Треугольник

мощностей показа . 2.28. н на рис

2. XX > .

Рис. 2.28

Находим напряжения на каждом сопротивлении:

CCLLa

IXUIXUIRU

,,.

Так как то

XX > ,

UU > .

Общее напряжение найдем как геометрическую сумму напряжений на каждом участ-

ке, для чего построим векторную диаграмму напряжений (рис. 2.29). Из векторной диа-

граммы напряжений видно, что в этой цепи ток опережает нап

ряжение по фазе на угол .

Первым катетом получившегося прямоугольного тре-

угольника является активное падение напряжения

IRU

Вторым катетом прямоугольног треугольника является раз-о

ность индуктивного и емкостного напряжений, которая назы-

вается реактивным напряжением. Это напряжение принято

рассчитывать по формуле

CLp

UUU

−

В данном случае оно получится отрицательным

Рис. 2.29

, что и будет указывать на преобла-

дание емкостного сопротивления над индуктивным. Если же реак бу-тивное напряжение

дет со знаком плюс, то это указывает на то, что индуктивное сопротивление больше ем-

костного. Так как IXU = , а U

LL cc

, то

IXXIIXIXU

CLCLp

−

= )(,

где называется реактивным сопротивлением. В данном случае оно будет

XXX −=

иметь знак минус, что опять указывает на пр адание костного сопротивления над ин-еобл ем

дуктивным. Если же реактивное сопротивление положительное, то индуктивное сопротив-

ление больше емкостного. Общее напряжение найдем из прямоугольного треугольника:

222222

)()( XRIIXIRUU

+=+=+= . U

равнение относительно тока

. В итоге получим выражение Решим это у

XXR

−ω+

−++

2222

)

(

)(

I === .

Последни р т закон Ома для данной цепи. Вид этих формул та-е авенства выражаю

ко кой получен учена в условии

XX > . Это указывает на то, что наконец полй же, ка

формула закона Ома, выражающая случай и пригодная для асчета любой после- общий р

∑

= RR ,

∑

X ,

∑

XX , довательной цепи. Здесь а под полным сопротивле-

нием

надо понимать следующее:

)(

∑∑∑

−+=

XXRz .

3. резонанс напряжений).

XX = (

При

XX = будем иметь следующие равенства: ,IRU

IXU = ,

IXU

UU = ,0=

−

CLP

UUU

apa

UUUU =+=

−

XXX ,

RXRz =+=

.0,1cos =ϕ==ϕ

В такой цепи ток и напряжение совпадают по фазе. Цепь по отношению к источни-

ку ведет себя так, как будто бы в ней нет ни индуктивности, ни емкости. На рис. 2.30

приведена векторная диаграмма и графики напряжений и тока данной цепи. Рассмот-

ренный случай получил название резонанса напряжений.

Резонанс напряжений возникает при по-

следовательном соединении индуктивност и

и емкости, если индуктивное сопротивление

равно емкостному сопротивлению. Это означа-

ет равенство энергий магнитного и электриче-

ского лей. по

Равенство энергий обусловлено равенст-

вом реактивных мощностей индуктивности

Рис. 2.30

и емкости:

XIP =

Поскольку сопротивления равны )(

, а ток один и тот же, то и мощности

будут равны )(

PP = .

При резонансе напряжений общ жее напря ение равно напряжению на активном сопро-

тивлении. Общее сопротивлен ние равно актив ому сопротивлению, ток и напряжение сов-

падают по фазе. При резонансе напряжений напряжения на индуктивности и емкости могут

быть во много раз больше напряжения источника, что является вредным в технике сильных

токов, так как возможен пробой изоляции трансформаторов, реакторов и кабелей.

В технике слабых токов (радиотехнике) на использовании резонанса напряжений

работает целый ряд устройств

2.1.14. Физическая сущность явлений, возникающих при резонансе

Если электрическая цепь обладает индуктивностью, то она сосредоточивает маг-

нитное поле. В так напряжение опеой цепи режает ток на угол

. В цепи, обладающей

емкостью, сосредоточивается электрическое поле. В такой цепи опережает напряже- ток

ние на угол ϕ .

Следовательно, действие магнитного поля противоположно действию электриче-

ского поля на фазовые соотношения тока и напряжения. Если же цепь одновременно об-

ладает индуктивностью и емкостью, то в ней сосредоточиваются магнитное и электри-

ческое поля. Действие одного поля (например, магнитного) здесь компенсируется

действием другого поля (электрического).

Если же энергии этих полей равны, то действие одного пол компенси-я полностью

руетс еет место я действием другого поля и цепь носит чисто активный характер, что и им

при резонансе напряжений.

В этом случае с ростом тока растет магнитное поле, а напряжение н конденсаторе а

уменьшается, как уменьшается и электрическое поле (ток и напряжение на конденсаторе

сдвинуты по фазе на четверть периода). Когда ток будет максимальным, энергия маг-

нитного поля достигнет максимума (

), напряжение конденсатора станет равным ну-

лю и электрическое поле исчезнет. Затем ток в цепи начнет уменьшаться – уменьшается

и магнитное поле. Напряжени же на конденсаторе нач ет расти, при этом увеличивает-е н

ся и электрическое поле. агнитное поле исчезнет. Но Когда ток станет равным нулю, м

в это ремя напряжение на конденв саторе достигнет наибольшего значения и энергия

(

электрического поля достигнет максимума после чего процесс повторится. Дру-

гими овами, процесс преобразования магнитного поля в сл происходит непрерывный

электрическое и на и не уч твует в обмене энер-оборот. В такой цепи источник энерги ас

гией ни с емкостью, ни с индуктивностью, из-за чего и нет сдвига фаз между током и

напряжением. Обмен энергией происходит только между емкостью и индуктивностью.

2.1.15. Получение резонанса напряжений

, Резонанс напряжений возникает при т. е. при

=ω

. В последнее ра-

венство входят три независимые друг от друга величины: частота, индуктивность и ем-

кость. Изменяя одну из трех величин при неизменных двух других, рано или поздно

можно достигнуть резонанса.

Заранее можно подсчитать, при какой частоте наступит резонанс при неизменных

индуктивности и емкости:

=ω . Соответственно, можно найти резонансную ин-

дуктивность

)

(

и емкость )

(

= .

Посмотрим, что будет с параметрами цепи ( , если изменять од-IzXXXR

,,,,,)

ну из указанных величин (частоту, индуктивность или емкость).

Рассмотрим получение резонанса изменением частоты в ис. 2.32). Активное цепи (р

сопротивление вообще с ростом частоты увеличивается. Однако в тех пределах, в каких

приходится изменять частоту, оно остается практически неизменным, что изображено

прямой, которая почти параллельна оси абсцисс (рис. 2.31). Индуктивное сопротивление

прямо пропорционально частоте и представляет пряму , проходящую через начало ко-ю

ординат, угол наклона которой определяется величиной индуктивности L .

Рис. 2.31 Рис. 2.32

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте

Cω

, что изо-

бражено соответствующей кривой (рис. 2.31).

Реактивное сопротивление

XXX

−

представляется ор инатами, заключенны-д

ми между графиками сопротивлений

X (рис. 2.31).

Полное сопротивление

XRZ += будет изменяться с изменением реактивного

сопротивления, так как активное сопротивление неизменно. При 0=ω полное сопро-

тивление Z стремится к ∞, в момент резонанса Z = R, а затем Z будет расти, что изобра-

жено соответствующим графиком (рис. 2.31). Ток в цепи при неизменном напряжении

обратно пропорционален сопротивлению

Характер изменения всех величин при изменении

показан на рис. 2.31, в соот-

ветствии с которым при подходе к резонансу общее сопротивление уменьшается, в мо-

мент резонанса оно становится наименьшим и равным активному сопротивлению, а за-

тем возрастает. Ток в цепи при подходе к резонансу увеличивается, в момент резонанса

достигает наибольшего значения, а затем уменьшается. При частоте меньше резонанс-

ной цепь носит емкостный характер

)(

XX >

, после резонанса – индуктивный

характер

)(

XX >

, а в момент резонанса –

чисто активный (Х = 0).

Изменения тех же величин при получе-

нии резонанса индуктивности и изменением

емкости показаны на рис. 2.33, 2.34.

2.1.16. Треугольник токов

Рис. 2.33 Рис. 2.34

При соединении ток на всех участках цепи один и тот же, общее последовательном

напря тдельны Чтобы лжение равно сумме напряжений на о х участках. егче найти общее

напряжение ого и реакт пряжений, были введены понятия активн ивного на . Активное, реак-

тивное и полное напряжения связаны между собою как стороны прямоугольного треуголь-

ника. При параллельном соединении напряжение на участках цепи одно и то же, а общий

ток равен сумме токов отдельных ветвей. Токи в ветвях в зависимости от характера потре-

бителей могут иметь различный угол сдвига фаз по отношению друг к другу и напряжению

сети. Для удобства нахожден тока и рассмотрения процессов, происходящих в ия общего

электрической цепи, введено активных и реактивных токов. понятие

Пус ток и напряжение двух цепей представлены векторами (рис. 2.35). ть общий

Для обоих случаев жим общий е составляющие разло ток на дв .

Одну ю найдем как проекцию общего тока на вектор напряжения, и составляющу

эта со Активный ток – этставляющая называется активным током

I . о такой ток, который

совпадает по фазе с напряжением.

Другую составляющую найдем как проекцию вектора

тока на направление, перпендикулярное вектору напряжения.

Эта составляющая называется реактивным током

)(

. Реак-

тивный ток – это ток, сдвинутый по фазе на четверть периода

по отношению к напряжению (рис. 2.35).

На рис. 2.35, а реактивный ток отстает от напряже-

ния по ание тока от напряжения по фазе на фазе. Отстав

Рис. 2.35

четверть возможно только в чисто индуктивной периода

цепи, поэ ток называют индуктивным током тому такой

ют как

Iи обознача .

На реактивный ток опережает по фазе напряжение на четверть периода. рис. 2.35, б

Опережен тока относительно напряжения на четверть периода возможно только ие по фазе

в чисто . Этот ток обозначают через I называют емкостным током. емкостной цепи

Изобразив отдельно общий ток и его составляющие, получим

треугольник токов (рис. 2.36). Из треугольни следует: ка токов

ϕ=ϕ=+= sin,cos,

papa

IIIIII ,

т. е. активный, реактивный и полный токи связаны между собою как

стороны прямо еугольника. угольного тр

Воспользу зложенными рассуждениями для расчета емся вышеи

цепи, изображенной на рис. 2.37, а. Ток ,

Рис. 2.36

I равный

будет током активным: