Коврижных А.Ю., Конончук Е.А. и др. Прикладное программное обеспечение для решения экономических задач

Подождите немного. Документ загружается.

101

− col(M, i) — возвращает i-й столбец матрицы М;

− row(M, i) — возвращает i-ю строку матрицы М;

− minor(M, i, j) — возвращает минор матрицы М для элемента с

индексами i и j;

− delcols(M, i .. j) — удаляет столбцы матрицы М от i-ro до j-ro;

− delrows (V, i ..j) — удаляет строки матрицы М от i-й до j-й;

− extend (М, m, n, х) — расширяет матрицу М на

m строк и n столбцов с

применением заполнителя х.

Основные векторные и матричные операции:

− dotprod(U, V) — возвращает скалярное произведение векторов U и V;

− crossprod(U, V) — возвращает векторное произведение векторов U и

− norm(V) или norm(M) — возвращает норму вектора или матрицы;

− copyinto(A, B, i, j) — копирует матрицу А в В для элементов

последовательно от i до j;

− concat(M1, M2) — возвращает объединенную матрицу с

горизонтальным слиянием матриц Ml и М2;

− matadd(A, B) и evalm(A+B) — возвращает сумму матриц А и В;

− multlply(A, B) и evalm(A&*B) — возвращает произведение матриц А и

В;

− det(M) — возвращает детерминант (определитель) матрицы М;

− Eigenvals(M, vector) — инертная форма функции, возвращающей

собственные значения матрицы М и (при указании необязательного параметра

vector) соответствующие им собственные векторы

;

− trace(M) — возвращает след матрицы М;

− rank(M) — возвращает ранг матрицы М;

− transpose(M) — возвращает транспонированную матрицу М;

− inverse(M) или evalm(l/M) — возвращает матрицу, обратную к М;

102

4. Решение уравнений и неравенств

Основная функция solve

Maple имеет мощные средства для решения линейных и нелинейных

уравнений и неравенств.

Так, для решения линейных и нелинейных уравнений в аналитическом

виде используется достаточно универсальная и гибкая функция solve(eqn, var)

или so1ve({eqnl,eqn2,.. .}.{varl,var2,...}), где eqn — уравнение, содержащее

функцию ряда переменных, var — переменная, по которой ищется решение.

103

Если при записи eqn не используются знак равенства или знаки отношения,

считается, что solve ищет корни уравнения eqn=0.

Пример 1. Решить алгебраическое уравнение:

−

Решение. Вводим заданное уравнение и решаем его с помощью функции

solve.

Ответ: {

− }

Более компактное решение этого же уравнения выглядит так:

Пример 2. Решить алгебраическое уравнение:

01375

=−++ xx

Решение. Представим уравнение в виде отдельной переменной eg.

Решим его с помощью функции solve.

> eg:=5*x^2+abs(x+7)-13=0;

:= eg = + − 5 x

+ x 7130

> solve(eg,x);

-6

Сделаем проверку решения с помощью функции подстановки subs.

Команда подстановки

subs(a=b, выражение) позволяет заменить в

математическом выражении один операнд (а) другим (b), в частности числом.

> subs(x=1,eg);

= − + 8 80

> subs(x=-6/5,eg);

= − +

104

Ответ: { 1,

−

}

Функция

solve старается дать решение в аналитическом виде. Для

получения корней уравнений в численном виде необходимо затем

использовать функцию

evalf.

Пример 3. Решить уравнение

2)ln( =x .

Решение. Применим функцию solve.

> solve(sqrt(ln(x))=2,x);

Для получения корней уравнений в численном виде используем

функцию

evalf.

> evalf(%);

54.59815003

В решениях уравнений нередко появляется функция RootOf,

означающая, что корни нельзя выразить в радикалах. Для получения решений

вида RootOf в численном виде может также использоваться функция

evalf.

Пример 4. Решить уравнение

=++ xx

Решение.

> solve(x^4+x+1,x);

RootOf _Z

+ _Z + 1, index = 1( ), RootOf _Z

+ _Z + 1, index = 2( ), RootOf _Z

+ _Z + 1, index = 3(),

RootOf _Z

+ _Z + 1, index = 4()

> evalf(%);

0.7271360845 + 0.9340992895 I, -0.7271360845 + 0.4300142883 I, -0.7271360845 - 0.4300142883 I,

0.7271360845 - 0.9340992895 I

Пример 5. Решить уравнение

sin=

> solve(exp(x)=sin(x),x);

RootOf _Z - ln sin _Z()()()

> evalf(%);

0.3627020561 - 1.133745919 I

105

Функция solve может использоваться для решения тригонометрических

уравнений. Приведем несколько примеров:

Однако из приведенных примеров видно, что при этом найдено только

одно (главное) решение. Периодичность тригонометрических функций и

связанная с этим множественность решений оказались проигнорированы.

Однако можно попытаться найти все периодические решения, выполнив

следующую команду:

> _

EnvAllSolutions:=true;

Указанная в ней системная переменная отвечает за поиск всех

периодических решений, когда ее значение равно true, и дает поиск только

главных решений при значении false, принятом по умолчанию. Так что теперь

можно получить следующее:

В решениях встречаются переменные _В1- и _Z1~, означающие ряд

натуральных чисел. Благодаря этому через них можно представить

периодически повторяющиеся решения.

Решение систем линейных уравнений

Функция solve также может с успехом решать системы линейных

уравнений. Такое решение в силу простоты записи функции может быть

предпочтительным. Для решения система уравнений и перечень неизвестных

задаются в виде множеств, функция

solve возвращает решение в виде значений

неизвестных х и у.

106

Пример. Решить систему уравнений

⎩

⎨

⎧

−=

1553

> sys:={3*x+5*y=15, y=x-1};

sys := 3 x + 5 y = 15, y = x - 1{}

> solve(sys, {x,y});

{y = 3/2, x = 5/2}

Приведем геометрическую интерпретацию решения этой системы двух

линейных уравнений, имеющей единственное решение:

> with(plots):

> implicitplot(sys, x=-10..10, y=-10..10, color=black);

Рис.1

Нетрудно заметить, что в этом случае геометрическая интерпретация

решения сводится к нахождению точки пересечения двух прямых,

отображающих два уравнения. При этом имеется единственное решение,

дающее значения х и у.

Приведем пример системы двух линейных уравнений, не имеющих

решения. В этом случае функция

solve решения не возвращает:

> sys:={5*x+3*y=30, 10*x+6*y=-30};

sys := 5 x + 3 y = 30, 10 x + 6 y = -30{}

> solve(sys, {x,y});

107

> with(plots):

> implicitplot(sys, x=-10..10, y=-10..10, color=black);

Рис.2

Следующий пример демонстрирует попытку решения системы двух

линейных уравнений, имеющих бесконечно много решений:

sys:={5*x+3*y=30, 10*x+6*y=60};

:= sys {},

= + 5

3 y 30

= + 10

6 y 60

implicitplot(sys, x=-10..10, y=-12..12, color=black);

Рис.3

108

> solve(sys, {x,y});

{}, = xx = y − +

Приведем пример решения систем линейных уравнений с применением

функций, входящих в пакет

linalg.

109

Решение неравенств

Неравенства в математике встречаются почти столь же часто, как и

равенства. Они вводятся знаками отношений, например: > (больше), <

(меньше) и т. д. Решение неравенств существенно расширяет возможности

функции

solve. При этом неравенства задаются так же, как и равенства.

Приведенные примеры поясняют технику решения неравенств.

Решение неравенств находится в следующей форме — представлены

критические значения аргумента, вплоть до не включаемых значений области

действия неравенства (они указываются словом Open). Всегда разумным

является построение графика выражения, которое задает неравенство, — это

позволяет наглядно убедиться в

правильности решения.

Рассмотрим решения типовых неравенств и систем неравентсв.

Пример 1. Решить алгебраическое неравенство:

−

solve(1/(2-x)+5/(2+x)<1,x);

,()RealRange ,−∞ ()Open -2 ( )RealRange ,()Open 2

∞

Чтобы наглядно убедиться в правильности решения, построим график

функции, которая записана в левой части неравенства:

plot(1/(2-x)+5/(2+x),x=-10..10,y=-10..5);

Рис.4

110

Ответ: (-∞,-2)U(2,+∞).

Пример 2. Найти целые решения системы неравенств:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−<

−

−<+

−

xxxx

Находим все множество решений системы:

solve({(x-2)/2-(2*x+3)/3+x/6<2-(x+5)/2,1-(x+5)/8+(4-x)/2<3*x-(x+1)/4},x);

{}, < x 3 <

Выбираем отсюда целые значения: х=1, х=2.

Однако можно сразу применить функцию

isolve, которая возвращает

целочисленные решения уравнений и неравенств:

isolve({(x-2)/2-(2*x+3)/3+x/6<2-(x+5)/2,1-(x+5)/8+(4-x)/2<3*x-(x+1)/4},x);

,{} =

2{ } =

Пример 3. Решить алгебраическое неравенство, содержащее модуль:

−

solve(abs((3*x+1)/(x-3))<3,x);

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

RealRange ,−∞

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

Open

Можно построить графики функций, задающих левую и правую части

неравенства, и наглядно убедиться в правильности решения.

plot(abs((3*x+1)/(x-3))-3,x=-10..10,y=-10..10);