Коврижных А.Ю., Конончук Е.А. и др. Прикладное программное обеспечение для решения экономических задач

Подождите немного. Документ загружается.

111

Рис.5

Решение систем нелинейных и трансцендентных уравнений

Функция solve может использоваться для решения систем нелинейных и

трансцендентных уравнений. Для этого система уравнений и перечень

неизвестных задаются в виде множеств.

Пример 1. Решить систему двух уравнений с параметрами a и b

⎩

⎨

⎧

byx

axy

> s:={x*y=a, x+y=b};

:= s {}, =

ya = +

> solve(s,{x,y});

{}, = y ()RootOf − + _Z

_Z b a

= x

−

+ ()RootOf

−

+ _Z

_Z b a b

> allvalues(%);

{}, = y +

− b

4 a = x −

− b

4 a ,

{}, = y −

− b

4 a = x +

− b

4 a

Пример 2. Решить систему двух уравнений

⎩

⎨

⎧

> s:={x*y=2, x+y=3};

:= s {}, =

y 2 = +

y 3

112

> solve(s,{x,y});

,{}, =

2 = y 1{ }, = y 2 =

5. Нахождение эстремумов функции.

Для исследования экстремумов функции как одной, так и многих

переменных используется команда

extrema(expr, constr, vars, nv), где expr –

выражение, экстремумы которого нужно найти,

constr – ограничения, vars –

переменные, по которым разыскивается экстремум, а

nv – имя переменной,

которой будут присвоены координаты точек экстремумов.

Пример 1. Определить экстремумы функции

196

−+−= xxxy .

> extrema( x^3-6*x^2+9*x-1,{},x,'s' );s;

-1, 3{}

x = 1{}, x = 3{}{}

Пример 2. Определить экстремумы функции

)1ln(

)(

xxarctgy +−= .

> extrema( arctan(x)-1/2*ln(1+x^2),{},x,'s' );s;

6. Интегрирование.

Аналитическое интегрирование.

Как определенные, так и неопределенные интегралы в программе Maple

вычисляются при помощи команды

int (параметр1, параметр2), где

параметр1 – интегрируемое выражение, параметр2 – переменная

интегрирования. Результат интегрирования, если он найден, выводится без

произвольной постоянной. Этим достигается возможность многократного

использования результата в дальнейших вычислениях. Если команда

int не

находит интеграла, то возвращается исходная запись интеграла. В

определенных интегралах ко второму параметру команды

int добавляют

113

пределы интегрирования. Далее некоторые примеры нахождения

неопределенных и определенных интегралов.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл

∫

dxx

2 .

Пример 2. Вычислить определенный интеграл

∫

2 dxx

Среди значений пределов интегрирования может быть бесконечность,

обозначаемая как

infinity.

Пример 3. Вычислить интеграл

∫

+∞

∞−

xx 126

Если команда

int не находит интеграла, то возвращается исходная запись

интеграла.

Пример 4. Найти интеграл

∫

Для выполнения численного интегрирования используется команда

evalf.

114

7. Решение дифференциальных уравнений.

Для решения системы простых дифференциальных уравнений и систем

используется команда

dsolve(уравнения, переменные, опции), где уравнения –

заданные дифференциальные уравнения,

переменные – те переменные, по

отношению к которым ищется решение,

опции – необязательные опции,

задаваемые в виде:

ключевое слово=значение.

Если задана опция

type=exact, то команда пытается найти аналитическое

решение – эта опция задана по умолчанию. Другие возможные значения этой

опции

type=series (в этом случае решение ищется в виде рядя) и type=numeric

(в этом случае ищется численное решение).

Можно задать еще несколько опций, которые определяют, будет ли

решение искаться в явном виде или нет (explicit=true или explicit=false), задают

метод решения (например method=laplace).

Если задана опция

type=numeric, то можно также задать метод

численного решения, например:

metod=rkf45 – метод Рунге-Кутта четвертого-пятого порядка,

method=dverk78 - метод Рунге-Кутта седьмого-восьмого порядка,

method=classical – содержит несколько классических методов (Эйлера,

Рунге-Кутта третьего порядка и некоторые другие),

method=gear и method=mgear – одношаговый и многошаговый методы

Гира.

Команда dsolve способна решать аналитически большое количество

дифференциальных уравнений.

115

По умолчанию функция dsolve автоматически выбирает наиболее

подходящий метод решения дифференциальных уравнений. Однако в

параметрах функции dsolve в квадратных скобках можно указать

предпочтительный метод решения дифференциальных уравнений. Допустимы

следующие методы:

quadrature linear Bernoulli separable

inverse

linear

homogeneous Chini lin_sym

exact Abel pot_sym

Информацию о каждом методе можно получить, используя команду

Tdsolve, method и указав в ней конкретный метод. Например, команда

Tdsolve,linear вызовет появление страницы справочной системы с подробным

описанием линейного метода решения дифференциальных уравнений.

Производные при записи дифференциальных уравнений могут

задаваться функцией diff или оператором D.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с

разделяющимися переменными:

11 yxy +=−

′

> eg:=diff(y(x),x)*sqrt(1-x^2)=1+y(x)^2;

:= eg =

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

()y x

− 1 x

+ 1()y x

> dsolve(eg,y(x));

= ()y

()tan + ()arcsin

_C1

Если требуется получить не общее решение, а общий интеграл

обыкновенного дифференциального уравнения, то добавляется параметр

implicit.

> dsolve(diff(y(x),x)*sqrt(1-x^2)=1+y(x)^2,y(x),implicit);

= − + ()arcsin

()arctan ( )y

_C1 0

Пример 2. Решить уравнение Бернулли:

yctgxy

sin

′

> eg:=diff(y(x),x)=y(x)*cos(x)/sin(x)+y(x)^2/sin(x);

116

:= eg =

()y x +

()y x ()cos x

()sin x

()y x

()sin x

> dsolve(eg,y(x));

= ()y x −

()sin

− x _C1

Начальные условия в дифференциальных уравнениях задаются через

запятую, при этом уравнение и начальные условия объединяются фигурными

скобками в множество. Производные в начальных условиях записываются в

операторном виде как D(D(y))(0).

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения,

удовлетворяющее заданному начальному условию:

(, =

′

yytgxy .

> dsolve({diff(y(x),x)*tan(x)=y(x),y(Pi/2)=1},y(x));

= ()y

()sin

Пример 4. Найти частное решение однородного дифференциального

уравнения 1-го порядка, удовлетворяющее заданному начальному условию:

1)1(,ln ==

′

yyx .

> dsolve({diff(y(x),x)*x=y(x)*ln(y(x)/x),y(1)=1},y(x));

= ()y x e

() − 1

Система дифференциальных уравнений вместе с начальными данными

записывается в виде последовательности выражений в фигурных скобках в

аргументе команды dsolve.

Пример 5. Решить систему дифференциальных уравнений с заданными

начальными условиями:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

′

−−=

′

1)0(

,0)0(

xyzy

117

Решение этой же системы можно найти в виде степенных рядов:

dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcn,type=series);

= ()y x − + − + + 2 x

()O x

= ()z x + − + − + 1 x

120

()O x

}

Численное решение той же системы можно найти, установив опцию

type=numeric. При этом решение возвращается в виде специальной процедуры,

по умолчанию реализующей метод решения дифференциальных уравнений

Рунге—Кутта порядков 4 и 5 (в зависимости от условий адаптации решения к

скорости его изменения). Эта процедура называется rkf45 и символически

выводится (без тела) при попытке решения заданной

системы

дифференциальных уравнений.

f:=dsolve({sys,y(0)=0,z(0)=1},fcn,numeric);

proc ( ) ... end proc

_rkf45

Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих

найти решение в любой точке или построить график решения (или решений).

Чтобы найти решение при значении независимой переменной x, равном,

например, 1, достаточно записать:

f(1);

[],, =

1. = ()y

1.29331471710991396

= ()z

1.71248355331200930

Для графического отображения в Maple используется функция

plot[odeplot] из пакета odeplot, предназначенного для визуализации решений

дифференциальных уравнений.

plots[odeplot](f,[x,z(x)],0..2.5,labels=[x,z],color=black);

118

Рис.1

plots[odeplot](f,[x,y(x)],0..2.5,color=black);

Рис.2

119

2. Приложение пакета Maple к решению экономических задач.

1. Использование алгебры матриц.

Задача 1.

Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные

производственно-экономические показатели заданы таблицей. Таблицу удобно

построить с помощью программы Microsoft Excel.

Вид

изделия

№

Количество

изделий,

ед.

Расход

сырья,

кг.

Норма

времени

изготовления,

ч/изд

Цена

изделия

ден.ед./изд.

1 20 5 10 30

2 50 2 5 15

3 30 7 15 45

4 40 4 8 20

Таб. 1.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели:

расход сырья S,

затраты рабочего времени T,

стоимость выпускаемой продукции P.

Решение.

По данным таблицы составим четыре вектора, характеризующие

весь производственный цикл:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

q ─ вектор ассортимента,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

s ─ вектор расхода сырья,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

─ вектор затраты рабочего времени,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

─ ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие

скалярные произведения

qpPqtTqsS === ,,

. Таким образом,

qs= =100+100+210+160=570 кг, T=1220 ч, P=3500 ден. ед.

120

В системе Maple для решения задач линейной алгебры создан пакет linalg.

Для использования функций этого пакета нужно выполнить команду

>with(linalg)

Посмотрим, как S, T, P находятся с помощью Maple.

Подключим пакет linalg.

> with(linalg):

Создадим векторы s, t, p, q.

s:=vector(4,[5,2,7,4]);

:= s [],,,5274

t:=vector(4,[10,5,15,8]);

:= t [],, ,10 5 15 8

p:=vector(4,[30,15,45,20]);

:= p [],,,30 15 45 20

q:=vector(4,[20,50,30,40]);

:= q [],,,20 50 30 40

Функция dotprod(u,v) вычисляет скалярное произведение векторов u, v.

S:=dotprod(s,q);

:= S 570

T:=dotprod(t,q);

1220

P:=dotprod(p,q);

:= P 3500

Задача 2.

Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием 4-х видов

сырья. Нормы расхода сырья заданы в таблице 2.

Сырье 1 Сырье 2 Сырье 3 Сырье 4

Изделие 1 2 3 4 5

Изделие 2 1 2 5 6

Изделие 3 7 2 3 2

Изделие 4 4 5 6 8

Таб. 2.