Козловский В.А., Кобзев В.В. Производственный и операционный менеджмент

Подождите немного. Документ загружается.

4. Сообразуясь с проставленными в клетках знаками, подсчитывается значение индекса

путем сложения или вычитания значений стоимости грузоединицы, которые занесены в каж-

дую клетку.

5. Повторяются шаги 1 - 4 до тех пор, пока не будут подсчитаны индексы для всех не-

использованных клеток. Если значение суммы всех индексов возросло или равно нулю, это

означает, что достигнуто оптимальное решение. Если нет, то существует возможность улуч-

шить текущее решение и понизить суммарные затраты перевозок.

Используем метод последовательного улучшения в приложении к рассматриваемому

примеру и проведем оценку неиспользованных маршрутов доставки грузов. Таких маршру-

тов четыре: А - Е, А - F, B - F, C - D.

Шаги 1 и 2. Начиная с маршрута А - Е, проложим кратчайший путь, последовательно

используя занятые клетки по рис.3.4, табл.3.9, и проставим знаки “плюс” и “минус” в углах

этого пути. Подчеркнем, что последовательно используются только клетки, занятые простав-

ленными значениями объема перевозок. Отсюда существует только один кратчайший путь

для каждой свободной клетки. Как только такой путь найден, можно проставлять знаки

“плюс” и “минус в каждом прямом углу найденного пути.

100 - 99

←

1 +

|$4

↓

1×$4 - 1×$5 + 1×$8 - 1×$4 =

+$3

↑

200 + 201

|$8

→

99 - 100

|$4

Рис. 3.4. Оценка клетки А - Е

Таблица 3.9.

Последовательная оценка альтернативных маршрутов

из

D E F

Мощности

заводов

- ← 100 ←

|$5

+ ← старт

|$4

|$3

100

+ ↓ 200 →

|$8

- ↑ 100

|$4

|$3

300

|$9

100

|$7

200

|$5

300

Потребности

складов

300 200 200 700

Шаг 3. Как решить, в какой клетке проставлять знак “плюс”, а в какой знак “минус”?

Ответ прост. Поскольку применяется затратная оценка пути А - Е, ее можно получить, рас-

сматривая перемещение только одного контейнера по маршруту А - Е. Это больше на одну

единицу, чем тот объем груза, который перемещался между двумя пунктами (там его просто

не было), поэтому в данной клетке проставляется знак “плюс”. Но мощность завода в пункте

А составляет 100 контейнеров, поэтому поставку из А в D необходимо уменьшить на едини-

цу. Это уменьшение отмечается знаком “минус” в соответствующей клетке. Продвигаясь по

короткому пути далее, отмечается, что потребность склада в D в размере 300 единиц теперь

не удовлетворяется, нужно увеличить на одну единицу поставку из В в D, сделав ее равной

201 единице. Отмечая данное увеличение, в соответствующий прямой угол проставляется

знак “плюс”. В заключение шага должна быть понижена на единицу поставка из В в Е, чтобы

сделанные изменения соответствовали мощности завода в В. Поэтому помещается знак “ми-

нус” в прямой угол В - Е. В результате получаем сбалансированное перемещение по всем че-

тырем наикратчайшим путям.

Шаг 4. Подсчитывается результат перемещения, используя значения стоимости пере-

возки одного контейнера, имеющиеся в клетках.

Индекс А - Е: $4 - $5 + $8 - $4 = +$3.

Это означает, что для каждого контейнера, перевозимого из А в Е, суммарные транс-

портные затраты будут возрастать на $3 по сравнению с достигнутым уровнем.

Проверим теперь не использованный маршрут из А в F, который несколько сложнее

провести по кратчайшему пути, чем в предыдущем случае. Опять отметим, что изменяем

движение вдоль пути только под прямым углом, двигаясь по занятым клеткам пути. Путь

проходит по пяти занятым к шестой пустой клетке А - F, как показано в табл.3.10.

Таблица 3.10.

Тестирование пути А - F

из

D E F

Мощности

заводов

A - 100

|$5

←

|$4

|$3

100

+ → 200

|$8

- 100

|$4

↑

|$3

300

|$9

+ → 100

|$7

- 200

|$5

300

Потребности

складов

300 200 200 700

Индекс А - F: $3 - $5 + $8 - $4 + $7 - $5 = +$4.

Как видим, и этот путь не снизит суммарных затрат на перевозки.

Оставшиеся два пути можно оценить, действуя подобным же образом.

Индекс В - F: $3 - $4 + $7 - $5 = +$1.

Кратчайший путь: BF - BE + CE - CF.

Индекс С - D: $9 - $7 + $4 - $8 = -$2.

Кратчайший путь: CD - CE + BE - BD.

В последнем случае отрицательный индекс показывает, что может быть получена эко-

номия затрат, если в маршруты перевозок включить не использованный маршрут С-D.

Итак, наличие отрицательного индекса при оценке не использованных путей свиде-

тельствует, что есть возможность улучшения полученного ранее решения; численное значе-

ние отрицательного индекса показывает размер возможного снижения суммарных затрат на

перевозки, если их осуществлять по данному пути. Поэтому следующий шаг сводится к вы-

бору пути, из числа не используемых и имеющих отрицательные индексы, по критерию мак-

симума экономии затрат, т.е. пути с наибольшим отрицательным индексом. Этот путь пред-

ставляет собой оптимальный план перевозок.

Опираясь на изложенные выше правила тестирования возможных путей перевозок,

можно получить матрицу окончательного решения задачи, стоящей перед фирмой; предлага-

ем это сделать читателю. Подведем только итог по примеру 3.4: оптимальным для фирмы

будет путь B - F.

Предложение не равно спросу. Наиболее частым в мире реальных проблем является

случай, когда суммарная потребность превосходит суммарные возможности снабжения. С

проблемами “разбалансированности” спроса и предложения можно легко справиться в тео-

рии, если в рассмотренные выше решения ввести фиктивные элементы. Для того, чтобы

обеспечить фиктивное равенство (баланс) суммарного предложения и суммарного спроса, в

матрицу решения вводятся фиктивные источники поступлений (завод), когда не хватает фак-

тических, т.е. предложение ниже спроса, или вводятся фиктивные потребители (производст-

венный склад), когда не хватает фактических, т.е. предложение выше спроса. В каждом из

этих случаев назначаются нулевые затраты на перевозки каждой фиктивной клетке: на таких

маршрутах по факту перевозки отсутствуют, отсутствуют и затраты на их осуществление.

Предположим, фирма из рассматриваемого примера увеличивает объем производства в

А, доводя мощность размещенного там завода до 250 единиц. Это увеличение производства

должно найти отражение в матрице, как показано в табл.3.11.

Таблица 3.11.

Правило северо-западного угла для матрицы с фиктивным столбцом

из

D E F Фиктивный Заводы

A 250

|$5

|$4 |$3 |$0

250*

B 50

|$8

200

|$4

|$3 |$0

300

|$9

|$7

150

|$5

150

|$0

300

Склады 300 200 200 150 850

Примечание. *Новая мощность завода в пункте А

Для нахождения начального допустимого решения снова используем правило северо-

западного угла; поскольку матрица сбалансирована за счет введения фиктивного столбца,

решение может быть найдено обычным путем.

Суммарные затраты:

250×$5+200×$4+50×$8+50×$3+150×$5+150×$0=$3350.

Вырожденность. Для того, чтобы использовать метод последовательного решения для

транспортной задачи, нужно рассмотреть правило, имеющее отношение к числу используе-

мых транспортных путей. Это правило может быть сформулировано следующим образом:

число занятых клеток в любом решении (начальном или более позднем) должно быть равно

числу строк в матрице решения плюс число столбцов матрицы без одного. Решение, в кото-

ром это требование не выполняется, называется вырожденным.

Вырожденность случается, когда слишком мало клеток используется в матрице перево-

зок. В результате становится не возможным прочертить последовательный замкнутый путь

для тестирования одной или нескольких не использованных клеток. Можно легко убедиться,

что рассмотренные ранее решения не имели вырожденности. Например, задача примера 3.4.

в начальной постановке имела 5 назначенных путей доставки (3 строки заводов + 3 столбца

складов - 1). В последнем случае, когда использован фиктивный столбец (фиктивный склад-

потребитель), имелось 6 назначенных путей доставки (3 строки + 4 столбца - 1).

Чтобы преодолеть проблему вырожденности, вводится искусственно занятая ячейка, в

которой размещается нулевая или близкая к нулевой перевозка (представляющая фиктивную

перевозку). Для этого используется одна из пустых клеток, которая далее рассматривается

как занятая. Фиктивная ячейка (клетка) размещается так, чтобы дать возможность прочер-

тить последовательный замкнутый путь, как это требует метод последовательного решения.

Фирма имеет три крупных распределительных центра (центральные склады снабже-

ния), из которых снабжает три своих центра розничной торговли (розничные склады-

потребители). Затраты перевозок, емкости складов снабжения и покупательский спрос в зоне

действия складов-потребителей представлены в транспортной матрице табл. 3.12.

Таблица 3.12.

Правило северо-западного угла и вырожденность

из

Потребитель 1 Потребитель 2 Потребитель 3

Склады

снабжения

Поставщик 1 100

|$8 |$2 |$6

100

Поставщик 2 0

|$10

100

|$9

120

Поставщик 3

|$7

|$10

|$7

Потребительский

спрос

100 100 100 300

Для нахождения начального плана перевозок используем правило северо-западного угла.

Начальное решение вырождено (нарушено правило, рассмотренное выше); для исправления

ситуации можно разместить 0 перевозок в пустой клетке, представляющей путь перевозки из

склада снабжения 2 к складу-потребителю 1. Теперь можно обозначить последовательно все

пути шагов решения и рассчитать все индексы, ведущие к улучшению плана перевозок.

МODИ метод. МODИ (модифицированный распределительный) метод позволяет рас-

считать улучшающие решения индексы для каждой пустой клетки, не прочерчивая всех свя-

занных путей. Это значительно экономит время при решении транспортной задачи.

Применение метода начинается с начального решения, полученного по правилу северо-

западного угла. Нужно определить значимость каждой строки (R

, R

, если имеется три

строки) и каждой колонки (К

, К

, если имеется три колонки) в транспортной матрице.

Обозначения:

- оценка, назначенная строке i (i=1, m);

- оценка, назначенная колонке j (j=1, n);

- затраты в клетке ij (затраты перевозки из источника i по назначению j).

МОDИ метод включает пять шагов.

1. Рассчитываются оценки для каждой строки и колонки в виде набора R

+ К

= С

, но

только для тех клеток, которые последовательно используются или заняты. Например, если

клетка находится на пересечении строки 2 и колонки 1, она формирует оценочный набор

+ К

= С

2. После того, как получены все наборы (уравнения), отмечается R

=0.

3. Решается система уравнений для всех R и К оценок.

4. Рассчитывается индекс улучшения для каждой пустой клетки:

индекс I

= С

- R

- К

5. Отбирается наибольший по абсолютному значению отрицательный индекс и про-

должается решение задачи (как было сделано, используя метод последовательного улучше-

ния решения).

Опираясь на начальное решение задачи, с использованием МОDИ метода рассчитаем

индексы каждой пустой клетки. Начальная транспортная матрица в несколько модифициро-

ванном виде представлена в табл.3.13.

Таблица 3.13.

Транспортная матрица (в обозначениях R

-К

)

из

(К

)

(К

)

(К

)

Мощности

заводов

A (R

) 100

|$5

|$4 |$3

100

B (R

) 200

|$8

100

|$4 |$3

300

C (R

)

|$9

100

|$7

200

|$5

300

Спрос складов 300 200 200 700

Сначала составим уравнения для каждой занятой клетки:

1) R

+ К

= 5;

2) R

+ К

= 8;

3) R

+ К

= 4;

4) R

+ К

= 7;

5) R

+ К

= 5.

Положив R

=0, можем легко, шаг за шагом, найти решение для К

, R

, К

, R

, К

1) 0 + К

= 5 ⇒ К

= 5;

2) R

+ 5

= 8 ⇒ R

= 3;

3) 3 + К

= 4 ⇒ К

= 1;

4) R

+ 1

= 7 ⇒ R

= 6;

5) 6 + К

= 5 ⇒ К

= -1.

Рассчитаем индексы улучшения для каждой пустой ячейки.

А - Е: I

= С

- R

- К

= 4 - 0 - 1 = $3;

A - F: I

= С

- R

- К

= 3 - 0 - (-1) = $4;

B - F: I

= С

- R

- К

= 3 - 3 - (-1) = $1;

C - D: I

= С

- R

- К

= 9 - 6 - 5 = -$2;

Заметим, что индексы точно такие же, как прежде. Теперь имеется только один эконо-

мически эффективный путь из С в D, к которому можно применить метод последовательного

улучшения решения.

Анализ размещения. Размещение нового завода или производственного склада имеет

важное значение для фирмы с финансовой точки зрения. Как правило, несколько альтерна-

тивных вариантов должны быть рассмотрены и оценены. На решение о размещении накла-

дывают ограничения множество факторов, но решающим является выбор варианта,

минимизирующего суммарные затраты.

Рассмотренные транспортные методы несомненно полезны, когда анализируются аль-

тернативы размещения мощностей разного назначения в рамках единой производственно-

распределительной системы (сети). Появление каждого нового завода или производственно-

го склада сопровождается появлением новых вариантов распределения и схем грузопотоков,

которые зависят от размеров, специфики, конкретных условий собственного производства и

потребления, от затрат транспортирования и других затрат, связанных с использованием тех

или иных ресурсов в каждом конкретном случае. Выбор нового размещения опирается на

критерий минимума общих затрат, т.е. затрат в рамках всей производственно-

распределительной системы. Эта концепция иллюстрируется примером 3.5.

Пример 3.5. Транспортная задача с учетом затрат производства и распределения.

Фирма последовательно реконструирует заводы в городах А и В, чтобы снабжать свои глав-

ные распределительные центры в городах Е и F. Учитывая увеличивающийся спрос на про-

дукцию ее заводов, фирма решает открыть третий завод и имеет вполне определенный выбор

его размещения в одном из двух городов - С или D. Имеющаяся информация о затратах про-

изводства и распределения, производственной мощности и распределении спроса сведена в

табл.3.14.

Таблица 3.14.

Данные о производстве и распределении фирмы

Затраты*

производства

Мощность,

единиц

Затраты*

распределения

Существующие А $6 600 $8 $5

заводы 1 и 2 В $5 900 $4 $7

Размещения С $4 500 $5 $6

нового завода 3 D $3 500 $4 $6

Прогнозируемый спрос 2000 800 1200

Примечание. * Затраты производства и распределения (перевозка, погрузка, хранение) в

расчете на единицу продукции, $ / ед.

Перед фирмой встает важнейший вопрос: какое новое размещение в комбинации с су-

ществующими заводами и центрами распределения обеспечит фирме минимальные затраты.

Для ответа на этот вопрос необходимо решить две транспортные задачи - по одной на каж-

дый из двух возможных вариантов размещения. Вариант, который обеспечит наиболее низ-

кие суммарные затраты размещения и производства для системы в целом, будет рекомендо-

ван к реализации.

Начнем с варианта, когда новый завод размещается в городе С. Транспортная матрица

для данного случая представлена в табл.3.15.

Таблица 3.15.

Транспортная матрица для варианта размещения нового завода в С

из

Мощности

заводов

A 600

|$14 |$11

600

B 200

|$9

700

|$12

900

|$9

500

|$10

500

Спрос 800 1200 2000

Используем правило северо-западного угла для нахождения начального решения. Сум-

марные затраты составят $23600. Заметим, что единичные затраты перевозки “завод - центр

распределения” в табл. 3.15 формируются добавлением затрат распределения к затратам

производства единицы, указанным в табл.3.14. Так, суммарные затраты производства плюс

перевозка единицы из А в Е равны $14 ($8 за перевозку + $6 за производство).

Суммарные затраты:

600×$14+200×$9+700×$12+500×$10=$8400+$1800+$8400+$5000= $23600.

Оптимально ли это начальное решение? Метод последовательного улучшения решения

позволит протестировать и рассчитать индексы для неиспользованных маршрутов. Индексы

улучшения решения будут следующими.

Индекс для маршрута А - F:

$11(A-F)-$14(A-E)+$9(B-E)-$12(B-F)=-$6.

Индекс для маршрута С - Е:

$9(C-E)-$10(C-F)+$12(B-F)-$9(B-E)=$2.

Поскольку фирма может сэкономить $6 на перевозке каждой единицы груза из А в F,

начальное решение будет улучшено, если по этому пути будет отправляться столько груза,

сколько возможно (600 единиц в данном случае). Улучшенная транспортная матрица пред-

ставлена в табл.3.16. Можно убедиться, что суммарные затраты составят теперь $20000, а

экономия по сравнению с начальным решением составит $3600.

Таблица 3.16.

Улучшенная транспортная матрица для варианта размещения в С

из

Мощности

заводов

|$14

600

|$11

600

B 800

|$9

100

|$12

900

|$9

500

|$10

500

Спрос 800 1200 2000

Далее нужно протестировать два неиспользованных пути и выяснить, не имеют ли они

отрицательные индексы улучшения решения.

Индекс для маршрута А - Е: $14 - $11 + $12 - $9 = $6.

Индекс для маршрута С - Е: $9 - $10 + $12 - $9 = $2.

Оба индекса положительны, т.е. оптимум достигнут и показывает, что новый завод

нужно размещать в городе С. Если фирма принимает этот план размещения, то ее суммарные

затраты на производство и распределение составят $20000.

Рассмотренный пример дает ответ лишь на половину вопроса, который поставила

фирма. Такая же транспортная задача должна быть решена для варианта размещения, пред-

полагающего строительство нового завода в городе D. Но эту возможность поупражняться

оставляем читателю.

Вопросы для самопроверки

1. Каковы содержание и задачи стратегии размещения?

2. Каков экономический смысл проблемы размещения?

3. Что представляет собой проблема размещения с операционной точки зрения?

4. Какие задачи размещения возникают в различных областях операционной деятельности

предприятия (фирмы)?

5. Какие факторы необходимо учитывать при принятии решения о размещении?

6. Чем различается подход к принятию решения о размещении в сфере материального про-

изводства и в сфере сервиса?

7. Как используется метод взвешивания в приложении к задачам размещения?

8. Как используется анализ критической точки в приложении к задачам размещения?

9. В чем заключается метод “центра гравитации”?

10. Какие методы решения транспортной задачи Вам известны и как они используются в

приложении к задачам размещения?

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Фирма принимает решение об открытии регионального торгового представи-

тельства. Какой из регионов является наиболее привлекательным? Для ответа на этот вопрос

фирмой подготовлен специальный рейтинговый лист, представленный ниже.

Рейтинговый лист регионов

(варианты размещения торгового представительства)

Фактор Вес

Оценки

по региону 1

Оценки

по региону 2

Оценки

по региону 3

Оценки

по региону 4

1 .35 4 5 3 4

2 .30 4 2 4 3

3 .20 3 3 4 5

4 .10 5 4 4 3

5 .05 2 5 4 3

Общая оценка 1.00

Ответ: наиболее привлекательным для фирмы является регион 1, так как он получил

наибольшую рейтинговую оценку 3,8. Рейтинговые оценки остальных регионов: второй –

3,6; третий – 3,65; четвертый – 3,75.

Задача 2. Найти наиболее экономичное размещение для объема работ 10000 единиц в

год. Рассматриваются три альтернативы: места размещения А, В, С. Постоянные затраты по

местам размещения соответственно $60000, $90000, $120000; переменные затраты - $9, $7,

$5 на единицу работ. Ожидаемая цена единицы работ $20.

Ответ: при заданном объеме наиболее экономичное размещение – место А, которое

характеризуется минимальными затратами размещения $150000; ожидаемый доход при этом

$50000 в год.

Задача 3. Определить место размещения оптовой базы при следующих исходных данных.

Координаты потребителей Месячный спрос, в тоннах

(50; 35) 600

(75; 60) 100

(25; 95) 400

(40; 65) 300

(80; 20) 900

Ответ: оптовая база должна размещаться в географической точке с относительными

координатами (57,2; 44,6).

Задача 4. Составить план перевозок, определить их суммарную стоимость при сле-

дующих исходных данных.

Транспортная матрица задачи

из

D E F

Мощности

поставщиков

|$21 |$12 |$9

1500

|$11 |$19 |$18

4500

|$13 |$15 |$14

4500

Спрос потребителей 4500 3000 3000 10500

Ответ: Решение по правилу северо-западного угла

из

D E F

Мощности

поставщиков

A 1500

|$21 |$12 |$9

1500

B 3000

|$11

1500

|$19 |$18

4500

|$13

1500

|$15

3000

|$14

4500

Спрос потребителей 4500 3000 3000 10500

Суммарная стоимость перевозок $157500.

Тест для самоконтроля

1. В трудоизбыточных регионах целесообразнее размещать:

а) материалоемкие производства; б) энергоемкие производства; в) трудоемкие произ-

водства; г) капиталоемкие производства.

2. Точку розничной торговли целесообразнее размещать:

а) поближе к поставщику; б) поближе к местам скопления народа; в) поближе к транс-

портной магистрали; г) поближе к готовым инженерным коммуникациям.

3. Для выбора места размещения автозаправочного комплекса нужно прежде всего изу-

чить:

а) розу ветров; б) архитектурно-строительный план территории; в) схему пассажиропо-

токов и их интенсивность; г) схему транспортных потоков и их интенсивность.

4. Критерием для выбора места размещения в сервисе является:

а) минимум транспортных издержек; б) минимум общих затрат; в) максимум выручки;

г) максимум цены.

5. Какой из регионов А, В или С более предпочтителен для размещения объекта фирмы,

если в регионе А приходится платить работникам $13 в час при производительности 1,2 еди-

ницы работы в час, в регионе В - $12 при производительности 1,10 единицы в час, в регионе

С - $10 при производительности 1,00 единица в час:

а) регион А; б) регион В; в) регион С; г) все регионы равнозначны.

6. Какой из вариантов размещения является более предпочтительным при следующих

исходных данных:

Отрицательный

фактор

Вес Оценки

по пункту А

Оценки

по пункту В

Взвешенные

оценки по пункту А

Взвешенные

оценки по пункту В

1 .39 70 75

2 .25 60 70

3 .21 70 60

4 .10 80 85

5 .05 60 50

Общая оценка 1.00

а) пункт А; б) пункт В; в) оба пункта равнозначны; г) оба пункта неприемлемы.

7. Выбрать наиболее экономичный вариант размещения для объема продаж 5000 еди-

ниц в год при постоянных затратах по местам размещения А, В, С соответственно $30000,

$70000, $100000, переменных затратах $70, $50, $20 на единицу.

а) пункт А; б) пункт В; в) пункт С; г) все пункты равнозначны.

8. Определить размер ожидаемой прибыли для наиболее эффективного варианта раз-

мещения из предыдущей задачи при ожидаемой цене $90 за единицу:

а) $50000; б) $0000; в) $90000; г) $120000.

9. Определить координаты центра гравитации, если координаты потребителей и их спрос

(единиц/ период) соответственно равны А(70; 40) – 300, В(30; 60) – 400, С(50; 20) – 300:

а) (20; 40); б) (50; 30); в) (48; 42); г) (36; 38).

10. Определить суммарную стоимость перевозок, сделав назначения по правилу северо-

западного угла, при следующих исходных данных.

Транспортная матрица задачи

из / в

Мощности заводов

|$10 |$20 |$20

100

|$5 |$5 |$5

300

|$20 |$10 |$5

300

Потребности складов 300 200 200 700

а) $3500; б) $3900; в) $4200; г) $4500.