Куцый Н.Н. Теория оптимального управления
Подождите немного. Документ загружается.
и вычислим вариацию каждого из них в отдельности. На каждом интервале
[ ]
10
xx ,
и
[ ]
21
xx ,
кривые
)(xy
являются экстремалями и, следовательно, интеграль-
ный член выражения (3.10), т.е.
( )
−−
′
−++
−=
′′′′
∫
011
011
1
0
yFxFyFyFhdxF
dx
d
FI
x
y
x
y
x
y
x
x
yy
δδδδ
( )
0
0
xFyF
x
y
δ
′
′
−−
,
обращается в нуль:
1
0
1
0
1
11
xFyFyFI
x
y
x
y
δδδ
−
′
−
′
′
−+=
(
,
1
0
1
0
2
11
xFyFyFI
x
y
x
y
δδδ
+
′
+
′
′
−+=−
(
.
Необходимое условие экстремума
0
21
=+=
III
δδδ
в данном случае принимает
вид
0
1
00
1
00
1111
=
′
−−
′
−+
−
+
′
−
′
+
′
−
′
xFyFFyFyFF
x
y
x
y
x
y
x
y
δδ
)()(
,
откуда вследствие произвольности
1
x
δ
и
1
y
δ
вытекают условия Вейерштрас-
са-Эрдмана
′
−=
′
−
=
+
′
−
′
+
′
−
′
.)()(
,
).(
00
00
11
11
14
x
y
x
y
x
y
x
y
FyFFyF
FF
Эти условия позволяют определить произвольные постоянные в уравнениях экс-
тремалей. На каждом участке в решение уравнений Эйлера входят произвольные по-
стоянные. В примере, изображенном на рис. 4.1, на участке
[ ]
10
xx ,
нужно определить
две произвольные постоянные и на участке
[ ]
21
xx ,
- ещё две постоянные. Всего тре-
буется четыре уравнения для определения четырёх произвольных постоянных. Два
уравнения определяются граничными условиями
00
yxy
=
)(
,
22
yxy
=
)(
, а другие
два - условиями (4.1).
Дадим геометрическую интерпретацию условиям (4.1). Зафиксируем значения
1
xx
=
и
1
yy
=
и построим для этих значений график
),,( yyxF
′
11
как функцию от
y
′
. Если при
1
xx
=
и
1
yy
=
экстремаль имеет излом, т.е.
00
11
+=−=
′
≠
′
xxxx
yy
, то пер-
вое из условий Вейерштрасса-Эрдмана означает, что касательные к кривой
),,( yyxF
′
11
в точках
0
1
−=
′
=
′
xx
yy
и
0
1
+=
′
=
′
xx
yy
параллельны между собой, так как
тангенсы углов наклона равны, а второе условие (4.1) означает, что они не только па-
21
раллельны, но и совпадают между собой. Следовательно, изломы возможны лишь в
том случае, если на кривой
),,( yyxF
′
11
существуют две такие точки, через которые
можно провести общую касательную. Если
),,( yyxF
′
11
и
),,( yyxF
y
′
′
11
непрерывны
по
y
′
для всех
1
x
и
1
y
, то необходимым условием наличия излома экстремали яв-
ляется
0
=
′′
yy
F
. Если
0
>
′′
yy
F
для всех
y
′
или
0
<
′′
yy
F
, то кривая
),,( yyxF
′
11
со-
ответственно вогнута вверх или вниз и на ней не может быть касательно, проходящей
через две разные точки.
Условие Вейерштрасса-Эрдмана позволяет уточнить смысл теоремы Эйлера, ко-
торая утверждает, что если экстремум существует и достигается в классе кусоч-
но-гладких функций, то он достигается только на экстремалях. Экстремалей может
быть бесчисленное множество и теорема Эйлера оставляет открытой возможность со-
ставления кривой, которая доставляет экстремум функционалу, из дуг экстремалей,
соответствующих различным значениям постоянной интегрирования и сопрягающих-
ся с изломом, или же составления искомой кривой из различных решений уравнения
Эйлера, если оно имеет несколько решений. Условия (4.1) устраняют эту неопреде-
ленность. Изломы могут только в том случае, если
0
=
′′
yy
F
или же сама функция
F
терпит разрыв, а угол излома может быть лишь таким, чтобы выполнялись условия
(4.1).
Кривая, составленная из решений уравнения Эйлера, так, чтобы выполнялись
условия Вейерштрасса-Эрдмана, называется ломаной экстремалью.
В качестве примера задачи с ломаными экстремалями рассмотрим задачу о тра-
ектории луча света в неоднородной среде. Предположим, что траектория луча света
переходит из одной прозрачной среды в другую, например из воздуха в стекло. Со-
гласно принципу Ферма, луч света движется по такой траектории между точками
A
и
B
, по которой его движение занимает минимальное время. Если уравнение траекто-
рии светового луча записывается в виде
)(xyy
=
, то за время
dt
луч пройдёт рассто-
яние
dtVdS
i
=
, где
−
i
V
скорости света в данной среде. Так как
dxydS
2
1
+=
, то
i
V
y
dt
2
1
+
=
, а время движения светового луча определяется интегралом
∫∫
+
==
T
i
T
dx
V
y
dtT
0
2
0
1
24
).(
.
Траектория светового луча по принципу Ферма является экстремалью функцио-
нала (4.2). Если в первой среде
constV
=
1
, то экстремалями функционала (4.2) будут
прямые линии, т.е. в однородной среде луч света движется по прямой. Если луч пере-
ходит из одной однородной среды в другую, где имеет другую скорость распростра-
нения
constV
=
2
, то в каждой из сред экстремалями будут прямые лини. На границе
раздела двух сред подынтегральная функция терпит разрыв, поэтому экстремаль на
границе может иметь излом, величина которого определяется условиями (4.1). Распо-
22
ложим координатные оси так, что, чтобы граница раздела была параллельная оси
y0
.
Тогда при вариации положения точки излома вариация
x
δ
будет равна нулю. В этом
случае для обращения вариации функционала в нуль достаточно выполнения первого
условия (4.1). Слева от точки излома
2
1
1 yV
y
F
y
+
′
=
′
,
а справа
2
2
1 yV
y
F
y
+
′
=
′
.
Так как
α
sin
=
+
′
2
1
1 yV
y
,
то из условия Вейерштрасса-Эрдмана следует
n
V
V
==
2
1
2
1
α
α
sin
sin
,
т.е. отношение синуса угла падения
1
α
к синусу угла преломления
2
α
есть ве-
личина постоянная и равная показателю преломления второй среды относительно
первой. Это известный закон физики – закон преломления, который, пользуясь вариа-
ционным исчислением, можно вывести из принципа Ферма.
23
5.ФУНКЦИОНАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ФУНКЦИЙ
В отличие от простейших задач вариационного исчисления рассмотрим общее
выражение для функционала, зависящего от
n
функций
:))(()( nixy
i
11
=
,),,,,,,()().(
∫
′′
=
2
1
11
15
x
x
nn
dxyyyyxFyI
),)(,)().( niyxyyxy
iiii
1(1)( 25
2211
===
,
где
1
i
y
и
−
2
i
y
граничные условия, заданные в виде чисел;
−
F
непрерывная
подынтегральная функция, обладающая непрерывными частными производными до
третьего порядка включительно по всем аргументам.
Вариационная задача состоит в определении условий, которым удовлетворяет
вектор-функция
),,,(
n
yyy
21
, доставляющая функционалу (5.1) экстремум при гра-
ничных условиях (5.2).
Необходимые условия экстремума для функционала (5.1) можно получить сле-
дующим образом. Предположим, что экстремум существует и достигается на функци-
ях
)(,),( xyyxyy
nn
==
11
. Если зафиксировать все функции, кроме одной
)(xyy
11
=
, которой будем придавать приращение, то вариация функционала (5.1) бу-
дет зависеть только от одной функции и из условия
0
=
I
δ
следует уравнение Эйлера
для функции
)(xy
1
0
11
=
′
∂
∂
−
∂
∂
y
F
dx
d
y
F
.
Аналогичные рассуждения относительно любой неизвестной функции позволя-
ют получить необходимые условия экстремума функционала (5.1) в виде системы
уравнения Эйлера
=−
=−
′
′
.
,
).(
0
0
35
11
nn
yy
yy
F
dx
d
F
F
dx
d
F
Второе необходимое условие экстремума – условие Лежандра – устанавливается,
как в простейшей вариационной задаче, на основе неотрицательности (в случае мини-
мума функционала) или неположительности (в случае максимума функционала) вто-
рой вариации
I
2
δ
функционала, зависящего от нескольких функций. Из этого усло-
вия вытекает необходимое условие Лежандра - неотрицательность (неположитель-
ность) квадратичной формы
∑
′′
ji
jiyy
ji
F
,
).(
ηη
45
в каждой точке экстремали в случае минимума (максимума) функционала (5.1).
Условия Лежандра в том случае, когда на экстремали достигается минимум
функционала, можно записать в виде неравенств, выполнение которых обеспечивает
неотрицательность формы (5.4)
≥
≥
≥
′′′′′′
′′′′′′
′′′′′′
′′′′
′′′′
′′
.
,
,
).(
0
0
0
55
21
22212
12111
2212
2111
11
nnnn
n
n
yyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
yyyy
yyyy
yy
FFF
FFF
FFF
FF
FF
F
Необходимые условия минимума функционала (5.1) в форме (5.5) называются
условиями Лежандра-Клебша. В случае поиска максимума функционала знаки нера-
венств (5.5) меняются на обратные.
Условия трансверсальности для вариационных задач с подвижными концами и
функционалом, зависящим от нескольких функций, выводятся из рассмотрения диф-
ференциала функционала (5.1), который для случая, когда
−=
),,,(
n
yyyy
21
экс-
тремаль, имеет вид
2
1
11
x
x
n
i
iy
n
i
yi
dyFdxFyFdI
ii
∑∑
=
′
=
′
+
′
−=
.
На концах экстремали должны выполняться условия трансверсальности
0 65
11
=+
′
−
∑∑
=
′
=
′
n
i
iy
n
i
yi
dyFdxFyF
ii
).(
.
В том случае, когда конец
1
xx
=
фиксирован, а второй конец расположен на ги-
перповерхности
0
21
=
),,,,(
n
yyyx
ϕ
, условия трансверсальности (5.6) означают,
что вектор
25
′
−
′′′
=
′
∑
ni
yyy
n
i
yi
FFFFyF ,,,,
21
1
ортогонален вектору
{ }
n
dydydx ,,,
1
и, следовательно, коллинеарен градиенту
функции
),,,,(
n
yyyx
21
ϕ
. В этом случае условия трансверсальности можно запи-
сать в виде
n
n
i
y
y
y
y
x
n
i
yn
F
F
FyF
ϕϕϕ
′
′
=
′
===
′
−
∑
1
1
1
.
В качестве примера на экстремум рассмотрим вариационную задачу с функцио-
налом
[ ]
∫
+
′
+
′
=
2
0
22
2 75
π
dxyzzyxzxyI )()(),().(
с граничными условиями
1
2
00
=
=
π
yy ,)(
,
1
2
z 00
−=
=
π
,)(z
.
Система дифференциальных уравнений Эйлера (5.3), т.е.
=−
=−
′
′
.
,
0
0
11
nn
yy
yy
F
dx
d
F
F
dx
d
F
в данном примере имеет вид
0
=−
′′
zy
,
0
=−
′′
yz
.
Исключая одну из неизвестных функций, например
z
, получаем
0 85
4
=−
yy
)(
).(
.
26
Интегрируя линейное дифференциальное уравнение (5.8) с постоянными коэф-
фициентами, имеем
xCxCCCy
xx
sincos
4321
+++=
−
,
xCxCCCyz
xx
sincos
4321
−−+=
′′
=
−
.
Используя граничные условия, находим
0
1
=
C
,
0
2
=
C
,
0
3
=
C
,
1
4
=
C
, следо-
вательно, экстремалями функционала (5.7) является
xy sin
=
,
xz sin
−=
.
27
6.ЗАДАЧИ С ФУНКЦИОНАЛОМ, СОДЕРЖАЩИМ ПРОИЗВОДНЫЕ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Рассмотрим функционал, содержащий производные высших порядков:
∫
′′′
=
2
1
16
x
x
n
dxyyyyxFyI ),,,,,()().(
)(
на функциях класса
],[
21
xxC
n
, т.е. имеющих непрерывную
n
-ю производную
на
],[
21
xx
.
Граничные условия заданы в виде
−=
==
).)((
)(,)(
).(
)()(
110
26
21
ni
BxyAxy
i
i
i
i
Решение вариационной задачи заключается в нахождении функции, доставляю-
щей экстремум функционалу (6.1) и удовлетворяющей на концах (6.2).
В отношении подынтегральной функции
F
предполагается существование не-
прерывных по совокупности всех аргументов производных до
)( 1
+
n
-го порядка
включительно. Такая вариационная задача называется задачей Лагранжа.
Решение вариационных задач, в которых функционал содержит производные
высших порядков, может быть сведено к решению вариационной задачи с функцио-
налом (5.1), т.е.
,),,,,,,()(
∫
′′
=
2
1
11
x
x
nn
dxyyyyxFyI
зависящим от нескольких функций, путём введения всех производных выше
первого порядка в качестве новых независимых переменных, связав их друг с другом
и с
y
условиями
dx
yd
y
′
=
′′
,
dx
yd
y
′′
=
′′′
,...,
dx
dy
y
n
n
)(
)(
1
−
=
.
Необходимые условия экстремума для вариационных задач с функционалом, за-
висящим от производных высших порядков, можно получить путём обобщения урав-
нения Эйлера.
Предположим, что функция
)(xyy
=
доставляет экстремум функционалу (6.1)
на однопараметрическом семействе функций
)()(
~
xxyy
α η
+=
, где
)(x
η
- произволь-
ная функция класса
],[
21
xxC
n
,
0
21
==
)()(
)()(
xx
ii
ηη
))(( 110
−=
ni
, имеет вид
∫
++
′′
+
′
+=
′′′
2
1
36
x
x
n
y
yyy
dxFFFFI
n
)().(
)(
)(
ηηηηδ
,
а необходимым условием экстремума функционала является обращение в нуль
первой вариации (6.3).
Если функция
)(xy
имеет производную порядка
n2
, то интегрирование по ча-
стям выражения (6.3) с учётом обращения в нуль первой вариации даёт необходимое
условие экстремума в форме дифференциального уравнения Эйлера-Пуассона
01 46
3
3
2
2
=−++−+−
′′′′′′
)(
)().(
n
y
n
n
n
yyyy
F
dx
d
F
dx
d
F
dx
d
F
dx
d
F
.
Общее решение дифференциального уравнения Эйлера-Пуассона (6.4) содержит
n2
произвольных постоянных, которые можно определить из граничных условий
(6.2).
В простейшей задаче вариационного исчисления условие Лежандра по знаку вы-
ражения
yy
F
′′
позволяло отделять максимум функционала от минимума. В вариаци-
онных задачах с функционалом, который зависит от старших производных, условие
Лежандра формулируется следующим образом.
Если
)(xy
доставляет минимум функционалу (6.1), т.е.
∫
′′′
=
2
1
x
x
n
dxyyyyxFyI ),,,,,()(
)(
,
то необходимо выполнение неравенства
0 56
≥
)()(
).(
nn
yy
F
,
а в случае максимума
0 66
≥
)()(
).(
nn
yy
F
.
Случай
0
=
)()( nn
yy
F
означает, что функционал – вырожденный.
В качестве примера вариационной задачи, функционал который содержит
производные высших порядков, рассмотрим электродвигатель постоянного тока, ко-
торый осуществляет перемещение исполнительного механизма. Известно, что нагрев
якоря пропорционален квадрату тока. С другой стороны, ток якоря пропорционален
сумме сил статического сопротивления исполнительного механизма и сил инерции,
зависящих от ускорения, т.е.
bxai
+=
,
где
−
i
ток якоря;
−
x
положение механизма;
−
b
сила статического сопротивле-
ния, которую предполагаем постоянной;
−
a
коэффициент, пропорциональный инер-
ции приводимых в движение масс.
29
Возникает задача, каким образом регулировать ток якоря, чтобы нагрев якоря,
т.е. интеграл
∫∫
+==
TT
dtbxadtiQ
0
2
0
2
)(
,
был минимальным при заданных
)(0x
,
)(0x
,
)(Tx
,
)(Tx
, которые задают переме-
щение исполнительного механизма.
Составляя уравнение Эйлера-Пуассона, получаем
0
2
2
=+
)( bax
dt
d
,
т.е.
0
IV
=
x
, откуда следует, что
43
2
2
3
1
CtCtCtCx
+++=
,
а ток якоря
btCtaCi
++=
2
2
3
1
26
,
т.е. минимальный нагрев обеспечивается регулированием тока якоря по линей-
ному закону в функции времени.
Проверяем условия Лежандра (6.5), (6.6), т.е.
0
≥
)()( nn
yy
F
,
0
≤
)()( nn
yy
F
,
и имеем
02
2
>=
aF
yy
,
следовательно, на экстремалях действительно может достигаться минимум по-
терь в якоре.
30