Коврижных А.Ю., Конончук Е.А. и др. Прикладное программное обеспечение для решения экономических задач
Подождите немного. Документ загружается.
151
Для определения значения производной в точке требуется сначала задать
функцию, а потом задать значение аргумента. После этого вводится оператор
дифференцирования, и производятся вычисления.
Пример.
8. Интегрирование в MathCAD
Интегрирование в среде MathCAD может производиться в численной и
аналитической форме. Следует помнить, о том, что не всякую функцию
можно проинтегрировать аналитически. Пакет реализует операции
неопределенного интегрирования, вычисления интегралов с переменными
пределами интегрирования, осуществляет символьное и численное
интегрирование кратных интегралов.
152
Пример.
2. Моделирование с использованием средств MathCAD
1. Статические балансовые модели
Системы линейных алгебраических уравнений применяются в
макроэкономике для проведения балансового анализа многоотраслевого
хозяйства. Цель балансового анализа — ответить на вопрос, каким должен
быть объем производства каждой из отраслей хозяйства, чтобы
удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? Предполагается,
что каждая отрасль выступает одновременно как производитель некоторого
вида продукции и как потребитель продукции
других (в том числе своей)
153
отраслей. Процесс производства рассматривается за некоторый период
времени, например, за год.
Предположим, что производственная сфера хозяйства состоит из n
отраслей. Каждая из этих отраслей производит однородный продукт. Часть
продукции идет на производственное потребление данной отраслью и
другими отраслями, а другая часть предназначена для потребления вне
сферы материального производства. Далее примем следующие обозначения
:
i
x — общий объем продукции i – й отрасли (или её валовой объем),
i=1,2,…,n;
ij
x — объем продукции i – й отрасли, потребляемый j – й отраслью
в процессе производства, i,j=1,2,…,n;
i
y — объем продукции i – й отрасли,
предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере (объём
конечного потребления). В этот объём входят личное потребление граждан,
создаваемые хозяйственные запасы, экспорт, инвестиции, обеспечение
общественных потребностей. Уравнения баланса выражают тот факт, что
валовой выпуск
i
x
расходуется на производственное потребление, равное
inii
ххх +++ ...
21
и непроизводственное потребление, равное
i
y . Таким
образом, имеем
niyхx
n
j
iiji
,...,1 ,
1
=+=
∑
=
. (1.1)
В зависимости от того, в каких единицах измерения записываются
соотношения баланса, различают натуральный или стоимостной
межотраслевые балансы.
Рассмотрим величины
nji
x
x
a
j
ij
ij
,...,1, , == , (1.2)
которые называют коэффициентами прямых затрат. Дело в том, что эти
величины остаются постоянными в течение ряда лет, поскольку технологии
производства также остаются постоянными или мало меняются за указанный
промежуток времени. На это важное обстоятельство было указано В.
154
Леонтьевым при исследовании развития американской экономики в
предвоенный период.
Согласно предположению (1.2) уравнения (1.1) принимают вид
niyхax
n
j
ijiji
,...,1 ,
1
=+=
∑
=
(1.3)
Записывая (1.3) в матричной форме получаем
y
Ax
x
+
=
(1.4)
где
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
K
KKKK
K
K
21
22221
11211
,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
x
x
x
x
K
2
1
,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
y
y
y
y
K
2
1
.
Обозначая символом
E - единичную матрицу, получаем
y
x
A
E
=
−
)( . (1.5)
Если существует обратная матрица
1
)(
−
−
AE , то из (1.5) следует равенство
yAEx
1
)(
−
−
=
. (1.6)
Решение системы (1.4) требует применения численных методов.
Из экономического смысла задачи вытекает, что все компоненты матрицы A
и вектора y являются неотрицательными (0≥
A
, 0≥y ). Все компоненты
вектора x также должны быть неотрицательны (0≥
x
).
Матрица A называется продуктивной, если для любого вектора 0≥y
существует решение 0≥
x
уравнения (1.4). При этом модель Леонтьева
называется продуктивной.
Справедливы следующие критерии.
1) Матрица 0≥
A
продуктивна тогда и только тогда, когда матрица
1
)(
−
−
AE
существует и неотрицательна.
155
2) Матрица 0≥
A
продуктивна тогда и только тогда, когда сходится
бесконечный ряд
+++
2
A
A
E
. (1.7)
Доказывается, что если бесконечный ряд (из матриц)
,
2
K+++ AAE
сходится, то его сумма есть матрица
1
)(
−
−
AE . Отметим, что если сумма
элементов любого столбца неотрицательной матрицы меньше 1, то матрица А
продуктивна. Действительно, пусть q – наибольшая из указанных сумм, 1
<
q .
Тогда все элементы матрицы не превосходят q. Оценим элемент матрицы
2
A
22
11 2 2
( ) ...
ij i j i j in nj
A
aa aa aa q=+ ++≤
Аналогично получаем, что
(
)
32
qA
ij
≤
, и т.д. Значит ряд (1.7) сходится и
матрица
A продуктивна.
Пример решения задачи в среде MathCAD приведен далее для заданной
матрицы продуктивности небольшой размерности.
156
2. Некоторые модели экономической динамики
Динамические модели характеризуют изменение экономических
процессов во времени. Моделирование может осуществляться с
использованием дискретного и непрерывного подхода. В настоящем разделе
даются два примера такого моделирования. Эти примеры являются
абстрактными. Однако в рассматриваемых случаях их решение может быть
найдено в явном виде, что позволяет проанализировать особенности
поведения решения для различных случаев соотношения
параметров
моделирования.
157
3. Паутинообразная модель рынка
Эта модель объясняет феномен регулярно повторяющихся циклов изменения
объемов продажи и цен товаров на рынке. Хорошо известно, что основными
категориями рыночных отношений являются спрос и предложение. Эти
категории зависят от многих факторов, главным из которых является цена
товара. Примем обозначения. Пусть
p – цена товара (от английского price -
цена),
d –объем спроса (demand – спрос), s – предложение (supply).
Предполагаем, что
s(p) и d(p) являются непрерывными функциями, при этом,
если цена
p – мала, то 0)()( >
−
p
s
p
d (спрос превышает предложение), а при
больших ценах 0)()(
<
−
p
s
p
d и предложение превышает спрос. При данных
предположения существует равновесная цена
*
p , удовлетворяющая
равенству )()(
**
pspd
=
.
Паутинная модель рынка – простейшая модель поиска равновесной цены.
Отметим сразу, что с математической точки зрения, решение уравнения
)()(
p
s
p
d
=
(2.1)
может быть проведено методом простой итерации при сведении его к виду
)(
p
p
ϕ
=
(2.2)
и получению последовательных приближений
,...2,1 ),(
=
=
npp
nn
ϕ
. (2.3)
Так, если )(
p
ϕ
- дифференцируемая функция и 1)( <
′
p
ϕ
, то
*
lim pp
n
n
=
∞→
.
Однако, переход от уравнения (2.1) к уравнению (2.2) может быть
осуществлен множеством способов, и теперь уравнение (2.2) представляет
собой описание модели рынка с уже другими функциями спроса и
предложения
p
p
d =)(, )()(
p
p
s
ϕ
=
, хотя и с той же равновесной ценой
*
p .
Поэтому, такой подход целесообразен лишь для поиска равновесной цены, но
не является приемлемым для исследования циклов изменения объемов
продажи и цен исходной модели с уравнением (2.1).
158
Предположим, производители определяют величину объема
производства (предложение объема товара) в текущем году на основе цен,
установившихся в предшествующем периоде. Например, площадь,
отводимую под посев зерновых культур, выбирают в зависимости от цены,
сложившейся в предыдущем году. Таким образом, в функции предложения
должен быть учтен временной лаг продолжительностью в единицу времени
(в
данном случае год). Действительно, предложение появится на рынке по
окончании данного цикла, т.е., через год после принятия решения. Согласно
данным предположениям опишем динамику цены уравнениями
, ),( ),(
1
s
t
d
ttt
d
ttt
s
t
qqpdqpsq
=
=
=
−
(2.4)
где первое из уравнений как раз учитывает временной лаг в предложении.
Справедливо равенство
)()(
1−
=
tttt
pspd . (2.5)
Проиллюстрируем применение данного подхода на конкретных примерах.
Пусть теперь заданы функции
)()(
p
p
s
ψ
=
, (2.6)
epc
p
d
−
=
)( , (2.7)
где )(
p
ψ
- заданная непрерывная функция, ,0>c 0>e - заданные
параметры, такие, что существует равновесная цена
*
p . Следуя уравнениям
(2.4) - (2.5) динамики построим последовательности
{
}
n
q и
{}
n
p (здесь
t
n
=
и
обозначает дискретные моменты времени). Построение будет происходить
рекуррентно в согласии с (6) – (7), и выбранным начальным значением
0
q по
следующим формулам:
1
0
00
() ,
cq
pdq
e
−
−
==
1
0
10 0 0
() () ( ()) ,
cq
qsp p dq
e
ψψ ψ
−
−
⎛⎞
== = =
⎜⎟
⎝⎠
0
1
1
11
() ,
cq
c
cq
e
pdq
ee
ψ
−
−
⎛⎞
−
⎜⎟
−
⎝⎠
===
159
0
21
() ,
cq
c
e
qsp
e
ψ
ψ
⎛−⎞
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
0
1
2
22
() ,
cq
c
e
c
e
cq
pdq
ee
ψ
ψ
−
⎛−⎞
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
===
и так далее. Возможные значения
i
q и
i
p , показаны на рисунке 1.
Рис.1
Предположим, что bpa
p
s
+
=
)(,
тогда рекуррентные соотношения, приведенные выше, позволяют получить
явные формулы для элементов
i
q
,: ,..2,1
=
i
10
, / ,q a lc lq l b e
=
+− =
2
20
()(1) ,qalc lql=+ −+
23
30
()(1 ) ,qalc llql=+ −+ +
23 4
40
()(1 ) ,qalc lllql=+ −+−+
и, наконец, получаем
160
0
1
2
11
0
1132
)1()1(1)(
)1())1(1)((
qlllca
qllllllcaq
nn
n
i
ii
nnnn
n
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++
=−+−++−+−+=
∑
−
=
−−
−−
K
При этом справедливо равенство
e
qc
p
n
n
−
= . Возможны случаи.
Если
1<l то справедливо равенство
*
()
lim .
1
n
n
alc
qq
l
→∞
+
=
=
+
В этом случае равновесие является устойчивым.
При
1=l получаем
10
,qacq
=
+−
20
,qq
=
30
,qacq
=
+−
40
,qq
=
и так далее. Здесь значения
i
q чередуются вокруг равновесного состояния.
Если
1>l то
{}
n
q расходится и равновесие не является устойчивым.
Далее приводится пример моделирования, в котором иллюстрируется
процесс установления рынка к равновесным значениям p и q.