Корнилов И.А. Элементы страховой математики

Подождите немного. Документ загружается.

121

Pr(Z >240) = Pr(t > (240-220)/

333 2, ) = Pr(t >1,096) =

= 0,5

× (1 – Ф(1,1)) = 0,5 × (1 – 0,72) = 0,14

Ясно, что вероятность разорения 0.14 – слишком велика!

Пример 4. Для уменьшения этой вероятности можно заключить

договор о перестраховании. Цена за перестрахование – 0,022 за 1

единицу покрываемой суммы (пропорциональна ожидаемому размеру

выплат). Предположим, что компания установила уровень

собственного удержания 16000. Найти вероятность того, что (общий

размер выплат + перестраховочный взнос) превзойдет 240 е.с.с.

Отметим, что во втором субпортфеле по договору о перестраховании

страховщик будет покрывать не 2 е.с.с., как ранее, а только 1,6 е.с.с.

Решение.

M(Z) = 5000

× 1 × 0,02 + 3000 × 1,6 × 0,02 = 196 (на 24 меньше)

D(Z) = (5000

× 1

+ 3000 × 1,6

) × 0,02 × 0,98 = 248,5 (на 85

меньше)

Учитываем цену перестрахования (в е.с.с.):

Общий размер сумм: 5000

× 1 + 3000 × 2 = 11000

Из них компания удерживает: 5000

× 1 + 3000 × 1,6 = 9800

То есть передается: 11000 – 9800 = 1200

Перестраховочный взнос: 1200

× 0,022 = 26,4 е.с.с.

(26,4

× 10000 = 264000 у.е.)

Общие издержки страховщика: Z + 26,4. Его интересует:

0,130,74)(10,5Ф(1,12))(10,51,116)Pr(t

)248,5196)/(213,6Pr(tD(Zn)M(Zn))/(213,6

D(ZnM(Zn))/Pr((Zn213,6)Pr(Zn240)26,4Pr(Zn

=−⋅=−⋅=>=

=−>=−>

>−=>=>+

Итак, компания добилась снижения вероятности разорения с 0,14

до 0,13 путем увеличения средних издержек с 220 до 222,4 е.с.с. (то есть

соответствующего уменьшения своей прибыли на 24000 у.е.).

Варьируя уровень собственного удержания, можно из нескольких

приемлемых вариантов выбрать оптимальный. (Отметим, что цена

перестрахования на 10% больше цены страхования).

В качестве упражнения рекомендуется пример: n1=3000, n2=2000,

p=0.03, S1=40000, S2=70000, 1 е.с.с.=10000, ставка перестрахования

0.033, страховщика интересует превышение фактического ущерба над

ожидаемым в пределах 12%.

122

7.4. Коллективные модели риска

В рассмотренных выше индивидуальных моделях главным

ограничением была недопустимость предъявления более одного

требования об оплате по каждому договору. Это вполне естественно в

страховании жизни, но не выполняется при работе с договорами общего

страхования.

В коллективных моделях с общим размером выплат работают

совершенно иначе. Требования по страховому портфелю в целом

рассматриваются, как случайный процесс.

Пусть X

- размер i-й выплаты. Тогда: Z = X

+...+X

- общая сумма

выплат за рассматриваемый период. Предполагается, что X

независимы в совокупности и одинаково распределены. Это позволяет

определить для Z его среднее, дисперсию и производящую функцию.

Можно показать, что если N и Z независимы, (или N представляет

марковский процесс), т.е. N не зависит от будущих X-ов, то:

M(Z) = M(N)

× M(X) и D(Z) = M(N) × D(X) + (M(X))

× D(N)

Сравнение с соответствующими формулами для индивидуальных

моделей показывает различие подходов. В индивидуальных моделях

сначала вычисляется среднее значение выплат по каждому договору, а

затем эти средние суммируются по числу договоров. В коллективных

моделируется число требований, поэтому суммирование по договорам

заменяется умножением двух математических ожиданий.

Распределение Z строится с использованием аппарата свертки.

Результаты достаточно наглядны лишь для самых простых

случаев. Например, пусть число требований подчиняется распределению

Пуассона с параметром

λ, тогда сумма выплат Z имеет сложное

распределение Пуассона. Так как M(N) = D(N) =

λ, то

M(S) =

λ × M(X), D(S) =λ × D(X) +λ × (M(X))

= λ × M(X

) (*)

Сложное распределение Пуассона задается двумя параметрами:

и P. Это распределение предоставляет актуарию некоторые

преимущества в силу своих особых свойств. Наиболее существенным

является то, что сумма нескольких случайных величин, имеющих это

распределение, также подчиняется сложному распределению Пуассона.

При этом его параметры легко выражаются через параметры

составляющих распределений:

λ= Σ λ

; P = Σ (W

× P

), где W

= λ

/λ.

Пример 5. Страховой портфель содержит 10000 договоров

страхования на 1 год. Из них 5000 застраховано на 10000, а другие 5000

на 20000. Вероятность предъявления требования равна 0,04 у всех

клиентов. Определить распределение общего размера выплат по всему

портфелю.

123

Решение.

5-1. Сначала решим задачу с помощью индивидуальной модели

риска. Каждый субпортфель подчиняется биномиальному

распределению: B(5000; 0,04). Число выплат в каждом субпортфеле (N

и N

) - случайно, поэтому общий размер требований о выплате

определяется:

Z = N

× 10000 + N

× 20000 = 10000 × (N

+ 2 × N

)

Z - случайная величина, распределенная по сложному

биномиальному закону, для которого не выполняется такое «удобное»

свойство, как для сложного пуассоновского, поэтому решаем численно.

M(Z) = 5000

× 0,04 × 10000 + 5000 × 0,04 × 20000 = 6 × 10

D(Z) = 5000

× 0,04 × 0,96 × 10000

+ 5000 × 0,04 × 0,96 × 20000

=9,6

× 10

Предельным для данного распределения является нормальное,

поэтому:

Z~N(M,D) = N(6

×10

; 9,6 × 10

)

Для нормального закона можно определить вероятность того, что

Z не превысит заданного значения.

5-2. Теперь решим эту же задачу с помощью коллективной

модели. Согласно этому подходу, не определяем число требований в

каждом субпортфеле, а работаем с субпортфелем «в целом». Исходя из

сложного распределения Пуассона, находим интенсивности. При равных

n и p равны и

λ. λ

= λ

= 5000 × 0,04 = 200. (Отметим наличие

принципиальной возможности аппроксимировать истинное

биномиальное распределение приближенным - пуассоновским из-за

больших n и малых p ).

Распределение размеров страховых выплат в каждом субпортфеле:

(x) = 0, если x < 10000, (иначе P

= 1) при х ≥ 10000

(x) = 0, если x < 20000, (иначе P

= 1) при х ≥ 20000.

Здесь P

(x) - параметры сложного распределения Пуассона.

Тогда для двух субпортфелей вместе размер выплат имеет то же

распределение с параметрами:

λ = λ

+ λ

= 400, (веса W

= 200/400 = 0,5),

()











20000 >x если 1,

20000<x<10000 если 0.5,

10000 <x если 0,

Заметим, что в действительности страховые суммы равны либо

10000, либо 20000; а в модели размер выплат рассматривается, как

случайная величина, принимающая все промежуточные значения с

равной вероятностью. Определим среднее и дисперсию:

M(X) = 0,5

× 10000 + 0,5 × 20000 = 15000

M(X

) = 0,5 × 10

+ 0,5 × 4 ×10

= 2,5 × 10

124

Следовательно:

M(Z) =

λ × M(X) = 400 × 15000 = 6 × 10

D(Z) =

λ × M(X

) = 400 × 2,5 × 10

= 10 × 10

Сравнивая два решения, отметим, что средние совпали (

λ = n × p),

а дисперсия во втором случае несколько больше (на 4%); так как для

биномиального закона:

D = n

× p × q < n × p = λ (дисперсии в законе Пуассона).

Теперь можно сложное распределение Пуассона аппроксимировать

нормальным (X

∼ N(М;D)) и получить конечные результаты,

практически совпадающие с предыдущими.

Замечание. Условие: n = 10000, n1 = 5000, n2 = 5000, S1 = 10000,

S2 = 20000, p = 0.04.

Разумеется, пример не очень нагляден. Плохо, что n1 = n2. Еще

хуже, что численно: n = S1. Поэтому лучше рассмотреть пример:

n = 10000, n1 = 4000, n2 = 6000, S1 = 100, S2 = 200, p = 0.04.

Тогда:

а) в индивидуальной модели:

S = n1

×S1 + n2×S2 = 1600000;

M(S) = p

×S = 64000;

D(S) = pq

× (n1×S1

+ n2×S2

) = 0.04×0.96×(4000×100

6000

×200

) = … = 10752000;

Т.е. можно приближенно считать, что величина S подчиняется

нормальному закону с параметрами: M(S) и D(S).

б) в коллективной модели:

λ1 = n1×p = 4000×0.04 = 160; λ2 = n2×p = 6000×0.04 = 240;

P1(x) = 0, если х<100, и P1 = 1, если х>100.

P2(x) = 0, если х<200, и P2 = 1, если х>200.

λ = λ1 + λ2 = 160 + 240 = 400; W1 = λ1/λ = 160/400 = 0.4; W2 = 0.6

P(x) = 0, если x<100, P(x) = W1 = 0.4, если 100<x<200; P(x) = 1,

если x>200.

Тогда:

M(X) = 0.4

×100 + 0.6×200 = 160;

M(X

) = 0.4×100

+ 0.6×200

= 28000;

Следовательно (см. *):

M(S) =

λ×M(X) = 400×160 = 64000;

D(S) =

λ×M(X

) = 400×28000 = 11200000;

Это позволяет считать, что имеет место нормальное распределение

с вычисленными значениями параметров. Как и в ранее рассмотренном

примере, коллективная модель характеризуется несколько большей

дисперсией, по сравнению с индивидуальной моделью (при одинаковых

математических ожиданиях).

125

8. Некоторые специальные задачи страхования имущества

8.1. Расчет нетто-премии в договоре о комбинированном

страховании

Пример 1. Напомним условие примера и результаты, полученные

при расчете рисковой премии: S = 1000, p

= 0.01, p

= 0.02, p

= 0.03.

Решение. П

= 10, П

= 20, П

= 30. Для комбинированного

договора:

р = 0.057818, П = 57.818 (меньше на 4%).

Теперь надо найти СКО, и на их основе – рисковые надбавки.

1 2 3

pq: 0.0099 0.0196 0.0291

pq: 0.0995 0.1400 0.1706

K= q/p

9.95 7.0 6.35

Для всех трех отдельных договоров сумма дисперсий равна:

0.0099 + 0.0196 + 0.0291 = 0.0586.

Тогда СКО = 0.0586

0.5

= 0.242, т.е. K = 0.242/0.06 = 4.03.

А если проанализировать комбинированный договор:

pq = 0.054475; (pq)

0.5

= 0.2334 (<0.242);

K = 0.2334/0.0578 = 4.04 (> 4.03).

Этот эффект (увеличение K при уменьшении р) обсужден ранее.

Пример 2. Теперь предположим, что в портфеле не один договор, а

10000. Требуемая надежность (которая должна быть обеспечена за счет

рисковой надбавки) – 0.975, (т.е. t = 1.96). Здесь необходимо учитывать,

что страховщика интересует вероятность выхода за «одностороннюю»

правую границу. Если в таблице указаны «двусторонние» границы, то

вместо вероятности 0.975 надо использовать вероятность 0.95. Это

означает, что относительная рисковая надбавка:

Θ = t⋅

Р1

⋅

−

и для отдельных договоров равна:

=1.96×9.95/100= 0.195;

=1.96×7/100 = 0.137;

=1.96×6.35/100= 0.124.

Это означает, что нетто-премии соответственно равны:

×1.195 = 11.95, 20×1.137 = 22.74, 30×1.124 = 33.72.

Суммарная (за три договора) нетто-премия равна:

11.95 + 22.74 + 33.72 = 68.41.

126

При этом сумма трех рисковых надбавок (8.41) от суммы трех

рисковых премий (60) составит 14.2%.

В комбинированном договоре: рисковая премия 57.818, а

относительная рисковая надбавка

Θ = 1.96×4.04/100 = 0.079 (7.9%).

Тогда абсолютная надбавка составит: 0.079

×57.8 = 4.566. А нетто-

премия в этом договоре: 57.818 + 4.566 = 62.384 (вместо 68.41), т.е.

клиент с’экономил 6.03 (или 6.03/68.05 = 0.09, т.е. 9%).

Напомним, что экономия за счет только рисковой премии

составила менее 4%. Надбавка позволила с’экономить больше!

Пример показывает, что более точный учет риска страховщика

(опирающийся на СКО, а, следовательно, на рисковую надбавку) может

повлиять на снижение страхового тарифа сильнее, чем правильно

найденная рисковая премия. (К. Бурроу /3/ указал на возможность

компенсации последствий неверно найденного МО за счет увеличения

рисковой надбавки путем увеличения коэффициента при СКО, но без

разъяснения причин и механизма.)

Взнос в комбинированном договоре снижается не только за счет

рисковой премии и рисковой надбавки, но и при учете возможности

возврата части взноса, если премия внесена единовременно, а затем, до

истечения срока действия договора, застрахованное имущество продано,

и потому больше не нуждается в защите. При отдельных договорах

возможна и другая ситуация. Например, страховой случай произошел в

первом договоре в середине срока действия договора (года, все 3

договора заключены одновременно, сроком на 1 год). Тогда по первому

договору должна быть выплачена компенсация, а по двум другим

необходимо вернуть клиенту часть взносов за то время, в течение

которого он не пользуется страховой защитой (т.е. за оставшиеся

полгода).

Тогда страхователь должен получить половину нетто-премий из

второго и третьего договоров. Вероятность этого: 0.01

×0.98×0.97, а

соответствующие части (рисковых премий: 20

×0.5 и 30×0.5), а нетто-

премий: 22.74

×0.5 и 33.72×0.5. Итак: 28.23×0.009506=0.268. Если

пренебречь изменением цены денег за срок действия договора и считать

распределение страхового случая во времени равномерным в течение

срока действия договора, то именно таким будет ожидаемый возврат при

наступлении страхового случая в первом договоре. Аналогично

рассчитываются:

(0.02

×0.99×0.97) ×(11.95+33.72) ×0.5=0.019206×22.83=0.438, а также:

(0.03

×0.99×0.98) ×(11.95+22.74) ×0.5=0.029106×17.35=0.505.

Общая ожидаемая сумма возврата составит:

0.268+0.438+0.505=1.211. Очевидно, на эту сумму надо дополнительно

снизить цену в комбинированном договоре (т.к. в нем возврат части

взноса невозможен, в нем будет только выплачено возмещение!). Итак:

127

62.384-1.211=61.173, что составит: 61.173/68.41=89.4% от суммы трех

отдельных нетто-премий. Надо отметить, что 10.6% экономии

сложились за счет: рисковой премии 3.5%, рисковой надбавки 5.3% и

учета возможного возврата части взноса 1.8%.

8.2. Обсуждение процесса формирования рисковой надбавки в

договоре комбинированного страхования

В рассмотренном примере комбинированного страхования можно

(гипотетически, для наглядности) увеличить вероятности страховых

случаев в 10 раз. Для этого уже была вычислена рисковая премия.

Пример 3. Рассмотрим процесс формирования рисковой надбавки.

S = 1000, P(A) = 0.1, P(B) = 0.2, P(C) = 0.3;

Решение.

P = 0.1

×0.8×0.7+0.2×0.9×0.7 + 0.3×0.9×0.8 = 0.056 +0.126 + 0.216 = 0.398;

П = S

×P = 1000×0.398 = 398;

Ясно, что одновременно может реализоваться не более одного

случайного события, поэтому можно найти апостериорные вероятности:

0.056/0.398 = 0.14; 0.126/0.398 = 0.32; 0.216/0.398 = 0.54;

Эти вероятности могут быть использованы в качестве весовых

коэффициентов при построении рисковой надбавки. Пусть n = 100.

np(A) = 100

×0.1 = 10; npq(A) = 100×0.1×0.9 = 9; СКО = 3;

np(B) = 100

×0.2 = 20; npq(B) = 100×0.2×0.8 = 16; СКО = 4;

np(C) = 100

×0.3 = 30; npq(C) = 100×0.3×0.7 = 21; СКО = 4.6;

Если страховать каждый риск отдельно, то рисковые ставки (для

всего портфеля) составили бы: 10 + t

×3; 20 + t×4; 30 + t×4.6; а всего

по трем рискам: 60 + t

×11.6;

Но в комбинированном договоре : рисковая ставка для одного

договора 0.398; А для всего портфеля из 100 договоров сумма рисковых

ставок 39.8.

Надбавку будем конструировать сначала на основе СКО.

Тогда с учетом весов получим: 3

×0.14 +4×0.32 + 4.6×0.54 = 4.18.

(Это значительно меньше, чем 11.6.)

Поэтому нетто-ставка (для всего портфеля) равна: 39.8 + t

×4.18.

Отметим, что и относительная надбавка значительно снизилась.

С 11.6/60 = 0.193 до 4.18/39.8 = 0.105. Почти вдвое.

Если опираться не на СКО, а на дисперсию (что представляется

более правомерным в данном примере с несовместными (и

независимыми) событиями), то результаты несколько изменятся.

Общая (для портфеля) дисперсия равна:

×0.14 + 16×0.32 + 21×0.54 = 1.26 +5.12 + 11.34 = 17.72.

Соответственно, СКО = 4.20. Поэтому нетто-взнос: 39.8 + t

×4.20.

Относительная надбавка несколько возрастет: 4.20/39.8 = 0.106.

128

Таким образом, видно, что в комбинированных договорах

удешевление страхования достигается не только за счет рисковой

премии, но и за счет рисковой надбавки. Т.е. существенно снижаются

обе составляющие нетто-премии, что влечет за собой и снижение

брутто-премии. Причем величина изменения надбавки зависит от

правила формирования надбавки.

В предыдущем параграфе показано, что еще одним фактором

снижения цены в комбинированном договоре является учет

возможности возврата части единовременного взноса при досрочном

расторжении договора.

8.3. Специфика страхования больших рисков

Специфика данной задачи (с точки зрения страховщика, а,

следовательно, и актуария) – в необходимости обеспечить более

высокую надежность при малом объеме субпортфеля (а возможно, для

отдельного риска). Проиллюстрируем ситуацию на примере.

Пример 4. Пусть в договоре на 1 год страховая сумма в 1 млн. у.е.

выплачивается полностью, если произойдет страховой случай, о

котором страховщику известно, что он может произойти 1 раз в 100 лет.

На основании этого страховщик считает, что вероятность страхового

случая в течение одного года можно принять равной 0.01.

Решение. Мы в этом примере будем оперировать только с

рисковой премией. Т.е. надбавку и нагрузку не рассматриваем. Премия

вносится единовременно и должна составить 10000 у.е. Но риск

слишком велик, поэтому страховщик (в целях увеличения первых

взносов и сокращения последних) предлагает следующую схему.

В первый год клиент вносит не 1%, а 10% от страховой суммы

(т.е. 100000 у.е.). Если страхового случая не было, то во второй год

компания из внесенных ранее 10% возвращает клиенту 7%, а себе

оставляет 3%. Кроме того, за договор на второй год клиент платит взнос

опять 10%. И процесс повторяется. Т.е. клиент реально платит взнос

3%. Эти правила действуют первые 10 лет.

На втором этапе (в течение следующих 15 лет) клиент платит не

по 3%, а по 2% в год. На третьем этапе (еще 15 лет) клиент платит по

1% в год. Далее выплаты взносов прекращаются, но договор действует

(неограниченно долго, до наступления страхового случая). Страховщик

считает, что накопленной суммы взносов (вместе с процентами)

достаточно для выплаты страховой суммы при реализации страхового

случая. Предполагается, что на период действия договора банковский

процент составит 6% в год. Надо оценить, соблюдены ли интересы

сторон в этом контракте.

Очевидно, необходимы предположения о распределении риска во

времени. Сначала предположим, что риск распределен равномерно.

129

(Условность этой гипотезы очевидна. Здесь через 100 лет страховой

случай произойдет с вероятностью 1, что противоречит здравому

смыслу. Случай может и не произойти за любой конечный промежуток

времени.) Чтобы избежать этого противоречия, мы далее будем

исходить из экспоненциального распределения. Параметр этого

распределения найдем из условия, что в первый год вероятность

страхового случая равна 0.01. А затем сравним полученные результаты.

Итак, возмещение выплачивается в конце года, в котором

произошел страховой случай, после начисления процентов.

В начале первого года страховщик получил 100000. За год они

превратились в 106000. Если случай произошел (с вероятностью 0.01),

то страховщик платит возмещение в 1 млн. А если не произошел (с

вероятностью 0.99), то компания возвращает клиенту 70000, а себе

оставляет 30000. Кроме того, у нее остаются и проценты, т.е. еще 6000.

Таким образом, в начале второго года при благоприятном развитии

процесса компания может (с вероятностью 0.99) иметь 36000 у.е.

Дальше можно рассуждать так. Компания получила в начале

второго года еще 100000, т.е. у нее стало 136000, которые за год

превратятся в 136

×1.06=144.16 тыс. Если случая не будет, то компания

возвратит 70 тыс. И у нее останется 74.16 тыс. И т.д.

Однако, эти рассуждения неверны. Необходимо найти среднее

(ожидаемое) значение: 36000

×0.99 – 1000000×0.01 = 25640.

Именно к этой сумме и надо прибавлять очередной взнос, тогда у

страховщика в начале второго года станет 125640. В конце второго года

они превратятся в 133178. И после возврата 70000 останется 63178.

Поэтому за второй год компания либо заработает 63178 с вероятностью

0.99, если случаев не будет за первые два года, либо заплатит 1000000 с

вероятностью 0.01, если случай произойдет во второй год. Поэтому, в

среднем, результаты за второй год равны: 63178

×0.99 – 100000×0.01 =

52547.

Аналогично, в третий год:

(100000 + 52547)

×1.06 – 70000 = 91700.

91700

×0.99-10000 = 80783

В 4-й соответственно: 121630 и 110414.

В 5-й: 153039 и 141508.

В 6-й: 185999 и 174139.

В 7-й: осталось 208381.

Далее: 8-й: 244315, 9-й: 282027, 10-й: 321597.

Видно, что после окончания первого этапа страховщик может

выплатить около трети страховой суммы. На втором этапе (в течение 15

лет) возвращаются не 70 тыс., а 80 тыс. Поэтому после 11-го года у

страховщика, в среднем, останется (в тыс.):

((100 + 321.6)

×1.06 – 80) ×0.99 –10 = 353.2 и т.д.

130

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

386. 421. 458. 496. 536 578 623 669 718 769 823 880

в 24-й год: 939, и в 25-й год: 1001, что позволяет покрыть весь

риск. Т.е. третий этап вообще не нужен. Здесь страховщик хочет взять

лишнее.

В данном примере необходимо отметить, что ежегодно на

страховщика «работали» все 100000, а не 30000 или 20000. Именно за

счет этого клиент внес номинально 30

×10+20×15=600 (тыс.) и получил

за это страховую защиту не только на период уплаты взносов (25 лет),

но и на неограниченный срок после окончания этого периода (до

возникновения страхового случая).

Пример 5. Проанализировать экспоненциальное распределение.

Решение. Если вероятность страхового случая в течение 1 года

равна 0.01, то в предположении об экспоненциальном распределении

получим уравнение:

(1 – exp(-a

×t)) = 0.01 при t=1. Т.е. exp(-a) = 0.99.

Тогда: a = ln0.99 = 0.010050336. Это позволяет вычислить

вероятность наступления страхового случая (и противоположного

события) для t=2,3,4,…(Исходим из правила, что страхователь платит

постоянные взносы в течение 10 лет, инфляцией пренебрегаем.)

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Exp(-at) .9801 .9703 .9606 .9510 .9417 .9321 .9227 .9135 .9044

1-exp .0199 .0297 .0394 .0490 .0583 .0679 .0773 .0865 .0956

Таким образом, первый взнос платится всегда, второй – с

вероятностью 0.99, третий – с вероятностью 0.9801, и т.д.

Рассчитываем суммарный взнос за первые 10 лет с учетом

дисконтирующего множителя: v = 1/(1+i) = 1/1.06 = 0.9434. Далее, для

t=2,3, … , 9 получим:

: 0.89, 0.84, 0.79, 0.75, 0.70, 0.66, 0.63, 0.59.

П(1 + 0.99v +0.9801v

+ 0.9703v

+ … + 0.9135v

) =

П(1 +.93 + .87 + .82 + .76 + .71 + .66 + .61 + .58 + .54) = П

×7.48

Соответственно, математическое ожидание выплат возмещения (за

те же 10 лет) с учетом их современной цены:

S(0.01 + 0.0199v + 0.0297v

+ … + 0.0956v

) =

S(0.01 + 0.0199

×0.9434 + … + 0.0956×0.59) =

S(.01 +.019 + .026 + .033 + .039 + .044 + .048 + .051 + .054 + .056) = S

×0.38