3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
В вариационных задачах с подвижными концами рассматривается функционал,
который зависит от линий
:
∫
′
=
E
dxyyxFEI ),,()().( 13
,
где линия
перемещается так, что её концы движутся вдоль двух заданных линий
и
(рис. 3.1). Требуется найти среди линий
такую линию, которая доставляет экс-
тремум функционалу (3.1). В отношении подынтегральной функции предполагается
её непрерывность по совокупности аргументов, а также существование и непрерыв-
ность её частных производных до третьего порядка включительно.
В такой постановке задачи общее уравнение Эйлера, которое является нелиней-
ным дифференциальным уравнением второго порядка, зависит от двух произвольных
постоянных, определяемых из условий трансверсальности.
Определим условия трансверсальности. С этой целью зададим перемещение ли-
нии
с помощью параметра
так, что однопараметрическое семейство линий
относит каждому значению параметра одно из возможных положений ли-
нии
. Если параметр
будет определять положение точки на линии
, то абсцисса
этой точки и параметр
являются функциями
. В этом случае линии
и
заданы
соответственно параметрическими уравнениями
,
,
,
,
.
На семействе линий
функционал превращается в функцию
E
C
D
Рис. 3.1.