Коврижных А.Ю., Конончук Е.А. и др. Прикладное программное обеспечение для решения экономических задач
Подождите немного. Документ загружается.
161
162
4. Модель экономического роста.
Пусть некоторая отрасль производит продукцию, объём которой x(t)
реализуется к моменту времени t. Предположим, что вся продукция
реализуется по фиксированной цене p (рынок в этом случае ненасыщаем).
Тогда доход отрасли к моменту времени t составит
).()(
t
px
t
X
=
(2.8)
Далее обозначим символом I(t) величину инвестиций и предположим, что
скорость выпуска продукции пропорциональна величине инвестиций
)()( tsItx
=
′
. (2.9)
При этом величина инвестиций есть фиксированная часть дохода, а значит
)()()(
t
mpx
t
mX
t
I
=
=
. (2.10)
Здесь m – норма дохода инвестиций, постоянная величина,
10 << m
.
163
Непосредственно из (2.9) с учетом (2.8) и (2.10) получаем
дифференциальное уравнение
smpktkxtx
=
=
′
),()(
. (2.11)
Решение этого уравнения можно найти по формуле
)( )),(exp()(
0000
txxttkxtx
=
−
=
.
В условиях конкурентного рынка естественно предполагать, что кривая
спроса
)(xpp = является функцией убывающей. Действительно, с
увеличением объема произведенной продукции её цена падает в результате
насыщения рынка. Получаем уравнение
0)( ,0 ,)( >>
=
′
xpxxxsmpx
(2.12)
После разделения переменных получаем
)(
)(
0
0
ttsm
xxp
dx
x
x
−=
∫
. (2.13)
Аналитически вычислить интеграл в (2.13) не всегда представляется
возможным (все зависит от вида функции )(
x
p
p
=
). Это означает, что при
решении уравнения (2.12) в общем случае, необходимо применять численные
методы интегрирования.
Проанализируем поведение решения
)(txx
=
уравнения (2.12).
Дифференцируя по времени, имеем
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
′
=
′′
)(xpx
dx
dp
xsmx . (2.14)
Принимая во внимание определение эластичности спроса относительно
цены, которое задается формулой
dp
dx
x
p
xE
p
=)( ,
запишем (2.14) в виде
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
′
=
′′
1
)(
1
xE
pxsmx
p
. (2.15)
Условие
0=
′
′
x
означает, что 1)(
−
=
xE
p
. Возможны случаи:
164
1) 1)( >xE
p
, 0>
′
′
x
- спрос эластичен.
2) 1)( <xE
p
, 0
<
′
′
x
- спрос не эластичен.
Рис.2
Решение уравнения (2.15) изображается логистической кривой (см. Рис.2).
Далее приводится пример решения уравнения (2.12) моделирования в
случае, когда кривая спроса является функцией убывающей. В качестве
метода интегрирования выбран численный метод Рунге-Кутты с
фиксированным шагом, предлагаемый пакетом MathCAD. Этот метод
подходит для интегрирования нежестких систем обыкновенных
дифференциальных уравнений.
165
5. Финансовые расчеты в среде MathCAD.
Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики, где требуется
применение методов вычислений.
Определение уровня процентной ставки.
166
Пусть в течение
n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в
размере
R/p денежных единиц (R – величина суммарного годового платежа) с
целью создания фонда накопления. Банк начисляет проценты на данные
взносы
m раз в году по сложной процентной ставке j. Определим
наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на
момент окончания выплат. Вычислим
12 1
11...1
np
mm m
pp p
RR j R j R j
S
pp m p m p m
−
⋅⋅ ⋅
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
=+⋅+ +⋅+ ++⋅+
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
.
Данная сумма представляет собой сумму геометрической прогрессии с
первым элементом
1
R
x
p
=
и знаменателем
1
m
p
j
q
m
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
.
Применяя формулу суммы первых
n членов геометрической
прогрессии, получаем
1
11
11
1
1
11 11
np
m
p
mn
np
mm
p
p
j
j
m
qR R
m
Sx
qp p
j
j
mm
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
−+
⎛⎞
⎜⎟
−+
⎢⎥
⎝⎠
⎜⎟
−
⎣
⎦⎝⎠
=⋅ =⋅ =⋅
−
⎛⎞ ⎛⎞
−+ −+
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
Предположим теперь, что величины
S, R, p, m, n известны, требуется
найти уровень процентной ставки
j, обеспечивающий создание фонда
накопления при данных параметрах сделки. Для этого требуется решить
нелинейное уравнение
(, , , ,,) 0SRpmnj
Φ
=
где
167
11
(, , , ,,)
11
mn
m
p
j
R
m
SRpmnj S
p
j
m
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
Φ=−⋅
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
Уравнение решается с использованием численных методов.
Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных
процентных ставок
168
Силой роста называется специальная процентная ставка,
характеризующая относительный прирост наращенной суммы. Согласно
данному определению на бесконечно малом промежутке имеем
0
() lim
t
S
ft
S
∆→
∆
=
Здесь
f(t) - сила роста, а ∆S=S(t+∆t)-S(t) - прирост наращенной суммы
за время ∆
t.
Пусть срок сделки составляет
n лет. Тогда имеет место равенство
0
() (0)exp ()
n
SSn S
f
tdt
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
∫
За исключением тривиальных случаев, когда сила роста является
постоянной, дискретной или линейной по времени функцией, для
вычисления наращенной суммы требуется применения методов численного
интегрирования.
169
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и ее приложения в
экономическом образовании.─ М., “Дело”, 2001.
2.
Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. ─ М.,
“ЮНИТИ”, 1998.
3.
Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. М.:
СОЛОН-Пресс, 2006.
4.
О.А.Сдвижков. Математика на компьютере. М.: СОЛОН-Пресс, 2003.
5.
Джон Уокенбах. Excel 2003.Библия пользователя . 2004г. М.:
Издательский дом «Вильямс».
6.
В. Я. Гельман. Решение математических задач средствами Excel.
Практикум. — СПб: Питер. 2003
7.
Высшая математика для экономистов / Ред. Н. Ш. Кремер. М.: Банки и
биржи. 1999.
8.
Пикуза В., Геращенко А. Экономические и финансовые расчеты в
Excel: Самоучитель. СПб.: Питер, 2002.
9.
Математика для экономистов на базе Mathcad : [Учеб. пособие для
вузов] / А. А. Черняк, В. А. Новиков, О. И. Мельников, А. В. Кузнецов.
— СПб. : БХВ-Петербург, 2003. — 496 с. : ил. — (Учебное пособие).
10. Семененко, Марина Геннадиевна. Математическое моделирование в
MathCad / М. Г. Семененко. — М. : Альтекс-А, 2003. — 206 с. : ил. —
Указ. — Библиогр.: с. 203-205. — ISBN 5-94271-012-0.
11. Кирьянов, Дмитрий Викторович. Самоучитель Mathcad 12 / Дмитрий
Кирьянов. — СПб. : БХВ-Петербург, 2004. — 559 с. : ил. —
(Самоучитель). — ISBN 5-94157-408-8.
12.
Кирьянов Д.В. MathCAD 14 . - CПб.: БВХ-Петербург, 2007. – 704 с.