Куцый Н.Н. Теория оптимального управления
Подождите немного. Документ загружается.
7.УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Ранее рассматривались вариационные задачи, в которых на функцию
)(xy
, ко-
торая даёт экстремум функционалу, не наложены какие-либо дополнительные усло-
вия. Экстремум в этом случае называют безусловным.
Существует также ряд вариационных задач на условный экстремум. В этих вари-
ационных задачах функции, которые доставляют экстремум функционалу, подчине-
ны добавочным условиям.
Простейшим примером вариационной задачи на условный экстремум может
служить задача о нахождении кратчайшего расстояния между двумя точками, в кото-
рой требуется найти минимум функционала
∫
′
+
′
+=
2
1
22
1
x
x
dxzyI
при условии, что кривая, которая соединяет эти точки, лежит на некоторой по-
верхности, например на сфере
0
2222
=−++
Rzyx
.
Другим примером является задача, в которой среди всех линий заданной длины
требуется найти такую, которая ограничивала бы наибольшую площадь. Вариацион-
ные задачи этого типа называют изопериметрическими.
В общем случае изопериметрическая задача формулируется следующим об-
разом. Среди всех кусочно-гладких вектор-функций
{ }
)(,),(),( xyxyxyy
n
21
=
, ко-
торые принимают заданные значения на концах интервала
[ ]
21
xx ,
, найти функцию,
доставляющую экстремум функционалу
∫
′
=
2
1
00
x
x
dxyyxfyI ),,()(
,
при связях
i
x
x
ii
CdxyyxfyI
=
′
=
∫
2
1
),,()(
),,,,( mi
21
=
где
−
i
C
константы.
Функции
),,( yyxf
′
0
,
),,( yyxf
i
′
определены и имеют непрерывные по сово-
купности всех своих аргументов производные второго порядка, когда точка
),( yx
,
принадлежит некоторой области
G
пространства
),( yx
, а вектор
y
′
пробегает лю-
31
бые конечные значений. Вариации функционалов
)(yI
i
, взятые на минимизирующем
векторе, линейно независимы.
Кроме изопериметрической задачи, к вариационным задачам на условный экс-
тремум относятся задачи Лагранжа, Майера и Больца. Общая задача Лагранжа форму-
лируется следующим образом. Среди всех кусочно-гладких вектор-функций
{ }
)(,),(),( xyxyxyy
n
21
=
, доставляющую экстремум функционалу
∫
′
=
2
1
00
x
x
dxyyxfyI ),,()(
при связях
0
=
′
),,( yyxf
j
),,,( nmj
<=
21
и условиях на концах
0
2211
=
))(,),(,( xyxxyx
k
ψ
),,,( 2221
+≤=
npk
,
где функции
),,( yyxf
l
′
),,,,( ml
210
=
определены и имеют непрерывные по
совокупности всех своих аргументов частные производные третьего порядка. Матри-
ца
i
j
y
f
∂
∂
имеет ранг
m
во всех точках
),( yx
, принадлежащих некоторой области
пространства
),( yx
, когда вектор
y
′
пробегает любые значений на концах. Матрица
2211
i
kk
i
kk
yxyxx
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ψψψψ
имеет ранг
p
. Функции
k
ψ
обладают непрерывными частны-
ми производными третьего порядка. Связь
0
=
),( yxf
i
называется голономной, если
она не содержит производных или может быть приведена к виду, не содержащему
производных. Неголономные связи содержат как сами неизвестные функции
)(,),(),( xyxyxy
n
21
, так и их производные
)(,),(),( xyxyxy
n
′′′
21
.
Примером задачи Лагранжа может служить задача Чаплыгина, в которой требу-
ется найти, по какой замкнутой кривой в горизонтальной плоскости должен двигаться
центр тяжести самолёта, имеющего собственную скорость
0
V
, чтобы за время
T
об-
лететь наибольшую площадь, если дано постоянное направление и постоянная ве-
личина скорости ветра
0
Va
<
. Если ось
x0
совместить с направлением скорости вет-
ра, обозначить через
α
угол между направлением оси самолёта и осью
x0
,
)(tx
и
)(ty
принять за координаты цента тяжести самолёта, то задача Чаплыгина водится к
задаче Лагранжа по нахождению функционала
32
∫
−=
T
dt
dt
dx
y
dt
dy
xS
0
2
1
при неголономных связях
aV
dt
dx
+−=
α
cos
0
,
α
sin
0
V
dt
dy
=
.
Вариационная задача на условный экстремум в форме задачи Майера ставится
следующим образом. Среди систем гладких функций
)(,),(),( xyxyxy
n
10
, удовле-
творяющих связям
0
=
′
),,( yyx
i
ϕ
),,,,( nmi
<=
210
и условиях на концах
axy
=
)(
10
nn
axyaxy
==
)(,,)(
1111
,
nn
bxybxy
==
)(,,)(
2121
,
найти такую систему функций, в которой
)(xy
0
имеет при
2
xx
=
экстремум.
Задача Майера в форме задачи с подвижными концами может ставиться так.
Среди систем гладких функций
)(,),(),( xyxyxy
n
10
, которые удовлетворяют свя-
зям и условиям на концах
0
=
′
),,( yyx
i
ϕ
),,,,,( nmi
<=
210
010
axy
=
)(
,
nn
axyaxy
==
)(,,)(
1111
,
0
2202
=
))(,),(,( xyxyx
nk
ψ
),( 10
+<≤
nk
найти систему функций, в которой
)(
20
xy
имеет максимум на правом конце.
В качестве примера задачи Майера рассмотрим движение ракеты в вертикальной
плоскости. Если пренебречь силой сопротивления воздуха и рассматривать ракету как
материальную точку с единичной массой, на которую действует сила тяжести и реак-
тивная сила
F
, постоянная по величине, но с переменным углом наклона
ϕ
, то урав-
нения движения ракеты имеют вид
33
ϕ
cosF
dt
xd
=
2
2
,
).( 17
gF
dt
yd
−=
ϕ
sin
2
2
,
где
−
g
земное ускорение.
Задача о нахождении пути, вдоль которого на полёт затрачивается наименьшее
время при соответствующих начальных и конечных условиях, состоит в отыскании
среди всех функций
)(txx
=
,
)(tyy
=
,
)(t
ϕϕ
=
,
Tt
≤≤
0
функции, которая мини-
мизирует время полёта
T
и которая удовлетворяет дифференциальным связям (7.1).
Заменив
yxyxt ,,,,
на
4321
yyyyt ,,,,
, дифференциальные связи (7.1) можно за-
писать в виде
−==
==
.sin,
,cos,
).(
gF
dt
dy
y
dt
dy
F
dt
dy
y
dt
dy
ϕ
ϕ
4
4
2
1
3
1
27
Задача Майера в этом случае формулируется в нормальной форме. Требуется
найти такую систему функций
4321
yyyy ,,,
, при которой время полёта
T
было наи-
меньшим, выполнялись дифференциальные связи (7.2) и условия на концах
0
1
=
t
,
Tt
=
2
,
issi
Yty
=
)(
),( 21
=
s
.
Задача Больца заключается в нахождении среди всех кусочно-гладких век-
тор-функций
),,,(
n
yyyy
21
функции, которая доставляет экстремум функционалу
∫
+
′
=
2
1
22110
x
x
xyxxyxhdxyyxfyI ))(,),(,(),,()(
при связях
0
=
′
),,( yyx
j
ϕ
),,,( nmj
<=
21
и условиях на концах
0
2211
=
))(,),(,( xyxxyx
k
ψ
),,,( 2221
+≤=
npk
.
Предполагается, что функции
j
ϕ
и
f
имеют непрерывные частные производ-
ные третьего порядка по совокупности всех своих аргументов в некоторой открытой
области
−+
)( 12n
мерного пространства. Матрица
i
j
y
∂
∂
ϕ
имеет ранг
m
во всех точ-
34
ках указанной выше области. Функции
k
ψ
и
h
обладают непрерывными частными
производными по совокупности всех своих аргументов в
−+
)( 22n
мерной области
пространства точек
))(,),(,(
2211
xyxxyx
Ю а матрица
2211
i
kk
i
kk
yxyxx
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ψψψψ
имеет
ранг
p
во всех точках указанной области.
Как и в задачах Лагранжа и Майера, в задаче Больца должно выполняться так на-
зываемое условие некасания, т.е. рассматриваются такие вектор-функции сравнения
)(xy
i
, для которых ранг матрицы
∑∑
==
′
∂
∂
+
∂
∂
′
∂
∂
+
∂
∂
n
i
i
i
k
n
i
k
i
i
kk
xy
yx
xy
yx
1
2
1
2
1
1
)()(
ψψψψ
равным двум.
Задача Больца эквивалентна задаче Лагранжа, в которой среди всех кусоч-
но-гладких вектор-функций
)(),( xyxy
ni
1
+
);,,,(
21
21 xxxni
≤≤=
отыскивается
вектор-функция, которая доставляет экстремум функционалу
∫
+
+=
2
1
10
x
x
n
dxyfI )(
при связях
0
=
i
f
,
0
1
=
+
n
y
и условиях на концах
0
=
k
ψ
,
0
12
11
=
−
−
+
xx
h
xy
n
)(
.
К задаче Лагранжа могут быть сведены задача Майера и изопериметрическая за-
дача. Если в изопериметрической задаче ввести функции
∫
′
=
2
1
x
x
ii
dxyyxfz ),,(
),,,( mi
21
=
,
то изопериметрическая задача превращается в задачу Лагранжа поиска экстрему-
ма функционала
∫
′
=
2
1
00
x
x
dxyyxfyI ),,()(
при дифференциальных связях
),,( yyxfz
ii
′
=
′
))(( mi 11
=
, условиях на концах
0
1
=
)(xz
i
,
ii
Cxz
=
)(
2
и условиях на исходной изопериметрической задачи. Следует
отметить, что изопериметрическая задача является частным случаем задачи Больца.
Задача Майера приводится к задаче Лагранжа, в которой среди всех кусоч-
но-гладких вектор-функций
)(xy
отыскивается вектор-функция, доставляющая экс-
тремум функционалу
35
∫
′
2
1
0
x
x
dxxy )(
при связях
0
=
′
),,( yyx
i
ϕ
,
010
axy
=
)(
,
111
axy
=
)(
,
,
nn
axy
=
)(
1
,
121
bxy
=
)(
,
,
nn
bxy
=
)(
2
.
Необходимо отметить, что изопериметрическая задача, задача Лагранжа и задача
Майера могут рассматриваться как частные случаи задачи Больца, хотя задачи Ла-
гранжа, Майера и Больца обладают степенью общности.
36
8.КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА
Уравнения Эйлера
0 18
=−
′′
ii
yy
FF
dx
d
).(
ni )(( 11
=
для функционала вида
∫
′′′
=
2
1
2121
28
x
x
nn
dxyyyyyyxFI ),,,,,,,,().(
можно записать в канонической или гамильтоновой форме.
Если матрица
ki
yy
F
′′
))(,( nki 11
=
неособенная, то из уравнений
iy
pF
i
=
′
38 ).(
))(( ni 11
=
можно выразить
i
y
′
через
nn
pppyyyx ,,,,,,,,
2121
:
),,,,,,,,().(
nnii
pppyyyxy
2121
48
ϕ
=
′
.
Гамильтонианом
H
для функционала (8.2) называется функция
H
от
nn
pppyyyx ,,,,,,,,
2121
:
+
′′′
−=
),,,,,,,,(),,().(
nn
yyyyyyxFpyxH
2121
58
∑
=
′
′′′′
+
n
i
nnyi
yyyyyyxFy
i
1
2121
),,,,,,,,(
,
где
i
y
′
определяется выражением (8.4).
Дифференцированием гамильтониана получаем следующие соотношения:
=
=
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
).)(
,,,,,,,,(
,
).(
ni
pppyyyx
p
H
y
F
y
H
nni
i
ii
11(
68
2121
ϕ
С учётом соотношения (8.1), (8.2) и (8.3) выражение (8.6) принимает вид канони-
ческой или гамильтоновой системы уравнений Эйлера, в которой переменные
nn
pppyyy ,,,,,,,
2121
называются каноническими:
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
).)(
,
,
).(
ni
p
H
x
y
y
H
x
p
i
i
i
i
11(
78
Пользуясь определением гамильтониана согласно (8.5), выражение для диффе-
ренциала функционала (8.2) можно записать в виде
∑
=
+−=
n
i
ii
dypHdxdI
1
88 ).(
.
Условия трансверсальности (5.6), т.е.
0
11
=+
′
−
∑∑
=
′
=
′
n
i
iy
n
i
yi
dyFdxFyF
ii
,
на концах экстремали с учётом определения гамильтониана имеют вид
0
1
=+−
∑
=
n
i
ii
dypHdx
.
Каноническую систему (8.7) можно рассматривать как систему уравнений Эйле-
ра для функционала
∫
∑
−
′
=
=
2
1
2121
1
x
x
nn
n
i
ii
dxpppyyyxHypI ),,,,,,,,((
.
Выражение (8.8) для дифференциала можно записать в виде системы уравнений
=
=
∂
∂
−=
∂
∂
).)(
),,,(
).(
ni
p
y
I
pyxH
x
I
i
i
11(
98
Исключая
i
p
в системе (8.9), получаем уравнение в частных производных пер-
вого порядка, которое называется уравнение Гамильтона-Якоби:
38
0 108
21
21
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
n
n
y
I
y
I
y
I
yyyxH
x
I
,,,,,,,,).(
.
Полным интегралом уравнения (8.10) в частных производных первого порядка
называется его решение, содержащее столько произвольных постоянных, каково чис-
ло независимых переменных.
Учитывая, что уравнение (8.10) не содержит неизвестной функции, а содержит
только её частные производные, полный интеграл можно взять в виде
aaaayyyxVV
nn
+=
),,,,,,,,(
2121
, где
−
n
aaa ,,,
21
произвольные постоян-
ные.
Предполагается, что
V
непрерывно дифференцируема по параметрам
i
a
и каж-
дая частная производная
ii
y
V
a
V
∂
∂
∂
∂
,
))(( ni 11
=
непрерывно дифференцируема по всем
аргументам.
При дополнительном предположении о том, что определитель
0
2
≠
∂∂
∂
ii
ay
V
, име-
ет место теорема Якоби.
Если известен полный интеграл
V
уравнения Гамильтона-Якоби, то равенства
k
k
b
a
V
=
∂
∂
,
k
k
p
y
V
=
∂
∂
,
где
kk
ba ,
−=
))(( nk 11
произвольные постоянные, дают решение канонической
системы (8.7), т.е.
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
).)(
,
,
ni
p
H
x
y
y
H
x
p
i
i
i
i
11(
которое зависит от
n2
произвольных постоянных.
В качестве примера найдём экстремали функционала
dxyyxI
∫
′
+×+=
222
1
.
Гамильтониан
222
pyxH
−+−=
,
39
следовательно
2
22
∂
∂
−+=
∂
∂
y
I
yx
x
I
или
.).(
22
2
2
118 yx
y
I
x
I
+=
∂
∂
+
∂
∂
Решение можно искать в виде
( )
22
2
2
1
128 CyBxyAxI
++=
).(
.
Подстановка решения (8.12) в уравнение Гамильтона-Якоби (8.11) данного при-
мера даёт
1
22
=+
BA
,
0
=+
)( CAB
,
1
22
=+
CB
.
Полагая
β
sin
=−=
CA
,
β
cos
−=
B
, получаем решение в виде
( )
βββ
sincossin
22
2
2
1
yxyxI
−−=
.
Общий интеграл уравнения Эйлера-Лагранжа в силу теоремы Якоби
α
β
2
1
==
∂
∂
const
I
или
αβββ
=−+
cossincos
22
2 yxyx
.
40