Коврижных А.Ю., Конончук Е.А. и др. Прикладное программное обеспечение для решения экономических задач

Подождите немного. Документ загружается.

131

:= x0

−

+ 25 p

alp ()− + 100 p

A(x0);

− +

−

+ 25 p

alp ()− + 100 p

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

− 2

−

+ 25 p

alp ()− + 100 p

()

−

+ 25 p

alp ()− + 100 p

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

− 1

100

simplify(%);

100

−

− 15000 alp 150 alp p 625 50 pp

alp ()− + 100 p

Рассмотрим, когда x0 удовлетворяет условию

00 >x . Этот анализ придется

провести самим. Поскольку p<100, -25+p должно быть меньше 0, т.е. p<25.

Таким образом, если налогообложение меньше 25%, в производство

следует вложить

(млрд. рублей).

Задача 9.

Прибыль от производства разных видов товара.

Пусть

xxx ,...,,

─ количества производимых m разновидностей товаров, а

их цены─ соответственно

PPP ,...,,

(все

P ─ постоянные величины). Пусть

затраты на производство этих товаров задаются функцией издержек

),...,,(

21 m

xxxSC = . Тогда функция прибыли имеет вид

),...,,(...

212211 mmm

xxxSxPxPxPП −

++= . Требуется найти оптимальные

количества производимых товаров и максимальную прибыль.

Максимум прибыли естественно искать как условие локального экстремума

функции многих переменных при ограничениях

0≥

x . Тогда

,...,1,0 ==

∂

т.е.

,...,1,0 ==

∂

−

Полученная система уравнений реализует известное правило экономики:

предельная стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на

производство этого товара.

Решение системы зависит от вида функции издержек и может быть

достаточно сложным.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть производятся два вида товара и

221

xxxxC ++= ─ функция затрат. Тогда прибыль равна

132

221

12211

xxxxxPxPП −−−+= . Условия локального экстремума приводят к

системе линейных алгебраических уравнений

⎩

⎨

⎧

221

121

Pxx

. Нетрудно

убедиться, что выполняются достаточные условия локального максимума:

−=

∂

, 341

−=−=

∂

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂∂

∂

. Решив систему второго порядка,

найдем оптимальные количества производимых товаров:

−

. Из того, что 00

>x и 00

>x следует, что

P и

должны удовлетворять неравенствам

<< . Тогда максимальная

прибыль равна

221

PPPP +−

Применим для решения задачи систему Maple. Для отыскания экстремума

функции в системе Maple существует функция extrema, которая вычисляет

экстремальное значение. Ей надо передать выражение, для которого

отыскивается экстремальное значение; ограничения (если они отсутствуют,

пишут {}); переменные, по которым ищется экстремум; 's'. Переменная s

содержит координаты точки экстремума.

Определим функцию прибыли

prib:=(x1,x2)->P1*x1+P2*x2-x1^2-x1*x2-x2^2;

:= prib

→ (),x1 x2

−

− P1 x1 P2 x2 x1

x1 x2 x2

extrema(prib(x1,x2),{},{x1,x2},'s');

{}− + +

P1 P2

{}{}, = x2 − +

P2 = x1 − +

133

6. Определенный интеграл и его приложения

Задача 10. Пусть функция z=f(t) описывает изменение производительности

некоторого производства с течением времени. Нужно найти объем продукции

u, произведенной за промежуток времени [0,T].

Если производительность не изменяется с течением времени (f(t)─

постоянная функция), то объем продукции ∆u, произведенной за некоторый

промежуток времени [t,t+∆t], задается формулой ∆u=f(t)∆t.

Разбивая

отрезок [0,T] на промежутки времени точками: Tttt

<<= ...0

и считая, что на каждом промежутке времени

],[

1 ii

−

производительность

постоянна и равна

)(

, где ],[

1 iii

−

∈

, получим, что объем продукции

∆

произведенной за промежуток времени

],[

1 ii

−

, задается формулой

iii

tfu

∆

=∆ )(

i=1,2,…,n. Тогда

∑∑

∆=∆≈

tfuu

)(

. Чем меньше

t∆max , тем точнее

получается u. Поэтому

∑

→∆

∆=

tfu

0max

)(lim

, а по определению определенного

интеграла

∫

dttfu

)(

Таким образом, если f(t)─ производительность труда в момент t, то

∫

dttf

)(

есть объем выпускаемой продукции за промежуток времени [0,T].

Производственная функция Кобба─Дугласа отражает зависимость объема

выпуска продукции Q от затрат трудовых ресурсов L и затрат капитала K:

αα

−

LAKQ , где A─ параметр производительности конкретно взятой

технологии.

Если производительность труда f(t) определяется функцией Кобба─Дуг-

ласа, в которой затраты труда линейно зависят от времени (

btaL +=

−

затраты капитала неизменны и

eA =

, то объем выпускаемой продукции за T

лет составит

∫

dtebtaQ

)(

. Этот интеграл вычисляется по частям и равен

()

bka

ebkaTak

−

−+− .

134

При a =b =1, k =3 и T =4

312

10253)214(

⋅≈−= eQ (усл.ед.)

С помощью системы Maple получим следующее.

Для записи интеграла используется функция Int, для вычисления ─ int.

Int((a*t+b)*exp(k*t),t=0..T)= int((a*t+b)*exp(k*t),t=0..T);

= d

⌠

⌡

⎮

() + at b e

()kt

− + + − e

()

akT e

()

a e

()

bk a bk

a:=1:b:=1: k:=3:T:=4:

Int((a*t+b)*exp(k*t),t=0..T)= int((a*t+b)*exp(k*t),t=0..T);

= d

⌠

⌡

⎮

() + t 1 e

()3 t

t −

evalf(%);

= 253173.8978 253173.8978

Задача 11.

Кривая Лоренца ─ это зависимость доли населения y от доли

доходов x. Пусть кривая Лоренца y(x) имеет вид, изображенный на рис. 3.

Тогда, как видно из графика, половиной доходов владеет четвертая часть

населения, семьюдесятью процентами дохода владеет примерно половина

населения.

При равномерном распределении

доходов кривая Лоренца

вырождается в прямую ─

биссектрису.

Коэффициентом Джини k

называется отношение площади

фигуры между биссектрисой и

кривой Лоренца OAB к площади

треугольника OAC. Этот

коэффициент характеризует степень

неравенства в распределении

кривая Лоренца

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,1

0 0,10,20,30,40,50,60,70,80,9 1

доля дохода

доля населения

135

доходов населения. Чем выше коэффициент Джини, тем больше неравенство в

обществе.

Решение.

Очевидно, коэффициент Джини

OBAC

OAC

OBAC

OAC

OAB

k 211 −=−==

∆∆

так как

∆OAC

S . Из геометрического смысла определенного интеграла

следует, что

∫

)( dxxyS

OBAC

. Таким образом, задача отыскания коэффициента

Джини сводится к вычислению определенного интеграла.

Пусть кривая Лоренца может быть описана уравнением

11 xy −−= , где x─

доля доходов, а y ─ это доля населения, владеющего этой частью дохода.

Тогда

(

)

∫∫∫∫

−−=−−=−−=

11111 dxxdxxdxdxxS

OBAC

. Последний интеграл

можно вычислить с помощью замены

tx sin

. Он равен

. Итак,

57,01

2 ≈−=−=

k .

Достаточно высокое значение k показывает существенно неравномерное

распределение доходов среди населения.

Воспользуемся услугами системы Maple.

Определим функцию, задающую кривую Лоренца

y(x):=1-sqrt(1-x*x);

:= ()y x − 1 − 1 x

Int(y(x),x=0..1)= int(y(x),x=0..1);

= d

⌠

⌡

⎮

− 1 − 1 x

x − +

π 1

evalf(%);

= .2146018366 .2146018365

136

7. Дифференциальные уравнения.

Задача 12. Модель эффективности рекламы.

Предположим, что для успешной реализации некоторого товара фирма

провела рекламную акцию. Через t обозначим время, прошедшее с момента

рекламы. Пусть N – число потенциальных покупателей товара и во время

рекламы о товаре узнало

(

) человек. Информация о товаре начала

распространяться. Через x(t) обозначим число покупателей, знающих о товаре

в момент t

. Тогда число покупателей, не проинформированных о товаре к

моменту t, равно (N-x(t

)). Можно считать, что скорость изменения числа

знающих о продукции, пропорциональна как числу покупателей, знающих о

товаре, так и числу покупателей, о нем еще не знающих. Приходим к

дифференциальному уравнению

)(

xNkxx −= (k - положительный

коэффициент пропорциональности) с начальным условием

x =)0(

. Итак,

для того, чтобы знать число покупателей, проинформированных о товаре к

моменту t , необходимо решить задачу Коши.

Дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися

переменными. Разделив переменные, получим

kdt

xNx

− )(

. Проинтегрируем

обе части равенства:

)(

Ckdt

xNx

−

∫∫

. Вычисляя интеграл, стоящий слева,

представим подынтегральное выражение в виде суммы двух дробей, а справа

вместо постоянной

ln C

возьмем другую ─

. Получим

ktdx

xNxN

1111

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∫

. После вычисления интегралов имеем

CkNt

lnln +=

−

. Отсюда найдем общее решение дифференциального

уравнения:

kNt

CNe

. Для решения задачи Коши вспомним, что во время

рекламы о товаре узнало

( 1>

) человек, т.е.

x =)0(

. Подставляя

137

начальное условие в общее решение, найдем, что в момент t о рекламе будут

знать

tNk

−

−+

)1(1

человек.

Интегральная кривая, соответствующая найденному решению, называется

логистической кривой.

Анализируя полученный результат, видим, что

0→

− tNk

при 0→t и,

следовательно,

Ntx →)( при 0→t . Таким образом, число покупателей,

знающих о товаре, возрастает от

и со временем приближается к N.

Воспользуемся для решения этой задачи услугами системы Maple.

Присвоим переменной deq в качестве значения исходное дифференциальное

уравнение. Функция dsolve позволяет найти общее решение уравнения и, если

задано начальное условие, решение задачи Коши. Найдем их. Далее зададим k,

N и beta конкретные значения:

8,10000,

=== betaNk , найдем решение

задачи Коши и построим график логистической кривой.

deq:=diff(x(t),t)=k*x(t)*(N-x(t));

:= deq =

∂

()x tk()x t () − N ()x t

dsolve(deq,x(t));

= ()x t

+ 1 e

()−kNt

_C1 N

dsolve({deq,x(0)=N/beta},x(t));

= ()x t

+ 1 e

()−kNt

() − β 1

k:=1/80;N:=10000;beta:=8;

:= k

10000

ss:=dsolve({deq,x(0)= N/beta },x(t));assign(ss);

:= ss = ()x t 10000

+ 17e

()−125 t

138

Функцию assign мы написали для того, чтобы воспользоваться полученной

зависимостью x(t) и построить график логистической кривой.

plot(x(t),t=0..0.25,color=black);

В заключение снова отметим, что прикладные программы являются

важным подспорьем для специалиста.

139

ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ

ПАКЕТА MATHCAD

Система MathCAD является интегрированной программной системой

автоматизации математических расчетов. С одной стороны, это программная

среда для решения задач, относящаяся к классу PSE (problem solution

environment) приложений. С другой стороны, аббревиатура CAD (Computer

Aided Disign) в названии пакета говорит о принадлежности к системам

автоматизированного проектирования.

Перечислим лишь ряд основных возможностей, предоставляемых

данной системой:

•

мощный текстовый редактор для подготовки научно-технической

документации, позволяющий редактировать не только текст, но и

математические выражения;

•

вычислительный процессор для проведения численных расчетов с

использованием встроенных численных методов;

•

символьный процессор, для аналитических вычислений;

•

справочная система, содержащая огромное количество справочной и

интерактивной информации, представленной в формате электронных

книг.

При экономико-математическом моделировании в MathCAD удобно

производить вычисление результатов математических операций (в том числе

дифференцировать и интегрировать), численно и аналитически решать

уравнения и системы алгебраических уравнений (неравенств), производить

статистические расчеты и анализ данных, строить двумерные и

трехмерные

графики, решать дифференциальные уравнения, проводить серии расчетов с

различными значениями начальных условий и параметров модели.

Настоящая глава включает первоначальное знакомство с системой, и

технологией работы в MathCAD, а также некоторые примеры, показывающие

возможности пакета при экономико-математическом моделировании.

140

1. Возможности пакета.

1. Элементы пользовательского интерфейса

После запуска приложения появляется окно, которое имеет ту же

структуру, что и большинство приложений Windows. Окно содержит

заголовок, строку меню, панели инструментов, рабочую область документа.

С помощью меню View (Вид) можно включить панели инструментов.

Основные из панелей показаны на рисунке.

Standard (Стандартная) – служит для выполнения операций с файлами,

редакторской правке, вставке объектов и доступа к справочной системе.

Formatting (Форматирование) – для форматирования текста и формул.

Math (Математика) – для вставки математических символов и операторов в

документы.

Controls (Элементы управления) – для вставки в документ элементов

управления интерфейса пользователя (флажков проверки, полей ввода и т.п.).