Корнилов И.А. Элементы страховой математики

Подождите немного. Документ загружается.

111

Указанные сопоставления позволяют рассмотреть важные

«относительные» показатели, которые характеризуют состояние на

определенный момент. На основании представляемых отчетных данных

вычисляются: доля пострадавших объектов, показатель выплат

страхового возмещения, уровень взносов по отношению к страховой

сумме, показатель убыточности и некоторые другие.

В то же время ряд показателей может быть получен только в

результате специально проведенного статистического исследования.

Перечислим некоторые показатели (П):

N/Nmax

′

r/N

W/Sп

W/V

V/S

W/S

- П. охвата объектов добровольным

страхованием;

- П. частоты страховых случаев;

- П. опустошительности страховых случаев;

- П. доли пострадавших объектов;

- П. полноты уничтожения;

- П. выплаты страхового возмещения;

- уровень взносов по отношению к страховой

сумме;

- П. убыточности страховой суммы (р).

Особую роль играет р, где сопоставляется сумма выплаченных

возмещений с общей страховой суммой застрахованных объектов

(объемом ответственности). Этот основой обобщающий показатель

является результатом взаимодействия 5 из 7 основных объемных

показателей. V не влияет на р, но сам зависит от него, так как р

напрямую влияет на ставку.

WrS/WSr)S/W,SW(r,W

пппп

⋅=⋅⋅==

SN)S S(N,S ⋅==

)S/W((r/N)S/NWrW/Sp ⋅=⋅⋅==

где второй множитель можно трактовать, как «коэффициент тяжести

страховых событий».

Можно представить р в виде:

S/W(r/N)p ⋅=

Если доля r/N в отчетном году (по сравнению с базисным)

сократилась на 10%, среднее возмещение возросло на 5%, и средняя

страховая сумма застрахованных объектов увеличилась на 15%, то

индекс убыточности равен:

(1–0,1)

×(1+0,05)/(1+0,15)=0,9×1,05/1,15=0,82=82 %.

Индекс снизился на 18 %. Эти соотношения используются при

анализе р.

112

6.9. Показатели тарифной ставки

Полученный ранее показатель убыточности р используется для

определения тарифной ставки, точнее: брутто-ставки, которая является

суммой нетто-ставки и нагрузки.

Нетто-ставка отражает величину ожидаемого показателя

убыточности и предназначена для покрытия убытков страхователя.

Нагрузка необходима для предупредительных мероприятий,

административно-хозяйственных расходов, образования запасного

фонда. На практике часто нетто-ставка составляет 90 % (91 %) от

брутто-ставки.

Замечание. По свидетельству российских страховщиков –

практиков, в настоящее время доля нетто-ставки в брутто-ставке

составляет: 60% - 70% в страховании имущества и 80% - 90% в

страховании жизни.

Расчет показателя убыточности (за конкретный отрезок времени в

определенном регионе, для конкретного риска) позволяет выявить

закономерности и спрогнозировать развитие процесса.

Если предположить, что

SW /

равно 1 условной единице

(единице страховой суммы), то р характеризует вероятность полной

утраты (возмещения) страховой суммы. Соответственно, q=1–p –

означает вероятность отсутствия необходимости в возмещении.

Возникает биномиальное распределение, где математическое ожидание

МО=Np, а среднее квадратическое отклонение CKO=

Npq

Если стоимость каждого объекта S, то при полной их утрате

страховщик с вероятностью р должен выплатить сумму из

доверительного интервала:

p)Np(1tNpS

−⋅±

А вариация показателя убыточности при этом находится в

пределах:

p)/Np(1tp

−⋅±

Для оценки финансовой устойчивости можно использовать

показатель (коэффициент вариации): СКО/МО, который равен:

Np /p)-(1Np /Npq =

Чтобы учесть вероятность, рассматривают:

p)/Np(1t

−⋅=

рост которого означает снижение финансовой устойчивости.

Если р – постоянно, N - увеличивается, то Ф – снижается, т.е.

устойчивость растет. Если N – постоянно, а р – увеличивается, то

возникает тот же эффект. Но интерпретация различна. В первом случае

113

устойчивость повышается за счет объема портфеля, а во втором – за счет

повышения ставки платежей (и снижения конкурентоспособности).

При различных направлениях изменения р и N величина Ф

является равнодействующей.

Из общих принципов проведения актуарных расчетов известно,

что объединение неоднородных рисков в одну группу приводит к

возрастанию вариации, а, следовательно, к росту нетто-ставки, т.е. – к

снижению устойчивости. И, наоборот, при разбиении на однородные

группы, внутри которой риск варьирует в сравнительно небольших

пределах, устойчивость повышается. Если условия стабильны, то ставки

– постоянны.

Пусть u – брутто-ставка для N объектов стоимостью s каждый.

Тогда общий размер взносов: Nsu. Следовательно, с учетом показателя

убыточности p выплаты возмещение, надбавка находится в интервале:

p)Np(1stp)Ns(u

−±−

Пример 4. U=0,005, p=0,004, N=10000, s=500.

Решение.

Здесь:

31565000996,0004,010000)004,0005,0(10000500 ±=⋅⋅±−⋅⋅

(от 1844 до 8156). При t

= 1, т.е. γ = 0,683.

При увеличении

γ диапазон величины надбавки колеблется в более

широких пределах. Заметим, что левая граница должна быть

неотрицательной, а это налагает ограничение на надежность.

На покрытие расходов, предусмотренных в нагрузке, может не

остаться средств. Поэтому на практике СКО обычно прибавляется к МО

(ставке).

Следует иметь в виду, что различие брутто-ставки от нетто-ставки

зависит не только от самой нетто-ставки, но и от показателя

убыточности.

Необходимо отметить еще один нюанс. В модели, основанной на

биномиальном законе, предполагается независимость страховых случаев

для каждого договора. На практике это предположение иногда

нарушается.

Иногда

SW ≠

, тогда:

1S/W ≠

, следовательно, показатель

убыточность не является синонимом вероятности, а зависит как от

вероятности, так и от условий договора страховщика и клиента, т.е.

характеризует взаимоотношения сторон в договоре. (Кроме того,

учитывается, как специфика отдельного договора, так и ситуация во

всем портфеле.)

114

Поэтому на практике часто используют следующий подход. По

данным за ряд лет находят для каждого года значение показателя

убыточности, а затем усредняют эти значения. Но ориентироваться

только на это полученное среднее значение нельзя. Необходимо учесть и

колебания относительно этого среднего. В качестве окончательного

значения принимают: МО + СКО. Итак:

/npp

∑

−−= 1))/(np(pσ

σtpu

′

Можно охарактеризовать устойчивость, сравнивая фактические

выплаты возмещений с установленной ставкой. При этом используется

показатель W/V. Числитель и знаменатель не зависят от N и S, поэтому

дробь отражает взаимосвязь нескольких факторов. И эту взаимосвязь

можно исследовать с помощью регрессионного анализа. Например, при

страховании домашнего имущества применяется регрессионная модель:

W = a + bV.

Вместе с тем, ясно, что можно исследовать влияние различных

факторов на сам риск, т.е. вероятность возникновения страхового случая

и распределение величины ущерба при его наступлении, но пытаться

исследовать зависимость тарифа от этих факторов – нельзя!

6.10. Некоторые примеры имущественного страхования

Страховая статистика показывает, что в условиях стабильности

страховые случаи независимы и не имеют тенденции к росту от

времени.

При страховании урожая (возмещается недобор до установленного

среднего уровня урожайности в пределах нормы обеспечения)

установлено, что средняя равна 18 ц/га, фактический сбор составил 13

ц/га, норма обеспечения (по договору) 50%. Тогда возмещается 50% от

разности (18 – 13 = 5), т.е. 2,5 ц/га. Отсюда определяется размер

возмещения /21/.

Недобор – отклонение факта от средней, которая, в свою очередь,

вычисляется по фактическим данным за ряд лет. А факт – это

отношение сбора к площади. Необходимо учитывать и фактор времени,

т.е. тенденции.

Отметим, что необходимо учитывать только отрицательные

отклонения, приводящие к выплате возмещения:

)у(у

−

∑

при

уу

. Тогда в среднем за n лет (в т.ч. и для тех лет, когда не было

возмещений

уу

≥

) отклонение равно:

)/nу(у

−

∑

(при

уу

Доля ущерба:

∑

−

фф

у)/у(у

Здесь следует отметить, что числитель рассчитывается только при

недоборе до среднего, а знаменатель – по всем слагаемым, т.е.

115

знаменатель равен

уn . Поэтому доля ущерба:

у)/у(у1/n

−⋅

∑

. Итак,

учитываются относительные линейные отклонения в худшую сторону.

Согласно установившейся практике /21/ страховые платежи по

каждому хозяйству устанавливаются в зависимости от уровня тарифных

ставок, средней стоимости урожая, площади посевов и пересевов.

Пример 5. Исследуется урожайность за предыдущие 15 лет, но

для оценки недобора используется последние 5 лет. Исходные данные и

результаты расчетов могут быть сведены в таблицу /19, 21/:

Таблица Определение недобора при выравнивании урожайности

по скользящей средней со сдвигом на 5 периодов

Период Урожайность Средняя

за 5 лет

Отклонение

от средней

Ущерб при норме

обеспечения 50 %

1 8,2

2 7,9

3 11,1

4 3,5

5 10,9

6 10,7 8,32 +2,38

7 10,9 8,82 +2,08

8 8,2 9,42 -1,22 -0,61

9 11,4 8,84 +2,56

10 9,5 10,42 -0,92 -0,46

11 13,7 10,14 +3,56

12 15,8 10,74 +5,06

13 5,5 11,72 -6,22 -3,11

14 16,0 11,18 +4,82

15 18,0 12,10 +5,90

Итог 119,7 101,7 (34,72) -4,18

6-15

Комментарии:

(8,2 + 7,9 + 11,1 + 3,5 + 10,9)/5 = 41,6/5 = 8,32

10,7 – 8,32 = +2,38

(7,9 + 11,1 + 3,5 + 10,9 +10,7)/5 = 44,1/5 = 8,82

10,9 – 8,82 = +2,08 и т.д.

1,22

×0,5 = -0,61

2,38 + 2,08 + 2,56 + 3,56 + 5,06 + 4,82 + 5,90 = 26,36

-1,22 – 0,92 – 6,22 = -8,36

26,36 + 8,36 = 34,72

Средний уровень ущерба: 4,18/119,70 × 100 % = 3,5 %. Это –

основа ставки. Теперь необходимо учесть вариацию. В существующей

практике ставки исчисляются не для отдельного хозяйства, а для всех

хозяйств области, а возмещение потерь выплачивается каждому

116

хозяйству отдельно. Поэтому вариация недоборов рассчитывается для

каждого хозяйства в отдельности и именно эта величина добавляется к

недобору, характерному для области в целом. Таким образом,

учитывается и внутри- и межгрупповая дисперсия.

Здесь необходимы пояснения содержательной стороны и

статистических вопросов. Урожайность имеет тенденцию к росту,

выраженную в виде прямой или параболы. Отклонение вызваны

природными явлениями. Выравнивание по прямой (в данном случае)

дает более адекватный результат, чем по скользящей средней.

Но оценки неурожаев зависят от того, что принято за базовый

период. Необходимо учесть пики вариации неурожайности, для

предупреждения ошибок. (Таким образом, от актуария требуется знание

содержательной стороны процесса, риск в котором подлежит

страхованию!)

Интересный эффект возникает при страховании урожаев

нескольких с/х культур. Одни и те же природные условия влияют на

различные культуры по-разному, поэтому вариация для отдельных

культур возрастает, а в целом для хозяйства отклонения взаимно гасятся,

и ущерб, а, следовательно, и возмещение, уменьшается. Таким образом,

если страховой договор заключается на хозяйство в целом, а не на

отдельный риск, то ставки будут ниже (см. «Комбинированное

страхование»).

При исследовании рисков, связанных с дорожно-транспортными

происшествиями, выяснено, что динамический ряд показателя

убыточности хорошо аппроксимируется прямой:

btар +=

′

. Это

позволяет оценить последующие платежи.

Пусть S - размер страховой суммы, р – показатель убыточности.

Тогда на первом году ожидаемые выплаты: Sp, на втором году: S(p + b),

на третьем: S(p + 2b) и т.д. Следовательно, за все t лет: St(p + (t – 1)b/2.

Пример 6. S = 100000, р = 0,11, b = 0,002.

Тогда на пятом году ожидаемые платежи составят:

100000

× 5 × (0,11 + (5 – 1) × 0,002/2) = 57000.

Отсюда определяется минимальный размер взносов. Вероятные

суммы выплат по годам: а

, а

,…Σа

= tа . Из равенства взносов и

возмещений следует, что

1)b/2)(tS(pta

−

или:

1)b)(tS(pa

−

Пример 7. t = 5, p = 0,11, b = 0,002, S = 100000.

Тогда средний ежегодный взнос не менее, чем:

114001)0,002/2)(51100000(0,1а

−

Следует отметить, что по мере накопления информации возможно

возникновение эффекта изменения параметров: a и b. Тогда требуется

провести дополнительное исследование для их уточнения.

117

7. Модели риска

7.1. Постановка задачи

Страховщика интересует общий размер страховых выплат по

всему своему страховому портфелю. Рассмотрим ситуацию, где все

договора заключены на один год. Тогда возможны следующие варианты:

− для всех договоров одинаковы и страховые суммы (b) и

вероятности требований о выплате (p);

− страховые суммы (b

) различны, а вероятности (p) одинаковы;

− страховые суммы (b) одинаковы, а вероятности (p

) различны;

− различаются и суммы (b

) и вероятности (p

Во всех случаях страховые суммы фиксированы, и можно

предъявить только одно требование о выплате. Это имеет место,

например, при страховании жизни. Понятно, что возможна

принципиально другая ситуация: когда размер выплаты - случайная

величина, распределенная по некоторому закону (например, в

автотранспортном страховании), но по-прежнему, предъявляется только

одно требование.

Тогда можно перечислить следующие 4 возможных варианта (в

определенном смысле аналогичные ранее изложенным):

− для всех договоров требование предъявляется с вероятностью

(p), а величина выплаты распределена по закону с плотностью f(x);

− вероятность (p) постоянна, а плотности (f

(x)) различны;

− вероятности (p

) различаются, а плотность f(x) постоянна;

− различаются и вероятности (p

) и плотности (f

(x)).

Очевидно, что каждая из 8-ми перечисленных ситуаций порождает

определенную индивидуальную модель риска. Особенностью всех

этих моделей является условие возможности предъявить только одно

требование о выплате по каждому договору.

Кроме перечисленных индивидуальных моделей существуют и

коллективные модели риска, в которых условие единственности

требования о выплате отсутствует. Примером таких моделей являются:

- число требований о выплате по всему портфелю имеет

распределение Пуассона с параметром

λ. Размер выплаты имеет

экспоненциальное распределение с параметром

Θ. Размеры выплат

независимы друг от друга и от числа предъявляемых требований;

общий размер выплат имеет сложное распределение Пуассона.

Обобщение предыдущей модели. Весь портфель распадается на

несколько субпортфелей, в каждом из которых число требований

подчиняется распределению Пуассона с параметром

, а размер

выплаты имеет экспоненциальное распределение с параметром

Θi;

исследуется общий размер выплат по всему портфелю.

118

Отметим различие. В индивидуальных моделях исследуется

договор, то есть требование по нему и общий размер требований по

отдельным договорам. В коллективных моделях предполагается, что

число требований (по портфелю или его части) подчиняется некоторому

распределению, и исследуется общий размер требований для портфеля.

7.2. Индивидуальные модели

Для дальнейшего потребуется ввести понятие индикатора, то есть

случайной величины I, принимающей два значения:

1 - с вероятностью p, если требование о выплате поступило,

0 - с вероятностью q = 1 - p, в противном случае.

Распределение размера ущерба представляет смысл только при

предъявлении требования об оплате, то есть приходится работать с

условным распределением. Поэтому напомним некоторые сведения из

теории вероятностей /5/. Из определения условного распределения

следует, что:

M(Y) = M

x(M(Y|X)) и D(Y|X) = M(Y

|X) - (M(Y|X))

[Здесь символ M

x(M(Z|X)) означает поиск математического

ожидания (по Х) новой СВ, равной МО случайной величины Z, если X

принял конкретное значение.]

Тогда можно вывести следующую формулу для дисперсии D(Y)

D(Y) = M(Y

) - (M(Y))

= Mx(M(Y

|X)) - (M(Y))

= Mx( D(Y|X) + (M(Y|X))

) - (M(Y))

= Mx(D(Y|X)) + Mx((M(Y|X))

) - (Mx(M(Y|X)))

= Mx(D(Y|X)) + Dx(M(Y|X))

Это позволяет упростить формализацию и решение некоторых

задач.

Пример 1. Есть срочный договор с вероятностью предъявления

требования 0,1. При наличии требования размер его имеет равномерное

распределение на (0, 1000). Найти математическое ожидание и

дисперсию выплаты.

Решение. Очевидно, плотность равна 0,001 (при X/B

∼U(0, 1000)).

Тогда p = 0,1; q = 0,9;

M(X|B) = 500, D(X|B) = (1000 - 0)

/12 = 10

/12;

)/3(1010101/3/3x0,001dxx0,001)M(B

693

1000

=⋅⋅=⋅=⋅⋅=

−

∫

D(X|B) = M((X|B)

) - (M(X|B))

= (10

)/3 - 500

= (10

)/12

M(I) = 1

× p + 0 × q = p = 0,1; D(I) = p × q = 0,9 × 0,1 = 0,09;

Тогда выплата Y равна I

× (X|B), то есть страховщик либо не

платит ничего, либо платит случайную сумму B. Поэтому:

119

M(Y) = M(I

× (X|B)) = M (M(I × ((X|B)|I))) =

= Pr(I = 0)

× M(I × (X|B)|I = 0) + Pr(I =1) × M(I × (X|B)|I =1) =

= q

× M(I × (X|B)|I = 0) + p × M(I × (X|B)|I=1) = q × 0 + p × M(X|B) =

× M(X|B) = 0,9 × 0 + 0,1 × M(X|B) = 0,1 × 500 = 50

M(Y

) = M((I × (X|B))

) = M(I × (X|B)

) = M (M(I × (X|B)

|I)) =

= Pr(I = 0)

× M(I × (X|B)

|I = 0) + Pr(I = 1) × M(I × (X|B)

|I =1) =

= q

× M(I × (X|B)

/I = 0) + p × M(I × (X|B)

|I = 1) = q × 0 + p × M((X|B)

= 0,9

× 0 + 0,1 × M((X|B)

) = 0,1 × 10

/3 = 10

D(Y) = 10

/3 - 50

= 30833, Sy = 176

Эту задачу можно решить, используя свойства условного

распределения :

M(Y) = M (M(Y|I)) = M (M(X|B)

× I) = M(X|B) × M(I) = 500 × 0,1 = 50

D(Y) = M (D(Y|I)) + D (M(Y|I)) = M (D(X|B)

× I) + D (M(X|B) × I) =

=D(X|B)

× M(I) + (M(X|B))

× D(I) = 10

/12 × 0,1 + 500

× 0,1 × 0,9=

= 30833

7.3. Среднее и дисперсия в индивидуальных моделях риска

Пусть Y

- размер выплаты, M

- среднее, σ

- дисперсия размера

выплат, если требование предъявлено; p

- вероятность предъявления

требования, а I

- соответствующий индикатор. Тогда:

M(I

) = 0 × (1-p

) + 1 × p

= p

M(I

) = 0

× (1-p

) + 1

× p

= p

D(I

) = M(I

) - (M(I

))

= p

- (p

)

= p

× (1-p

)

Тогда для i-го договора получим:

M(Y

) = M(M(Y

)) = M(M

× I

) = M(M

) × M(I

) = M

× p

D(Y

) = M(V(D

)) + D(M(Y

)) = M(σ

× I

) + D(M

× I

) =

× p

+ M

× p

× (1-p

)

Теперь, если выплата Y

= I

× X

, то сумма выплат: Z = Σ (X

× I

тогда

M(Z) = M(

Σ((X|B

)× I

) = Σ M((X|B

)× I

) = Σ(p

× M(X|B

)) = Σ(p

× M

)

D(Z) = D(

Σ((X|B

)× I

)) = Σ(D((X|B

)× I

)) = Σ (p

× σ

+ M

× p

× (1-p

))

Отметим, что все значения - безусловные, поэтому легко

вычисляются. Если в модели выплаты - фиксированы, то их дисперсии

равны 0!

D(Z) =

Σ (M

× p

× (1-p

))

А если вероятности p

- одинаковы, то значение p можно вынести

за знак суммы:

120

M(Z) = p

× Σ (M

D(Z) = p

× Σ σ

+ p × (1 – р) × Σ (M

)

Пример 2. Портфель содержит 300 независимых договоров

страхования на 1 год. Все страховые суммы одинаковы - 1000 у.е.

Вероятности требования по 100 договорам равны 0,1; а по другим 200

договорам – 0.2.

Решение. Чтобы охарактеризовать общий ущерб, сначала найдем

его среднее и дисперсию. Страховые суммы одинаковы, поэтому

= 1000, VAR

= 0. Тогда:

M(Z) = 1000

× Σ (p

) = 1000 × (100 × 0,1+200 × 0,2) = 50000

D(Z) = 1000

× (100 × 0,1 × 0,9 + 200 × 0,2 × 0,8) = 41 × 10

σ= 6403; σ/M(Z) = 13%.

При определении надбавки можно потребовать, чтобы (рисковая

премия плюс надбавка) обеспечивали с вероятностью 0.95 ожидаемый

общий размер страховых выплат (вместо использования среднего

значения этой величины).

Если предположить, что общий размер страховых выплат

подчиняется нормальному закону, то P=0,95 соответствует t=1,645,

поэтому правая граница интервала: 50000+1,645

× 6403 = 60533. Теперь

можно определить, сколько должен платить каждый страхователь.

Представляется справедливым, чтобы доля каждого страхователя в

совокупном страховом взносе была пропорциональна ожидаемой

выплате (M

). Тогда чистый взнос (нетто-премия) равен:

(1 +

Θ) × M

где

Θ × M

- абсолютная надбавка, Θ - относительная.

Общий размер взносов (60533) равен:

Σ(1 + Θ) × M

= (1 + Θ) × Σ M

= (1 + Θ) × M(Z)

60533 = (1 +

Θ) × 50000;

Θ = 0,21 (= 21%).

Вопрос о соотношении надбавки и надежности рассмотрен ранее.

Пример 3. Портфель содержит 8000 договоров страхования на 1

год. Из них 5000 договоров на страховую сумму 10000, и 3000 договоров

на сумму 20000. Вероятности предъявления требования одинаковы и

равны 0,02. Исследовать ситуацию.

Решение. Рассмотрим только рисковую премию. M=

Σ n

×p

×S

Σ n

×p

×q

×S

Пусть единица измерения страховой суммы принята

10000. Тогда (в единицах страховой суммы):

M(Z) = 5000

× 1 × 0,02 + 3000 × 2 × 0,02 = 220

D(Z) = 5000

× 1

× 0,02 × 0,98 + 3000 × 2

× 0,02 × 0,98 = 333,2

Компании интересно знать вероятность, что размер выплат превзойдет

240 е.с.с. Анализируется только рисковая премия.