Козловский В.А., Кобзев В.В. Производственный и операционный менеджмент

Подождите немного. Документ загружается.

распределяются по закону Пуассона; используется FIFS-дисциплина; осуществляется одно-

фазное обслуживание. В дополнение они описывают системы сервиса, которые оперируют в

стабильных условиях, т.е. прибытие и обслуживание остаются стабильными во время анали-

за. Рассматриваемые модели очередей представлены в табл.1.1.

Таблица 1.1.

Модели очередей

Наименова-

ние модели

Пример

Число

каналов

Число

фаз

Распреде-

ление

прибытий

Распреде-

ление вре-

мени об-

служивания

Размер

источни-

ка

Дисцип-

лина

очереди

Простая

(М/M/1)

Прилавок в от-

деле магазина

Однока-

нальная

Одна Пуассона

Экспонен-

циальное

Не огра-

ничен

FIFS

Многока-

нальная

(М/M/S)

Окно продажи

авиабилетов

Много-

каналь-

ная

Одна Пуассона

Экспонен-

циальное

Не огра-

ничен

FIFS

С постоян-

ным време-

нем обслу-

живания

(М/D/1)

Автоматиче-

ская мойка ма-

шин

Однока-

нальная

Одна Пуассона

Постоян-

ное

Не огра-

ничен

FIFS

С ограни-

ченным раз-

мером ис-

точника

Узлы машины,

которые могут

ломаться

Однока-

нальная

Одна Пуассона

Экспонен-

циальное

Ограни-

чен

FIFS

0 30 60 90 120 150 180

Вероят-

ность для

интерва-

лов

1 мин.

Рис.1.7. Примеры отрицательного экспоненциального распределения

для времени обслуживания

Среднее время обслуживания 20 мин.

Среднее время обслуживания 60 мин.

ероятность того, что обслуживание длится дольше, чем х мин.

Время обслуживания, мин.

Модель А: одноканальная модель очередей. Одноканальная, или односерверная, систе-

ма обслуживания. Прибытия формируют простую очередь на обслуживание к одной стан-

ции. Используется пуассоновское распределение прибытий и экспоненциальное время об-

служивания.

Допускается, что следующие условия относятся к этому типу систем.

1. Прибытия обслуживаются по правилу “первым пришел, первым обслужен” (FIFS),

каждое прибытие ожидает обслуживания в зависимости от длины очереди.

2. Прибытия являются независимыми от предыдущих прибытий, но среднее число при-

бытий не изменяется во времени.

3. Прибытия описываются пуассоновским распределением вероятности и поступают из

неограниченного (или бесконечно большого источника).

4. Времена обслуживания изменяются от одного клиента к другому и не зависимы друг

от друга, но их среднее время известно.

5. Время обслуживания подчинено отрицательному экспоненциальному закону распре-

деления.

6. Время обслуживания меньше времени между прибытиями.

Формулы для модели А, или М/М/1, представлены в табл.1.2.

Таблица 1.2.

Формулы для модели очередей А - простой, или М/M/1

l - среднее число прибытий за период времени;

m - среднее число обслуженных за период времени

Среднее число единиц (клиентов) в системе Ls = l /(m-l)

Среднее время единицы, проводимое в системе (время ожидания + время обслуживания)

Ws = 1/(m-l)

Среднее число единиц в очереди Lq = l

/m(m-l)

Среднее время единицы, проводимое в ожидании в очереди Wq = l/m(m-l)

Коэффициент использования системы r = l/m

Вероятность 0 единиц в системе (когда обслуживание бесполезно) P

= 1 - l/m

Вероятность более, чем k единиц в системе Pn>k = (l/m)

k+1

Пример 1.7. Модель М/М/1. Рабочий в мастерской автосервиса способен обслуживать

три автомобиля в час (или около 20 минут на один автомобиль) согласно отрицательному

экспоненциальному распределению. Клиенты, нуждающиеся в этом обслуживании в мастер-

ской, появляются по два в час, подчиняясь распределению Пуассона. Клиенты обслуживают-

ся по правилу FIFS и появляются из практически неограниченного источника возможных по-

требителей услуг.

Операционные характеристики системы очередей мастерской:

l = 2 автомобиля, поступившие за час

m = 3 автомобиля, обслуженные за час

Ls = l/(m-l) = 2/(3-2) = 2/1=2 автомобиля в системе в среднем

Ws = 1/(m-l)= 1/(3-2) = 1 - среднее время ожидания в системе

Lq = l

/m(m-l) = 2

/3(3-2)= 4/3(1)=4/3=1.33 автомобиль, ожидающий в очереди в среднем

Wq = l/m(m-l) = 2/3(3-2) =2/3 час = 40 минут - среднее время ожидания в очереди на 1 авто-

мобиль

r = l/m = 2/3 = 66.6% времени механик занят

= 1 - l/m = 1 - 2/3 = 0.33 - вероятность 0 автомобилей в системе

Вероятность более, чем k автомобилей в системе

k Pn>k = (2/3)

k+1

0 .667 <------- Это эквивалентно 1-Р

=1-.33=.667

1 .444

2 .296

3 .198 <------- Означает, что в 19.8% случаев больше, чем 3 автомобиля находятся

в системе

4 .132

5 .088

6 .058

7 .039

После того, как рассчитаны операционные характеристики системы очередей, можно

провести их экономический анализ.

Пример 1.8. Анализ затрат для модели М/М/1. Владелец мастерской автосервиса уста-

новил, что затраты ожидания в терминах неудовлетворенности клиента уровнем обслужива-

ния, составляют $10 за час времени, проведенного в ожидании в очереди. С поступающего

автомобиля имеем 2/3 часа ожидания (Wq), распространяя это на 16 автомобилей, обслужи-

ваемых в день (два в час на восемь часов работы в день), получаем общее число часов, ко-

торое клиенты ожидают в очереди на ремонт каждый день - 2/3 (16) = 32/3 = 10 2/3 часа.

Затраты клиентов на ожидание в очереди = $10 (10 2/3) = $107/день.

Другие основные затраты владельца мастерской могут определяться заработком меха-

ника, который получает $7/час, или $56/день.

Общие рассчитанные затраты = $107 +$56 = $163/день.

Модель В: многоканальная модель очередей. Многоканальная система очередей, в ко-

торой два или более канала (сервера) способны обслуживать клиентов. Предполагается, что

клиенты, ожидающие в очереди, обслуживаются первым освободившимся сервером. Прибы-

тия подчиняются пуассоновскому распределению вероятности, время обслуживания имеет

экспоненциальное распределение. Обслуживание ведется по правилу FIFS, и все серверы ра-

ботают по этому правилу. Остаются и другие предположения, описанные ранее для однока-

нальной модели.

Уравнения очередей для модели В, или M/M/S, показаны в табл.1.3.

Таблица 1.3.

Формулы для модели очередей В - многоканальной, или M/M/S

M - число открытых каналов; l - средняя скорость прибытий;

m - средняя скорость обслуживания для каждого канала

Вероятность, что ноль клиентов или единиц в системе

)/(

])/(

[

−

∑

−

Mmдля

lMm

Среднее число клиентов или единиц в системе

mlP

lMmM

mllm

)()!1(

)/(

−−

Среднее время единицы, проводимое в ожидании или обслуживании (а именно в системе)

lLsmP

lMmM

mlm

//1

)()!1(

)/(

−−

Среднее число клиентов или единиц в очереди на обслуживание Lq = Ls - l/m

Среднее время единицы, проводимое в ожидании в очереди на обслуживание

Wq = Ws - 1/m = Lq/l

Пример 1.9. Модель M/M/S. Мастерская автосервиса открывает второй пункт ремонта и

нанимает второго механика. Заказы, которые появляются по правилу l=2/час, будут выстрое-

ны в очередь, пока один из двух механиков не освободится. Каждый механик ремонтирует

автомобили по правилу m=3/час.

Чтобы выяснить, как эта система будет конкурировать со старой одноканальной систе-

мой очередей, вычисляем ряд операционных характеристик для М=2 канала и сравниваем

результаты с найденными в первом примере.

2/1

)4/6)(9/4(2/13/21

2)3(2

)3(2

)3/2(

]

)3/2(1

[

−

∑

т.е. 0.5 - вероятность 0 автомобилей в системе.

Тогда

4/33/2)2/1(

3/8

3/2)2/1(

]2)3(2[!1

)3/2)(3)(2(

=+=+

−

= .75 - среднее число автомобилей в системе.

Ws = Ls/l = .75/2= 3/8 час = 22.5 минуты - среднее время автомобиля, проводимое в системе.

Lq = Ls - l/m = 3/4 - 2/3 = 1/12 = 0.083 - среднее число автомобилей в очереди.

Wq = Lq/l =.083/2 =.0415 чаc = 2.5 минуты - среднее время автомобиля в ожидании в очереди.

Можем обобщить эти характеристики и сравнить их с одноканальной моделью.

Одноканальная модель Двухканальная модель

.33 .5

Ls 2 автомобиля .75 автомобиля

Ws 60 минут 22.5 минуты

Lq 1.33 автомобиль .083 автомобиля

Wq 40 минут 2.5 минуты

Расширение обслуживания имеет эффект практически на всех характеристиках. Осо-

бенно на времени ожидания в очереди, которое сокращается с 40 минут до 2.5 минут.

Модель С: модель с постоянным временем обслуживания. Время обслуживания посто-

янное взамен экспоненциального распределения времени обслуживания. Поэтому размер Lq,

Wq, Ls, Ws всегда меньше, чем в модели А. Средняя длина очереди и среднее время ожида-

ния в очереди короче в два раза. Формулы для модели С, или M/D/1, даны в табл.1.4.

Таблица 1.4.

Формулы для модели очередей С - с постоянным временем обслуживания, или M/D/1

Средняя длина очереди:

)(2

lmm

−

Среднее время ожидания в очереди:

)(2 lmm

−

Среднее число каналов в системе: Ls = Lq + l/m

Среднее время, проводимое в системе: Ws = Wq + 1/m

Пример 1.10. Модель M/D/1. Компания имеет грузовые автомобили, которые привозят

материалы для переработки, ожидая в среднем по 15 минут перед разгрузкой. Затраты води-

теля и автомобиля в очереди составляют $60/час. Может быть закуплен новый разгрузчик,

чтобы процесс разгрузки выполнялся по правилу 12 автомобилей в час (то есть 5 минут на

автомобиль). Грузовые автомобили появляются согласно распределению Пуассона со сред-

ней 8 автомобилей в час. Если использовать новый разгрузчик, его затраты на амортизацию

составят $3 на разгрузку. Анализ изменения затрат и результатов от покупки разгрузчика дал

следующие результаты.

Существующие затраты ожидания на 1 рейс = (1/4 час ожидания)($60/час затрат) = $15/рейс.

Новая система: l=8 грузовиков/час поступающих, m=12 грузовиков/час обслуживаемых.

Среднее время ожидания в очереди Wq = l/[2m(m-l)]=8/[2(12)(12-8)]=1/12 час.

Затраты ожидания на 1 рейс с новым разгрузчиком = (1/12 час очереди)($60/час затрат) =

= $5/рейс.

Экономия с новым оборудованием =$15(существующая система)-$5(новая система) =

= $10/рейс.

Затраты на амортизацию нового оборудования $3/рейс. Чистая экономия $7/рейс.

Модель D: модель с ограниченным источником. Имеется ограниченный источник по-

тенциальных клиентов для узла обслуживания, т.е. в системе обслуживается некоторое огра-

ниченное число клиентов (объектов). Существует связь между длиной очереди и правилом

появления заявки: чем длиннее очередь, тем меньше прибытий клиентов.

Табл.1.5. показывает формулы для модели D с ограниченным источником.

Таблица 1.5.

Формулы и обозначения для модели очередей D - с ограниченным размером источника

Формулы

Сервисный показатель X = T/(T+U)

Среднее число ожидающих L= N(1-F)

Среднее время ожидания

UTL

)1()(

−

Среднее число обрабатываемых J = NF(1-X)

Среднее число обслуженных H = FNX

Размер источника N = J+L+H

Обозначения: D - вероятность того, что единица будет ожидать в очереди; F - коэффи-

циент эффективности; H - среднее число единиц обслуженных; J - среднее число обрабаты-

ваемых единиц; L - среднее число единиц, ожидающих обслуживания; М - число каналов об-

служивания; N - число потенциальных клиентов; T - среднее время обслуживания; U - сред-

нее время между единицами, поступающими на обслуживание; W - среднее время ожидания

в очереди единицы; X - сервисный показатель.

Алгоритм расчета.

1. Рассчитываем Х (сервисный показатель, где Х =Т/(T+U)).

2. Находим Х и соответствующее М (где М - число каналов обслуживания).

3. Устанавливаем соответствие D и F.

4. Рассчитываем L, W, J, H или что-либо другое, необходимое для измерения работы

системы обслуживания.

Пример 1.11. Модель очередей с ограниченным размером источника. Статистика сви-

детельствует, что каждый из пяти имеющихся агрегатов требует ремонта после примерно 20

часов работы. Поломки определяются распределением Пуассона. Один техник может отре-

монтировать агрегат в среднем за два часа в соответствии с экспоненциальным распределе-

нием. Поломка агрегата обходится в $120/час, техникам платят $25/час. Нужно ли принять

второго техника для ремонта?

Предположим, второй техник может чинить агрегат в среднем за два часа. Считаем, что

ограниченный источник равен пяти агрегатам, чтобы сравнить затраты одного или двух тех-

ников.

1. Отмечаем, что Т=2 часа и U=20 часов.

2. Тогда Х=Т/(T+U)=2/(2+20)=2/22=.091(округляем до .090).

3. Для М=1 каналу, D=.350 и F=.960.

4. Для М=2 каналам, D=.044 и F =.998.

5. Среднее число работающих агрегатов J=NF(1-X).

Для М=1 J=(5)(.960)(1-.091)=4.36.

Для М=2 J=(5)(.998)(1-.091)=4.54.

6. Стоимостной анализ выглядит следующим образом

Число

техников

Среднее число агре-

гатов в ремонте

Средние затраты в час

для времени ремонта

(N-J)($120/час)

Затраты в час для

техников

(по $25/час)

Общие

затраты

.64

.46

$76.80

$55.20

$25.00

$50.00

$101.80

$105.20

Анализ показал, что достаточно иметь одного техника. При этом будет иметь место

экономия в размере: $105.20-101.80=$3.40 в час.

В практической деятельности менеджер может столкнуться с ситуациями, для которых

требования традиционных моделей не удовлетворяются. В этих случаях используются более

сложные математические модели или методы, называемые моделированием Монте-Карло.

Многие реальные приложения теории очередей требуют применения, где это возмож-

но, имитационного компьютерного моделирования, которое стало неотъемлемой частью

многих стандартных пакетов прикладных программ, используемых в производственном/

операционном менеджменте.

1.4. Сетевое планирование и управление проектами

Практически все организации сталкиваются с проблемой разработки и реализации про-

ектов, в т.ч. дорогостоящих и долговременных. Это касается не только проектов обычных

изделий, услуг, работ в сфере производства и сервиса. Существуют специальные проекты

(строительство заводов, небоскребов, судов, космических станций), требующие выполнения

тысяч скоординированных во времени и в пространстве операций по закупкам и производст-

ву, хранению и доставке, информационному обеспечению и сопровождению. Повсеместно

все отрасли бизнеса и государство стремятся управлять проектами – с целью наиболее эф-

фективного выполнения сложного комплекса взаимосвязанных работ.

Управление проектами. Специальные проекты, которые осуществляются на протяже-

нии многих месяцев и лет, выходят за рамки обычных представлений об управлении хозяй-

ственной деятельностью компаний. Основное требование к организации таких комплексов

работ - нацеленность на конечный результат, или целенаправленность. Основное требование

к управлению такими комплексами работ - постоянное владение ситуацией, или информиро-

ванность менеджмента проекта о текущем состоянии дел и возможность своевременного

вмешательства. Для выполнения подобных проектов внутри фирм и между фирмами на по-

стоянной или временной основе создаются проектные или исследовательские команды, ко-

торые организационно могут оформляться как реальные или виртуальные административные

единицы (подразделения) и самостоятельные организации (предприятия, их объединения). В

операционном аспекте управление такими проектами включает три фазы: (1) планирование

проекта как комплекса работ (в т.ч. по исполнителям, ресурсам и затратам); (2) составление

расписания работ; (3) диспетчирование хода работ.

Для целей управления проектами наилучшим образом зарекомендовали себя на прак-

тике методы сетевого планирования и управления, которые активно используются и в иных

областях, в частности, в управлении поставками по логистической цепи. Сетевое планиро-

вание и управление играет важную роль в реализации поставок и проектов, поскольку помо-

гает ответить на вопросы о сложных логистических и проектных процессах, состоящих из

тысяч работ: когда может быть завершен или должен быть начат комплекс работ в целом;

какие работы комплекса являются критическими, а какие не критическими; какова вероят-

ность, что работы будут завершены к конкретной дате; исполняются ли работы в соответст-

вии с расписанием; расходуются ли средства в соответствии со сметой; достаточно ли ресур-

сов, чтобы закончить работы в срок; как завершить работы в более короткий срок с наи-

меньшими затратами, и ряд других.

Объективная возможность применения сетевых методов как в управлении ходом про-

ектов, так и в управлении ходом поставок, заключается в следующем. Прежде всего, это

общность целей управления - получить конечный результат в точном соответствии с требо-

ваниями заказчика (обеспечив требуемый по условиям внешней среды уровень сервиса) - к

требуемому сроку, в требуемом объеме, ассортименте, качестве, месте представления, с за-

тратами минимально возможными/не выше допустимых. Наконец, в обоих случаях объектом

управления являются сходные по своей природе потоковые процессы, представляющие

сложные по составу и взаимосвязям последовательности работ (операции, подпроцессы), ко-

торые требуют взаимной координации выполнения во времени (по срокам начала и оконча-

ния), в пространстве (в т.ч. по исполнителям) и по ресурсному обеспечению.

Универсальность сетевых методов такова, что они могут одинаково успешно использо-

ваться для организации, планирования, учета и контроля, регулирования хода работ (достиже-

ния целей управления) на оперативном, тактическом и стратегическом уровне управления;

причем не только фирм, но и региональных, национальных экономик, глобальных организаци-

онных образований или целевых программ. Главное их достоинство - возможность не только

планирования, но и контроллинга хода работ в режиме реального времени. Сетевая техника

планирования и управления представляет интерес и как эффективное средство оперативного

обнаружения и устранения внутренних сбоев, а также распространения регулирующих воздей-

ствий в сложных цепочках работ в порядке ответной своевременной реакции на изменения во

внешней среде (спрос, научно-технический прогресс, политическая ситуация и т.д.).

В основе практически всех из известных систем сетевого планирования и управления

лежит техника построения и использования сетевого графика, которая предполагает выпол-

нение следующей общей последовательности шагов: выделить все основные работы или за-

дачи комплекса; установить взаимосвязи и порядок предшествования для всех работ; вычер-

тить сеть, содержащую все работы; определить время и/или денежные затраты, относящиеся

к каждой работе; рассчитать самую продолжительную последовательность работ в сети, оп-

ределяющую общую длительность выполнения всего комплекса работ и календарную дату

окончания; использовать сеть для оптимизации плана по срокам и ресурсам, для учета и кон-

троля, регулирования хода работ в режиме реального времени.

Для выполнения каждого из шагов на практике могут использоваться различные мето-

ды, которые обеспечивают разную точность получаемых результатов и имеют разную сте-

пень сложности в реализации. Рассмотрим основные понятия и процедуры, используемые в

сетевом планировании и управлении, опираясь на примеры и термины “метода критическо-

го пути (CPM)”.

Техника сетевого планирования и управления. Ставится задача: построить сетевой

график, выполнить расчет параметров сети и календарную привязку графика; определить

общую длительность цикла и календарный срок завершения всего комплекса работ.

Пример 1.12. Техника сетевого планирования. Исходные данные: календарный срок

начала работ по приказу - 3.01; состав работ, их взаимосвязь и продолжительность t - заданы

в таблице.

Работа Предшествующие работы Длительность, недель Код работы*

A - 3 0 - 1

B A 5 1 - 2

C B 1 2 - 6

D A 14 1 - 3

E D 1 3 - 6

F A 8 1 - 4

G F 1 4 - 6

H B, D, F 3 5 - 6

I C, E, G, H 6 6 - 7

*Примечание. Заполняется после составления сетевого графика.

1) Построение сетевого графика. Первый шаг состоит в разделении процесса на эле-

менты сети.

Основными элементами сети являются работы и события. Работой является частная

(локальная) задача в составе целого проекта или простой процесс в составе сложного про-

цесса, представляющих собой комплекс работ. Каждая работа находится между двумя собы-

тиями, означающими начало и завершение данной работы. Обычно на сетевом графике ра-

боты изображаются однонаправленными стрелками, события - кружками.

В общем случае для построения сетей может использоваться один из двух подходов:

наиболее распространенный “Activity-on-Arrow (AOA)”, когда работы в сети изображаются

графически в виде направленных дуг; “Activity-on-Node (AON)”, когда работы в сети изобра-

жаются в виде узлов.

Любой проект или процесс, который может быть описан с помощью работ и событий,

может быть представлен в виде сети. Построение сети выполняется, как правило, слева на-

право и включает ряд шагов: 1 - изображение последовательности работ и установление ло-

гических взаимосвязей в порядке их выполнения; 2 - введение событий как результатов ра-

бот и исключение лишних зависимостей; 3 - построение окончательного варианта сетевого

графика и кодирование его элементов.

Если присвоить каждому событию сети номер, то можно идентифицировать каждую ра-

боту сети с помощью ее начального и конечного события - их номера образуют код работы.

Например, работа A в примере начинается с события 0 и заканчивается в событии 1; ей

присвоен код 0 - 1.

Узлы (события) в сети нумеруются в том же направлении, в каком строится график и

направлена ось времени, т.е. слева направо (в хронологической последовательности). Исход-

ный узел (событие) сети получает порядковый номер 0, завершающий узел (событие) - наи-

больший номер в сети.

В примере последний узел имеет номер 7.

Бывают ситуации, когда в сети имеются две и более работы с одним и тем же началь-

ным событием и конечным событием. Тогда в сеть могут быть введены фиктивные работы и

события. Их основное назначение - зафиксировать, не позволить нарушить логику взаимо-

связи и взаимной очередности следования работ и событий в сети, как это предписано ис-

ходными данными; продолжительность фиктивной работы равна 0. Использование фиктив-

ных работ и событий особенно важно, когда компьютерная программа предназначена для

определения критического пути и срока завершения всех работ.

В примере работы 2 - 5, 3 - 5, 4 - 5 являются фиктивными.

2) Расчет параметров сети. Целью расчета является определение календарных сроков

- наиболее ранних из возможных и наиболее поздних из допустимых - для свершения каждо-

го события, соответственно для начала и окончания каждой работы в сети; на основании это-

го определяются резервы времени для свершения событий и выполнения работ.

Параметры событий. Каждое событие характеризуется следующим набором парамет-

ров: E - ранний срок свершения события; L - поздний срок свершения события; S - резерв

времени свершения события, где S=L -E.

Параметры работ. Любая работа начинается в одном событии (начало работы) и

оканчивается в другом (окончание работы). Поэтому каждая работа характеризуется сле-

дующим набором параметров: ES - ранний срок начала работы; LS - поздний срок начала

работы; EF - ранний срок окончания работы; LF - поздний срок окончания работы; SS - ре-

зерв времени работы, где SS= LS - ES или SS= LF - EF.

Все предшествующие работы должны быть завершены до начала данной работы, по-

этому время полного завершения наиболее поздней из них есть раннее время начала данной

работы ES; все последующие за данной работы должны быть завершены без изменения сро-

ков выполнения комплекса работ в целом, этим определяется позднее время окончания дан-

ной работы LF. Взаимосвязь параметров работы:

LS= LF - t; EF= ES + t; SS= LF- ES - t.

Для расчета параметров сети используется следующий алгоритм, графическая версия

которого представлена на рис.1.8:

1 - ранний срок исходного события, имеющего номер 0 в сети, принимается равным 0,

т.е. E(0)=0; это объясняется тем, что для удобства модельное время начинают отсчитывать с

момента времени 0;

2 - выполняется расчет ранних сроков свершения всех событий в сети от исходного до

завершающего (слева направо), используя выражение EF= ES + t, где ES - это ранний срок

свершения события, в котором данная работа начинается, EF - это ранний срок свершения

события, в котором данная работа оканчивается;

3 - поздний срок свершения завершающего события, имеющего номер М в сети, при-

нимается равным его раннему сроку свершения, т.е. L(M)=E(M); это объясняется тем, что

конечный срок завершения всего комплекса работ предполагается директивно заданным, за-

держки не допустимы, резерв времени отсутствует;