Козловский В.А., Кобзев В.В. Производственный и операционный менеджмент

Подождите немного. Документ загружается.

140

1. Q* = sqr (2DS/H), 2. Q* = sqr (2 *1000*10/0.50),

3. Q* = sqr (4000), 4. Q* = 200 единиц.

Идеальная модель управления запасом. На основе модели EOQ можно определить ос-

новные параметры идеальной модели управления запасом, представленной на рис.6.2-а.

Приняв размер партии поставки (размер заказа для пополнения запаса) Q*=const, пе-

риодичность поставки R=const, получим постоянную интенсивность потребления запаса d =

Q* / R.

Число заказов N, размещаемых в течение года:

N = D/Q*.

Время между заказами (периодичность поставки) R:

R = F/ N,

где F - число рабочих дней в году.

Спрос на день (интенсивность потребления запаса) d определяется отношением годово-

го спроса D к числу рабочих дней в году F:

d = D/F.

В выражение для общих затрат запасов ТС могут быть включены затраты на приобре-

тение единиц запаса.

Пример 6.4. Идеальная модель управления запасом. Считая, что в году 250 рабочих

дней, можно определить точное число заказов, размещаемых в течение года (N), и точное

время между заказами (R):

Точное число заказов = Спрос / Заказываемое количество,

N = D/Q* = 1000/200 = 5 заказов/год,

Точное время между заказами = Число рабочих дней в году / Точное число заказов в год,

R = F/N = 250 рабочих дней/5 заказов = 50 дней между заказами.

Общие затраты запасов:

Рис.6.2. Идеальные модели управления запасом:

а – с одномоментным восполнением запаса; б - с восполнением запаса за время L=const

(при постоянной интенсивности потребления d=const)

R 2R Время

Восполнение

и потребление

запаса

Только

потребление

запаса

Размер

запаса

= p

б)

Q=const

R=const

Размер

запаса

0 R 2R Время

ср

=Q/2

tg α = d

а)

141

TC = DS/Q + QH/2 =1000($10)/200+200($.50)/2=(5)($10)+(100)($.50)= $50+$50= $100.

Если допустить, что годовой спрос и цена продукции известны (например, 1000 штук в

год по Р=$10), то общие годовые затраты должны включать затраты покупки материалов.

Затраты на материалы не зависят от существующей политики заказов, определяемой как оп-

тимальная. Поэтому независимо от того, сколько единиц заказывается каждый раз, должны

определяться ежегодные затраты на материалы:

DP = (1000)($10) = $10000.

Модель производственного заказа. В модели EOQ предполагалось, что все количество

единиц заказа поступает одновременно, и пополнение запаса невозможно во время его по-

требления. Однако чаще встречаются ситуации, когда запас потребляется и пополняется од-

новременно, при этом скорость потребления и скорость пополнения запаса различны. В та-

ких условиях, характерных для производства, применяется так называемая модель производ-

ственного заказа, которую иллюстрирует рис.6.2-б.

1) Годовые затраты хранения запаса TH:

TH = (Z“

max

/2)H,

где Z“

max

/2 - средний уровень запаса; Z“

max

- максимальный уровень запаса.

2) Максимальный уровень запаса Z“

max

Z“

max

= pt - dt,

где р - дневная производительность (интенсивность производства, или пополнения за-

паса); d - дневной спрос (интенсивность потребления); t - продолжительность производст-

венного процесса в днях (период); pt - общий результат производства (за период); dt - общий

результат потребления (за период).

Но общий результат производства есть Q, т.е.

Q = pt и t = Q/p.

Поэтому максимальный уровень запаса Z“

max

Z“

max

= p (Q/p) - d(Q/p) = Q - (d/p)Q = Q(1- d/p).

Отсюда годовые затраты хранения запаса TH:

TH = Z“

max

H/2= QH (1 - d/p)/2 .

3) Используя выражения для затрат хранения ТН и переналадки TS на основе ЕОQ-

модели, получим общие годовые затраты запаса ТС:

ТС = TS + ТН,

TS = (D/Q)S , ТН = HQ (1 - d/p)/2,

ТС =(D/Q)S + HQ (1 - d/p)/2 .

4) Отсюда получаем оптимальное число единиц на заказ Q= Q*:

Q* = sqr (2DS/(H(1 - d/p))).

Заметим, что d = D/F.

Отсюда при расчете Q* можно воспользоваться также годовой отчетностью:

Q* = sqr (2DS/(H(1 - D/Р))),

где D - годовой спрос (объем потребления), Р - годовая производительность (объем

предложения).

142

Пример 6.5. Модель производственного заказа. Определить оптимальный заказ или

производственный задел, который расходуется и потребляется одновременно в процессе

производства. Годовой спрос D = 1,000 единиц.

Затраты переналадки S = $10.

Затраты хранения Н = $.50 за единицу в год.

Дневная производительность (скорость производства) р = 8 единиц ежедневно.

Дневной спрос (скорость потребления) d = 6 единиц ежедневно.

1. Q* = sqr (2DS/(H(1 - d/p))) = sqr (2 (1,000)(10)/((.50)(1 - 6/8)))=

= sqr (20,000/((.50)(1/4))) = sqr (160,000) = 400 единиц.

Можно сравнить это решение с полученным ранее в модели EOQ. Допущение об одно-

моментном получении заказа устранено посредством учета р = 8 и d = 6 в последнем выра-

жении, что определило увеличение Q* с 200 до 400.

Модель управления запасом с фиксированной партией поставки. Представлена на

рис.6.3-а. Размер партии поставки постоянен Q*=const; время исполнения заказа отлично от

нуля и постоянно L=const; интенсивность потребления запаса d изменяется, с равной вероят-

ностью принимая любое значение в интервале (d

min

, d

max

). Не допускается возникновение

дефицита в потреблении запаса на интервале времени между очередным заказом на попол-

нение запаса и фактом очередной поставки.

Управляющим параметром в модели является остаточный уровень запаса.

Уровень запаса, при достижении которого в процессе потребления необходимо разме-

щать заказ на восполнение запаса, называется точкой заказа.

Точка заказа (или перезаказа) ROP:

ROP = d L .

Пример 6.6. Точка перезаказа ROP. Компания определила спрос на комплектующие в

объеме 8000 в год; в течение года она работает 200 рабочих дней. В среднем доставка зани-

мает три рабочих дня. Точка перезаказа:

Дневной спрос = Годовой спрос / Число рабочих дней в году,

d = D/F = 8000/200 = 40 .

ROP = d L = 40 единиц/день 3 дня = 120 единиц.

Рис.6.3. Реальные модели управления запасом:

а – с фиксированной партией поставки (Q=const, R≠const);

б - с фиксированной периодичностью поставки (Q≠const, R=const)

R=const

Q*=const

ROP

а)

б)

143

Когда хранящийся запас упадет до 120 единиц, должен быть размещен заказ. Заказ

прибудет три дня спустя, когда запас истощится.

Когда интенсивность потребления d не постоянна, необходимо в расчете ROP исполь-

зовать наихудшее значение d

max

ROP = d

max

L .

Необходимо также предусмотреть дополнительный запас, называемый запасом безо-

пасности (страховым или резервным).

Уровень запаса, который остается к моменту поставки очередной партии при средней

интенсивности потребления, но потребляется при интенсивности выше средней, называется

резервным запасом.

Размер резервного запаса Z

рез

= ROP – Ld

ср

= L(d

max

- d

min

)/2,

где d

ср

=(d

max

+ d

min

)/ 2.

Потребление запаса резервируется на интервале времени, равном длительности цикла

исполнения заказа L=const.

Размер максимального запаса Z“

max

Z“

max

= ROP - Ld

min

+ Q* = L(d

max

- d

min

) + Q*.

Модель управления запасом с фиксированной периодичностью поставки. Представлена

на рис.6.3-б. Периодичность поставки постоянна R=const; время исполнения заказа отлично

от нуля и постоянно L=const; интенсивность потребления запаса d изменяется, с равной ве-

роятностью принимая любое значение в интервале (d

min

, d

max

). Не допускается возникно-

вение дефицита в потреблении запаса на интервале времени между очередным заказом на

пополнение запаса и фактом очередной поставки.

Управляющим параметром в модели является время, постоянное как между моментами

очередных заказов, так и между моментами очередных поставок.

В момент очередного заказа фиксируется текущий остаток запаса Z

тек

и средняя за те-

кущий цикл интенсивность потребления запаса d

тек

. На их основе рассчитывается размер

очередного заказа (партии поставки) Q

тек

, обеспечивающий восполнение запаса до макси-

мального уровня Z“

max

тек

= Z“

max

- Z

тек

+ Ld

тек

Размер максимального запаса Z“

max

Z“

max

= Ld

max

Размер партии поставки Q

тек

изменяет свое значение от максимального Q

тек

= Z“

max

до минимального Q

тек

= Ld

min

Размер резервного запаса Z

рез

= Z“

max

– Ld

ср

= L(d

max

- d

ср

Потребление запаса резервируется на интервале времени, равном периодичности по-

ставки R=const. В отличие от предыдущей модели, где запас резервировался на интервале

L=const, размер резервного запаса в данной модели больше (т.к. R>L).

144

6.4. Специальные модели запасов

Рассмотрим некоторые специальные модели запасов для условий независимого спроса.

Модель заказа с дисконтируемым количеством. Для увеличения объемов продаж мно-

гие фирмы предлагают своим покупателям дисконтирование по количеству. Количествен-

ный дисконт (скидка) - это снижение цены единицы (Р) в случае, когда товар покупается в

достаточно больших количествах. Для этого в фирме-поставщике имеется дисконтная табли-

ца с несколькими значениями дисконта для больших заказов различного размера, где дается

типичное расписание количественного дисконта: номер (код) дисконта; дисконтируемое ко-

личество в единицах; дисконт, %; дисконтная цена (Р).

В моделях запасов ставится цель минимизировать общие затраты, что в данном случае

достигается, когда значение количественного дисконта рассматривается между понижаю-

щейся стоимостью продукта и увеличивающимися затратами хранения. С включением затрат

продукта в общий расчет уравнение, определяющее общие годовые затраты запасов ТС,

примет вид:

ТС = DS/Q + QH/2 + PD,

где D - годовой спрос в единицах; S - затраты заказа или переналадки (на один заказ

или переналадку); P - цена единицы изделия; H - затраты хранения единицы за год.

Можно определить количество, которое будет соответствовать минимальным общим

годовым затратам; т.к. имеется несколько дисконтов, процесс поиска решения состоит из

следующих шагов.

1) Для каждого значения дисконта рассчитывается величина

Q* = sqr (2DS/IP).

постоянны при изменении цены единицы от изменения значения количественного дис-

конта. Нужно выразить затраты хранения в виде процента I от цены единицы продукта Р

вместо того, чтобы рассматривать их как постоянную величину, приходящуюся на единицу в

год Н.

2) Для любого дисконта, если заказываемое количество слишком мало, чтобы быть

дисконтированным, изменяется заказываемое количество в сторону его увеличения до бли-

жайшей минимальной величины, которую уже можно дисконтировать. Решения на шаге 2

могут быть и не очевидными; если заказываемое количество меньше ранжируемого количе-

ства, соответствующего дисконтированию, то необходимо иметь в виду, что ранжируемое

количество при соответствующем ему дисконте обеспечивает и более низкие общие затраты.

Второй шаг необходим, чтобы не пропустить то заказываемое количество, которое действи-

тельно соответствует минимуму затрат. Если заказываемое количество, рассчитанное на шаге

1, больше значения диапазона, подлежащего дисконтированию, оно может быть отброшено.

3) Рассчитываются общие затраты ТС для каждого Q*, если оно было меньше значения

дисконтируемого диапазона.

4) Отбирается то Q*, которое соответствует самым низким общим затратам ТС, рассчи-

танным на шаге 3.

Пример 6.7. Модели с дисконтируемым количеством. Компания пользуется дисконт-

ными скидками для оптовых покупателей. Затраты заказа составляют $49 на заказ, годовой

145

спрос равен 5,000 единиц товара и текущие затраты запаса изменяются в проценте от стои-

мости I, который равен 20% или .2. Какое заказываемое количество минимизирует общие за-

траты запасов при следующем расписании количественного дисконта?

Номер дисконта Дисконтируемое количество Дисконт, % Цена (Р)

от 0 до 999

1,000 - 1,999

2,000 и выше

$5.00

$4.80

$4.75

Первый шаг - расчет Q* для каждого дисконта согласно дисконтному расписанию:

= sqr ( 2 (5,000) (49)/(.2)/(5.00)) = 700 единиц/заказ,

= sqr ( 2 (5,000) (49)/(.2)/(4.80)) = 714 единиц/заказ,

= sqr ( 2 (5,000) (49)/(.2)/(4.75)) = 718 единиц/заказ.

Второй шаг - корректировка в сторону увеличения тех значений Q*, которые ниже до-

пустимого дисконтируемого диапазона величины заказа. Поскольку Q*

находится между 0

и 999, оно не должно быть увеличено. Q*

находится ниже значений заказов, входящих в

диапазон 1000 - 1999, и поэтому оно должно быть увеличено до 1000 единиц. То же самое

можно сказать и о Q*

Оно должно быть увеличено до 2000 единиц. После этого шага тес-

тируются полученные размеры заказов с помощью уравнения общих затрат:

= 700

= 1000 - увеличено

= 2000 - увеличено.

Третий шаг - используя уравнение общих затрат, рассчитать общие затраты для всех

заказываемых количеств.

Номер

дисконта

Цена

Заказываемое

количество

Годовые

затраты на

товар

Годовые

затраты на

заказ

Годовые за-

траты хра-

нения

Общие

затраты

$5.00

$4.80

$4.75

700

1,000

2,000

$25,000

$24,000

$23,750

$350

$245

$122.5

$350

$480

$950

$25,700

$24,725

$24,822.5

Четвертый шаг - выбор заказа, соответствующего минимальным общим затратам. Это

заказ, равный 1,000 единицам.

Однако нужно заметить, что общие затраты заказа 2,000 единиц лишь немного больше,

чем общие затраты заказа 1,000 единиц. Таким образом, если третий дисконт понизить, на-

пример, до $4.65, тогда заказываемое количество (2,000) может стать тем, которое миними-

зирует общие затраты запасов.

Вероятностная модель с постоянным текущим временем. Все предыдущие модели за-

пасов предполагали, что спрос на продукт постоянен и однороден; рассмотрим вероятност-

ную модель запасов для случая, когда спрос на продукт неизвестен, но может быть описан

вероятностным распределением его значений.

146

Для целей текущей адаптации важным является поддержание адекватного уровня сер-

виса относительно неожиданного спроса; уровень сервиса является дополнением вероятно-

сти его отсутствия. Например, если вероятность отсутствия запаса 0,05, то уровень сервиса

равен 0,95. Неустойчивый спрос повышает вероятность отсутствия запаса. Средством, пони-

жающим риск отсутствия запаса, является создание дополнительных единиц хранения запа-

са, которые позволяют снизить вероятность его отсутствия. Такой запас обычно относится к

запасам безопасности (резервный запас); добавляя некоторое количество резервных единиц к

основному запасу, создается буфер для точки перезаказа. Учет резервного запаса (Z) изме-

нит выражение для ROP:

ROP = d L + Z .

Количество единиц, формирующих резервный запас, зависит от величины затрат, вы-

званных отсутствием запаса, и затрат хранения дополнительного запаса.

Задача заключается в отыскании такой величины резервного запаса, которая соответст-

вует минимальным затратам хранения дополнительного запаса и минимальным затратам от-

сутствия резервного запаса в течение года

1) Годовые затраты хранения дополнительного запаса TZ - это затраты хранения до-

полнительных единиц, добавляемых к ROP. Резервный запас Z единиц, который включается

в новую ROP, поднимет значение годовых текущих затрат на Н*Z , т.е.

TZ = H*Z .

2) Наиболее трудно рассчитать затраты, вызываемые отсутствием запаса (TG). Для лю-

бого уровня страхового запаса затраты отсутствия запаса есть ожидаемые затраты, соответ-

ствующие уровню его отсутствия I. Можно рассчитать их, умножая количество недостаю-

щих единиц на вероятность их появления, а также на затраты отсутствия единицы запаса и

на количество раз в течение года, когда рассматриваемая величина недостатка запаса может

возникнуть (т.е. на количество заказов в год). Затем суммируются затраты отсутствия запаса

для всех возможных уровней его отсутствия для данного ROP. Таким образом, затраты не-

хватки для нулевого страхового запаса составят:

а) для каждого уровня I

TGI = Q p N G,

где Q - количество единиц нехватки; p - вероятность их появления; N - количество раз

возможных нехваток в году; G - затраты отсутствия запаса на каждую единицу нехватки;

б) итого по всем уровням

TG = sum TGI.

3) Общие затраты для каждого значения страхового запаса Z:

TC = TZ + TG.

4) Выбор такого значения страхового запаса Z, при котором минимальны общие затраты.

Пример 6.8. Вероятностная модель с постоянным текущим временем. Компания оп-

ределила, что ее точка перезаказа (dL) равна 50 единицам. Текущие затраты на единицу в год

равны $5 и затраты отсутствия запаса равны $40 за каждую единицу. Оптимальное количест-

во заказов в течение года равно 6. Компания опытным путем установила вероятностное рас-

пределение спроса на запас на период перезаказа. Какой величины резервный запас должна

держать компания?

147

Количество единиц Вероятность

ROP---->50

.1 1

1.0

Задача заключается в отыскании такой величины резервного запаса, который соответ-

ствует минимальным суммарным затратам его хранения и отсутствия в течение года.

Рассчитаем затраты, вызываемые отсутствием запаса. Для нулевого уровня страхового

запаса возникнет нехватка 10 единиц, если спрос будет равен 60 единицам (ROP = 50 еди-

ниц), и нехватка в 20 единиц, если спрос будет равен 70 единицам. Таким образом, затраты

нехватки для нулевого страхового запаса составят:

(10 единиц нехватки)(.2)($40/единица нехватки)(6 возможных нехваток в году) +

+ (20 единиц нехватки)(.1)($40)(6) = $960.

Годовые затраты хранения резервного запаса в 0, 10 и 20 единиц, а также общие затра-

ты для каждой альтернативы представлены в таблице.

Страхо-

вой запас

Дополнительные

затраты хранения

Затраты отсутствия запаса Общие затраты

(20)($5) = $100

(10)($5) = $50

(10)(.1)($40)(6) = $240

(10)(.2)($40)(6) + (20)(.1)($40)(6) = $960

$100

$290

$960

Страховой запас с наиболее низкими общими затратами составляет 20 единиц. Этот

страховой запас изменяет точку перезаказа: 50 + 20 = 70 единиц.

Гарантирование уровня сервиса. Когда трудно или невозможно определить затраты,

возникающие в связи с отсутствием запаса, можно принять следующее решение: хранить

страховой запас в виде различных видов заделов (запасов “на руках”), чтобы обеспечить тре-

буемый покупателем уровень сервиса. Можно определить уровень сервиса как уровень, дос-

таточный для удовлетворения 95% спроса (т.е. иметь нехватку запаса только в течение 5%

времени). Допуская, что спрос в текущий период (период перезаказа) подчиняется нормаль-

ному распределению, для определения требуемого уровня запасов, соответствующего дан-

ному уровню спроса, необходимо знать средний спрос в период перезаказа М (среднее зна-

чение величины запаса) и стандартное (среднеквадратическое) отклонение q. Имеющаяся

информация о продажах обычно доступна для проведения расчетов значений средней и

среднеквадратического отклонения. Используя кривую нормального распределения с из-

вестным средним М и среднеквадратическим отклонением q, можно определить страховой

запас для 95% уровня сервиса. Пусть средний запас M и страховой запас Z образуют запас Х:

X = M + Z ,

тогда Z = X - M.

Используем свойства стандартного нормального распределения Y в области кривой рас-

пределения 0,95 (или 1- 0,05); по таблице нормального распределения можно найти величину Y.

148

Но Y = (X - M)/q= Z/q,

откуда искомый размер страхового запаса в единицах: Z = Y × q.

Пример 6.9. Гарантирование уровня сервиса. Компания имеет запас, который должен

удовлетворять нормально распределенный спрос в период перезаказа. Средний спрос в пери-

од перезаказа равен 350 единиц и среднеквадратическое отклонение равно 10. Компания ста-

вит целью гарантировать 95% уровень сервиса за счет использования страхового запаса. Ка-

ков должен быть размер страхового запаса?

М=350 единиц, q=10, Y=1.65, Z=1.65×10=16.5 единиц страхового запаса.

Вопросы для самопроверки

1. Каковы задачи и содержание планирования запасов?

2. Каковы функции запасов?

3. Какие существуют виды запасов?

4. Каково назначение и содержание методов “АВС-анализ” (правило “20/80”) и “циклы

расчета” применительно к запасам?

5. Какие существуют системы управления запасами и какова область их применения?

6. Что включают в себя затраты запаса и от чего зависит их величина?

7. Что означает “экономичный размер запаса”?

8. Что такое “точка заказа” и как ее определить?

9. Как в развитие базовой модели EOQ учесть скорость пополнения запаса?

10. Какие модели запасов Вам известны и какова область их применения?

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Провести АВС-анализ при следующих исходных данных.

Объект хранения (код) Годовой объем, $ Процент годового объема*

01 12500

02 9000

03 3200

04 1550

05 620

06 65

07 53

08 32

09 30

Итого: 100

*Примечание. Определяется расчетно.

Ответ:

Класс Объекты хранения Годовой объем, $ Процент годового объема

А 01, 02 21000 79,5

В 03, 04 4750 17,6

С 05, 06, 07, 08, 09 800 2,9

Задача 2. Фирма имеет 1000 единиц хранения класса А, 4000 единиц класса В и 8000

единиц класса С. Единицы класса А должны пересчитываться каждые 5 дней, класса В – ка-

149

ждые 40 дней, класса С – каждые 100 дней. Сколько единиц и какого класса должны пере-

считываться ежедневно?

Ответ: класса А – 200 единиц, класса В – 100 единиц, класса С – 80 единиц, итого –

380 единиц в день.

Задача 3. Фирма ежегодно закупает для нужд сборки 8000 единиц комплектующих од-

ного наименования. Стоимость единицы хранения в течение года $3, затраты заказа - $30 на

заказ. Количество рабочих дней в году - 200. Каким должен быть размер заказа, число зака-

зов в год и время между ними?

Ответ: комплектующие должны закупаться через каждые 10 рабочих дней в количест-

ве 400 единиц, в течение года будет сделано 20 таких закупок.

Задача 4. Годовой спрос на товар в магазине составляет 10000 единиц. Магазин работа-

ет 300 дней в году, поставка товара от поставщика занимает 5 дней. Какова точка заказа для

данного товара?

Ответ: ROP=167 единиц.

Задача 5. Потребление продукта составляет 1000 единиц в год, но производитель мо-

жет производить в среднем 2000 единиц в год. Затраты переналадки равны $10, затраты хра-

нения $1. Каков размер оптимальной производственной партии?

Ответ: 200 единиц.

Задача 6. Какой запас должен храниться на складе, если средние продажи составляют

80 единиц за период перезаказа, стандартное отклонение равно 7. Допустимое отсутствие

запаса на складе - 10 процентов времени. Из таблицы нормального распределения Z площади

0.9 составляет Z=1,28.

Ответ: 9 единиц.

Задача 7. Потребность в товаре составляет 1000 единиц в год. Затраты на заказ - $100

на единицу, затраты хранения – 40 процентов от стоимости единицы товара. При величине

заказа менее 120 единиц товара цена единицы - $78, при величине заказа 120 и более единиц

товара цена снижается до $50 за единицу. Определить экономичный размер заказа.

Ответ: заказывать нужно по 120 единиц по цене $50 за единицу.